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PAGE正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性與最值(本欄目內(nèi)容,在學(xué)生用書中以獨立形式分冊裝訂!)一、選擇題(每小題5分,共20分)1.函數(shù)y=2-sinx的最大值及取最大值時x的值為()A.ymax=3,x=eq\f(π,2)B.ymax=1,x=eq\f(π,2)+2kπ(k∈Z)C.ymax=3,x=-eq\f(π,2)+2kπ(k∈Z)D.ymax=3,x=eq\f(π,2)+2kπ(k∈Z)解析:∵y=2-sinx,∴當(dāng)sinx=-1時,ymax=3,此時x=-eq\f(π,2)+2kπ(k∈Z).答案:C2.下列函數(shù)中,既為偶函數(shù)又在(0,π)上單調(diào)遞增的是()A.y=cos|x| B.y=cos|-x|C.y=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(π,2))) D.y=-sineq\f(x,2)解析:y=cos|x|在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2)))上是減函數(shù),解除A;y=cos|-x|=cos|x|,解除B;y=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(π,2)))=-sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)-x))=-cosx是偶函數(shù),且在(0,π)上單調(diào)遞增,符合題意;y=-sineq\f(x,2)在(0,π)上是單調(diào)遞減的.答案:C3.若α,β為銳角,sinα<cosβ,則α,β滿意()A.α>β B.α<βC.α+β<eq\f(π,2) D.α+β>eq\f(π,2)解析:由sinα<cosβ,可得sinα<sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)-β)),又α,β為銳角,故α,eq\f(π,2)-β為銳角,所以α<eq\f(π,2)-β,即α+β<eq\f(π,2).答案:C4.函數(shù)y=cos2x+3cosx+2的最小值為()A.2 B.0C.1 D.6解析:令cosx=t∈[-1,1],則y=t2+3t+2=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t+\f(3,2)))2-eq\f(1,4),所以t=-1時,ymax=0.答案:B二、填空題(每小題5分,共15分)5.y=sinx,x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6),\f(2π,3))),則y的取值范圍是________.解析:由正弦函數(shù)圖象,對于x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6),\f(2π,3))),當(dāng)x=eq\f(π,2)時,ymax=1,當(dāng)x=eq\f(π,6)時,ymin=eq\f(1,2),從而y∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2),1)).答案:eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2),1))6.函數(shù)y=sin(x+π)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(π,2),π))上的單調(diào)遞增區(qū)間為__________.解析:因為sin(x+π)=-sinx,所以要求y=sin(x+π)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(π,2),π))上的單調(diào)遞增區(qū)間,即求y=sinx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(π,2),π))上的單調(diào)遞減區(qū)間,易知為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2),π)).答案:eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2),π))7.函數(shù)y=1-λcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(π,3)))的最大值與最小值的差等于2,則實數(shù)λ的值為________.解析:λ>0時,ymax=1+λ,ymin=1-λ,∴1+λ-(1-λ)=2λ=2,∴λ=1;∴λ<0時,同理得(1-λ)-(1+λ)=-2λ=2,∴λ=-1.答案:-1或1三、解答題(每小題10分,共20分)8.比較下列各組數(shù)的大?。?1)sineq\f(10,17)π與sineq\f(11,17)π;(2)coseq\f(5π,3)與coseq\f(14π,9).解析:(1)∵函數(shù)y=sinx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2),π))上單調(diào)遞減,且eq\f(π,2)<eq\f(10,17)π<eq\f(11,17)π<π,∴sineq\f(10,17)π>sineq\f(11,17)π.(2)coseq\f(5π,3)=coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π-\f(π,3)))=coseq\f(π,3),coseq\f(14π,9)=coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π-\f(4π,9)))=coseq\f(4π,9).∵函數(shù)y=cosx在[0,π]上單調(diào)遞減,且0<eq\f(π,3)<eq\f(4π,9)<π,∴coseq\f(π,3)>coseq\f(4π,9),∴coseq\f(5π,3)>coseq\f(14π,9).9.求下列函數(shù)的最大值和最小值:(1)y=eq\r(1-\f(1,2)sinx);(2)y=3+2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,3))).解析:(1)∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1-\f(1,2)sinx≥0,,-1≤sinx≤1,))∴-1≤sinx≤1.∴當(dāng)sinx=-1時,ymax=eq\f(\r(6),2);當(dāng)sinx=1時,ymin=eq\f(\r(2),2).(2)∵-1≤coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,3)))≤1,∴當(dāng)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,3)))=1時,ymax=5;當(dāng)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,3)))=-1時,ymin=1.eq\x(尖子生題庫)☆☆☆10.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)(|φ|<eq\f(π,2)),直線x=eq\f(π,6)是函數(shù)y=f(x)圖象的一條對稱軸.(1)求y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.(2)若x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(π,6),\f(π,3))),求y=f(x)的值域.解析:(1)因為直線x=eq\f(π,6)是函數(shù)y=f(x)圖象的一條對稱軸,所以2×eq\f(π,6)+φ=kπ+eq\f(π,2),k∈Z,φ=kπ+eq\f(π,6),k∈Z.又|φ|<eq\f(π,2),所以φ=eq\f(π,6).所以函數(shù)的解析式是y=sin(2x+eq\f(π,6)).令2x+eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(π,2)+2kπ,\f(π,2)+2kπ)),k∈Z,解得x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ-\f(π,3),kπ+\f(π,6))),k∈Z.所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ-\f(π,3),kπ+\f(π,6))),k∈Z.(2)因為x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(π,6),\f(π,3))),所以2x+eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\]
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