專(zhuān)題03動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中三角形四邊形的存在性問(wèn)題（原卷版）-中考數(shù)學(xué)壓軸大題專(zhuān)項(xiàng)突破

專(zhuān)題03動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中三角形、四邊形的存在性問(wèn)題幾何動(dòng)態(tài)問(wèn)題包括幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題、幾何線動(dòng)問(wèn)題和面動(dòng)問(wèn)題，本專(zhuān)題重點(diǎn)探究動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，線動(dòng)和面動(dòng)問(wèn)題，將在圖形變換專(zhuān)題中進(jìn)行探究。幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的考查面比較多，但總體看以考查點(diǎn)在幾何圖形中運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的線段的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，角度關(guān)系以及三角形、四邊形的存在性居多。線段和角度問(wèn)題會(huì)在其他專(zhuān)題中進(jìn)行分析，在這里只討論三角形和四邊形的存在性問(wèn)題。在解決幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中的三角形和四邊形存在性問(wèn)題時(shí)，一般有以下幾種情況：1.等腰三角形存在性問(wèn)題：在解等腰三角形存在性問(wèn)題時(shí)，通常設(shè)出由動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而處于不斷變化的線段的長(zhǎng)度為x，其次結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)用x表達(dá)出三角形的各個(gè)邊長(zhǎng)，利用等腰三角形的概念，有2條邊相等的三角形是等腰三角形，進(jìn)行分類(lèi)討論，找出等量關(guān)系，列出方程求解，在解出方程后注意要進(jìn)行檢驗(yàn)。2.直角三角形存在性問(wèn)題：在解直角三角形存在性問(wèn)題時(shí)，通常設(shè)出由動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而處于不斷變化的線段的長(zhǎng)度為x，其次結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)用x表達(dá)出三角形的各個(gè)邊長(zhǎng)，利用勾股定理的逆定理，同時(shí)進(jìn)行分類(lèi)討論，找出等量關(guān)系，列出方程求解，在解出方程后注意要進(jìn)行檢驗(yàn)。3.全等三角形存在性問(wèn)題：在解全等三角形存在性問(wèn)題時(shí)，通常設(shè)出由動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而處于不斷變化的線段的長(zhǎng)度為x，其次求出或者用x表示出已知三角形的各邊長(zhǎng)，然后找出或者用x表示出動(dòng)態(tài)三角形的各邊長(zhǎng)，最后利用全等三角形的判定定理，建立方程求解，在解出方程后注意要進(jìn)行檢驗(yàn)。4.相似三角形存在性問(wèn)題：在解相似三角形存在性問(wèn)題時(shí)，通常設(shè)出由動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的處于不斷變化的線段的長(zhǎng)度為x，其次求出或者用x表示出已知三角形的各邊長(zhǎng)，然后找出或者用x表示出動(dòng)態(tài)三角形的各邊長(zhǎng)，最后利用相似三角形的判定定理，建立方程求解，在解出方程后注意要進(jìn)行檢驗(yàn)。5.平行四邊形的存在性問(wèn)題：在解平行四邊形存在性問(wèn)題時(shí)，通常設(shè)出由動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的處于不斷變化的線段的長(zhǎng)度為x，其次求出或者用x表示出平行四邊形、矩形、菱形或正方形的其他各邊的長(zhǎng)度，最后利用平行四邊形、矩形、菱形或正方形的判定定理，建立方程求解，在解出方程后注意要進(jìn)行檢驗(yàn)?？梢?jiàn)在解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是設(shè)出未知數(shù)x，并用x表示出各線段的長(zhǎng)度，利用各幾何圖形的判定，列出方程進(jìn)行求解，是此類(lèi)題型的共性，但要注意，在解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，要注意分類(lèi)討論。 （2022·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB方向以每秒cm的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向以每秒1cm的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．(1)如圖①，若PQ⊥BC，求t的值；(2)如圖②，將△PQC沿BC翻折至△P′QC，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形QPCP′為菱形？（1）根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可．（2）作于，于，證明出為直角三角形，進(jìn)一步得出和為等腰直角三角形，再證明四邊形為矩形，利用勾股定理在、中，結(jié)合四邊形為菱形，建立等式進(jìn)行求解．【答案】(1)當(dāng)t＝2時(shí)，PQ⊥BC(2)當(dāng)t的值為時(shí)，四邊形QPCP′為菱形【詳解】（1）解：（1）如圖①，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，∴AB＝＝（cm），由題意得，AP＝tcm，BQ＝tcm，則BP＝（4﹣t）cm，∵PQ⊥BC，∴∠PQB＝90°，∴∠PQB＝∠ACB，∴PQAC，，，∴＝，∴，解得：t＝2，∴當(dāng)t＝2時(shí)，PQ⊥BC．（2）解：作于，于，如圖，，，，，為直角三角形，，和為等腰直角三角形，，，，四邊形為矩形，，，，在中，，在中，，四邊形為菱形，，，，（舍去）．的值為．此題是相似形綜合題，主要考查的是菱形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，用方程的思想解決問(wèn)題是解本題的關(guān)鍵．（2021·廣西河池·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，，D，E分別是AB，BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，以BD為直徑的交BC于點(diǎn)F．（1）當(dāng)時(shí)，求證：；（2）當(dāng)是等腰三角形且是直角三角形時(shí)，求AD的長(zhǎng)．（1）根據(jù)BD是圓的直徑，可以得到∠BFD=90°，即∠DFC=90°，然后利用“HL”證明△CAD≌△CFD即可；（2）因?yàn)槿切蜟ED為等腰三角形，故每一條邊都可能是底邊，可以分三類(lèi)討論，由于三角形DEB是直角三角形，所以D和F都可以為直角的頂點(diǎn)，需要分兩類(lèi)討論；當(dāng)∠EDB=90°時(shí)，∠DEB＜90°，∠CED是鈍角，所以此時(shí)只能構(gòu)造EC=ED的等腰三角形，故取D點(diǎn)使CD平分∠ACB，作DE⊥AB交BC于E，可以證明DE=DC，且DE∥DC，得到△BDE∽△BAC即可求解；當(dāng)∠AED=90°時(shí)，若三角形CED為等腰三角形，則∠ECD=∠EDC=45°，即EC=DE，利用三角函數(shù)或相似即可求出AD.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）或【詳解】解：（1）∵BD是圓的直徑，∴∠DFB=90°，∴∠DFC=90°，在Rt△CAD和Rt△FCD中，，∴△CAD≌△CFD（HL）；（2）∵三角形DEB是直角三角形，且∠B＜90°，∴直角頂點(diǎn)只能是D點(diǎn)和E點(diǎn)，若∠EDB=90°，如圖在AB上取D點(diǎn)使CD平分∠ACB，作DE⊥AB交BC于E，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠ECD，∵∠CAB=∠EDB=90°，∴AC∥DE，∴∠ACD=∠CDE，∴∠ECD=∠CDE，∴CE=DE，此時(shí)三角形ECD為E為頂角頂點(diǎn)的等腰三角形，三角形DEB是E為直角頂點(diǎn)的直角三角形，設(shè)CE=DE=x，在直角三角形ABC中，∴BE=5x，∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，∴，∴，解得，∴，∵DE∥AC，∴，∴，∴；若∠DEB=90°，如圖所示，∠CED=90°，∵△CED為等腰三角形，∴∠ECD=∠EDC=45°，即EC=DC，設(shè)EC=DC=y，∵，∴，∴，∵，∴∴，∴，∵，∴，∴∴AD的長(zhǎng)為或.本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵在于能夠利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行分類(lèi)討論求解.1．（2022·上海松江·?？既＃┤鐖D，在梯形中，動(dòng)點(diǎn)在邊上，過(guò)點(diǎn)作，與邊交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，與邊交于點(diǎn)，設(shè)線段．(1)求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出定義域；(2)當(dāng)是以為腰的等腰三角形時(shí)，求的值；(3)如圖，作的外接圓，當(dāng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，外接圓的圓心落在的內(nèi)部不包括邊上時(shí)，求出的取值范圍．2．（2022·廣東揭陽(yáng)·?？既＃┤鐖D1，在矩形中，，，E是邊上一點(diǎn)，連接，將矩形沿折疊，頂點(diǎn)D恰好落在邊上點(diǎn)F處，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．(1)求線段的長(zhǎng)；(2)如圖2，M，N分別是線段上的動(dòng)點(diǎn)（與端點(diǎn)不重合），且，設(shè)．①求證四邊形AFGD為菱形；②是否存在這樣的點(diǎn)N，使是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．3．（2022·浙江麗水·一模）在菱形中，，，點(diǎn)E在邊上，，點(diǎn)P是邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)，將沿翻折得到．(1)當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；(2)若點(diǎn)F落在對(duì)角線上，求證：；(3)若點(diǎn)P在射線上運(yùn)動(dòng)，設(shè)直線與直線交于點(diǎn)H，問(wèn)當(dāng)為何值時(shí)，為直角三角形．4．（2022·浙江麗水·統(tǒng)考一模）如圖，在菱形中，點(diǎn)P為對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)D按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至，使與交于點(diǎn)E．(1)求證：；(2)已知，①當(dāng)時(shí)，求的面積；②連接，當(dāng)為直角三角形時(shí)，求的長(zhǎng)．5．（2022·寧夏吳忠·統(tǒng)考二模）如圖，在四邊形ABCD中，，，，，，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，在線段AD上以每秒1cm的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)，在線段CB上以每秒2cm的速度運(yùn)動(dòng)向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E、F分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)E隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）．(1)用含t的代數(shù)式表示DE，______；(2)若四邊形EFCD是平行四邊形，求此時(shí)t的值；(3)是否存在點(diǎn)F，使△FCD是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿足要求的t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．6．（2022·