專題9.4四邊形中的線段最值問題（壓軸題專項(xiàng)講練）（蘇科版）（原卷版）

專題9.4四邊形中的線段最值問題【典例1】如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，E為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，EF⊥AC，垂足為F．（1）如圖1，連接DE交AC于點(diǎn)M，若∠DEF=15°，求AM的長(zhǎng)；（2）如圖2，點(diǎn)G在BC的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足CG=BE，①連接BF，DG，判斷BF，DG的數(shù)量關(guān)系并說明理由；②如圖3，若Q為CG的中點(diǎn)，直接寫出DE+2DQ的最小值為．【思路點(diǎn)撥】（1）如圖1，過點(diǎn)M作MH⊥AD于點(diǎn)H，先根據(jù)正方形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得出：∠DAC=45°，∠ADM=60°，設(shè)DH=x，則DM=2x，運(yùn)用勾股定理即可求出答案；（2）①如圖2，過點(diǎn)F作FH⊥BC于點(diǎn)H，設(shè)CG=BE=y，則EH=1?y②如圖3，取DE、DC的中點(diǎn)P、H，延長(zhǎng)DC至K，使CK=CH=1，延長(zhǎng)PC至L，使CL=CP，連接PH，KL，過點(diǎn)Q作QR//CL，延長(zhǎng)KL交QR于R，先證得ΔCKL?ΔCHP(SAS)，再證得四邊形CQRL是平行四邊形，得出當(dāng)D、Q、R三點(diǎn)共線時(shí)，QR+DQ最小，故當(dāng)D、Q、R三點(diǎn)共線時(shí)，12DE+DQ=QR+DQ=DR最小，即【解題過程】解：（1）如圖1，過點(diǎn)M作MH⊥AD于點(diǎn)H，∵四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，∴AD=2，AD//BC，∠ACB=∠DAC=45°，∴∠ADM=∠DEC，∵EF⊥AC，∴∠FEC=90°?∠ACB=90°?45°=45°，∵∠DEF=15°，∴∠MEC=∠DEF+∠FEC=15°+45°=60°，即∠DEC=60°，∴∠ADM=60°，又∵M(jìn)H⊥AD，∠DAC=45°，∴∠DMH=30°，∠HMA=∠DAC=45°，∴DM=2DH，AH=MH，設(shè)DH=x，則DM=2x，∴由勾股定理得MH=3又∵AH+DH=AD=2，∴3x+x=2∴x=3?1，即∴AH=MH=3RtΔAHM中，由勾股定理得：AM=2（2）①DG=2如圖2，過點(diǎn)F作FH⊥BC于點(diǎn)H，∴∠FHB=∠FHC=90°，∵∠ACB=45°，EF⊥AC，∴∠FEC=45°=∠ACB，∴FE=FC，∴EH=CH=FH，∵CG=BE，∴設(shè)CG=BE=y，則EH=CH=FH=BC?BE2=1?∴BH=y+1?y∵四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，點(diǎn)G在BC的延長(zhǎng)線上，∴∠DCG=∠BCD=90°，在RtΔBFH和RtΔ分別由勾股定理得：BF2=F∴DG∴DG=2②如圖3，取DE、DC的中點(diǎn)P、H，延長(zhǎng)DC至K，使CK=CH=1，延長(zhǎng)PC至L，使CL=CP，連接PH，KL，過點(diǎn)Q作QR//CL，延長(zhǎng)KL交QR于R，∵∠BCD=90°，P為DE中點(diǎn)，∴CP=1∵P、H分別是DE、DC的中點(diǎn)，∴PH//CE，PH=1∴∠CHP=180°?∠BCD=90°，在ΔCKL和ΔCHP中，CK=CH∠KCL=∠HCP∴ΔCKL?ΔCHP(SAS)，∴KL=PH=12CE∴KR//CG，∴∠CLK=∠ECP，又∵QR//CL，∴四邊形CQRL是平行四邊形，∴QR=CL=CP=12DE∴12∵當(dāng)D、Q、R三點(diǎn)共線時(shí)，QR+DQ最小，∴當(dāng)D、Q、R三點(diǎn)共線時(shí)，12即2DR=2(1此時(shí)，LR=CQ=12CG=∴KR=KL+LR=1∵DK=DC+CK=2+1=3，∠CKL=90°，∴DR=D∴2DR=210∴DE+2DQ的最小值為210故答案為：2101．（2023春·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，菱形ABCD中，AB=4，∠A=120°，點(diǎn)P、Q、K分別為線段BC、CD、BD上的任意一點(diǎn)，則PK+QK的最小值為（）A．4 B．25 C．4332．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖：E是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)，且BE=BC，P為CE上任意一點(diǎn)，PQ⊥BC于點(diǎn)Q，PR⊥BE于點(diǎn)R，則PQ+PR的值是（）A．32 B．12 C．223．（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)N、O、P、M分別是邊AB、BC、CD、DA上的點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合)，若AN=CP，BO=DM，且AB=2BC=2，則四邊形MNOP周長(zhǎng)的最小值等于（

）A．25 B．23 C．5 D．34．（2022秋·重慶大渡口·九年級(jí)重慶市第三十七中學(xué)校?？计谀┤鐖D，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，點(diǎn)P在AD上，點(diǎn)Q在BC上，且AP=CQ，連接CP，QD，則PC+QD的最小值為（）A．8 B．10 C．12 D．205．（2023·山西朔州·統(tǒng)考一模）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為8，∠ABC=60°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，CD邊上的動(dòng)點(diǎn)，且AE=CF，過點(diǎn)B作BG⊥EF于點(diǎn)G，連接AG，則AG長(zhǎng)的最小值是（

）A．27 B．23 C．276．（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，AB=12，E為BC邊上一點(diǎn)，CE=7．F為對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、D重合），過點(diǎn)F分別作FM⊥BC于點(diǎn)M、FN⊥CD于點(diǎn)N，連接EF、MN，則EF+MN的最小值為______．7．（2021春·湖北武漢·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，矩形ABCD中，AD=2AB，AB=8，E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)M為邊CD上一動(dòng)點(diǎn)，PE⊥EM，EN平分∠PEM，過點(diǎn)P作PG⊥EN，垂足為G，取EM的中點(diǎn)K，連接DK，KG，則DK+KG+PG8．（2022春·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AB=6，BC=8，E為BC上一點(diǎn)，且BE=2，F(xiàn)為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF，將EF繞著點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°到EG的位置，連接FG和CG，則CG的最小值為______．9．（2022春·湖北十堰·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，M為矩形ABCD中AD邊中點(diǎn)，E、F分別為BC、CD上的動(dòng)點(diǎn)，且BE＝2DF，若AB＝1，BC＝2，則ME+2AF的最小值為________．10．（2023春·重慶江津·八年級(jí)重慶市江津中學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)A0,43，點(diǎn)B4,0，點(diǎn)P為線段AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作PM⊥y軸于點(diǎn)M，作PN⊥x軸于點(diǎn)N，連接MN，當(dāng)MN11．（2022春·四川成都·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AD=3，∠DBA=30°，點(diǎn)P為邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ⊥BD，分別交BD、CD于點(diǎn)E、Q，則DP+BQ12．（2022·河南·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，邊長(zhǎng)為4的菱形ABCD中，∠C＝60°，點(diǎn)M為AD的中點(diǎn)，E、F是對(duì)角線BD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF＝2，則線段MF＋AE的最小值為________．13．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，正方形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于O，E為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合），OF⊥OE交CD于F．（1）求證：△OBE≌△OCF；（2）求證：2OE（3）如圖2，若正方形ABCD邊長(zhǎng)為22，G為EF中點(diǎn)，點(diǎn)E在運(yùn)動(dòng)過程中，CG14．（2022秋·陜西渭南·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)M、N分別在AB、CD上．將該紙片沿MN折疊，使點(diǎn)D落在邊BE上的點(diǎn)E處，折痕MN與DE相交于Q．（1）請(qǐng)判斷DE與MN之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）若點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，隨著折痕MN位置的變化，請(qǐng)求出△GQE周長(zhǎng)的最小值．15．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（1）如圖1，正方形ABCD中，點(diǎn)P為線段BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若線段MN垂直AP于點(diǎn)E，交線段AB于點(diǎn)M，交線段CD于點(diǎn)N，證明：AP＝MN；（2）如圖2，正方形ABCD中，點(diǎn)P為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，若線段MN垂直平分線段AP，分別交AB，AP，BD，DC于點(diǎn)M，E，F(xiàn)，N．求證：EF＝ME+FN；（3）若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，求線段EF的最大值與最小值．16．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=10,AD=16,∠A=60°，P是射線AD上一點(diǎn)，連接PB，沿PB將△APB折疊，得△A′PB．（1）如圖1所示，當(dāng)∠DPA′=10°時(shí)，∠A'PB=_____度；（2）如圖2所示，當(dāng)PA'⊥BC時(shí)，求線段PA的長(zhǎng)度；（3）當(dāng)點(diǎn)P為AD中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)F是邊AB上不與點(diǎn)A，B重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△APF沿PF折疊，得到△A′PF，連接BA′，求△BA′F周長(zhǎng)的最小值．17．（2022秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，點(diǎn)P、Q為BC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P位于點(diǎn)Q的左側(cè)，P、Q均不與頂點(diǎn)重合），PQ＝2（1）如圖①，若點(diǎn)E為CD邊上的中點(diǎn)，當(dāng)Q移動(dòng)到BC邊上的中點(diǎn)時(shí)，求證：AP＝QE；（2）如圖②，若點(diǎn)E為CD邊上的中點(diǎn)，在PQ的移動(dòng)過程中，若四邊形APQE的周長(zhǎng)最小時(shí)，求BP的長(zhǎng)；（3）如圖③，若M、N分別為AD邊和CD邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（M、N均不與頂點(diǎn)重合），當(dāng)BP＝3，且四邊形PQNM的周長(zhǎng)最小時(shí)，求此時(shí)四邊形PQNM的面積．18．（2022秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）在?ABCD中，連接BD，若BD⊥CD，點(diǎn)E為邊AD上一點(diǎn)，連接CE．（1）如圖1，點(diǎn)G在BD上，且DG=DC，連接CG，過G作GH⊥CE于點(diǎn)H，連接DH并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)M，若HG=BM，求證：BM+2（2）如圖2，∠ABC=120°，AB=5，點(diǎn)N在BC邊上，BC=4CN，若CE是∠DCB的角平分線，線段PQ（點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)）在線段CE上運(yùn)動(dòng)，PQ=152，連接BP、NQ19．（2022春·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)校聯(lián)考期末）定義：對(duì)角線互相垂直的凸四邊形叫做“準(zhǔn)箏形”．如圖1，四邊形ABCD中，AC⊥BD，則四邊形ABCD是“準(zhǔn)箏形”．（1）“三條邊相等的準(zhǔn)箏形是菱形”是命題；（填“真”或“假”）（2）如圖1，在準(zhǔn)箏形ABCD中，AB=2，AD=4，BC=6，求CD的長(zhǎng)；（3）如圖2，在準(zhǔn)箏形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)P為線段AD的中點(diǎn)，且AD=4，AO=2，在線段BD上存在移動(dòng)的線段EF，點(diǎn)E在點(diǎn)F的左側(cè)，且EF=1，當(dāng)四邊形AEF