2024-2025學(xué)年講義數(shù)學(xué)（選擇性人教A版2019）第03講1.2空間向量基本定理

第03講1.2空間向量基本定理課程標準學(xué)習(xí)目標①理解并記住共線向量基本定理、平面向量基本定理、共面向量定理及空間向量基本定理的內(nèi)容及含義。②理解基底與基向量的含義，會用恰當(dāng)?shù)幕蛄勘硎究臻g任意向量。③會用相關(guān)的定理解決簡單的空間幾何問題。1.通過對空間向量基本定理的意義的掌握與了解，會用空間向量的基底表示空間任一向量，能用正交分解及坐標形式表示空間向量.2.結(jié)合平面向量與空間向量的基本定理，解決平面與立體幾何的相關(guān)問題.知識點01：空間向量基本定理1、空間向量基本定理如果向量三個向量a,b,c,不共面，那么對空間任意向量2、基底與基向量如果向量三個向量a,b,c,不共面，那么所有空間向量組成集合就是pp=xa對基底正確理解，有以下三個方面：（1）空間中任意三個不共面的向量都可以作為空間的一個基底；（2）因為0可視為與任意一個非零向量共線，與任意二個非零向量共面，所以三個向量不共面，就隱含著它們都不是0；（3）一個基底是由三個不共面的向量構(gòu)成的，它是一個向量組；而一個基向量是指基底中的某一個向量，二者是不同的概念．【即學(xué)即練1】（2023秋·高二課時練習(xí)）如圖，M，N分別是四面體OABC的邊OA，BC的中點，E是MN的三等分點，且NENM=13，用向量表示OE

A．OE=16C．OE=16【答案】D【詳解】因為NENM=1所以O(shè)M?ON=3(又OM=所以O(shè)E=故選：D

知識點02：空間向量的正交分解1、單位正交基底如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都是1，那么這個基底叫做單位正交基底，常用{i,2、正交分解由空間向量基本定理可知，對空間任一向量a，均可以分解為三個向量xi，yi，zk使得我們把x,y,z稱作向量在單位正交基底{i,j,k}下的坐標．記作a=x,y,z此時向量a的坐標恰是點a在空間直角坐標系Oxyz3、特殊向量的坐標表示（1）當(dāng)向量a平行于x軸時，縱坐標、豎坐標都為0，即a（2）當(dāng)向量a平行于y軸時，縱坐標、橫坐標都為0，即a（3）當(dāng)向量a平行于z軸時，橫坐標坐標、縱坐標都為0，即a（4）當(dāng)向量a平行于xOy平面時，豎坐標為0，即a（5）當(dāng)向量a平行于yOx平面時，橫坐標為0，即a（6）當(dāng)向量a平行于xOz平面時，縱坐標為0，即a題型01空間向量基底的概念及辨析【典例1】（2023·全國·高三對口高考）已知a,A．a(chǎn),a?C．2a+2b【答案】B【詳解】因為a?2b=3因為不是共面向量，所以可以構(gòu)成基底，B正確；因為2a+2b與a因為a+c+故選：B.【典例2】（多選）（2023春·福建莆田·高二莆田第二十五中學(xué)?？计谥校┰O(shè)且a,bA．a(chǎn),b,C．b,c,【答案】BCD【詳解】如圖所示，令a=AB,b=由A、B1、C、D1四點不共面知：向量x,同理b,c,故選：BCD【變式1】（2023春·四川綿陽·高二四川省綿陽南山中學(xué)校考階段練習(xí)）a,A．a(chǎn)，a+b，a?b B．bC．c，a+b，a?b D．a(chǎn)【答案】C【詳解】對選項A：a=對選項B：b=對選項C：假設(shè)c=λa+對選項D：a+2故選：C【變式2】（多選）（2023秋·山西晉中·高二統(tǒng)考期末）a,b,c是空間的一個基底，與A． B． C．b D．c【答案】ACD【詳解】由于b?c=a+b?因為a,b,c是空間的一個基底，由于不存在實數(shù)對x、若成立則x+y=0x=1y=1，顯然方程組無解，故a+b、故選：ACD題型02用空間基底表示向量【典例1】（2023秋·浙江麗水·高二統(tǒng)考期末）在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AC，BD相交于O，M為OCA．14a+C．?14a【答案】C【詳解】

如圖所示，CM=故選：C【典例2】（2023秋·安徽宣城·高三統(tǒng)考期末）四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，點E為棱PC的中點，若AE=xAB+yA．32 B．1 C．52【答案】A【詳解】因為AE=所以2AE=AB+AD所以x+y+z=1故選：A.【典例3】（2023·陜西·統(tǒng)考一模）空間四邊形ABCD中，AC與BD是四邊形的兩條對角線，M，N分別為線段AB，CD上的兩點，且滿足AM=23AB，DN=34DC，若點G在線段MN上，且滿足【答案】11【詳解】因為AG=2所以x+y+z=1故答案：1112【變式1】（2023春·江蘇鹽城·高二鹽城中學(xué)?？计谥校┰谒拿骟wO?ABC中，PA=2OP，Q是BC的中點，且M為PQ的中點，若OA=a，A．16a+C．13a+【答案】A【詳解】因為2OP=PA

因為Q是BC的中點，所以O(shè)Q=因為M為PQ的中點，所以O(shè)M=故選：A.【變式2】（2023春·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，P是CA1的中點，點Q

A．QP=310C．QP=310【答案】C【詳解】因為P是CA所以AP=又因為點Q在CA1上，且所以AQ=1所以QP=故選：C.【變式3】（2023春·四川綿陽·高二四川省綿陽南山中學(xué)校考階段練習(xí)）已知四面體O?ABC，G1是ΔABC的重心，G是OG1上一點，且OG=3GA．14,1C．13,1【答案】A【詳解】如圖所示，連接AG1并延長，交BC于點E，則點E為BC的中點，AE=12由題設(shè)，OG=3OG所以x=y=z=1故選：A【變式4】（2023·全國·高三對口高考）已知正方體ABCD?A1B1C1D1中，側(cè)面C【答案】12/0.512【詳解】由于AP=所以m=12，故答案為：12；1

題型03應(yīng)用空間向量基本定理證明線線位置關(guān)系【典例1】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知空間四邊形OABC中，∠AOB=∠BOC=∠AOC，且OA=OB=OC，M，N分別是OA，BC的中點，G是MN的中點，求證：OG⊥BC．【答案】證明見解析【詳解】在空間四邊形OABC中，令，則|a|=|令∠AOB=∠BOC=∠AOC=θ則OG=12于是得OG=1因此，OG⊥所以O(shè)G⊥BC.【典例2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知四面體中三組相對棱的中點間的距離都相等，求證:這個四面體相對的棱兩兩垂直.已知：如圖，四面體ABCD，E，F(xiàn)，G，H，K，M分別為棱AB，BC，CD，DA，BD，AC的中點，且EG=FH=【答案】證明見解析【詳解】證明：設(shè)AB則EGFH=KM=∵EG∴?∴a∴又b∴AC⊥DB∴這個四面體相對的棱兩兩垂直.【典例3】（2023春·安徽合肥·高二?？奸_學(xué)考試）如圖所示，三棱柱ABC?A1B1C1中，CA=a，CB=b，C(1)用a，b，c表示向量A1(2)在線段C1B1上是否存在點M，使AM⊥【答案】(1)?(2)當(dāng)C1M=【詳解】（1）解：因為N是AB中點，所以AN=所以A；（2）解：假設(shè)存在點M，使AM⊥A1N，設(shè)顯然λC1B因為AM⊥A1即(c∴∵CA=CB=CC1=1，∴即12解得λ=23，所以當(dāng)C1【變式1】（2023春·高二課時練習(xí)）如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D【答案】證明見解析【詳解】設(shè)AB=a，，，則{a,b,c}為空間的一個基底且因為AB＝AD＝AA1＝1，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，所以a2=b在平面BDD1B1上，取BD、BB1為基向量，則對于面BDD1B1上任意一點P，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(λ,μ)，使得所以，A1所以A1C是平面BDD1B所以A1C⊥平面BDD1B1.【變式2】（2022秋·北京順義·高二牛欄山一中?？茧A段練習(xí)）如圖，在底面ABCD為菱形的平行六面體ABCD?A1B1C1D1(1)用向量AA1，(2)求證：D，M，B(3)當(dāng)AA1AB【答案】(1)MN(2)證明見解析(3)1【詳解】（1）MN=（2）證明：∵DM=AM∴DM=N（3）當(dāng)AA1AB證明：設(shè)AA∵底面ABCD為菱形，則當(dāng)AA1AB∵AC1∠A∴A∴A題型04應(yīng)用空間向量基本定理求距離、夾角【典例1】（2023·江蘇·高三專題練習(xí)）如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1【答案】6【詳解】設(shè)AB=a，AD=由已知可得a?因為=?AB+AC=所以，BDAC2BD所以BD1=所以，cosB故直線BD1與AC的夾角的余弦值為【典例2】（2023秋·福建三明·高二統(tǒng)考期末）如圖，在四面體ABCD中，，∠BAD=∠CAD=45°，AD=2，AB=AC=3.(1)求BC?(2)已知F是線段CD中點，點E滿足EB=2AE，求線段【答案】(1)92(2)112【詳解】（1）在四面體ABCD中，設(shè)AB=a，AC=b，AD=?a,b?=∠BAC=60°，BC=|b（2）由（1）知，因為EB=2AE，則AE=13AB=于是得EF=因此|=329所以線段EF的長為112【典例3】（2023秋·浙江杭州·高二杭師大附中校考期末）如圖，平行六面體ABCD?A1B1C(1)求對角線CA(2)求異面直線CA1與【答案】(1)3；(2)56【詳解】（1）因為CB=BD=1，CB⊥所以三角形BCD為等腰直角三角形，所以CD=2又因為CC1=CB=1所以三角形CC以向量CB,則有CA兩邊平方得C==1+1+2+2×1×=9，所以|C即|CA所以對角線CA（2）因為CA1=CB+CD+所以C=(==1+=5所以cos<即異面直線CA1與DA所成角的余弦值為【典例4】（2023·高一單元測試）如圖，三棱柱ABC?A1B1C1中，M，N分別是A1B,B(1)試用a，b，c表示向量MN；(2)若∠BAC=90°,∠BAA1=∠CA【答案】(1)(2)5【詳解】（1）解：MN==?=1∴；（2）解：，∵∠BAC=90°,，∴|MN，即MN的長為53【變式1】（2023春·廣西南寧·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）已知在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，(1)求DB(2)求向量與AB夾角的余弦值.【答案】(1)15；(2)155【詳解】（1）在平行六面體ABCD?A1B因為AB=2，，AD=1且∠DAB=∠則AB?DB所以|=2（2）由（1）知，DB1=又DB1=15，所以向量與AB【變式2】（2023·全國·校聯(lián)考一模）如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1，點E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，CD的中點．設(shè)AB=a，AC=(1)求證EG⊥AB；(2)求異面直線AG和CE所成角的余弦值．【答案】(1)證明過程見解析；(2)【詳解】（1）證明：連接DE，因為空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1，且E，G分別是AB，CD的中點，所以AC=BC,BD=AD，故CE⊥又因為CE∩DE=E，CE,DE?平面CDE，所以AB⊥平面CDE，因為平面CDE，所以AB⊥（2）由題意得：△ABC,所以AG=EC=AG=12所以AG==1設(shè)異面直線AG和CE所成角為θ，則cos【變式3】（2023秋·遼寧沈陽·高二校聯(lián)考期末）如圖所示，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側(cè)棱AM的長為3，且∠MAB=∠MAD=60°，N是CM的中點，設(shè)，b=AD，c=AM，用a、b、c表示向量BN，并求【答案】BN=?1【詳解】解：因為N是CM的中點，底面ABCD是正方形，所以BN=AD又由題意，可得a=AB=2，b=AD∠DAB=90°因此BN=1所以BN=172，即BN第03講1.2空間向量基本定理A夯實基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2023秋·高二課時練習(xí)）已知BA,BC,BB1為三條不共面的線段，若AC1=xA．1 B．76 C．56 【答案】B【詳解】根據(jù)向量加法法則可得：AC即AC因為AC所以x=1，2y=1，3z=?1，所以x=1，y=12，z=?1故選：B.2．（2023·高二?？颊n時練習(xí)）對于空間任意一點?O?和不共線的三點，有如下關(guān)系：OP=16OAA．O,A,B,C四點必共面 B．P,A,B,C四點必共面C．O,P,B,C四點必共面 D．O,P,A,B,C五點必共面【答案】B【詳解】對于空間任一點?O?和不共線三點，若點?P?滿足OP=xOA+yOB+zOC而OP=16OA+故選：B.3．（2023春·江西贛州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知a,b,c是空間的一個基底，則可以與向量m=A．2a+2b?c B．a(chǎn)+4【答案】C【詳解】因為2aa+4a?2所以向量2a+2b?c，a+4b故選：C4．（2023春·安徽·高二合肥市第八中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知四面體O?ABC，G是△ABC的重心，P是線段OG上的點，且OP=2PG，若，則x,y,z為（

）A．16,16,16 B．【答案】B【詳解】由題意知，∵OP=2∴OP=故選：B．5．（2023·高二?？颊n時練習(xí)）已知直線AB，BC，不共面，若四邊形BB1C1C的對角線互相平分，且ACA．1 B．56 C． D．11【答案】D【詳解】由題意，知AB，BC，BB1不共面，四邊形BB∴ABCC1，又A∴x=2y=3z=1，∴x=1，y=12，∴x+y+z=故選：D.6．（2023春·安徽合肥·高二?？奸_學(xué)考試）在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AA1=1A．1 B．2 C． D．2【答案】C【詳解】以AB,AD,則B=1+2+2?2×=5?4×1∴BD故選：C.7．（2023春·江蘇南京·高二南京市第一中學(xué)校考期中）如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，側(cè)面A1ADD1是正方形，且∠A1AB=120°A．9 B．7 C．3 D．7【答案】D【詳解】解：在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，四邊形所以P是C1所以，AP=又AB?AD=2，AB所以AP=14AB故選：D．8．（2023春·高二課時練習(xí)）如圖，在三棱錐P?ABC中，點G為△ABC的重心，點M在PG上，且PM=3MG，過點M任意作一個平面分別交線段PA，PB，PC于點D，E，F(xiàn)，若PD=mPA，PE=nPB，PF=tA．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【詳解】連接AG并延長，交BC于點H，以PA,由于G是△ABC的重心，點M在PG上，且PM=3MG，所以PM==1連接DM，因為D,E,F,M四點共面，所以存在實數(shù)x,y，使得DM=x即PM?PM=1?x?y由①②以及空間向量的基本定理可知：1?x?ym=41?x?y所以1m故選：C二、多選題9．（2023春·江蘇常州·高二?？奸_學(xué)考試）給出下列命題，其中正確的有（

）A．已知向量a∥b，則B．是空間四點，若BA,BM,BNC．若OP+OA+D．已知a,b,c是空間向量的一組基底，若【答案】ABD【詳解】對A：若a∥b，則a,對B：若BA,BM,BN不能構(gòu)成空間的一組基底，則對C：若OP+OA+∵?1+?1故點P,A,B,C四點不共面，C錯誤；對D：∵a,b,若，則a,b,m故選：ABD.10．（2023春·江蘇南京·高二南京市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，以頂點A為端點的三條棱長都是1，且它們彼此的夾角都是60°，M為A．BM=12C．AC1的長為5 【答案】BD【詳解】根據(jù)題意，依次分析選項：對于A選項，BM=對于B選項，AC對于C選項，AC1=則AC1對于AB?AC故選：BD.三、填空題11．（2023秋·遼寧沈陽·高二沈陽二十中校聯(lián)考期末）如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，則B1O=【答案】?【詳解】在平行六面體ABCD?A1B1C1D即BO=所以B1故答案為：?12．（2023秋·河北唐山·高二統(tǒng)考期末）正四面體ABCD中，若M是棱CD的中點，AP=λAM，AB+【答案】【詳解】因為AB+BP=即λAM=1下面證明：已知OB=xOA+yOC，若因為三點共線，所以存在非零實數(shù)t，使得AB=tAC即OB?OA=t故x=1?t，y=t，所以x+y=1，因為M,C,D三點共線，故16λ+1故答案為：四、解答題13．（2023春·高二課時練習(xí)）如圖，已知M，N分別為四面體ABCD的面BCD與面ACD的重心，G為AM上一點，且.求證：B，G，N三點共線.【答案】證明見解析.【詳解】證明：取CD的中點E，連接AE，BE，因為M，N分別為四面體ABCD的面DCD與面ACD的重心，所以M在BE上，N在AE上，設(shè)AB=a，AC=因為M為△BCD的重心，所以AM===因為GM=GA=1:3，所以AG=所以BG=同理得BN=∴BN∥又BN∩BG=B，∴B，G，N三點共線14．（2023春·四川綿陽·高二?？计谥校┤鐖D，在空間四邊形OABC中，已知E是線段BC的中點，G在AE上，且AG=2GE．(1)試用表示向量OG；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)28【詳解】（1）∵，∴，∴又∴（2）由（1）可得知=．B能力提升1．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）在棱長為1的正四面體ABCD中，點M滿足AM=xAB+yAC+1?x?yAD(x,y∈R)，點N滿足，當(dāng)AMA． B．?13 C． D．?【答案】A【詳解】因AM=xAB+yAC+而x,y∈R，則DM,DB,DC共面，點又，即CN=λCA，于是得點N在直線AC棱長為1的正四面體ABCD中，當(dāng)AM長最短時，點M是點A在平面BCD上的射影，即正△BCD因此，AM=13AB+13AC+13AD，當(dāng)AN=12AC，而所以AM?故選：A2．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，且AB=AP=6，AD=2，∠BAD=∠BAP=∠DAP=60°，E，F(xiàn)分別為PB，PC上的點，且PE=2EB，PF=FC，A．1 B．2 C．2 D．6【答案】B【詳解】在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，連接AC，如圖，PE=2EB，則EF=1又AB=AP=6，AD=2，∠BAD=則AB?AD=因此，|=1故選：B3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面A1B1C1D1為平行四邊形，E【答案】【詳解】設(shè)AM=λACGM=GE=AE?因為E、F、G、M四點共線，則向量GM、GE、共面，由共面向量定理可知，存在m、n∈R使得GM即λ=1所以，12m=λ1故答案為：.C綜合素養(yǎng)1．（2023春·浙江溫州·高二校聯(lián)考期中）點A在線段BC上（不含端點），O為直線BC外一點，且滿足OA?aOB?2bOC=A．97 B．95 C．87【答案】D【詳解】因為OA?aOB?2b又點A在線段BC上（不含端點），所以a+2b=1，且a>0,b>0，則2+a+2+2b=5，所以2==1當(dāng)且僅當(dāng)