17.1勾股定理（原卷版）

八年級下冊數(shù)學(xué)《第十七章勾股定理》17.1勾股定理知識點一勾股定理知識點一勾股定理●勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2.◆1、勾股定理的應(yīng)用條件：勾股定理只適用于直角三角形；◆2、勾股定理揭示的是直角三角形三邊的關(guān)系，已知直角三角形中的任意兩邊可以求出第三邊.◆3、勾股定理的幾種變形式：勾股定理將“數(shù)”與“形”聯(lián)系起來，體現(xiàn)了直角三角形三邊之間的等量關(guān)系.如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，則a2+b2=c2、a2=c2b2、b2=c2a2；、、.【拓展】◎1、銳角三角形的三邊關(guān)系是：在銳角三角形中，若三邊長分別為a，b，c，其中c為最大邊，則a2+b2＞c2.◎2、鈍角三角形的三邊關(guān)系是：在鈍角三角形中，若三邊長分別為a，b，c，其中c為最大邊，則a2+b2＜c2.知識點二知識點二勾股定理的證明●通過拼圖證明勾股定理的思路：（1）圖形經(jīng)過割補拼接后，只要沒有重疊、沒有空隙，面積就不會改變.（2）根據(jù)同一種圖形的面積的不同表示方法列出等式.（3）利用等式性質(zhì)變化驗證結(jié)論成立，即拼出圖形→寫出圖形面積的表達式→找出等量關(guān)系→恒等變形→推導(dǎo)命題結(jié)論.●下面列舉幾種證明方法：◆1、“趙爽弦圖”證明：在圖1中，大正方形的面積等于四個全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和．即c2=12ab×4+（b﹣a）化簡得：a2+b2＝c2．◆2、我國數(shù)學(xué)家鄒元治的證明方法證明：在圖2中，大正方形的面積等于四個全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和．即（a+b）2＝c2+12化簡得：a2+b2＝c2．◆3、美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”證明：在圖3中，梯形的面積等于三個直角三角形的面積的和．即12（a+b）（a+b）=12ab×2+化簡得：a2+b2＝c2．知識點三知識點三勾股定理的應(yīng)用利用勾股定理，可以解決與直角三角形有關(guān)的計算和證明題，在解決過程中，往往利用勾股定理列方程（組），有時需要通過作輔助線來構(gòu)造直角三角形，化非直角三角形為直角三角形來解決.◆勾股定理應(yīng)用的類型：（1）已知直角三角形的任意兩邊長求第三邊長；（2）已知直角三角形的一邊長確定另兩邊長的關(guān)系；（3）證明包含平方（算術(shù)平方根）關(guān)系的幾何問題；（4)作長為n(n＞1，且n為整數(shù))的線段；（5）對于一些非直角三角形的幾何問題和日常生活中的實際問題，首先要建立直角三角形的模型，然后利用勾股定理構(gòu)建方程或方程組解決.【注意】勾股定理的應(yīng)用的前提條件必須是直角三角形，所以要應(yīng)用勾股定理必須構(gòu)造直角三角形.知識點四知識點四利用勾股定理作長為n的線段(n＞1，且n為整數(shù))實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的，有理數(shù)在數(shù)軸較易找到它對應(yīng)的點，但要在數(shù)軸上直接標出無理數(shù)對應(yīng)的點則較難，因此，我們可以利用勾股定理作長為n(n＞1，且n為整數(shù))的線段，進而在數(shù)軸上畫出表示n(n＞1，且n為整數(shù))的點.◆在數(shù)軸上表示n的步驟：①利用勾股定理求出長為n的線段；②在數(shù)軸上以原點為圓心，以長為n的線段長為半徑畫弧與數(shù)軸的正方向相交，則交點為表示n的點.題型一利用勾股定理求直角三角形的邊長題型一利用勾股定理求直角三角形的邊長【例題1】已知一個直角三角形的兩邊長分別為3和4，則第三邊長是（）A．5 B．7 C．5或7 D．以上都不對解題技巧提煉利用勾股定理求直角三角形的邊長的步驟：一分，即分清哪條邊是斜邊，哪條邊是直角邊；二代，即將已知邊長代入a2+b2=c2（c為斜邊）；三化簡求值，若已知的兩邊可能都是直角邊，也可能是直角邊與斜邊，則應(yīng)利用分類討論思想分兩種情況討論.【變式11】在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）若a＝b＝5，求c；（2）若a＝5，∠A＝30°，求b，c．【變式12】（2021秋?桐城市校級期中）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，∠B＝60°，∠C＝45°．（1）求∠BAC的度數(shù)．（2）若AC＝2，求AD的長．【變式13】（2022秋?東方期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD平分∠BAC，則AD等于（）A．6 B．7 C．8 D．9【變式14】（2022秋?新泰市期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，則點C到直線AB的距離是（）A．185 B．3 C．125【變式15】（2021春?連州市期中）如圖所示，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一點，∠BAE＝∠DEC＝60°，AB＝3，CE＝4，則AD等于（）A．10 B．12 C．24 D．48【變式16】（2022春?河北區(qū)期末）如圖，在△ABC中，CD⊥AB于點D，AC＝20，CD＝12，BD＝9．求AB與BC的長．【變式17】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，DE垂直平分AB，分別交AB、BC于點D、E，AP平分∠BAC，與DE的延長線交于點P．（1）求PD的長度；（2）連接PC，求PC的長度．題型二勾股定理的證明題型二勾股定理的證明【例題2】勾股定理的驗證方法很多，用面積（拼圖）證明是最常見的一種方法．如圖所示，一個直立的長方體在桌面上慢慢地倒下，啟發(fā)人們想到勾股定理的證明方法，設(shè)AB＝c，BC＝a，AC＝b，證明中用到的面積相等關(guān)系是（）A．S△ABC+S△ABD＝S△AFG+S△AEF B．S梯形BCEF＝S△ABC+S△ABF+S△AEF C．S△BDH＝S△FGH D．S梯形BCEF＝S△ABC+S△ABF+S△AEF+S△FGH解題技巧提煉勾股定理的證明主要是通過拼圖，利用面積的關(guān)系完成的，拼圖常用補拼法和疊合法兩種方法，補拼時要無重疊，疊合時要無空隙；而用面積關(guān)系驗證勾股定理時的關(guān)鍵是要找到一些特殊圖形（如直角三角形，正方形等）的面積之和等于整個圖形的面積，從而達到驗證的目的.【變式21】（2022春?三門峽期末）我國是最早了解勾股定理的國家之一．據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，勾股定理的證明是在商代由商高發(fā)現(xiàn)的，故又稱之為“商高定理”；三國時代的趙爽對《周髀算經(jīng)》內(nèi)的勾股定理作出了詳細注釋，又給出了另外一個證明．古代印度、希臘、阿拉伯等許多國家也都很重視對勾股定理的研究和應(yīng)用．下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（）A．B． C．D．【變式22】如圖是“趙爽弦圖”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四個全等的直角三角形，四邊形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于（）A．2 B．4 C．6 D．8【變式23】（2022春?高安市期中）勾股定理被譽為“幾何明珠”，如圖是我國古代著名的“趙爽弦圖”，它由4個全等的直角三角形拼成，已知大正方形面積為25，小正方形面積為1，若用a、b表示直角三角形的兩直角邊（a＞b），則下列說法：①a2+b2＝25，②a﹣b＝1，③ab＝12，④a+b＝7．正確的是（）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【變式24】如圖1是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的．若AC＝6，BC＝5，將四個直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到如圖2所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個風(fēng)車的外圍周長是（）A．36 B．76 C．66 D．12【變式25】將四塊全等的直角三角紙板拼成如圖1所示的圖案，你能由此確定出直角三角形三邊長a，b，c之間的關(guān)系嗎？試試看．（1）大正方形的面積可以表示為，又可以表示為，從而可得到．（2）若將這四塊紙板拼成如圖2所示的圖案，你能通過對比圖1與圖2，換一種方法證明勾股定理嗎？【變式26】（2022春?巢湖市校級期中）學(xué)習(xí)勾股定理之后，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)證明勾股定理有很多方法．某同學(xué)提出了一種證明勾股定理的方法：如圖1點B是正方形ACDE邊CD上一點，連接AB，得到直角三角形ACB，三邊分別為a，b，c，將△ACB裁剪拼接至△AEF位置，如圖2所示，該同學(xué)用圖1、圖2的面積不變證明了勾股定理．請你寫出該方法證明勾股定理的過程．題型三構(gòu)造直角三角形求線段的長題型三構(gòu)造直角三角形求線段的長【例題3】解題技巧提煉利用勾股定理求非直角三角形中線段長的方法：作三角形一邊上的高，將其轉(zhuǎn)化為兩個直角三角形，然后利用勾股定理并結(jié)合已知條件，采用推理或列方程的方法解決問題.【變式31】（2021春?齊齊哈爾月考）已知：△ABC中，AC＝2，∠C＝30°，∠B＝45°，求AB和BC的長．【變式32】（2022春?陽新縣期末）△ABC中，AB＝13，AC＝15，高AD＝12，則BC的長為（）A．14 B．4 C．14或4 D．以上都不對【變式33】（2022秋?齊齊哈爾月考）如圖，在△ABC中，AC＝12，∠C＝45°，∠B＝120°，求BC的長．題型四利用勾股定理作長為題型四利用勾股定理作長為n的線段【例題4】小明學(xué)了在數(shù)軸上表示無理數(shù)的方法后，進行了練習(xí)：首先畫數(shù)軸，原點為O，在數(shù)軸上找到表示數(shù)2的點A，然后過點A作AB⊥OA，使AB＝1；再以O(shè)為圓心，OB的長為半徑作弧，交數(shù)軸正半軸于點P，那么點P表示的數(shù)是（）A．2.2 B．5 C．1+2 D．解題技巧提煉作長為n的線段的步驟：（1）設(shè)法將n表示成兩個整數(shù)的平方和；（2）構(gòu)造直角三角形，使直角三角形的兩條直角邊等于第一步得出的兩個整數(shù)的值，斜邊即為長為n的線段.【變式41】（2021秋?招遠市期末）如圖，點O為數(shù)軸的原點，點A和B分別對應(yīng)的實數(shù)是﹣1和1．過點B作BC⊥AB，以點B為圓心，OB長為半徑畫弧，交BC于點D；以點A為圓心，AD長為半徑畫弧，交數(shù)軸的正半軸于點E，則點E對應(yīng)的實數(shù)是．【變式42】（2021春?崆峒區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝1，BC在數(shù)軸上，以B點為圓心，AB長為半徑畫弧，交數(shù)軸于點D，則D點表示的數(shù)是．【變式43】（2022秋?鄞州區(qū)校級期中）如圖，2×2方格的每一方格的邊長為1個單位，依次連接各邊的中點A，B，C，D，則數(shù)軸上點C對應(yīng)的數(shù)是，線段CD長是，以頂點C為圓心，CD長為半徑畫圓交數(shù)軸于點P，則數(shù)軸上點P對應(yīng)的無理數(shù)是．【變式44】（2022秋?鄞州區(qū)校級月考）如圖（1）在4×4的方格中，每個小正方形的邊長均為1．（1）求圖（1）中正方形ABCD的面積為；邊長為．（2）如圖（2），若點A在數(shù)軸上表示的數(shù)是﹣1，以A為圓心，AD長為半徑畫圓弧與數(shù)軸的正半軸交于點E，求點E表示的數(shù)為．題型五利用勾股定理直接求圖形的面積題型五利用勾股定理直接求圖形的面積【例題5】（2022春?范縣期中）如圖，正方形ABCD中，AE⊥BE，且AE＝3，AB＝5，則陰影部分的面積是（）A．13 B．15 C．18 D．19解題技巧提煉求不規(guī)則圖形的面積的方法：首先通過添加輔助線，將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形（如直角三角形，長方形等），然后利用規(guī)則圖形的特殊性質(zhì)，求出相應(yīng)線段的長，最后求出面積.【變式51】（2021秋?桓臺縣期中）如圖，求等腰三角形ABC的面積．【變式52】（2022春?桐城市期末）如圖2，在△ABC中，AC＝8，AB＝4，∠BAC＝120°，求△ABC的面積．【變式53】（2021春?拱墅區(qū)校級月考）如圖在四邊形ABCD中，∠ABC＝120°，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝4，CD＝5，求該四邊形的面積．題型六利用圖形面積之間的關(guān)系求圖形的面積題型六利用圖形面積之間的關(guān)系求圖形的面積【例題6】（2022秋?渠縣期末）如圖，所有陰影部分四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面積依次為4、6、18，則正方形B的面積為（）A．8 B．9 C．10 D．12解題技巧提煉與直角三角形三邊相連的正方形、半圓及正多邊形、圓都具有相同的結(jié)論：兩直角邊上的圖形之和等于斜邊上的圖形的面積.【變式61】（2022秋?南京期末）如圖，在等腰Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，且AB＝22，以邊AB、AC、BC為直徑畫半圓，其中所得兩個月形圖案AFCD和BGCE（圖中陰影部分）的面積之和等于（）A．8 B．4 C．2 D．42【變式62】（2022秋?泗洪縣期中）如圖，S1、S2、S3分別是以Rt△ABC的三邊為直徑所畫半圓的面積，其中S1＝10π，S2＝6π，則S3＝．【變式63】（2022秋?綠園區(qū)校級期末）如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為16cm，則正方形A，B，C，D的面積之和為cm2．【變式64】下圖是英國牧師佩里加爾證明勾股定理的“水車翼輪法”，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，互相垂直的線段MN，PQ將正方形BFHC分為面積相等的四部分，這四個部分和以AC為邊的正方形恰好拼成一個以AB為邊的正方形．若正方形ACDE的面積為5，△CQM的面積為1，則正方形CBFH的面積為（）A．11 B．12 C．13 D．14題型七用勾股定理進行證明題型七用勾股定理進行證明【例題7】如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2+CD2＝2AB2．（1）求證：AB＝BC；（2）當BE⊥AD于E時，試證明：BE＝AE+CD．解題技巧提煉證明線段的平方關(guān)系的方法：對于帶有平方運算的問題，主要思路是找出或構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理并結(jié)合等量代換和代數(shù)中的恒等變形進行轉(zhuǎn)化.【變式71】已知AD是△ABC的中線，∠C＝90°，DE⊥AB于點E，試說明AC2＝AE2﹣BE2．【變式72】已知，如圖，△ABC中，AB＞AC，AD為BC邊上的高，M是AD邊上任意一點．求證：AB2﹣AC2＝MB2﹣MC2．【變式73】如圖：在等腰直角三角形中，AB＝AC，點D是斜邊BC上的中點，點E、F分別為AB，AC上的點，且DE⊥DF．（1）若設(shè)BE＝a，CF＝b，滿足a?12+|b﹣5|=m?2+2?m，求（2）求證：BE2+CF2＝EF2．（3）在（1）的條件下，求△DEF的面積．【變式74】（2022秋?金湖縣期中）在△ABC中，BC＝a，CA＝b，AB＝c．若∠C為直角，則a2+b2＝c2；若∠C為銳角或鈍角，則a2+b2與c2之間有怎樣的大小關(guān)系呢？我們一起進行探究吧．（1）閱讀并填空：如圖1，若∠C為銳角，則a2+b2＞c2．證明：如圖2，過點A作AD⊥BC于點D，則BD＝BC﹣CD＝a﹣CD．在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2，在Rt△ACD中，AD2＝，∴．即c2﹣（a﹣CD）2＝b2﹣CD2，∴a2+b2﹣c2＝2a?CD．∵a＞0，CD＞0，∴a2+b2﹣c2＞0，∴a2+b2＞c2．（2）解答問題：如圖3，若∠C為鈍角，試推導(dǎo)a2+b2與c2的大小關(guān)系．題型八利用勾股定理解決實際問題題型八利用勾股定理解決實際問題【例題8】（2021秋?峨邊縣期末）如圖，有兩棵樹，一棵高8m，另一棵高2m，兩樹相距8m，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，至少飛行（）A．6m B．8m C．10m D．18m解題技巧提煉生活中的一些實際問題常常通過構(gòu)建數(shù)學(xué)模型（直角三角形）來求解，勾股定理在生活中應(yīng)用廣泛，建立的模型有時并不是已知兩邊求三邊，而只是告訴了其中一些關(guān)系，一般可設(shè)未知數(shù)，用未知數(shù)表示它們之間的關(guān)系，然后根據(jù)勾股定理列方程解決問題.【變式81】（2021秋?高新區(qū)校級月考）如圖，在波平如鏡的湖面上，有一朵盛開的美麗的紅蓮，它高出水面3尺．突然一陣大風(fēng)吹過，紅蓮被吹至一邊，花朵剛好齊及水面，如果知道紅蓮移動的水平距離為6尺，則水深尺．【變式82】（2022秋?南關(guān)區(qū)校級期末）如圖，在高為3米，斜坡長為5米的樓梯臺階上鋪地毯，則地毯的長度至少要（）A．5米 B．6米 C．7米 D．8米【變式83】（2022