6.2.4向量的數(shù)量積（第二課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì)-2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

教學(xué)設(shè)計(jì)課題6.2.4《向量的數(shù)量積》（第二課時(shí)）課型新授課一、內(nèi)容及其解析1.內(nèi)容平面向量的數(shù)量積用2課時(shí)．第1課時(shí)：平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義；第2課時(shí)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律．向量的數(shù)量積是繼向量的加法、減法、向量的數(shù)乘等線性運(yùn)算之后又一新的運(yùn)算，內(nèi)容包括向量數(shù)量積的定義、投影向量、向量數(shù)量積的性質(zhì)、運(yùn)算律及其應(yīng)用，既是前面知識的延續(xù)，又是后續(xù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，具有承上啟下的作用.研究向量數(shù)量積的基本思路和向量線性運(yùn)算的研究路徑具有相似之處，但是向量數(shù)量積的運(yùn)算又具有獨(dú)特性質(zhì).在學(xué)習(xí)中可以類比向量線性運(yùn)算的研究思路，從物理背景出發(fā)定義向量數(shù)量積，從代數(shù)和幾何兩個角度認(rèn)識向量的數(shù)量積.同時(shí)，要注意提醒學(xué)生將向量線性運(yùn)算和向量數(shù)量積進(jìn)行對比，準(zhǔn)確認(rèn)識向量數(shù)量積的概念和性質(zhì).內(nèi)容解析單元知識結(jié)構(gòu)圖內(nèi)容的本質(zhì)：本單元是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了平面向量線性運(yùn)算的基礎(chǔ)上，以物理中功的概念，引入向量“數(shù)量積”的概念．向量的數(shù)量積運(yùn)算結(jié)果是實(shí)數(shù)，它不僅滿足交換律，而且對加法滿足分配律．向量數(shù)量積可以刻畫兩個向量的夾角和向量的長度（可以看成兩點(diǎn)間的距離），而距離和角又是刻畫幾何元素（點(diǎn)、線、面）之間度量關(guān)系的基本量．因此，向量數(shù)量積在解決平面幾何問題中發(fā)揮著獨(dú)到的作用．向量的數(shù)量積是一種新的向量運(yùn)算，與向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算一樣，它也有明顯的物理意義、幾何意義．但與向量的線性運(yùn)算不同的是，它的運(yùn)算結(jié)果不是向量而是數(shù)量．本單元在研究平面向量的數(shù)量積時(shí)，借助物理中的有關(guān)模型或借助與數(shù)的運(yùn)算的類比，如借助物理中功的概念引出數(shù)量積的概念；借助與數(shù)的運(yùn)算的類比，發(fā)現(xiàn)數(shù)量積的運(yùn)算律．本單元的內(nèi)容蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合、類比、歸納、抽象等數(shù)學(xué)思想方法.知識的上下位關(guān)系：育人價(jià)值：培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)．學(xué)情分析平面向量數(shù)量積是學(xué)生在完整學(xué)習(xí)了向量線性運(yùn)算的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，學(xué)生對于向量運(yùn)算已經(jīng)有了豐富的研究經(jīng)驗(yàn)，對其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法也有了較為全面的認(rèn)識，所以教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生類比已學(xué)知識，明確研究路徑，啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行自主探究.學(xué)生具有力、功等物理知識的基礎(chǔ)，在借助物理背景定義向量數(shù)量積的過程中，要充分利用物理模型進(jìn)行知識遷移，從力的分解角度認(rèn)識分力做功，為后續(xù)學(xué)習(xí)投影向量做鋪墊，認(rèn)識投影向量和數(shù)量積的關(guān)系.從力做功的公式出發(fā)，從向量運(yùn)算的視角描述，容易想到需要先定義兩個向量的夾角.在明確向量夾角的概念后，再定義向量的數(shù)量積就水到渠成了.得到向量數(shù)量積的計(jì)算公式是容易的，但是要進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生全面認(rèn)識向量的數(shù)量積.由于學(xué)生具有認(rèn)知慣性，教學(xué)中需要提醒學(xué)生注意區(qū)別向量的線性運(yùn)算，向量數(shù)量積的運(yùn)算結(jié)果是實(shí)數(shù)而不是向量.雖然向量的數(shù)量積是實(shí)數(shù)，但是兩個向量的大小和方向仍然影響著運(yùn)算結(jié)果，通過向量數(shù)量積的定義認(rèn)識到運(yùn)算結(jié)果的大小與向量模長、夾角的關(guān)系，也為投影向量的研究打下基礎(chǔ).在研究投影向量時(shí)，需要在分類討論的基礎(chǔ)上進(jìn)行抽象，對學(xué)生幾何直觀和歸納概括的能力要求較高，具有一定的難度.在教學(xué)時(shí)要通過“如何確定投影向量的大小和方向”“影響投影向量大小和方向的因素有哪些”等問題引導(dǎo)學(xué)生，初步感知投影向量與數(shù)量積之間的關(guān)系，為第二課時(shí)研究向量數(shù)量積的運(yùn)算律打下基礎(chǔ).研究向量數(shù)量積的性質(zhì)也是一個重難點(diǎn)，由于數(shù)量積的運(yùn)算結(jié)果是實(shí)數(shù)，向量“形”的特點(diǎn)好像消失了.在教學(xué)中需要強(qiáng)調(diào)向量具有代數(shù)和幾何的特性，一方面是基于投影向量的概念認(rèn)識數(shù)量積的幾何意義，一方面是從代數(shù)和幾何兩個層面研究數(shù)量積的性質(zhì)，體現(xiàn)了從一般到特殊、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.在研究向量數(shù)量積的運(yùn)算律中，對分配律的研究是一個難點(diǎn)，需要借助投影向量的概念進(jìn)行研究。由于學(xué)生在第一課時(shí)剛獲得這個概念，可能尚未完成對概念的自主建構(gòu)，因此可能不能熟練運(yùn)用這個新概念與運(yùn)算律的探究過程之中。另外學(xué)生可能天然的認(rèn)為實(shí)數(shù)乘法運(yùn)算的相關(guān)運(yùn)算定律都能類比到向量的數(shù)量積，但事實(shí)上并非如此。這種類比帶來的錯誤的遷移也是本課學(xué)生學(xué)習(xí)的一個難點(diǎn)。目標(biāo)及其解析1.課時(shí)目標(biāo)（1）通過類比實(shí)數(shù)乘法的運(yùn)算定律，研究向量數(shù)乘的運(yùn)算定律，體會類比作為一種合情推理，其結(jié)論不一定正確的特點(diǎn)，發(fā)展高階思維和理性競賽，提升邏輯推理素養(yǎng).（2）通過對數(shù)量積運(yùn)算的運(yùn)算律的論證，加深對向量數(shù)量積幾何意義的理解，體會數(shù)形結(jié)合的思想，提升直觀想象素養(yǎng).（3）通過應(yīng)用數(shù)量積解決一些幾何問題，初步感受代數(shù)方法解決幾何問題的基本思想，體會向量的工具性作用，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).2.目標(biāo)解析達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：能類比實(shí)數(shù)乘法的運(yùn)算定律，猜想數(shù)量積運(yùn)算可能滿足的定律，能對其中成立的定律進(jìn)行論證，能對其中不成立的定律舉出反例.能夠自己構(gòu)建幾何圖形，并借助向量數(shù)量積的幾何意義完成對分配律的證明；能夠應(yīng)用向量的數(shù)量積運(yùn)算定義及相關(guān)性質(zhì)和運(yùn)算率，解決一些簡單的求兩點(diǎn)間距離、夾角、垂直等相關(guān)問題.教學(xué)問題診斷分析教學(xué)問題一：在研究向量數(shù)量積的運(yùn)算律中，對分配律的研究是一個難點(diǎn)，需要借助投影向量的概念進(jìn)行研究。向量投影的本質(zhì)是高維空間向低維空間的線性變換，從而得到和向量共線的投影向量.基于投影向量理解向量數(shù)量積的幾何意義，認(rèn)識投影向量與數(shù)量積的關(guān)系，對于后續(xù)研究向量數(shù)量積的性質(zhì)、運(yùn)算律打下基礎(chǔ).學(xué)生在第一課時(shí)剛獲得這個概念，可能尚未完成對概念的自主建構(gòu)，因此不能熟練運(yùn)用這個新概念與運(yùn)算律的探究過程之中。在本課的起始階段，應(yīng)該重點(diǎn)就投影向量的概念、數(shù)量積的幾何意義進(jìn)行系統(tǒng)的復(fù)習(xí)；教學(xué)問題二：學(xué)生可能天然的認(rèn)為實(shí)數(shù)乘法運(yùn)算的相關(guān)運(yùn)算定律都能類比到向量的數(shù)量積，但事實(shí)上并非如此。數(shù)量積交換律和分配律依然成立，但是結(jié)合律和消去律不在成立。結(jié)合律不成立的原因在于任何兩個向量的數(shù)量積都是實(shí)數(shù)，此時(shí)無法在與第三個向量進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算了；而任意兩個向量，如果在第三個向量上的投影向量相等，那么這兩個向量分別與第三個向量的數(shù)量積便相等，這使得消去律不再成立.教學(xué)中教師應(yīng)該設(shè)計(jì)好教學(xué)活動和學(xué)習(xí)任務(wù)，使得學(xué)生能夠數(shù)形結(jié)合，圖文并茂的把這些可能產(chǎn)生認(rèn)知障礙的地方生探究清楚；教學(xué)問題三：本課還需要借助數(shù)量積運(yùn)算的運(yùn)算律推導(dǎo)一些數(shù)量積運(yùn)算的公式，比如完全平方和公式、平方差公式等.并且借助這些公式解決兩點(diǎn)間距離問題，垂直的轉(zhuǎn)化，兩向量夾角余弦的計(jì)算等.這些剛習(xí)得新知部分學(xué)生可能尚未來得及內(nèi)化，因此在應(yīng)用過程中也可能產(chǎn)生一些障礙。教師在教學(xué)中，應(yīng)該合理的搭建好腳手架，設(shè)計(jì)分層次的學(xué)習(xí)任務(wù)供給學(xué)生探究，逐步完成對相關(guān)知識的自主建構(gòu)，并能運(yùn)用相關(guān)知識解決平面幾何中的一些簡單的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系的判斷、證明、計(jì)算求解等.五、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：向量數(shù)量積運(yùn)算的分配律、向量數(shù)量積的應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn)：向量數(shù)量積的分配律的證明.向量數(shù)量積消去律不成立的反列構(gòu)建.六、教學(xué)支持條件分析為了加強(qiáng)學(xué)生對投影過程的認(rèn)識，可以通過信息技術(shù)給出一個向量向另一個向量投影的過程，并通過改變向量模長和向量夾角，讓學(xué)生觀察投影向量大小和方向的變化，在持續(xù)變化過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律.七、學(xué)習(xí)評價(jià)設(shè)計(jì)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)評價(jià)關(guān)注學(xué)生知識技能的掌握，更關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展，制定科學(xué)合理的學(xué)業(yè)質(zhì)量要求，促進(jìn)學(xué)生在不同學(xué)習(xí)階段數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)水平的達(dá)成.評價(jià)既要關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果，更要重視學(xué)生學(xué)習(xí)的過程.評價(jià)方式：本節(jié)課對學(xué)生學(xué)習(xí)效果及教師自身教學(xué)效果的評價(jià)，圍繞教學(xué)目標(biāo)的落實(shí)情況，以過程性評價(jià)為主，形成性評價(jià)為輔的原則進(jìn)行.（一）過程性評價(jià)在課堂教學(xué)過程中，從學(xué)生的參與程度、概括能力、推理能力、學(xué)習(xí)興趣、交流合作、情緒情感方面對學(xué)習(xí)進(jìn)行評價(jià).通過觀察，對學(xué)生的學(xué)習(xí)過程進(jìn)行評價(jià)，包括學(xué)習(xí)態(tài)度、參與小組合作學(xué)習(xí)的積極程度（是否能積極進(jìn)行思考、表達(dá)自己的想法、傾聽別人的想法并提出意見和建議）、能否理解并有條理地表達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)容.評價(jià)量規(guī):評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)評價(jià)內(nèi)容非常好比較好一般不太好不學(xué)習(xí)態(tài)度注意力非常集中，非常主動、積極地參與到教學(xué)活動中注意力比較集中，很主動、積極地參與到教學(xué)活動中注意力基本能集中，能主動、積極地參與到教學(xué)活動中注意力不太集中，被動地參與任何教學(xué)活動注意力不集中，不參與任何教學(xué)活動獨(dú)立思考對于老師提出的問題積極進(jìn)行思考，并表達(dá)自己的想法，還能提出問題對于老師提出的問題積極進(jìn)行思考，并愿意表達(dá)自己的想法對于老師提出的問題進(jìn)行思考，但不愿表達(dá)自己的想法對于老師提出的問題進(jìn)行思考，沒有想法對于老師提出的問題不進(jìn)行思考參與小組合作非常積極地組織并主動參與小組合作主動參與小組合作能參與小組合作在小組合作中只聽別人說，自己不思考，不動手不參與小組合作表達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)容理解并有條理地表達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)容理解并并能用自己的語言表達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)容明白數(shù)學(xué)內(nèi)容但表達(dá)的不清晰對數(shù)學(xué)內(nèi)容不十分清楚，表達(dá)不出不愿表達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)容自我反思習(xí)慣對自己學(xué)習(xí)中的情況進(jìn)行反思經(jīng)常對自己學(xué)習(xí)中的情況進(jìn)行反思對自己學(xué)習(xí)中的情況能進(jìn)行反思很少對自己學(xué)習(xí)中的情況進(jìn)行反思不對自己學(xué)習(xí)中的情況進(jìn)行反思（二）階段性評價(jià)通過針對性練習(xí)的完成情況對學(xué)生的階段性學(xué)習(xí)成果進(jìn)行評價(jià).八、課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)本課時(shí)教學(xué)流程圖：【環(huán)節(jié)一】復(fù)習(xí)回顧、情境引入【問題1】

向量與的數(shù)量積的含義是什么？向量的數(shù)量積具有哪些運(yùn)算性質(zhì)？【預(yù)設(shè)】學(xué)生獨(dú)立思考并回答：，其中為向量與的夾角．設(shè)是非零向量，它們的夾角是，是與方向相同的單位向量，則（1）．（2）．（3）當(dāng)與同向時(shí)，；當(dāng)與反向時(shí)，．特別地，或．此外，由還可以得到．【追問】

向量與的數(shù)量積的含義是什么？向量的數(shù)量積具有哪些運(yùn)算性質(zhì)？【預(yù)設(shè)】與的數(shù)量積等于在上的投影向量與的數(shù)量積.設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)數(shù)量積的概念，為后續(xù)學(xué)習(xí)運(yùn)算律打基礎(chǔ)．本課的各類運(yùn)算律的證明都需要用向量的投影等知識，而本課的數(shù)量積的應(yīng)用要用到數(shù)量積的這些運(yùn)算性質(zhì)，因此這個環(huán)節(jié)至關(guān)重要.通過本環(huán)節(jié)的復(fù)習(xí)回復(fù)，引導(dǎo)學(xué)生完成對向量的數(shù)量積的相關(guān)知識的梳理，以便幫助學(xué)生順利完成本課的探究.【環(huán)節(jié)二】類比探究、結(jié)構(gòu)初建【問題2】

類比數(shù)的乘法運(yùn)算律，結(jié)合向量的線性運(yùn)算的運(yùn)算律，你能得到數(shù)量積運(yùn)算的哪些運(yùn)算律？能證嗎？【預(yù)設(shè)】由向量數(shù)量積的定義，可以發(fā)現(xiàn)下列運(yùn)算律成立：對于向量和實(shí)數(shù)，有①；②；③．師生活動：（1）學(xué)生獨(dú)立證明①、②；（2）教師與學(xué)生一起利用向量數(shù)量積的幾何意義證明分配律③．證明：如圖，任取一點(diǎn)，作．設(shè)與的夾角分別為，它們在上的投影分別為，與方向相同的單位向量為，則，因?yàn)?，所以，則，即，整理，得所以，即．所以．因此．所以向量的數(shù)量積運(yùn)算滿足分配律．【追問】同學(xué)證明的過程中，都是銳角，如果這些角不全是銳角，圖象畫出來可能是什么樣的？證明過程是否會受影響？【預(yù)設(shè)】學(xué)生可能作出多種圖象，比如：但是證明過程不需要作任何修改，因?yàn)槲覀兪墙柚蛄康倪\(yùn)算完成的證明，并沒有依賴圖形.設(shè)計(jì)意圖：通過對分配律的證明，一方面可以加深學(xué)生對數(shù)量積的幾何意義的理解，幫助完善投影向量結(jié)構(gòu)構(gòu)建，另一方面也是從合情推理上升到邏輯推理的一個過程，有利于學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)的提升與發(fā)展.同時(shí)，利用向量運(yùn)算進(jìn)行證明的過程并不受制于幾何圖形間的關(guān)系，可以使得學(xué)生體會到向量方法的優(yōu)越性.【環(huán)節(jié)三】合作交流、結(jié)構(gòu)完善【問題3】請同學(xué)們交流討論，是否存在一些對實(shí)數(shù)成立的運(yùn)算律，但是對數(shù)量積運(yùn)算不再成立？【預(yù)設(shè)】設(shè)是向量，不一定成立.【追問】這種說法正確嗎？同學(xué)們同意嗎？【預(yù)設(shè)】對于實(shí)數(shù)，有；但對于向量，寫處來就不對，因?yàn)槭且粋€實(shí)數(shù)，實(shí)數(shù)和向量不能用點(diǎn)乘符號連接.【追問】那寫成是否成立？【預(yù)設(shè)】這種寫法也不對，數(shù)乘運(yùn)算時(shí)，數(shù)必須寫在向量前面，只有，沒有.【追問】如果寫出呢？【預(yù)設(shè)】依然不正確，這是因?yàn)楸硎疽粋€與共線的向量，而表示一個與共線的向量，而與不一定共線，所以不一定成立．【預(yù)設(shè)】對于實(shí)數(shù)，如果，并且，便可以得到，那么對向量，當(dāng)時(shí)，是否能由得到呢？【預(yù)設(shè)】不能，可以根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義構(gòu)建反例.如圖，，但是.設(shè)計(jì)意圖：一方面通過實(shí)數(shù)乘法的一些運(yùn)算律類比到數(shù)量積，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)有的依然成立，但是有的不一定成立.類比推理是一種合情推理，其結(jié)論不一定正確.因此一般需要借助類比歸納進(jìn)行猜想，進(jìn)行邏輯推理進(jìn)行證明．提升邏輯推理素養(yǎng).另一方面，通過從正、反兩方面，探究數(shù)量積的運(yùn)算律，完成對數(shù)量積單元知識的整合，對單元結(jié)構(gòu)進(jìn)行修整和重建，進(jìn)一步形成學(xué)生基于自身認(rèn)知的知識結(jié)構(gòu)體系.【環(huán)節(jié)四】鞏固應(yīng)用、結(jié)構(gòu)完善例1

我們知道，對任意，恒有.對任意向量，是否也有下面類似的結(jié)論？（1）；（2）.解：（1）；（2）．因此，上述結(jié)論是成立的．例2

已知的夾角為，求．解：例3

已知，且不共線．當(dāng)為何值時(shí)，向量與互相垂直？解：與互相垂直的充要條件是，即．因?yàn)?所以，因此.也就是說，當(dāng)時(shí)，向量與互相垂直.設(shè)計(jì)意圖：通過例題，讓學(xué)生熟悉向量數(shù)量積的運(yùn)算．鞏固向量數(shù)量積的知識，并初步體會數(shù)量積運(yùn)算再解決長度、角度、垂直等幾何位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系中的作用，感受其應(yīng)用價(jià)值.【環(huán)節(jié)五】小結(jié)提升、目標(biāo)檢測【問題4】

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？試從知識、方法、數(shù)學(xué)思想、經(jīng)驗(yàn)等方面談?wù)劊绢A(yù)設(shè)】教師提出問題，學(xué)生相互討論，最后讓學(xué)生陳述其觀點(diǎn)．設(shè)計(jì)意圖：對本節(jié)課作小結(jié)提煉，讓學(xué)生進(jìn)一步理解平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律．板書設(shè)計(jì)向量的數(shù)量積（