第2章有理數(shù)全章復(fù)習(xí)與測(cè)試

第2章有理數(shù)全章復(fù)習(xí)與測(cè)試1.有理數(shù)的概念及運(yùn)算，數(shù)軸，絕對(duì)值及科學(xué)記數(shù)法的相關(guān)內(nèi)容．2.重點(diǎn)是有理數(shù)的四則運(yùn)算，3.難點(diǎn)是絕對(duì)值的相關(guān)運(yùn)算以及有理數(shù)的混合運(yùn)算．1．正數(shù)和負(fù)數(shù)1、在以前學(xué)過(guò)的0以外的數(shù)叫做正數(shù)，在正數(shù)前面加負(fù)號(hào)“﹣”，叫做負(fù)數(shù)，一個(gè)數(shù)前面的“+”“﹣”號(hào)叫做它的符號(hào)．2、0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)．0是正負(fù)數(shù)的分界點(diǎn)，正數(shù)是大于0的數(shù)，負(fù)數(shù)是小于0的數(shù)．3、用正負(fù)數(shù)表示兩種具有相反意義的量．具有相反意義的量都是互相依存的兩個(gè)量，它包含兩個(gè)要素，一是它們的意義相反，二是它們都是數(shù)量．2．有理數(shù)1、有理數(shù)的概念：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)．2、有理數(shù)的分類：①按整數(shù)、分?jǐn)?shù)的關(guān)系分類：有理數(shù)；②按正數(shù)、負(fù)數(shù)與0的關(guān)系分類：有理數(shù)．注意：如果一個(gè)數(shù)是小數(shù)，它是否屬于有理數(shù)，就看它是否能化成分?jǐn)?shù)的形式，所有的有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)都可以化成分?jǐn)?shù)的形式，因而屬于有理數(shù)，而無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，不能化成分?jǐn)?shù)形式，因而不屬于有理數(shù)．3．?dāng)?shù)軸（1）數(shù)軸的概念：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸．?dāng)?shù)軸的三要素：原點(diǎn)，單位長(zhǎng)度，正方向．（2）數(shù)軸上的點(diǎn)：所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，但數(shù)軸上的點(diǎn)不都表示有理數(shù)．（一般取右方向?yàn)檎较?，?shù)軸上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)任意實(shí)數(shù)，包括無(wú)理數(shù)．）（3）用數(shù)軸比較大?。阂话銇?lái)說(shuō)，當(dāng)數(shù)軸方向朝右時(shí)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大．4．相反數(shù)（1）相反數(shù)的概念：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)．（2）相反數(shù)的意義：掌握相反數(shù)是成對(duì)出現(xiàn)的，不能單獨(dú)存在，從數(shù)軸上看，除0外，互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)，它們分別在原點(diǎn)兩旁且到原點(diǎn)距離相等．（3）多重符號(hào)的化簡(jiǎn)：與“+”個(gè)數(shù)無(wú)關(guān)，有奇數(shù)個(gè)“﹣”號(hào)結(jié)果為負(fù)，有偶數(shù)個(gè)“﹣”號(hào)，結(jié)果為正．（4）規(guī)律方法總結(jié)：求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)的方法就是在這個(gè)數(shù)的前邊添加“﹣”，如a的相反數(shù)是﹣a，m+n的相反數(shù)是﹣（m+n），這時(shí)m+n是一個(gè)整體，在整體前面添負(fù)號(hào)時(shí)，要用小括號(hào)．5．絕對(duì)值（1）概念：數(shù)軸上某個(gè)數(shù)與原點(diǎn)的距離叫做這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值．①互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)絕對(duì)值相等；②絕對(duì)值等于一個(gè)正數(shù)的數(shù)有兩個(gè)，絕對(duì)值等于0的數(shù)有一個(gè)，沒有絕對(duì)值等于負(fù)數(shù)的數(shù)．③有理數(shù)的絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù)．（2）如果用字母a表示有理數(shù)，則數(shù)a絕對(duì)值要由字母a本身的取值來(lái)確定：①當(dāng)a是正有理數(shù)時(shí)，a的絕對(duì)值是它本身a；②當(dāng)a是負(fù)有理數(shù)時(shí)，a的絕對(duì)值是它的相反數(shù)﹣a；③當(dāng)a是零時(shí)，a的絕對(duì)值是零．即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）6．非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對(duì)值在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，任意一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)幾個(gè)數(shù)或式的絕對(duì)值相加和為0時(shí)，則其中的每一項(xiàng)都必須等于0．根據(jù)上述的性質(zhì)可列出方程求出未知數(shù)的值．7．倒數(shù)（1）倒數(shù)：乘積是1的兩數(shù)互為倒數(shù)．一般地，a?＝1（a≠0），就說(shuō)a（a≠0）的倒數(shù)是．（2）方法指引：①倒數(shù)是除法運(yùn)算與乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)化的“橋梁”和“渡船”．正像減法轉(zhuǎn)化為加法及相反數(shù)一樣，非常重要．倒數(shù)是伴隨著除法運(yùn)算而產(chǎn)生的．②正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負(fù)數(shù)的倒數(shù)是負(fù)數(shù)，而0沒有倒數(shù)，這與相反數(shù)不同．【規(guī)律方法】求相反數(shù)、倒數(shù)的方法求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)時(shí)，只需在這個(gè)數(shù)前面加上“﹣”即可求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)求一個(gè)整數(shù)的倒數(shù)，就是寫成這個(gè)整數(shù)分之一求一個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，就是調(diào)換分子和分母的位置注意：0沒有倒數(shù)．8．有理數(shù)的加法（1）有理數(shù)加法法則：①同號(hào)相加，取相同符號(hào)，并把絕對(duì)值相加．②絕對(duì)值不等的異號(hào)加減，取絕對(duì)值較大的加數(shù)符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值．互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0．③一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù)．（在進(jìn)行有理數(shù)加法運(yùn)算時(shí)，首先判斷兩個(gè)加數(shù)的符號(hào)：是同號(hào)還是異號(hào)，是否有0．從而確定用那一條法則．在應(yīng)用過(guò)程中，要牢記“先符號(hào)，后絕對(duì)值”．）（2）相關(guān)運(yùn)算律交換律：a+b＝b+a；結(jié)合律（a+b）+c＝a+（b+c）．9．有理數(shù)的減法（1）有理數(shù)減法法則：減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)．即：a﹣b＝a+（﹣b）（2）方法指引：①在進(jìn)行減法運(yùn)算時(shí)，首先弄清減數(shù)的符號(hào)；②將有理數(shù)轉(zhuǎn)化為加法時(shí)，要同時(shí)改變兩個(gè)符號(hào)：一是運(yùn)算符號(hào)（減號(hào)變加號(hào)）；二是減數(shù)的性質(zhì)符號(hào)（減數(shù)變相反數(shù)）；【注意】：在有理數(shù)減法運(yùn)算時(shí)，被減數(shù)與減數(shù)的位置不能隨意交換；因?yàn)闇p法沒有交換律．減法法則不能與加法法則類比，0加任何數(shù)都不變，0減任何數(shù)應(yīng)依法則進(jìn)行計(jì)算．10．有理數(shù)的加減混合運(yùn)算（1）有理數(shù)加減混合運(yùn)算的方法：有理數(shù)加減法統(tǒng)一成加法．（2）方法指引：①在一個(gè)式子里，有加法也有減法，根據(jù)有理數(shù)減法法則，把減法都轉(zhuǎn)化成加法，并寫成省略括號(hào)的和的形式．②轉(zhuǎn)化成省略括號(hào)的代數(shù)和的形式，就可以應(yīng)用加法的運(yùn)算律，使計(jì)算簡(jiǎn)化．11．有理數(shù)的乘法（1）有理數(shù)乘法法則：兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘．（2）任何數(shù)同零相乘，都得0．（3）多個(gè)有理數(shù)相乘的法則：①幾個(gè)不等于0的數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正．②幾個(gè)數(shù)相乘，有一個(gè)因數(shù)為0，積就為0．（4）方法指引：①運(yùn)用乘法法則，先確定符號(hào)，再把絕對(duì)值相乘．②多個(gè)因數(shù)相乘，看0因數(shù)和積的符號(hào)當(dāng)先，這樣做使運(yùn)算既準(zhǔn)確又簡(jiǎn)單．12．有理數(shù)的除法（1）有理數(shù)除法法則：除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)，即：a÷b＝a?（b≠0）（2）方法指引：（1）兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除．0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)，都得0．（2）有理數(shù)的除法要分情況靈活選擇法則，若是整數(shù)與整數(shù)相除一般采用“同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除”．如果有了分?jǐn)?shù)，則采用“除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”，再約分．乘除混合運(yùn)算時(shí)一定注意兩個(gè)原則：①變除為乘，②從左到右．13．有理數(shù)的乘方（1）有理數(shù)乘方的定義：求n個(gè)相同因數(shù)積的運(yùn)算，叫做乘方．乘方的結(jié)果叫做冪，在an中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)．a(chǎn)n讀作a的n次方．（將an看作是a的n次方的結(jié)果時(shí)，也可以讀作a的n次冪．）（2）乘方的法則：正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；0的任何正整數(shù)次冪都是0．（3）方法指引：①有理數(shù)的乘方運(yùn)算與有理數(shù)的加減乘除運(yùn)算一樣，首先要確定冪的符號(hào)，然后再計(jì)算冪的絕對(duì)值；②由于乘方運(yùn)算比乘除運(yùn)算又高一級(jí)，所以有加減乘除和乘方運(yùn)算，應(yīng)先算乘方，再做乘除，最后做加減．14．非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方偶次方具有非負(fù)性．任意一個(gè)數(shù)的偶次方都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)幾個(gè)數(shù)或式的偶次方相加和為0時(shí)，則其中的每一項(xiàng)都必須等于0．15．有理數(shù)的混合運(yùn)算（1）有理數(shù)混合運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級(jí)運(yùn)算，應(yīng)按從左到右的順序進(jìn)行計(jì)算；如果有括號(hào)，要先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算．（2）進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算時(shí)，注意各個(gè)運(yùn)算律的運(yùn)用，使運(yùn)算過(guò)程得到簡(jiǎn)化．【規(guī)律方法】有理數(shù)混合運(yùn)算的四種運(yùn)算技巧1．轉(zhuǎn)化法：一是將除法轉(zhuǎn)化為乘法，二是將乘方轉(zhuǎn)化為乘法，三是在乘除混合運(yùn)算中，通常將小數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)進(jìn)行約分計(jì)算．2．湊整法：在加減混合運(yùn)算中，通常將和為零的兩個(gè)數(shù)，分母相同的兩個(gè)數(shù)，和為整數(shù)的兩個(gè)數(shù)，乘積為整數(shù)的兩個(gè)數(shù)分別結(jié)合為一組求解．3．分拆法：先將帶分?jǐn)?shù)分拆成一個(gè)整數(shù)與一個(gè)真分?jǐn)?shù)的和的形式，然后進(jìn)行計(jì)算．4．巧用運(yùn)算律：在計(jì)算中巧妙運(yùn)用加法運(yùn)算律或乘法運(yùn)算律往往使計(jì)算更簡(jiǎn)便．16．科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)（1）科學(xué)記數(shù)法：把一個(gè)大于10的數(shù)記成a×10n的形式，其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，n是正整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法．【科學(xué)記數(shù)法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n為正整數(shù)．】（2）規(guī)律方法總結(jié)：①科學(xué)記數(shù)法中a的要求和10的指數(shù)n的表示規(guī)律為關(guān)鍵，由于10的指數(shù)比原來(lái)的整數(shù)位數(shù)少1；按此規(guī)律，先數(shù)一下原數(shù)的整數(shù)位數(shù)，即可求出10的指數(shù)n．②記數(shù)法要求是大于10的數(shù)可用科學(xué)記數(shù)法表示，實(shí)質(zhì)上絕對(duì)值大于10的負(fù)數(shù)同樣可用此法表示，只是前面多一個(gè)負(fù)號(hào)．17．計(jì)算器—有理數(shù)計(jì)算器包括標(biāo)準(zhǔn)型和科學(xué)型兩種，其中科學(xué)型使用方法如下：（1）鍵入數(shù)字時(shí)，按下相應(yīng)的數(shù)字鍵，如果按錯(cuò)可用（DEL）鍵消去一次數(shù)值，再重新輸入正確的數(shù)字．（2）直接輸入數(shù)字后，按下對(duì)應(yīng)的功能鍵，進(jìn)行第一功能相應(yīng)的計(jì)算．（3）按下（﹣）鍵可輸入負(fù)數(shù)，即先輸入（﹣）號(hào)再輸入數(shù)值．（4）開方運(yùn)算按用到乘方運(yùn)算鍵x2的第二功能鍵”和的第二功能鍵“”．（5）對(duì)于開平方運(yùn)算的按鍵順序是：2ndfx2被開方數(shù)ENTE或直接按鍵，再輸入數(shù)字后按“＝”即可．（6）對(duì)于開立方運(yùn)算的按鍵順序是：32ndf∧被開方數(shù)ENTE或直接按x3，再輸入數(shù)字后按“＝”即可注意：由于計(jì)算器的類型不一樣操作方式也不盡相同，可以參考說(shuō)明書進(jìn)行操作．18．無(wú)理數(shù)（1）、定義：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫做無(wú)理數(shù)．說(shuō)明：無(wú)理數(shù)是實(shí)數(shù)中不能精確地表示為兩個(gè)整數(shù)之比的數(shù)，即無(wú)限不循環(huán)小數(shù)．如圓周率、2的平方根等．（2）、無(wú)理數(shù)與有理數(shù)的區(qū)別：①把有理數(shù)和無(wú)理數(shù)都寫成小數(shù)形式時(shí)，有理數(shù)能寫成有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)，比如4＝4.0，13＝0.33333…而無(wú)理數(shù)只能寫成無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，比如2＝1.414213562．②所有的有理數(shù)都可以寫成兩個(gè)整數(shù)之比；而無(wú)理數(shù)不能．（3）學(xué)習(xí)要求：會(huì)判斷無(wú)理數(shù)，了解它的三種形式：①開方開不盡的數(shù)，②無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，③含有π的數(shù)，如分?jǐn)?shù)π2是無(wú)理數(shù)，因?yàn)棣惺菬o(wú)理數(shù)．無(wú)理數(shù)常見的三種類型（1）開不盡的方根，如等．（2）特定結(jié)構(gòu)的無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，如0.303003000300003…（兩個(gè)3之間依次多一個(gè)0）．（3）含有π的絕大部分?jǐn)?shù)，如2π．注意：判斷一個(gè)數(shù)是否為無(wú)理數(shù)，不能只看形式，要看化簡(jiǎn)結(jié)果．如是有理數(shù)，而不是無(wú)理數(shù)．一．正數(shù)和負(fù)數(shù)（共3小題）1．（2022秋?常州期中）如果向南走20米記作﹣20米，那么向北走70米記作+70米．【分析】首先審清題意，明確“正”和“負(fù)”所表示的意義；再根據(jù)題意作答．【解答】解：根據(jù)題意可得：向南走為“﹣”，則向北走為“+”，如果向南走20米記作﹣20米，那么向北走70米記作+70米．故答案為：+70．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)的定義，解題關(guān)鍵是理解“正”和“負(fù)”的相對(duì)性，明確什么是一對(duì)具有相反意義的量．在一對(duì)具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個(gè)為正，則另一個(gè)就用負(fù)表示．2．（2022秋?錫山區(qū)期末）如果溫度上升3℃記作+3℃，那么下降8℃記作（）A．﹣5℃ B．11℃ C．﹣8℃ D．+8℃【分析】解題關(guān)鍵是理解“正”和“負(fù)”的相對(duì)性，明確什么是一對(duì)具有相反意義的量．在一對(duì)具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個(gè)為正，則另一個(gè)就用負(fù)表示．【解答】解：因?yàn)闇囟壬仙?℃記作+3℃，那么下降8℃記作﹣8℃，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)正數(shù)和負(fù)數(shù)的理解，要熟練掌握“正”和“負(fù)”的相對(duì)性．3．（2022秋?昆山市校級(jí)月考）下列語(yǔ)句正確的是（）A．“+15米”表示向東走15米 B．0℃表示沒有溫度 C．﹣a可以表示正數(shù) D．0既是正數(shù)也是負(fù)數(shù)【分析】根據(jù)正負(fù)數(shù)的意義進(jìn)行選擇即可．【解答】解：A、“+15米”不一定表示向東走15米，原說(shuō)法錯(cuò)誤，故這個(gè)選項(xiàng)不符合題意；B、0℃不是沒有溫度，而是表示零上溫度和零下溫度的分界點(diǎn)，原說(shuō)法錯(cuò)誤，故這個(gè)選項(xiàng)不符合題意；C、﹣a可以表示正數(shù)，也可以表示負(fù)數(shù)，原說(shuō)法正確，故這個(gè)選項(xiàng)符合題意；D、0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，原說(shuō)法錯(cuò)誤，故這個(gè)選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)，掌握正負(fù)數(shù)的意義、性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二．有理數(shù)（共2小題）4．（2022秋?寶應(yīng)縣期中）與﹣4相等的是（）A．﹣4﹣ B．4﹣ C．﹣4 D．4+【分析】根據(jù)有理數(shù)的加減法則對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一計(jì)算即可．【解答】解：A、﹣4﹣＝﹣4，符合題意；B、4﹣＝3，不符合題意；C、﹣4+＝﹣3，不符合題意；D、4+＝4，不符合題意．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是有理數(shù)，熟知有理數(shù)的加減法則是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋?東臺(tái)市期中）下列各數(shù)：π，2023，，0，其中有理數(shù)的個(gè)數(shù)是（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【分析】根據(jù)有理數(shù)的定義解答即可．【解答】解：在π，2023，，0中，有理數(shù)有2023，，0三個(gè)，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)，掌握有理數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．三．?dāng)?shù)軸（共2小題）6．（2023?玄武區(qū)二模）數(shù)軸上表示﹣2的點(diǎn)與表示6的點(diǎn)之間的距離為8．【分析】用數(shù)軸上右邊的數(shù)6減去左邊的（﹣2），再根據(jù)減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)進(jìn)行計(jì)算即可求解．【解答】解：6﹣（﹣2）＝6+2＝8．故答案為：8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離的求解，用右邊的數(shù)減去左邊的數(shù)進(jìn)行計(jì)算即可，比較簡(jiǎn)單．7．（2022秋?溧水區(qū)期末）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A、B、C、D所表示的數(shù)分別是a、b、c、d，若abcd＜0，ab＞cd，則原點(diǎn)的位置在（）A．點(diǎn)A的左邊 B．線段AB上 C．線段BC上 D．線段CD上【分析】根據(jù)abcd＜0，ab＞cd，判斷出a，b，c＜0，d＞0，即可得出原點(diǎn)的位置在線段CD上．【解答】解：∵abcd＜0，∴要么a＜0，b、c、d＞0，要么a，b，c＜0，d＞0，又∵ab＞cd，∴a，b，c＜0，d＞0，∴原點(diǎn)的位置在線段CD上．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)軸，數(shù)形結(jié)合與明確乘法法則是解題的關(guān)鍵．四．相反數(shù)（共1小題）8．（2023?蘇州）有理數(shù)的相反數(shù)是（）A． B． C．﹣ D．±【分析】絕對(duì)值相等，但符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，特別地，0的相反數(shù)是0；據(jù)此即可得出答案．【解答】解：的相反數(shù)是﹣，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相反數(shù)的定義，此為基礎(chǔ)概念，必須熟練掌握．五．絕對(duì)值（共2小題）9．（2022秋?蘇州期末）計(jì)算|x﹣1|+|x+2|的最小值為（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】由絕對(duì)值表示的幾何意義，即可得到答案．【解答】解：∵|x﹣1|+|x+2|＝|x﹣1|+|x﹣（﹣2）|，∴|x﹣1|+|x+2|表示在數(shù)軸上點(diǎn)x與1和﹣2之間的距離的和，∴當(dāng)﹣2≤x≤1時(shí)|x﹣1|+|x+2|有最小值3．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查絕對(duì)值，關(guān)鍵是掌握絕對(duì)值表示的幾何意義．10．（2022秋?崇川區(qū)期末）已知a，b為有理數(shù)，ab≠0，且．當(dāng)a，b取不同的值時(shí)，M的值等于（）A．±5 B．0或±1 C．0或±5 D．±1或±5【分析】根據(jù)絕對(duì)值的定義以及有理數(shù)混合運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：由于a，b為有理數(shù)，ab≠0，當(dāng)a＞0、b＞0時(shí)，且＝2+3＝5．當(dāng)a＞0、b＜0時(shí)，且＝2﹣3＝﹣1．當(dāng)a＜0、b＞0時(shí)，且＝﹣2+3＝1．當(dāng)a＜0、b＜0時(shí)，且＝﹣2﹣3＝﹣5．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查絕對(duì)值，理解絕對(duì)值的定義，掌握有理數(shù)混合運(yùn)算的方法是正確解答的前提．六．非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對(duì)值（共2小題）11．（2022秋?海安市校級(jí)月考）已知|a+2|+|b﹣1|＝0，則ab的值是（）A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1【分析】根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)數(shù)性質(zhì)求出a、b的值，再代入計(jì)算即可．【解答】解：∵|a+2|+|b﹣1|＝0，∴a+2＝0，b﹣1＝0，解得a＝﹣2，b＝1，則ab＝（﹣2）×1＝﹣2．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了代數(shù)式求值以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．12．（2022秋?啟東市期中）若|a﹣1|與|b﹣2|互為相反數(shù)，則a+b的值為3．【分析】根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性解決此題．【解答】解：由題意得：|a﹣1|+|b﹣2|＝0．∵|a﹣1|≥0，|b﹣2|≥0，∴a﹣1＝0，b﹣2＝0．∴a＝1，b＝2．∴a+b＝1+2＝3．故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查絕對(duì)值的非負(fù)性，熟練掌握絕對(duì)值的非負(fù)性是解決本題的關(guān)鍵．七．倒數(shù)（共1小題）13．（2023?沛縣校級(jí)一模）﹣2023的倒數(shù)是（）A．2023 B．﹣2023 C． D．【分析】根據(jù)倒數(shù)的定義解答即可．【解答】解：﹣2023的倒數(shù)是﹣．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是倒數(shù)的定義，乘積是1的兩數(shù)互為倒數(shù)．八．有理數(shù)的加法（共2小題）14．（2023?武進(jìn)區(qū)校級(jí)模擬）計(jì)算：|﹣2|+2＝4．【分析】根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)去絕對(duì)值后計(jì)算即可．【解答】解：原式＝2+2＝4，故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查有理數(shù)的運(yùn)算，其相關(guān)運(yùn)算法則是基礎(chǔ)且重要知識(shí)點(diǎn)，必須熟練掌握．15．（2022秋?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）在橫線上填寫每一步的運(yùn)算依據(jù)：22+（﹣4）+（﹣2）+4；解：原式＝22+4+（﹣4）+（﹣2）加法交換律．＝（22+4）+[（﹣4）+（﹣2）]同號(hào)結(jié)合法．＝26+（﹣6）有理數(shù)加法法則．＝20【分析】應(yīng)用有理數(shù)加法法則進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．【解答】解：原式＝22+4+（﹣4）+（﹣2）加法交換律．＝（22+4）+[（﹣4）+（﹣2）]同號(hào)結(jié)合法．＝26+（﹣6）有理數(shù)加法法則．＝20．故答案為：加法交換律，同號(hào)結(jié)合法，有理數(shù)加法法則．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了有理數(shù)加法，熟練掌握有理數(shù)的加法法則進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．九．有理數(shù)的減法（共3小題）16．（2021秋?建湖縣月考）已知|a|＝4，|b|＝1，且a、b異號(hào)，求a﹣b的值．【分析】由a與b異號(hào)，利用絕對(duì)值的意義求出a與b的值，即可求出a﹣b的值．【解答】解：∵|a|＝4，|b|＝1，a，b異號(hào)，∴a＝4，b＝﹣1或a＝﹣4，b＝1，則a﹣b＝4﹣（﹣1）＝5或a﹣b＝﹣4﹣1＝﹣5．故答案為：±5．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了有理數(shù)的減法，以及絕對(duì)值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．17．（2022秋?秦淮區(qū)校級(jí)月考）觀察下面一組等式：|2﹣1|＝2﹣1＝1，|1﹣2|＝2﹣1＝1；|（﹣2）﹣（﹣5）|＝（﹣2）﹣（﹣5）＝3，|（﹣5）﹣（﹣2）|＝（﹣2）﹣（﹣5）＝3；|6.4﹣（﹣3.5）|＝6.4﹣（﹣3.5）＝9.9，|（﹣3.5）﹣6.4|＝6.4﹣（﹣3.5）＝9.9；……解決下列問題：（1）化簡(jiǎn)|（﹣3）﹣2|的結(jié)果是5，化簡(jiǎn)|3﹣π|的結(jié)果是π﹣3；（2）求||+||+||+……+||的值．【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值的定義去絕對(duì)值符號(hào)即可；（2）先去絕對(duì)值符號(hào)，再把互為相反數(shù)的項(xiàng)合并計(jì)算即可．【解答】解：（1）|（﹣3）﹣2|＝2﹣（﹣3）＝5；|3﹣π|＝π﹣3．故答案為：5；π﹣3．（2）原式＝＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了有理數(shù)的解法以及絕對(duì)值的定義，熟練掌握絕對(duì)值的定義是解答本題的關(guān)鍵．18．（2022秋?邗江區(qū)月考）|a|＝4，|b|＝6，且|a﹣b|＝b﹣a，求a+b的值．【分析】先由絕對(duì)值性質(zhì)得出a、b的值，再結(jié)合|a﹣b|＝b﹣a知a≤b，從而確定出a和b的值可能取值，再分別代入計(jì)算可得．【解答】解：∵|a|＝4，|b|＝6，∴a＝±4，b＝±6，又|a﹣b|＝b﹣a，∴a≤b，則a＝4，b＝6或a＝﹣4，b＝6，當(dāng)a＝4，b＝6時(shí)，a+b＝4+6＝10；當(dāng)a＝﹣4，b＝6時(shí)，a+b＝﹣4+6＝2；綜上，a+b的值為10或2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查有理數(shù)的減法和加法，解題的關(guān)鍵是掌握絕對(duì)值的性質(zhì)和有理數(shù)的加減運(yùn)算法則．一十．有理數(shù)的加減混合運(yùn)算（共3小題）19．（2022秋?靖江市月考）計(jì)算：（1）0﹣4﹣（﹣5）；（2）﹣20﹣（﹣18）+（﹣14）+13；（3）（﹣）+（﹣）+（﹣）+；（4）2.7+（﹣8.5）﹣（+3.4）﹣（﹣1.2）；（5）﹣|﹣1|﹣（+2）﹣（﹣2.75）；（6）（﹣3）﹣（﹣2.4）+（﹣）﹣（+4）．【分析】（1）應(yīng)用有理數(shù)加減混合運(yùn)算的方法：有理數(shù)加減法統(tǒng)一成加法，進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．（2）應(yīng)用有理數(shù)加減混合運(yùn)算的方法：有理數(shù)加減法統(tǒng)一成加法，從左向右依次進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．（3）應(yīng)用有理數(shù)加減混合運(yùn)算的方法：有理數(shù)加減法統(tǒng)一成加法，應(yīng)用加法結(jié)合律，進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．（4）應(yīng)用有理數(shù)加減混合運(yùn)算的方法：有理數(shù)加減法統(tǒng)一成加法，從左向右依次進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．（5）應(yīng)用有理數(shù)加減混合運(yùn)算的方法：有理數(shù)加減法統(tǒng)一成加法，應(yīng)用加法結(jié)合律進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．（6）應(yīng)用有理數(shù)加減混合運(yùn)算的方法：有理數(shù)加減法統(tǒng)一成加法，應(yīng)用加法結(jié)合律，同分母結(jié)合法進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．【解答】解：（1）原式＝0﹣4+5＝1；（2）原式＝﹣20+18﹣14+13＝﹣2﹣14+13＝﹣16+13＝﹣3；（3）原式＝[（﹣）+（﹣）]+[（﹣）+]＝﹣1+0＝﹣1；（4）原式＝2.7﹣8.5﹣3.4+1.2＝﹣5.8﹣3.4+1.2＝﹣9.2+1.2＝﹣8；（5）原式＝0.4﹣1.5+（2.75﹣2.25）＝0.4+（﹣1.5+0.5）＝0.4﹣1＝﹣0.6．（6）原式＝（﹣3）+（﹣）+（2﹣4）＝﹣4+（﹣2）＝﹣6．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了有理數(shù)混合運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)混合運(yùn)算法則進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．20．（2022秋?興化市校級(jí)期末）在2022年8月的北碚山火救災(zāi)中，位于山腰的2號(hào)物資集散地作為重要的物資中轉(zhuǎn)站，8月21日結(jié)束時(shí)還剩礦泉水16箱，集散地礦泉水的進(jìn)出情況如下表（運(yùn)進(jìn)記作“+”．運(yùn)出記作“﹣”），經(jīng)過(guò)五天奮戰(zhàn)，8月26日結(jié)束時(shí)還剩礦泉水36箱．時(shí)間8月22日8月23日8月24日8月25日8月26日運(yùn)進(jìn)+54+52+40+64b運(yùn)出﹣30a﹣50﹣52﹣22與前一天相比（增加記作“+”，減少記作“﹣”）+24+16﹣10+12c（1）直接寫出a、b、c的值：a＝﹣36；b＝0；c＝﹣22；（2）請(qǐng)通過(guò)計(jì)算求出哪一天結(jié)束時(shí)2號(hào)物資集散地礦泉水?dāng)?shù)量最多？（3）由于地勢(shì)陡峭，2號(hào)物資集散地礦泉水的進(jìn)出運(yùn)輸都只能由“山城騎士”摩托車隊(duì)完成，為保證安全，每位騎士一次只能運(yùn)輸2箱礦泉水，則需要多少人次才能完成這五天的任務(wù)？【分析】（1）根據(jù)題意可求出22日﹣26日每天結(jié)束時(shí)剩余的礦泉水?dāng)?shù)量，即可求出a，b，c的值；（2）求出22日﹣26日每天結(jié)束時(shí)剩余的礦泉水?dāng)?shù)量即可求解；（3）將22日﹣26日每天運(yùn)出與運(yùn)進(jìn)的礦泉水?dāng)?shù)量相加再除以每位騎士一次只能運(yùn)輸2箱礦泉水即可求解．【解答】解：（1）∵8月21日結(jié)束時(shí)還剩礦泉水16箱，∴8月22日結(jié)束時(shí)還剩礦泉水：16+24＝40（箱），8月23日結(jié)束時(shí)還剩礦泉水：40+16＝56箱，8月23日結(jié)束時(shí)還剩礦泉水40+52+a＝56，即a＝﹣36，8月24日結(jié)束時(shí)還剩礦泉水：56+（﹣10）＝46（箱），8月25日結(jié)束時(shí)還剩礦泉水：46+12＝58（箱），8月26日結(jié)束時(shí)還剩礦泉水36箱，∴36﹣58＝﹣22，即c＝﹣22，∴b+（﹣22）＝c，即b+（﹣22）＝﹣22，解得b＝0，故答案為：﹣36，0，﹣22；（2）由（1）得8月25日結(jié)束時(shí)還剩礦泉水?dāng)?shù)量最多；（3）2號(hào)物資集散地礦泉水的進(jìn)出運(yùn)輸數(shù)量是：54+30+52+36+40+50+64+52+22＝400，∵每位騎士一次只能運(yùn)輸2箱礦泉水，∴400÷2＝200，答：需要200人次才能完成這五天的任務(wù)．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)和有理數(shù)的混合運(yùn)算，理解題意掌握正數(shù)和負(fù)數(shù)表示相反意義的量和有理數(shù)的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．21．（2022秋?崇川區(qū)校級(jí)月考）在有些情況下，不需要計(jì)算出結(jié)果也能把絕對(duì)值符號(hào)去掉．例如：例如：|6+7|＝6+7；|6﹣7|＝7﹣6；|7﹣6|＝7﹣6；|﹣6﹣7|＝6+7；（1）根據(jù)上面的規(guī)律，把下列各式寫成去掉絕對(duì)值符號(hào)的形式：①|(zhì)7﹣21|＝21﹣7；②＝0.8﹣；③＝；④＝2.8+﹣3.2；（2）用合理的方法計(jì)算：；（3）用簡(jiǎn)便的方法計(jì)算：．【分析】（1）利用題干中的方法解答即可；（2）利用（1）中的方法去掉絕對(duì)值符號(hào)后化簡(jiǎn)運(yùn)算即可；（3）利用（1）中的方法去掉絕對(duì)值符號(hào)后化簡(jiǎn)運(yùn)算即可．【解答】解：（1）①|(zhì)7﹣21|＝21﹣7；②|﹣+0.8|＝0.8﹣；③||＝；④|3.2﹣2.8﹣|＝2.8+﹣3.2；故答案為：①21﹣7；②0.8﹣；③；④2.8+﹣3.2；（2）原式＝+﹣＝（﹣）+（）﹣＝﹣；（3）原式＝+++??????+＝＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，絕對(duì)值的意義，本題是閱讀型題目，理解題干中的方法并熟練應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．一十一．有理數(shù)的乘法（共2小題）22．（2022秋?大豐區(qū)期中）閱讀：一個(gè)正整數(shù)n可以分解為兩個(gè)正整數(shù)p、q的積，即n＝p×q（規(guī)定p≤q），在n的所有這種分解中，如果兩因數(shù)p、q之差的絕對(duì)值最小，則稱p×q是n的最優(yōu)分解，稱為n的最優(yōu)分解比．嘗試：（1）24可以分解成1×24、2×12、3×8、4×6，其中4×6是24的最優(yōu)分解，最優(yōu)分解比為；（2）n2﹣n的最優(yōu)分解是（n﹣1）×n，n2﹣n的最優(yōu)分解比為；（3）請(qǐng)寫出一個(gè)在20到40范圍之間正整數(shù)：25或36，使它的最優(yōu)分解比為1；探索：（4）n是一個(gè)正整數(shù)（1≤n≤10），已知n2﹣2n+9的最優(yōu)分解比為，求n2﹣2n+9的最小值，寫出簡(jiǎn)要過(guò)程．【分析】（1）由新定義直接可得答案；（2）由新定義可得答案；（3）完全平方數(shù)最優(yōu)分解比為1，即可得到答案；（4）根據(jù)“n2﹣2n+9的最優(yōu)分解比為“可知n2﹣2n+9是質(zhì)數(shù)，結(jié)合1≤n≤10可得n2﹣2n+9的最小值．【解答】解：（1）24的最優(yōu)分解比為＝，故答案為：；（2）n2﹣n的最優(yōu)分解比為，故答案為：；（3）36＝6×6，25＝5×5，∵＝1，＝1，∴在20到40范圍之間，25和36的最優(yōu)分解比為1，故答案為：25或36；（4）∵n2﹣2n+9的最優(yōu)分解比為，∴n2﹣2n+9是質(zhì)數(shù)，∵n＝1時(shí)，n2﹣2n+9＝8不是質(zhì)數(shù)，不符合題意，n＝2時(shí)，n2﹣2n+9＝9不是質(zhì)數(shù)，不符合題意，n＝3時(shí)，n2﹣2n+9＝12不是質(zhì)數(shù)，不符合題意，n＝4時(shí)，n2﹣2n+9＝17是質(zhì)數(shù)，符合題意，∴n2﹣2n+9的最小值是17．【點(diǎn)評(píng)】本題考查有理數(shù)的乘法應(yīng)用，涉及新定義，解題的關(guān)鍵是讀懂新定義，理解最優(yōu)分解比．23．（2022秋?泗洪縣期末）已知四個(gè)互不相等的整數(shù)a、b、c、d的乘積等于14，則它們的和等于（）A．﹣5 B．5 C．9 D．5或﹣5【分析】利用有理數(shù)的乘法推測(cè)這四個(gè)數(shù)可能是什么，再計(jì)算它們的和．【解答】解：∵四個(gè)互不相等的整數(shù)a、b、c、d的乘積等于14，∴這四個(gè)數(shù)為﹣1，1，2，﹣7，或﹣1，1，﹣2，7，∴它們的和等于﹣5或5，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的乘法，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的乘法．一十二．有理數(shù)的除法（共3小題）24．（2021秋?宜興市期末）判斷一個(gè)正整數(shù)能被9整除的方法是：把這個(gè)正整數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字相加，如果所得的和能夠被9整除，則這個(gè)正整數(shù)就能被9整除．請(qǐng)證明對(duì)于任意三位正整數(shù)m（100≤m≤999），這個(gè)判斷方法都是正確的．【分析】設(shè)該三位數(shù)的數(shù)位后并列式表示出該數(shù)字，再進(jìn)行計(jì)算推理即可．【解答】解：設(shè)一個(gè)三位正整數(shù)百位上的數(shù)字為a，十位上的數(shù)字為b，個(gè)位上的數(shù)字為c（a，b，c為整數(shù)，且1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9），則這個(gè)三位正整數(shù)可設(shè)為m＝100a+10b+c．由題意可知a，b，c的和能被9整除，所以可設(shè)a+b+c＝9k，其中k為正整數(shù)．所以100a+10b+c＝99a+9b+（a+b+c）＝99a+9b+9k＝9（11a+b+k）．因?yàn)閍，b，k均為正整數(shù)，所以11a+b+k為正整數(shù)，所以100a+10b+c能夠被9整除．即對(duì)于任意三位正整數(shù)，這個(gè)判斷方法都是正確的．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了有理數(shù)除法法則的應(yīng)用能力，關(guān)鍵是能運(yùn)用有理數(shù)的除法法則進(jìn)行推理、計(jì)算．25．（2021秋?玄武區(qū)校級(jí)月考）有5張寫著不同的數(shù)字的卡片，請(qǐng)你按要求取出卡片，完成下列各題：（1）從中取出2張卡片，使卡片上的2個(gè)數(shù)乘積最大，則最大值是多少？（2）從中取出2張卡片，使卡片上的2個(gè)數(shù)相除的商最小，則最小值是多少？（3）從中取出2張卡片，使卡片上的2個(gè)數(shù)分別作為底數(shù)和指數(shù)，進(jìn)行一次乘方運(yùn)算，并且運(yùn)算結(jié)果最大，則最大值是多少？【分析】（1）要使兩數(shù)的乘積最大，兩數(shù)必須是同號(hào)，然后進(jìn)行計(jì)算；（2）要使兩數(shù)的商最小，兩數(shù)必須是異號(hào)，然后進(jìn)行計(jì)算；（3）要使兩數(shù)分別作為底數(shù)和指數(shù)，進(jìn)行一次乘方運(yùn)算，并且運(yùn)算結(jié)果最大，那么指數(shù)必須是正數(shù)，然后進(jìn)行計(jì)算．【解答】解：（1）（﹣3）×（﹣5）＝15，答：最大值是15；（2）（﹣5）÷3＝﹣，答：最小值是﹣；（3）（﹣5）4＝625，答：最大值是625．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的乘法和有理數(shù)的除法，學(xué)生必須熟練掌握．26．（2021秋?高郵市期中）小聰是一個(gè)聰明而又富有想象力的孩子．學(xué)習(xí)了“有理數(shù)的乘方”后，他就琢磨著使用“乘方”這一數(shù)學(xué)知識(shí)，腦洞大開地定義出“有理數(shù)的除方”概念．于是規(guī)定：若干個(gè)相同有理數(shù)（均不能為0）的除法運(yùn)算叫做除方，如5÷5÷5，（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）等，類比有理數(shù)的乘方．小聰把5÷5÷5記作f（3，5），（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）記作f（4，﹣2）．（1）直接寫出計(jì)算結(jié)果，f（4，）＝4，f（5，3）＝；（2）關(guān)于“有理數(shù)的除方”下列說(shuō)法正確的是②．（填序號(hào)）①f（6，3）＝f（3，6）；②f（2，a）＝1（a≠0）；③對(duì)于任何正整數(shù)n，都有f（n，﹣1）＝1；④對(duì)于任何正整數(shù)n，都有f（2n，a）＜0（a＜0）．（3）小明深入思考后發(fā)現(xiàn)：“除方”運(yùn)算能夠轉(zhuǎn)化成乘方運(yùn)算，且結(jié)果可以寫成冪的形式，請(qǐng)推導(dǎo)出“除方”的運(yùn)算公式f（n，a）（n為正整數(shù)，a≠0，n≥2），要求寫出推導(dǎo)過(guò)程將結(jié)果寫成冪的形式；（結(jié)果用含a，n的式子表示）（4）請(qǐng)利用（3）問的推導(dǎo)公式計(jì)算：f（5，3）×f（4，）×f（5，﹣2）×f（6，）．【分析】（1）根據(jù)題意計(jì)算即可；（2）①分別計(jì)算f（6，3）和f（3，6）的結(jié)果進(jìn)行比較即可；②根據(jù)題意計(jì)算即可判斷；③分為n為偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況分別計(jì)算即可判斷；④2n為偶數(shù)，偶數(shù)個(gè)a相除，結(jié)果應(yīng)為正；（3）推導(dǎo)f（n，a）（n為正整數(shù)，a≠0，n≥2），按照題目中的做法推到即可；（4）按照上題的推導(dǎo)式可以將算式中的每一部分表示出來(lái)再計(jì)算．【解答】解：（1）f（4，）＝÷÷÷＝4，f（5，3）＝3÷3÷3÷3÷3＝；故答案為：4；．（2）①f（6，3）＝3÷3÷3÷3÷3÷3＝，f（3，6）＝6÷6÷6＝，∴f（6，3）≠f（3，6），故錯(cuò)誤；②f（2，a）＝a÷a＝1（a≠0），故正確；③對(duì)于任何正整數(shù)n，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，f（n，﹣1）＝﹣1；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，f（n，﹣1）＝1．故錯(cuò)誤；④對(duì)于任何正整數(shù)n，2n為偶數(shù)，所以都有f（2n，a）＞0，而不是f（2n，a）＜0（a＜0），故錯(cuò)誤；故答案為：②．（3）公式f（n，a）＝a÷a÷a÷a÷…÷a÷a＝1÷（an﹣2）＝（）n﹣2（n為正整數(shù)，a≠0，n≥2）．（4）f（5，3）×f（4，）×f（5，﹣2）×f（6，）＝×9×（﹣）×16＝﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查有理數(shù)的除法，是一道規(guī)律探究型題目，也是一道新定義型題目，難度適中，熟練掌握有理數(shù)的除法法則是解決本題的關(guān)鍵．一十三．有理數(shù)的乘方（共7小題）27．（2022秋?崇川區(qū)校級(jí)月考）將有理數(shù)﹣12，0，﹣3.25，，﹣|﹣12|，﹣（﹣5）放入恰當(dāng)?shù)募现校痉治觥肯劝雪?2，﹣|﹣12|，﹣（﹣5）化簡(jiǎn)，再把給出的有理數(shù)放到合適的集合里．【解答】解：∵﹣12＝﹣1，﹣|﹣12|＝﹣12，﹣（﹣5）＝5，∴負(fù)數(shù)集合有：﹣12，﹣3.25，﹣|﹣12|，…整數(shù)集合有：﹣12，0，﹣|﹣12|，﹣（﹣5）|，…所以【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的分類、相反數(shù)和絕對(duì)值的意義及有理數(shù)的乘方等知識(shí)點(diǎn)．按要求分類是解決本題的關(guān)鍵．28．（2022秋?虎丘區(qū)校級(jí)月考）（1）將下列計(jì)算的結(jié)果直接寫成冪的形式：2÷2÷2＝（）1；2÷2÷2÷2＝（）2；＝33；（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）＝（﹣）4；（2）一般地，把n個(gè)a（a為有理數(shù)且a≠0，n為正整數(shù)）相除的結(jié)果記作a?，讀作“a的圈n次方”．計(jì)算：a?＝＝（）n﹣2（其中a≠0，n為正整數(shù)）．請(qǐng)你嘗試用文字概括歸納a?的運(yùn)算結(jié)果：一個(gè)非零有理數(shù)的圈n次方等于它的倒數(shù)的（n﹣2）次方；（3）計(jì)算：24÷（﹣）⑤+（﹣27）×3④．【分析】（1）根據(jù)除方的定義計(jì)算即可；（2）把除法轉(zhuǎn)化為乘法即可得出答案；（3）根據(jù)新定義計(jì)算即可．【解答】解：（1）2÷2÷2÷2＝2×＝（）2，＝＝33，（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）＝（﹣5）×（﹣）×（﹣）×（﹣）×（﹣）×（﹣）＝（﹣）4，故答案為：（）2，33，（﹣）4；（2）根據(jù)除法法則a?＝＝（）n﹣2（其中a≠0，n為正整數(shù)）．用文字概括歸納a?的運(yùn)算結(jié)果：一個(gè)非零有理數(shù)的圈n次方等于它的倒數(shù)的（n﹣2）次方；故答案為：（）n﹣2，它的倒數(shù)的（n﹣2）次方．（3）原式＝24÷（?2）3+（?27）×（）2＝24÷（﹣8）+（﹣27）×＝﹣3﹣3＝﹣6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的乘方，有理數(shù)的乘除法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想，掌握除以一個(gè)不為0的數(shù)等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)是解題的關(guān)鍵．29．（2022秋?建鄴區(qū)期中）某公司培養(yǎng)綠藻細(xì)胞制作綠藻粉，該公司制作1克的綠藻粉需要60億個(gè)綠藻細(xì)胞．（1）在光照充沛的環(huán)境下，1個(gè)綠藻細(xì)胞每20小時(shí)可分裂成4個(gè)綠藻細(xì)胞，且分裂后的細(xì)胞繼續(xù)分裂．現(xiàn)從1個(gè)綠藻細(xì)胞開始培養(yǎng)，經(jīng)過(guò)15天后，共分裂成4k個(gè)綠藻細(xì)胞，求k的值．（2）已知210＝1024，請(qǐng)判斷（1）問中的4k個(gè)綠藻細(xì)胞是否足夠制作10克的綠藻粉，并說(shuō)明理由．【分析】（1）由1個(gè)綠藻細(xì)胞每20小時(shí)可分裂成4個(gè)綠藻細(xì)胞，可知經(jīng)過(guò)15天，即360小時(shí)，分裂成418個(gè)綠藻細(xì)胞，故k之值為18；（2）根據(jù)每1克的「綠藻粉」需要60億個(gè)綠藻細(xì)胞，60億介于232與233之間，可得制作10克的綠藻粉需要600億個(gè)綠藻細(xì)胞，且235＜600億＜236，又418＝（22）18＝236，即得418個(gè)綠藻細(xì)胞足夠制作10公克的綠藻粉．【解答】解：（1）15天＝15×24小時(shí)＝360小時(shí)，360÷20＝18，根據(jù)題意得，4k＝418，∴k＝18；（2）（1）問中的4k個(gè)綠藻細(xì)胞是否足夠制作10克的綠藻粉．理由如下：∵每1克的綠藻粉需要60億個(gè)綠藻細(xì)胞，∴制作10克的綠藻粉需要60×10＝600億個(gè)綠藻細(xì)胞，∵600億介于235與236之間，而418＝（22）18＝236，∴600億＜418，∴418個(gè)綠藻細(xì)胞足夠制作10克的綠藻粉．【點(diǎn)評(píng)】本題考查有理數(shù)的乘方，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，根據(jù)已知找到規(guī)律求出k的值．30．（2022秋?虎丘區(qū)校級(jí)月考）已知|a|＝5，b2＝4，c3＝﹣8．（1）若a＜b＜0，求a+b的值；（2）若abc＞0，求a﹣b+c的值．【分析】（1）利用絕對(duì)值的意義，平方根的意義解答即可；（2）利用絕對(duì)值的意義，平方根的意義和立方根的意義解答即可；【解答】解：（1）∵|a|＝5，b2＝4，∴a＝±5，b＝±2，∵a＜b＜0，∴a＝﹣5，b＝﹣2，∴a+b＝﹣5﹣2＝﹣7；（2）∵|a|＝5，b2＝4，c3＝﹣8，∴a＝±5，b＝±2，c＝﹣2，∵abc＞0，∴ab＜0，∴a＝5，b＝﹣2或a＝﹣5，b＝2．當(dāng)a＝5，b＝﹣2，c＝﹣2時(shí)，a﹣b+c＝5﹣（﹣2）+（﹣2）＝5；當(dāng)a＝﹣5，b＝2，c＝﹣2時(shí)，a﹣b+c＝﹣5﹣2+（﹣2）＝﹣9，綜上，a﹣b+c的值為5或﹣9．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，絕對(duì)值的意義，平方根的意義和立方根的意義，利用絕對(duì)值的意義，平方根的意義和立方根的意義求得a，，b，c的值是解題的關(guān)鍵．31．（2022秋?江寧區(qū)校級(jí)月考）閱讀材料：根據(jù)乘方的意義可得：24＝2×2×2×2；34＝3×3×3×3；（2×3）4＝（2×3）×（2×3）×（2×3）×（2×3）＝（2×2×2×2）×（3×3×3×3），即24×34＝（2×3）4通過(guò)觀察上面的計(jì)算過(guò)程，完成以下問題：（1）計(jì)算：22022×32022＝62022；猜想：an?5n＝（5a）n；（2）根據(jù)上述提供的信息，計(jì)算：（﹣0.125）2021×82022．【分析】（1）根據(jù)積的乘方解決此題．（2）根據(jù)積的乘方解決此題．【解答】解：（1）22022×32022＝（2×3）2022＝62022；an?5n＝（5a）n．故答案為：62022；（5a）n．（2）（﹣0.125）2021×82022＝＝＝（﹣1）2021×8＝﹣1×8＝﹣8．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查乘方，熟練掌握積的乘方是解決本題的關(guān)鍵．32．（2022秋?江都區(qū)月考）若有理數(shù)x，y滿足x2＝64，|y|＝2，（1）求x、y的值；（2）若x＞y，求x+y的值．【分析】（1）利用有理數(shù)的乘方的定義、絕對(duì)值的定義計(jì)算即可；（2）根據(jù)題意確定x、y的值，代入求代數(shù)式的值即可．【解答】解：（1）∵x2＝64，∴x＝±8，∵|y|＝2，∴y＝±2；（2）∵x＞y，∴x＝8時(shí)，y＝±2，∴x+y＝8+2＝10，或x+y＝8﹣2＝6，∴x+y＝10或6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，做題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的乘方的定義、絕對(duì)值的定義．33．（2022秋?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）規(guī)定：F（1）＝﹣3，F(xiàn)（2）＝（﹣3）×（﹣3），F(xiàn)（3）＝（﹣3）×（﹣3）×（﹣3），…F（n）＝．（1）計(jì)算：F（3）+F（4）＝﹣2187；（2）求3×F（99）+F（100）的值；（3）直接寫出2×F（2022）+F（2023）＝﹣32022．【分析】（1）根據(jù)題意，列出等式，再根據(jù)乘方的定義解決此題．（2）根據(jù)題意，列出等式．再根據(jù)乘方解決此題．（3）根據(jù)題意列出等式，再根據(jù)乘方的定義解決此題．【解答】解：（1）由題意得，F(xiàn)（3）+F（4）＝（﹣3）×（﹣3）×（﹣3）+（﹣3）×（﹣3）×（﹣3）×（﹣3）＝﹣27+81＝54．故答案為：54．（2）3×F（99）+F（100）＝3×+＝﹣3100+3100＝0．（3）2×F（2022）+F（2023）＝2×+（＝2×32022+（﹣3）×（﹣3）2022＝2×32022﹣3×32022＝﹣32022．故答案為：﹣32022．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查乘方，熟練掌握乘方的定義是解決本題的關(guān)鍵．一十四．有理數(shù)的混合運(yùn)算（共6小題）34．（2022秋?惠山區(qū)校級(jí)期末）計(jì)算：（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可求解．（2）根據(jù)含有乘方的有理數(shù)的混合運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可求解．【解答】解：（1）＝﹣12+25＝13；（2）＝＝﹣1+1＝0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握有理數(shù)的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．35．（2022秋?寶應(yīng)縣期末）計(jì)算：（1）7﹣（﹣4）+（﹣5）；（2）．【分析】（1）先把減法轉(zhuǎn)化為加法，然后根據(jù)加法法則計(jì)算即可；（2）先算乘方和括號(hào)內(nèi)的式子，然后算乘除法，最后算減法即可．【解答】解：（1）7﹣（﹣4）+（﹣5）＝7+4+（﹣5）＝6；（2）＝﹣1﹣×（﹣）＝﹣1+＝﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．36．（2022秋?鎮(zhèn)江期中）我們定義一種新運(yùn)算：a*b＝a2﹣b+ab．例如：1*3＝12﹣3+1×3＝1．（1）求（﹣3）*（﹣2）的值；（2）求（﹣2）*[（﹣3）*（﹣2）]的值．【分析】（1）根據(jù)新運(yùn)算的定義列出算式（﹣3）*（﹣2）＝（﹣3）2﹣（﹣2）+（﹣3）×（﹣2），再進(jìn)一步計(jì)算即可；（2）原式變形為（﹣2）*[（﹣3）*（﹣2）]＝（﹣2）*17，再進(jìn)一步計(jì)算即可．【解答】解：（1）（﹣3）*（﹣2）＝（﹣3）2﹣（﹣2）+（﹣3）×（﹣2）＝9+2+6＝17；（2）（﹣2）*[（﹣3）*（﹣2）]＝（﹣2）*17＝（﹣2）2﹣17+（﹣2）×17＝4﹣17﹣34＝﹣47．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．37．（2022秋?句容市月考）問題探索：如圖，將一根木棒放在數(shù)軸（單位長(zhǎng)度為1cm）上，木棒左端與數(shù)軸上的點(diǎn)A重合，右端與數(shù)軸上的點(diǎn)B重合．（1）若將木棒沿?cái)?shù)軸向右水平移動(dòng)，則當(dāng)它的左端移動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，它的右端在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的數(shù)為30；若將木棒沿?cái)?shù)軸向左水平移動(dòng)，則當(dāng)它的右端移動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，它的左端在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的數(shù)為6，由此可得這根木棒的長(zhǎng)為8cm．（2）圖中點(diǎn)A所表示的數(shù)是14，點(diǎn)B所表示的數(shù)是22．實(shí)際應(yīng)用：由（1）（2）的啟發(fā)，請(qǐng)借助“數(shù)軸”這個(gè)工具解決下列問題：（3）一天，妙妙去問奶奶的年齡，奶奶說(shuō)：“我若是你現(xiàn)在這么大，你還要35年才出生；你若是我現(xiàn)在這么大，我就115歲啦!”請(qǐng)問妙妙現(xiàn)在多少歲了？【分析】（1）由題意可得數(shù)6與數(shù)30之間的線段的長(zhǎng)等于AB的三倍，根據(jù)這一關(guān)系可求結(jié)論；（2）利用AB＝8，用6+8和30﹣8即可得出結(jié)論；（3）依題意仿照（1）方法得到兩端的數(shù)字為﹣35，115，則115﹣（﹣35）為奶奶年齡的三倍，則奶奶年齡可求，妙妙的年齡為50﹣35．【解答】解：（1）由題意可得：數(shù)6與數(shù)30之間的線段的長(zhǎng)等于AB的三倍，∴AB＝（30﹣6）÷3＝8．故答案為：8；（2）∵AB＝8，∴點(diǎn)A表示的數(shù)為：6+8＝14，點(diǎn)B表示的數(shù)為：30﹣8＝22，故答案為：14，22；（3）當(dāng)奶奶像妙妙這樣大時(shí)，妙妙為（﹣35）歲，所以奶奶與妙妙的年齡差為[115﹣（﹣35）]÷3＝50（歲），所以妙妙現(xiàn)在的年齡為115﹣50﹣50＝15（歲）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了數(shù)軸，實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，本題是閱讀型題目，理解題干中的方法并熟練應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．38．（2021秋?東海縣期中）概念學(xué)習(xí)：現(xiàn)規(guī)定：求若干個(gè)相同的有理數(shù)（均不等于0）的商的運(yùn)算叫做除方，比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，類比有理數(shù)的乘方，我們把2÷2÷2寫作2③，讀作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）寫作（﹣3）④，讀作“（﹣3）的圈4次方”，一般地把（a≠0）寫作a?，讀作“a的圈n次方”．初步探究：（1）直接寫出計(jì)算結(jié)果：3②＝1；（﹣）③＝﹣3；（2）下列關(guān)于除方說(shuō)法中，錯(cuò)誤的有D；（在橫線上填寫序號(hào)即可）A．任何非零數(shù)的圈2次方都等于1B．任何非零數(shù)的圈3次方都等于它的倒數(shù)C．負(fù)數(shù)的圈奇數(shù)次方結(jié)果是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的圈偶數(shù)次方結(jié)果是正數(shù)D．圈n次方等于它本身的數(shù)是1或﹣1．深入思考：我們知道，有理數(shù)的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算，除法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，那么有理數(shù)的除方運(yùn)算如何轉(zhuǎn)化為乘方運(yùn)算呢？（3）歸納：請(qǐng)把有理數(shù)a（a≠0）的圈n（n≥3）次方寫成冪的形式為：a?＝；（4）比較：（﹣2）⑩＞（﹣4）⑩；（填“＞”“＜”或“＝”）（5）計(jì)算：﹣1③+142÷（﹣）①×（﹣7）⑥﹣（﹣48）÷（）④．【分析】（1）根據(jù)題意，可以分別計(jì)算出所求式子的值；（2）根據(jù)題意，可以分別判斷各個(gè)選項(xiàng)中的說(shuō)法是否正確，從而可以解答本題；（3）根據(jù)題意，可以計(jì)算出所求式子的值；（4）根據(jù)題意，可以分別計(jì)算出兩個(gè)式子的值，然后比較大小即可；（5）根據(jù)題意，可以求出所求式子的值．【解答】解：（1）由題意可得，3②＝3÷3＝1，（﹣）③＝（﹣）÷（﹣）÷（﹣）＝（﹣）×（﹣3）×（﹣3）＝﹣3，故答案為：1，﹣3；（2）任何非零數(shù)的圈2次方都等于1，故選項(xiàng)A正確，不符合題意；任何非零數(shù)的圈3次方都等于它的倒數(shù)，故選項(xiàng)B正確，不符合題意；負(fù)數(shù)的圈奇數(shù)次方結(jié)果是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的圈偶數(shù)次方結(jié)果是正數(shù)，故選項(xiàng)C正確，不符合題意；圈n次方等于它本身的數(shù)是1，﹣1的圈偶數(shù)次方等于1，﹣1的圈奇數(shù)次方等于﹣1，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，符合題意；故選：D；（3）有理數(shù)a（a≠0）的圈n（n≥3）次方寫成冪的形式為：a?＝a÷a÷a÷…÷a＝a???…?＝，故答案為：；（4）（﹣2）⑩＝（﹣）8＝，（﹣4）⑩＝（﹣）8＝，∵＞，∴（﹣2）⑩＞（﹣4）⑩，故答案為：＞；（5）﹣1③+142÷（﹣）①×（﹣7）⑥﹣（﹣48）÷（）④＝﹣1+196÷（﹣）×（﹣）4+48÷72＝﹣1+196×（﹣2）×+48÷49＝﹣1﹣+＝﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算、新定義，解答本題的關(guān)鍵是明確新定義的內(nèi)容，計(jì)算出所求式子的值．39．（2022秋?宿城區(qū)期中）如果xn＝y(tǒng)，那么我們記為：（x，y）＝n．例如32＝9，則（3，9）＝2．（1）根據(jù)上述規(guī)定，填空：（2，8）＝3，（﹣5，25）＝2；（2）若（x，16）＝2，則x＝±4；（3）若（4，a）＝2，（b，8）＝3，求（b，a）的值．【分析】（1）據(jù)題意，由23＝8，（﹣5）2＝25可求得此題結(jié)果；（2）由（±4）2＝16可得（±4，16）＝2，從而得到此題結(jié)果是±4；（3）由42＝16，23＝8可得，a＝16，b＝2，又由24＝16，可求得此題結(jié)果為4．【解答】解：（1）∵23＝8，（﹣5）2＝25，∴（2，8）＝3，（﹣5，25）＝2，故答案為：3，2；（2）∵（±4）2＝16，∴（±4，16）＝2，故答案為：±4；（3）∵42＝16，23＝8，∴（4，16）＝2，（2，8）＝3，∴a＝16，b＝2，又∵24＝16，∴（b，a）＝（2，16）＝4．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了在新定義題型中進(jìn)行有理數(shù)的運(yùn)算能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解和運(yùn)用新定義進(jìn)行運(yùn)算．一十五．無(wú)理數(shù)（共2小題）40．（2022秋?常州期末）下列各數(shù)中，無(wú)理數(shù)是（）A． B． C．﹣3 D．0【分析】根據(jù)無(wú)理數(shù)的定義解答即可．【解答】解：A．是循環(huán)小數(shù)，屬于有理數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；B．是無(wú)理數(shù)，故本選項(xiàng)符合題意；C．﹣3是整數(shù)，屬于有理數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；D．0是整數(shù)，屬于有理數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是無(wú)理數(shù)，熟知無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫做無(wú)理數(shù)是解題的關(guān)鍵．41．（2022秋?江都區(qū)期末）下列數(shù)中是無(wú)理數(shù)的是（）A．2π B．3.1415926 C． D．﹣3【分析】根據(jù)無(wú)理數(shù)的定義逐個(gè)判斷即可．【解答】解：A．2π是無(wú)理數(shù)，故本選項(xiàng)符合題意；B．3.1415926是有理數(shù)，不是無(wú)理數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；C．是有理數(shù)，不是無(wú)理數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；D．﹣3是有理數(shù)，不是無(wú)理數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了無(wú)理數(shù)的定義，能熟記無(wú)理數(shù)的定義是解此題的關(guān)鍵，無(wú)理數(shù)包括以下三方面的數(shù)：①含π的，如2π，②開方開不盡的根式，如，③一些有規(guī)律的數(shù)，如0.010010001...．一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）下面說(shuō)法正確的是（）A．0既是正數(shù)，又是負(fù)數(shù) B．0是最小的正數(shù) C．0是最大的負(fù)數(shù) D．0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)【分析】根據(jù)大于零的數(shù)是正數(shù)，小于零的數(shù)是負(fù)數(shù)，可得答案．【解答】解：0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，故選項(xiàng)A、B、C不合題意，選項(xiàng)D符合題意．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)，大于零的數(shù)是正數(shù)，小于零的數(shù)是負(fù)數(shù)，注意0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)．2．（2分）唐代嘉興屯田27處，“浙西三屯，嘉禾為大”，嘉興已成為中國(guó)東南重要產(chǎn)糧區(qū)．其中的自然數(shù)27屬于（）A．計(jì)數(shù) B．測(cè)量 C．標(biāo)號(hào) D．排序【分析】27表示屯田的數(shù)量，屬于計(jì)數(shù)．【解答】解：自然數(shù)27屬于計(jì)數(shù)．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查有理數(shù)，做此題的關(guān)鍵在于理解計(jì)數(shù)、測(cè)量、標(biāo)號(hào)、排序的區(qū)別．3．（2分）﹣的倒數(shù)是（）A．﹣ B． C．﹣ D．【分析】根據(jù)倒數(shù)的定義即可求解．【解答】解：﹣的倒數(shù)是﹣．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】主要考查了倒數(shù)的定義：若兩個(gè)數(shù)的乘積是1，我們就稱這兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)．要求掌握并熟練運(yùn)用．4．（2分）人工智能AlphaGo因在人機(jī)大戰(zhàn)中大勝韓國(guó)圍棋手李世石九段而聲名顯赫．它具有自我對(duì)弈學(xué)習(xí)能力，決戰(zhàn)前已做了兩千萬(wàn)局的訓(xùn)練（等同于一個(gè)人近千年的訓(xùn)練量）．此處“兩千萬(wàn)”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．0.2×107 B．2×107 C．0.2×108 D．2×108【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值≥10時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．【解答】解：將“兩千萬(wàn)”用科學(xué)記數(shù)法表示為：2×107，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．5．（2分）﹣（﹣5）的絕對(duì)值是（）A．﹣5 B．5 C． D．【分析】根據(jù)相反數(shù)和絕對(duì)值的意義求解．【解答】解：∵﹣（﹣5）＝5，而|5|＝5，∴﹣（﹣5）的絕對(duì)值是5．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了絕對(duì)值：若a＞0，|a|＝a；若a＝0，|a|＝0；若a＜0，|a|＝﹣a．也考查了相反數(shù)．6．（2分）若＝0，則下列結(jié)論中成立的是（）A．a(chǎn)，b是一對(duì)均不等于0的相反數(shù) B．a(chǎn)，b互為倒數(shù) C．a(chǎn)＝0或b＝0 D．a(chǎn)＝0且b＝0【分析】根據(jù)倒數(shù)和相反數(shù)的定義判斷即可．【解答】解：∵＝0，∴a+b＝0，ab≠0，∴a，b是一對(duì)均不等于0的相反數(shù)，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了倒數(shù)和相反數(shù)的定義，熟練掌握倒數(shù)和相反數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．7．（2分）下列說(shuō)法正確的有（）①所有的有理數(shù)都能用數(shù)軸上的點(diǎn)表示；②符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)；③有理數(shù)分為正數(shù)和負(fù)數(shù)；④兩數(shù)相減，差一定小于被減數(shù)；⑤兩數(shù)相加，和一定大于任何一個(gè)加數(shù)．A．4個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．3個(gè)【分析】分別利用有理數(shù)的加減運(yùn)算法則和互為相反數(shù)的定義以及數(shù)軸分別分析得出答案．【解答】解：①所有的有理數(shù)都能用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，說(shuō)法正確；②只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；③有理數(shù)分為正數(shù)和負(fù)數(shù)、零，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；④兩數(shù)相減，差一定小于被減數(shù)，兩負(fù)數(shù)相減的不同，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；⑤兩數(shù)相加，和一定大于任何一個(gè)加數(shù)，異號(hào)兩數(shù)相加，則不同，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了有理數(shù)的加減運(yùn)算法則和互為相反數(shù)的定義以及數(shù)軸，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．8．（2分）現(xiàn)規(guī)定一種新的運(yùn)算：a△b＝ab﹣a+b，則2△（﹣3）＝（）A．11 B．﹣11 C．6 D．﹣6【分析】原式利用題中的新定義計(jì)算即可求出值．【解答】解：根據(jù)題中的新定義得：原式＝﹣6﹣2﹣3＝﹣11，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．9．（2分）已知數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為﹣3、﹣6，若在數(shù)軸上找一點(diǎn)C，使得點(diǎn)A、C之間的距離為4；再在數(shù)軸找一點(diǎn)D，使得點(diǎn)B、D之間的距離為1，則C、D兩點(diǎn)間的距離不可能為（）A．0 B．2 C．4 D．6【分析】由數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離等于兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)數(shù)差的絕對(duì)值求出距離為0、2、6、8，不符合題意的為C答案．【解答】解：如圖所示：由上圖可知：A點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為﹣3，設(shè)點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的數(shù)為x，則有，|x﹣（﹣3）|＝4，解得：x＝1或x＝﹣7，又∵B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)﹣6，點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的數(shù)為y，則有，|y﹣（﹣6）|＝1，解得：y＝﹣5，或y＝﹣7，∴CD＝0或CD＝2或CD＝6或CD＝8，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離等于對(duì)應(yīng)兩數(shù)差的絕對(duì)值等知識(shí)點(diǎn)，重點(diǎn)掌握求數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離的方法，易錯(cuò)點(diǎn)就是求點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)時(shí)不重不漏．10．（2分）如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)P表示﹣1，將點(diǎn)P沿?cái)?shù)軸做如下移動(dòng)，第一次點(diǎn)P向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)P1，第二次將點(diǎn)P1向左移動(dòng)4個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)P2，第三次將點(diǎn)P2向右移動(dòng)6個(gè)單位長(zhǎng)度，按照這種移動(dòng)規(guī)律移動(dòng)下去，第n次移動(dòng)到點(diǎn)Pn，給出以下結(jié)論：①P5表示5；②P12＞P11；③若點(diǎn)Pn到原點(diǎn)的距離為15，則n＝15；④當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，|Pn﹣Pn﹣1|＝2Pn；以上結(jié)論正確的是（）A．①②③ B．①②④ C．②③ D．①④【分析】先根據(jù)數(shù)軸的定義分別求出P1，P2，P3，P4，P5表示的數(shù)，再總結(jié)出Pn的規(guī)律，然后逐個(gè)判斷即可．【解答】解：由題意知，點(diǎn)P1表示的數(shù)是﹣1+2＝1，點(diǎn)P2表示的數(shù)是1﹣4＝﹣3，點(diǎn)P3表示的數(shù)是﹣3+6＝3，點(diǎn)P4表示的數(shù)是3﹣8＝﹣5，點(diǎn)P5表示的數(shù)是﹣5+10＝5，點(diǎn)P6表示的數(shù)是5﹣12＝﹣7，...，∴當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Pn＝n，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Pn＝（﹣1）n﹣1（n+1），其中n為正整數(shù)，∴①P5表示5，正確；∵P11＝11，P12＝﹣13，∴②P12＞P11，不正確；由前面的規(guī)律知Pn＝15時(shí)，n有奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況，∴③若點(diǎn)Pn到原點(diǎn)的距離為15，則n＝15，不正確；④當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，|Pn﹣Pn﹣1|＝|n﹣（﹣1）n﹣1+1（n﹣1+1）|＝|n+n|＝2n＝2Pn，∴④正確，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，歸納出Pn的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共8小題，滿分16分，每小題2分）11．（2分）若a與（b+c）互為相反數(shù)．則a+b+c＝0．【分析】根據(jù)互為相反數(shù)的和為零，可得a+（b+c）的值，去括號(hào)可得答案．【解答】解：∵a與（b+c）互為相反數(shù)．∴a+（b+c）＝0，∴a+b+c＝0．故答案為：0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相反數(shù)，利用互為相反數(shù)的和為零得出a+（b+c）的值是解題關(guān)鍵．12．（2分）比較大?。憨?＜﹣1（在橫線上填“＜”、“＞”或“＝”）．【分析】根據(jù)有理數(shù)大小比較的法則進(jìn)行比較即可．【解答】解：∵|﹣4|＞|﹣1|，∴﹣4＜﹣1．故答案為：＜．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是有理數(shù)的大小比較，有理數(shù)大小比較的法則：①正數(shù)都大于0；②負(fù)數(shù)都小于0；③正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；④兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的其值反而小．13．（2分）大于﹣4且小于3.2的所有整數(shù)的和等于0．【分析】大于﹣4而小于3.2的整數(shù)有：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，將這幾個(gè)數(shù)加起來(lái)就可以求出其和．【解答】解：由題意得：大于﹣4而小于3.2的整數(shù)有：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，∴（﹣3）+（﹣2）+（﹣1）+0+1+2+3＝0．故答案為：0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的加法計(jì)算，還涉及到了有理數(shù)大小的比較，將指定范圍內(nèi)的有理數(shù)求和．14．（2分）若|a|＝|﹣7|，則a的值為±7．【分析】根據(jù)絕對(duì)值的概念：數(shù)軸上某個(gè)數(shù)與原點(diǎn)的距離叫做這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值可直接得到答案．【解答】解：因?yàn)閨a|＝|﹣7|，所以a＝±7．故答案為：±7．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了絕對(duì)值，關(guān)鍵是掌握絕對(duì)值規(guī)律總結(jié)：一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0．15．（2分）若點(diǎn)C在數(shù)軸上，滿足AC：BC＝1：3，則點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的數(shù)是﹣26或﹣5．【分析】分C在A的左邊或C在A，B兩點(diǎn)之間兩種情況進(jìn)行討論，根據(jù)AC：BC＝1：3列出方程即可求解．【解答】解：如果C在A的左邊，根據(jù)題意得16﹣x＝3（﹣12﹣x），解得x＝﹣26；如果C在A，B兩點(diǎn)之間，根據(jù)題意得16﹣x＝3[x﹣（﹣12）]，解得x＝﹣5．答：點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的數(shù)是﹣26或﹣5．故答案為：﹣26或﹣5．【點(diǎn)評(píng)】考查了數(shù)軸、一元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出方程，再求解．16．（2分）如圖所示是計(jì)算機(jī)某計(jì)算程序，若開始輸入x＝3，則最后輸出的結(jié)果是19．【分析】根據(jù)題意可知，該程序計(jì)算是先乘以3，再減去2，若結(jié)果大于10，則就是所求，若小于等于10，則重新進(jìn)行計(jì)算．【解答】解：輸入x＝3，∴3x﹣2＝3×3﹣2＝7＜10，所以應(yīng)將7再重新輸入計(jì)算程序進(jìn)行計(jì)算，即3×7﹣2＝19．故應(yīng)填19．【點(diǎn)評(píng)】解題關(guān)鍵是弄清題意，根據(jù)題意把x的值代入，按程序一步一步計(jì)算．17．（2分）有理數(shù)﹣2018的絕對(duì)值是2018．【分析】根據(jù)求絕對(duì)值的方法即可得出結(jié)論，【解答】解：|﹣2018|＝2018，故答案為2018．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了絕對(duì)值的求法，掌握求絕對(duì)值的方法是解本題的關(guān)鍵．18．（2分）已知在數(shù)軸上A點(diǎn)表示的數(shù)為﹣3，則與A點(diǎn)相隔18個(gè)單位長(zhǎng)度的點(diǎn)表示的數(shù)為15或﹣21．【分析】分兩種情況進(jìn)行解答，在點(diǎn)A的左側(cè)、右側(cè)，分別用﹣3+18和﹣3﹣18進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：A點(diǎn)表示的數(shù)為﹣3，在點(diǎn)A的左側(cè)18個(gè)單位長(zhǎng)度所表示的數(shù)為﹣3﹣18＝﹣21，在點(diǎn)A的右側(cè)18個(gè)單位長(zhǎng)度所表示的數(shù)為﹣3+18＝15，故答案為：﹣21和15．【點(diǎn)評(píng)】考查數(shù)軸表示數(shù)的意義，理解符號(hào)和絕對(duì)值是確定有理數(shù)的兩個(gè)基本條件．三．解答題（共8小題，滿分64分，每小題8分）19．（8分）把下列各數(shù)的序號(hào)填入相應(yīng)的括號(hào)內(nèi)．①10，②﹣π，③，④﹣3.14，⑤，⑥0，⑦，⑧﹣1，⑨，⑩1.010010001．整數(shù)集合{①⑥⑧…}；負(fù)分?jǐn)?shù)集合{④…}；正有理數(shù)集合{①③⑦⑩…}；無(wú)理數(shù)集合{②⑤⑨…}．【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn)解決此題．【解答】解：＝0.1，＝．根據(jù)整數(shù)的定義，整數(shù)有10、0、﹣1．根據(jù)負(fù)分?jǐn)?shù)的定義，負(fù)分?jǐn)?shù)有﹣3.14．根據(jù)正有理數(shù)的定義，正有理數(shù)有10、、、1.010010001．根據(jù)無(wú)理數(shù)的定義，無(wú)理數(shù)有﹣π、、．故答案為：①⑥⑧；④；①③⑦⑩；②⑤⑨．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查實(shí)數(shù)的分類，熟練掌握實(shí)數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn)是解決本題的關(guān)鍵．20．（6分）把下列各數(shù)在數(shù)軸上表示出來(lái)，并將它們按從小到大的順序用“＜”連接起來(lái)：﹣（﹣4），﹣|﹣6|，0，﹣1.5，3．【分析】根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的表示方法，可直接得出答案．【解答】解：（1）如圖所示；（2）﹣|﹣6|＜﹣1.5＜0＜3＜﹣（﹣4）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的大小比較，數(shù)軸，把“數(shù)”和“形”結(jié)合起來(lái)，二者互相補(bǔ)充，相輔相成，把很多復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問題，在學(xué)習(xí)中要注意培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．21．（18分）計(jì)算：（1）﹣8+4÷（﹣2）；（2）；（3）﹣32÷+÷（﹣2）2．【分析】（1）首先計(jì)算除法，然后計(jì)算加法，求出算式的值是多少即可．（2）應(yīng)用乘法分配律，求出算式的值是