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PAGE第七章立體幾何第四節(jié)平行關系課時規(guī)范練A組——基礎對點練1.下列關于線、面的四個命題中不正確的是()A.平行于同一平面的兩個平面肯定平行B.平行于同始終線的兩條直線肯定平行C.垂直于同始終線的兩條直線肯定平行D.垂直于同一平面的兩條直線肯定平行解析:垂直于同一條直線的兩條直線不肯定平行,可能相交或異面.本題可以以正方體為例證明.答案:C2.若空間四邊形ABCD的兩條對角線AC,BD的長分別是8,12,過AB的中點E且平行于BD,AC的截面四邊形的周長為()A.10 B.20C.8 D.4解析:設截面四邊形為EFGH,F,G,H分別是BC,CD,DA的中點,∴EF=GH=4,FG=HE=6.∴周長為2×(4+6)=20.答案:B3.(2024·安徽毛坦廠中學月考)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為棱AB,CC1的中點,在平面ADD1A1內且與平面D1A.有多數條 B.有2條C.有1條 D.不存在解析:因為平面D1EF與平面ADD1A1有公共點D1,所以兩平面有一條過D1的交線l,在平面ADD1A1內與l平行的隨意直線都與平面D1EF平行,這樣的直線有多數條,故選A.答案:A4.(2024·陜西西安模擬)在空間四邊形ABCD中,E,F分別為AB,AD上的點,且AE∶EB=AF∶FD=1∶4,H,G分別是BC,CD的中點,則()A.BD∥平面EFG,且四邊形EFGH是平行四邊形B.EF∥平面BCD,且四邊形EFGH是梯形C.HG∥平面ABD,且四邊形EFGH是平行四邊形D.EH∥平面ADC,且四邊形EFGH是梯形解析:如圖,由條件知,EF∥BD,EF=eq\f(1,5)BD,HG∥BD,HG=eq\f(1,2)BD,∴EF∥HG,且EF=eq\f(2,5)HG,∴四邊形EFGH為梯形.∵EF∥BD,EF平面BCD,BD平面BCD,∴EF∥平面BCD.∵四邊形EFGH為梯形,∴線段EH與FG的延長線交于一點,∴EH不平行于平面ADC.故選B.答案:B5.(2024·蚌埠聯考)過三棱柱ABC-A1B1C1的隨意兩條棱的中點作直線,其中與平面ABB1AA.4條 B.6條C.8條 D.12條解析:作出如圖的圖形,E,F,G,H是相應棱的中點,故符合條件的直線只能出現在平面EFGH中.由此四點可以組成的直線有:EF,GH,FG,EH,GE,HF共有6條.答案:B6.(2024·鄭州市高三質量預料)如圖,在直三棱柱ABC-A′B′C′中,△ABC是邊長為2的等邊三角形,AA′=4,點E,F,G,H,M分別是邊AA′,AB,BB′,A′B′,BC的中點,動點P在四邊形EFGH的內部運動,并且始終有MP∥平面ACC′A′,則動點P的軌跡長度為()A.2 B.2πC.2eq\r(3) D.4解析:連接MF,FH,MH(圖略),因為M,F,H分別為BC,AB,A′B′的中點,所以MF∥平面AA′C′C,FH∥平面AA′C′C,所以平面MFH∥平面AA′C′C,所以M與線段FH上隨意一點的連線都平行于平面AA′C′C,所以點P的運動軌跡是線段FH,其長度為4,故選D.答案:D7.(2024·四川成都模擬)已知直線a,b和平面α,下列說法中正確的是()A.若a∥α,bα,則a∥bB.若a⊥α,bα,則a⊥bC.若a,b與α所成的角相等,則a∥bD.若a∥α,b∥α,則a∥b解析:對于A,若a∥α,bα,則a∥b或a與b異面,故A錯誤;對于B,利用線面垂直的性質,可知若a⊥α,bα,則a⊥b,故B正確;對于C,若a,b與α所成的角相等,則a與b相交、平行或異面,故C錯誤;對于D,由a∥α,b∥α,得a,b之間的位置關系可以是相交、平行或異面,故D錯誤.答案:B8.(2024·湖南長沙模擬)設a,b,c表示不同直線,α,β表示不同平面,給出下列命題:①若a∥c,b∥c,則a∥b;②若a∥b,b∥α,則a∥α;③若a∥α,b∥α,則a∥b;④若aα,bβ,α∥β,則a∥b.其中真命題的個數是()A.1 B.2C.3 D.4解析:對于①,依據線線平行的傳遞性可知①是真命題;對于②,依據a∥b,b∥α,可以推出a∥α或aα,故②是假命題;對于③,依據a∥α,b∥α,可以推出a與b平行、相交或異面,故③是假命題;對于④,依據aα,bβ,α∥β,可以推出a∥b或a與b異面,故④是假命題.所以真命題的個數是1.故選A.答案:A9.(2024·滄州七校聯考)有以下三種說法,其中正確的是________.①若直線a與平面α相交,則α內不存在與a平行的直線;②若直線b∥平面α,直線a與直線b垂直,則直線a不行能與α平行;③若直線a,b滿意a∥b,則a平行于經過b的任何平面.解析:對于①,若直線a與平面α相交,則α內不存在與a平行的直線,是真命題,故①正確;對于②,若直線b∥平面α,直線a與直線b垂直,則直線a可能與α平行,故②錯誤;對于③,若直線a,b滿意a∥b,則直線a與直線b可能共面,故③錯誤.答案:①10.在四面體ABCD中,M,N分別是△ACD,△BCD的重心,則四面體的四個面中與MN平行的是________.解析:連接AM并延長交CD于E,連接BN并延長交CD于F.由重心的性質可知,E,F重合為一點,且該點為CD的中點E.由eq\f(EM,MA)=eq\f(EN,NB)=eq\f(1,2),得MN∥AB.因此MN∥平面ABC且MN∥平面ABD.答案:平面ABC和平面ABDB組——素養(yǎng)提升練11.(2024·安徽安慶模擬)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M、N、Q分別是棱D1C1、A1D1、BC的中點,點P在BD1上且BP=eq\f(2,3)BD1.由以下四個說法:(1)MN∥平面APC;(2)C1Q∥平面APC;(3)A、P、M三點共線;(4)平面MNQ∥平面APC.其中說法正確的是________.解析:(1)連接MN,AC,則MN∥AC,連接AM、CN,易得AM、CN交于點P,即MN平面PAC,所以MN∥平面APC是錯誤的;(2)由(1)知M、N在平面APC上,由題易知AN∥C1Q,所以C1Q∥平面APC是正確的;(3)由(1)知A,P,M三點共線是正確的;(4)由(1)知MN平面APC,又MN平面MNQ,所以平面MNQ∥平面APC是錯誤的.答案:(2)(3)12.(2024·河南安陽二模)如圖所示,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,AA1=1.一平面截該長方體,所得截面為OPQRST,其中O,P分別為AD,CD的中點,B1S=eq\f(1,2),則AT=________.解析:設AT=x,A1T=y(tǒng),則x+y=1.由題意易知該截面六邊形的對邊分別平行,即OP∥SR,OT∥QR,PQ∥TS,則△DOP∽△B1SR.又因為DP=DO=1,所以B1S=B1R=eq\f(1,2),所以A1S=C1R=eq\f(3,2).由△ATO∽△C1QR,可得eq\f(AO,AT)=eq\f(C1R,C1Q),所以C1Q=eq\f(3,2)x.由△A1TS∽△CQP,可得eq\f(CQ,CP)=eq\f(A1T,A1S),所以CQ=eq\f(2,3)y,所以eq\f(3,2)x+eq\f(2,3)y=x+y=1,可得x=eq\f(2,5),y=eq\f(3,5),所以AT=eq\f(2,5).答案:eq\f(2,5)13.(2024·河南安陽三模)如圖所示,四棱錐A-BCDE中,BE∥CD,BE⊥平面ABC,CD=eq\f(3,2)BE,點F在線段AD上.(1)若AF=2FD,求證:EF∥平面ABC;(2)若△ABC為等邊三角形,CD=AC=3,求四棱錐A-BCDE的體積.解析:(1)證明:取線段AC上靠近C的三等分點G,連接BG,GF.因為eq\f(AG,AC)=eq\f(AF,AD)=eq\f(2,3),則GF=eq\f(2,3)CD=BE.而GF∥CD,BE∥CD,故GF∥BE.故四邊形BGFE為平行四邊形,故EF∥BG.因為EF平面ABC,BG平面ABC,故EF∥平面ABC.(2)因為BE⊥平面ABC,BE平面BCDE,所以平面ABC⊥平面BCDE.所以四棱錐A-BCDE的高即為△ABC中BC邊上的高.易求得BC邊上的高為eq\f(\r(3),2)×3=eq\f(3\r(3),2).故四棱錐A-BCDE的體積V=eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×(2+3)×3×eq\f(3\r(3),2)=eq\f(15\r(3),4).14.(2024·湖南雅禮中學聯考)如圖,在等腰梯形ABCD中,已知BC∥AD,AB=eq\r(2),BC=1,AD=3,BP⊥AD,垂足為P,將△ABP沿BP折起,使平面ABP⊥平面PBCD,連接AD,AC,M為棱AD的中點,連接CM.(1)試分別在PB,CD上確定點E,F,使平面MEF∥平面ABC;(2)求三棱錐A-PCM的體積.解析:(1)E,F分別為BP,CD的中點時,可使平面MEF∥平面ABC,證明如下:取BP的中點E,CD的中點F,連接ME,MF,EF.∵M,F分別為AD,CD的中點,∴MF∥AC.又E為BP的中點,且四邊形PBCD為梯形,∴EF∥BC.∵MF∩EF=F,AC∩BC=C,∴平面MEF∥平面ABC.(2)∵平面ABP⊥平面PBCD,平面ABP∩平面PBCD=BP,AP⊥BP,∴AP
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