2024春新教材高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步8.6空間直線平面的垂直8.6.3第1課時(shí)二面角平面與平面垂直的判定分層演練含解析新人教A版必修第二冊(cè)VIP

PAGE第八章立體幾何初步A級(jí)基礎(chǔ)鞏固1.對(duì)于直線m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一個(gè)條件是()A.m⊥n,m∥α,n∥β B.m⊥n,α∩β=m,n?αC.m∥n,n⊥β,m?α D.m∥n,m⊥α,n⊥β解析:因?yàn)閚⊥β,m∥n,所以m⊥β.因?yàn)閙?α,由面面垂直的判定定理,所以α⊥β.答案:C2.若從二面角內(nèi)隨意一點(diǎn)分別向兩個(gè)面引垂線,則兩垂線所成的角與二面角的平面角的關(guān)系是()A.相等 B.互補(bǔ)C.互余 D.無(wú)法確定解析:如圖所示,BD,CD分別為AB,AC所在平面與α,β的交線,則∠BDC為二面角α-l-β的平面角,且∠ABD=∠ACD=90°,所以∠A+∠BDC=180°.答案:B3.空間四邊形ABCD中,若AD⊥BC,BD⊥AD,則()A.平面ABC⊥平面ADCB.平面ABC⊥平面ADBC.平面ABC⊥平面DBCD.平面ADC⊥平面DBC解析:因?yàn)锽C⊥AD,AD⊥BD,BC∩BD=B,所以AD⊥平面BCD.因?yàn)锳D?平面ADC,所以平面ADC⊥平面DBC.答案:D4.如圖所示,在三棱錐P-ABC中,若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,則在三棱錐P-ABC的四個(gè)面中,相互垂直的面有3對(duì).解析:平面PAB⊥平面PAC,平面PAB⊥平面PBC,平面PAC⊥平面PBC.5.如圖所示,AC⊥平面BCD,BD⊥CD,AC=12AD,求平面ABD與平面BCD所成的二面角的大小解:因?yàn)锳C⊥平面BCD,BD?平面BCD,所以BD⊥AC.因?yàn)锽D⊥CD,AC∩CD=C,所以BD⊥平面ACD.因?yàn)锳D?平面ACD,所以AD⊥BD,所以∠ADC即為平面ABD與平面BCD所成二面角的平面角.在Rt△ACD中,AC=12AD,所以∠ADC所以平面ABD與平面BCD所成的二面角為30°.B級(jí)實(shí)力提升6.如圖所示,二面角α-l-β的大小是60°,線段AB?α,B∈l,AB與l所成的角為30°,則AB與平面β所成的角的正弦值是34解析:如圖所示,作AO⊥β于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)O作OC⊥l于點(diǎn)C,連接OB,AC,由線面垂直、線線垂直可得AC⊥l.設(shè)AB與β所成的角為θ,則∠ABO=θ,所以sinθ=AOAB=ACAB·AOAC7.如圖所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱垂直于底面,∠ACB=90°,AC=12AA1,D是棱AA1的中點(diǎn)證明:平面BDC1⊥平面BDC.證明:由題設(shè)知,BC⊥CC1,BC⊥AC,CC1∩AC=C,所以BC⊥平面ACC1A1.因?yàn)镈C1?平面ACC1A1,所以DC1⊥BC.由題意知,∠A1DC1=∠ADC=45°,所以∠CDC1=90°,即DC1⊥DC.因?yàn)镈C∩BC=C,所以DC1⊥平面BDC.因?yàn)镈C1?平面BDC1,所以平面BDC1⊥平面BDC.8.如圖所示,幾何體是某圓柱的一部分,它是由矩形ABCD(及其內(nèi)部)以AB邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)120°得到的,G是FD的中點(diǎn).(1)設(shè)P是EC上的一點(diǎn),且AP⊥BE,求∠CBP的大小;(2)當(dāng)AB=3,AD=2時(shí),求二面角E-AG-C的大小.解:(1)因?yàn)锳P⊥BE,AB⊥BE,AB?平面ABP,AP?平面ABP,AB∩AP=A,所以BE⊥平面ABP.因?yàn)锽P?平面ABP,所以BE⊥BP.因?yàn)椤螮BC=120°,所以∠CBP=30°.(2)如圖所示,取EC的中點(diǎn)H,連接EH,GH,CH.取AG中點(diǎn)M,連接EM,CM,EC,則EM⊥AG,CM⊥AG,所以∠EMC為所求二面角的平面角.因?yàn)椤螮BC=120°,所以四邊形BEHC為菱形,所以AE=GE=AC=GC=32+2因?yàn)锳M=1,所以EM=CM=13-1=2在△BEC中,∠EBC=120°,由余弦定理,得EC2=22+22-2×2×2×cos120°=12,所以EC=23=EM=CM,所以△EMC為等邊三角形,所以所求二面角為60°.C級(jí)挑戰(zhàn)創(chuàng)新9.實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題如圖所示,檢查工件的相鄰兩個(gè)面是否垂直時(shí),只要用曲尺的一邊緊靠在工件的一個(gè)面上,另一邊在工件的另一個(gè)面上轉(zhuǎn)動(dòng),視察尺邊是否和這個(gè)面密合就可以了,其原理是利用了面面垂直的判定定理.解析:如圖所示,因?yàn)镺A⊥OB,OA⊥OC,OB?β,OC?β,且OB∩OC=O,依據(jù)線面垂直的判定定理,可得OA⊥β.由OA?α,依據(jù)面面垂直的判定定理,可得α⊥β.10.探究性問(wèn)題如圖所示,已知在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,AB=1,BC=2,CD=1+3,過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD,垂足為E.現(xiàn)將△ADE沿AE折疊,使得DE⊥EC.(1)求證:BC⊥平面CDE.(2)在線段AE上是否存在一點(diǎn)R,使得平面BDR⊥平面BDC,若存在,求出點(diǎn)R的位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.(1)證明:因?yàn)锳E⊥CD,所以AE⊥CE,AE⊥DE.因?yàn)镃E∩DE=E,所以AE⊥平面CDE.由已知易得AE∥BC,所以BC⊥平面CDE.(2)解:存在,當(dāng)點(diǎn)R滿意AR=14AE時(shí),平面BDR⊥平面理由:如圖所示,過(guò)點(diǎn)E作EF⊥CD交CD于點(diǎn)F,易得CF=14由(1)可知BC⊥平面CDE,則BC⊥EF,所以