二次函數(shù)的應(yīng)用課件

2.4二次函數(shù)的應(yīng)用(1)北師大版九年級數(shù)學(xué)下冊名師導(dǎo)學(xué)基礎(chǔ)鞏固0001CONTANTS目錄能力提升02數(shù)學(xué)◆

名師導(dǎo)學(xué)◆返回目錄知識點(diǎn)

(一)最大面積問題:解這類問題關(guān)鍵是求出面積與有關(guān)量之間的函數(shù)表達(dá)式.圖形分為規(guī)則圖形和不規(guī)則圖形.規(guī)則圖形的面積按照面積公式來求;不規(guī)則圖形的面積問題,可通過割補(bǔ)法,將不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形面積的和或差來求,其中自變量必須滿足實(shí)際意義.數(shù)學(xué)返回目錄(二)二次函數(shù)的應(yīng)用解題步驟:(1)根據(jù)題意找出已知條件.

(2)根據(jù)面積公式或者面積關(guān)系列出面積的二次函數(shù)表達(dá)式.(3)在自變量的取值范圍內(nèi)求二次函數(shù)的最大值,從而求出面積的最大值.

(4)作答.數(shù)學(xué)返回目錄??

典型例題【例】園林部門計(jì)劃在某公園建一個(gè)長方形苗圃ABCD.苗圃的一面靠墻(墻最大可用長度為14米).另三邊用木欄圍成,中間也用垂直于墻的木欄隔開,分成兩個(gè)區(qū)域,并在如圖所示的兩處各留1米寬的門(門不用木欄),建成后所用木欄總長22米,設(shè)苗圃ABCD的一邊CD長為x米.(1)苗圃ABCD的另一邊BC長為

米(用含x的代數(shù)式表示);

數(shù)學(xué)返回目錄(2)若苗圃ABCD的面積為45m,求x的值;(3)當(dāng)x為何值時(shí),苗圃ABCD的面積最大,最大面積為多少平方米?思路點(diǎn)撥:(1)木欄總長22米,兩處各留1米寬的門,設(shè)CD長為x米,即得BC長為(22+2-3x)米,即是24-3x;(2)根據(jù)面積公式列式得:x·(24-3x)=45,即可解得x的值;(3)列出面積關(guān)系式S=x·(24-3x)=-3(x-4)2+48,由二次函數(shù)性質(zhì)可得答案.數(shù)學(xué)返回目錄解:(1)∵木欄總長22米,兩處各留1米寬的門,設(shè)苗圃ABCD的一邊CD長為x米,∴BC長為22-3x+2=24-3x,故答案為:24-3x;(2)根據(jù)題意,得x·(24-3x)=45,解得x=3或x=5,∴x的值為3或5;數(shù)學(xué)返回目錄(3)設(shè)苗圃ABCD的面積為S,則S=x·(24-3x)=-3x2+24x=-3(x-4)2+48,∵-3<0,∴x=4時(shí),S最大為48.答:當(dāng)x為4米時(shí),苗圃ABCD的最大面積為48平方米.數(shù)學(xué)返回目錄??

對應(yīng)練習(xí)

如圖,現(xiàn)有長為24m的籬笆,一面利用墻(墻的最大可用長度l為9m),圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃ABCD.設(shè)AB的長為x米.(1)若要圍成面積為36m2的花圃,則AB的長為多少米?(2)當(dāng)AB的長為多少米時(shí),長方形花圃ABCD的面積最大?最大面積為多少?數(shù)學(xué)返回目錄解:(1)設(shè)AB=x米,根據(jù)題意,得x(24-3x)=36,解得x1=2,x2=6,又∵24-3x≤9,∴x≥5,∴x1=2舍去,∴x=6.答:AB的長為6米.數(shù)學(xué)返回目錄(2)根據(jù)題意,得y=x(24-3x),∴y=-3x2+24x=-3(x-4)2+48,∵a=-3<0,且x≥5在對稱軸直線x=4的右側(cè),∴y隨x的增大而減小,∴當(dāng)x=5時(shí),y有最大值,y最大值=-3×(5-4)2+48=45.答:當(dāng)AB的長為5米時(shí),長方形花圃ABCD的面積最大,最大面積為45平方米.數(shù)學(xué)返回目錄名師點(diǎn)撥:一些幾何圖形的面積與其相關(guān)邊長成二次函數(shù)關(guān)系時(shí),可以用二次函數(shù)的最值求其最大面積.求矩形的最大面積時(shí),通常用含有自變量x的代數(shù)式表示矩形的長與寬,根據(jù)矩形的面積公式構(gòu)造關(guān)于x的二次函數(shù),再結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),利用公式法或配方法求出二次函數(shù)的最大值,同時(shí)要注意自變量的取值范圍.數(shù)學(xué)◆

基礎(chǔ)鞏固◆返回目錄一、選擇題1.在一個(gè)邊長為1的正方形中挖去一個(gè)邊長為x(0<x<1)的小正方形,如果設(shè)剩余部分的面積為y,那么y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為(

)A.y=x2

B.y=1-x2C.y=x2-1 D.y=1-2x解析:設(shè)剩下部分的面積為y,則y=1-x2(0<x<1),故選B.B數(shù)學(xué)返回目錄2.若正方形的邊長為6,邊長增加x,面積增加y,則y關(guān)于x的函數(shù)解析式為

(

)A.y=(x+6)2 B.y=x2+62C.y=x2+6x D.y=x2+12xD解析:原邊長為6的正方形面積為6×6=36,邊長增加x后邊長變?yōu)閤+6,則面積為(x+6)2,∴y=(x+6)2-36=x2+12x.故選D.數(shù)學(xué)返回目錄

B數(shù)學(xué)返回目錄二、填空題1.已知一個(gè)直角三角形兩直角邊長之和為20cm,則這個(gè)直角三角形的最大面積為

.

2.用總長為80m的籬笆圍成一個(gè)面積為Sm2的矩形場地,設(shè)矩形場地的一邊長為xm,則當(dāng)x=

m時(shí),矩形場地的面積S最大.

50

cm2

20數(shù)學(xué)返回目錄三、解答題某農(nóng)場準(zhǔn)備圍建一個(gè)矩形養(yǎng)雞場,其中一邊靠墻(墻的長度為15米),其余部分用籬笆圍成,在墻所對的邊留一道1米寬的門,已知籬笆的總長度為23米.(1)設(shè)圖中AB(與墻垂直的邊)長為x米,則AD的長為

米(請用含x的代數(shù)式表示);

(2)若整個(gè)雞場的總面積為y米2,求y的最大值.24-2x數(shù)學(xué)返回目錄解:根據(jù)題意,得y=x(24-2x)=-2x2+24x=-2(x-6)2+72,∴y的最大值為72米2.數(shù)學(xué)◆

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D

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C數(shù)學(xué)返回目錄

數(shù)學(xué)返回目錄3.從地面豎直向上拋出一小球,小球的高度h(米)與小球的運(yùn)動時(shí)間t(秒)之間的關(guān)系式是h=30t-5t2(0≤t≤6),若拋出小球1秒后再拋出同樣的第二個(gè)小球.則第二個(gè)小球拋出

秒時(shí),兩個(gè)小球在空中的高度相同.

2.5解析:∵h(yuǎn)=30t-5t2=-5(t-3)2+45,∴該函數(shù)的對稱軸是直線t=3,∵拋出小球1秒后再拋出同樣的第二個(gè)小球,兩個(gè)小球在空中的高度相同,∴第二個(gè)小球拋出3-0.5=2.5秒時(shí),兩個(gè)小球在空中的高度相同,故答案為2.5.數(shù)學(xué)返回目錄

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數(shù)學(xué)返回目錄5.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=ax2+bx+c(a>0)與x軸相交于點(diǎn)A(-1,0)和點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C,對稱軸為直線x=1.(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)(用含a的代數(shù)式表示);(2)聯(lián)結(jié)AC,BC,若△ABC的面積為6,求此拋物線的表達(dá)式;(3)在第(2)小題的條件下,點(diǎn)Q為x軸正半軸上一點(diǎn),點(diǎn)G與點(diǎn)C,點(diǎn)F與點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)Q成中心對稱,當(dāng)△CGF為直角三角形時(shí),求點(diǎn)Q的坐標(biāo).數(shù)學(xué)返回目錄解:(1)∵拋物線y=ax2+bx+c(a>0)的對稱軸為直線x=1,而拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,0),∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0),設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+1)(x-3),即y=ax2-2ax-3a,當(dāng)x=0時(shí),y=-3a,∴C(0,-3a).數(shù)學(xué)返回目錄

數(shù)學(xué)返回目錄(3)設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(m,0).過點(diǎn)G作GH⊥x軸,垂足為點(diǎn)H,如圖,∵點(diǎn)G與點(diǎn)C,點(diǎn)F與點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)Q成中心對稱,∴QC=QG,QA=QF=m+1,QO=QH=m,OC=GH=3,∴OF=2m+1,HF=1,當(dāng)∠CGF=90°時(shí),∵∠QGH+∠FGH=90°,∠QGH+∠GQH=90°,∴∠GQH=∠HGF,∴Rt△QGH∽Rt△GFH,數(shù)學(xué)返回目錄

2.4二次函數(shù)的應(yīng)用(2)北師大版九年級數(shù)學(xué)下冊名師導(dǎo)學(xué)基礎(chǔ)鞏固0001CONTANTS目錄能力提升02數(shù)學(xué)◆

名師導(dǎo)學(xué)◆返回目錄知識點(diǎn)

最大利潤問題(一)這類問題反映的是銷售額與單價(jià)、銷售量以及利潤與每件利潤、銷售量間的關(guān)系,應(yīng)掌握以下公式:1.銷售額=銷售單價(jià)×銷售量;

2.利潤=銷售額-總成本=每件利潤×銷售量;3.每件利潤=銷售單價(jià)-成本單價(jià);4.打幾折就是在原價(jià)的基礎(chǔ)上乘百分之幾十,如打6.5折就是原價(jià)乘以65%(即0.65).數(shù)學(xué)返回目錄(二)二次函數(shù)的應(yīng)用解題步驟:(1)根據(jù)題意找出已知條件.

(2)根據(jù)利潤計(jì)算公式列出利潤y與自變量x的二次函數(shù)表達(dá)式.(3)在自變量的取值范圍內(nèi)求二次函數(shù)的最大值,從而求出利潤的最大值.

(4)作答.數(shù)學(xué)返回目錄??

典型例題【例】新年前夕,信業(yè)超市在銷售中發(fā)現(xiàn):某服裝平均每天可售出20套,每套盈利40元.為了迎接新年,商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施,擴(kuò)大銷售量,增加盈利,盡快減少庫存.經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn):如果每套降價(jià)1元,那么平均每天就可多售2套.(1)要想平均每天在銷售服裝上盈利1200元,那么每套應(yīng)降價(jià)多少元?(2)商場要想每天獲取最大利潤,每套應(yīng)降價(jià)多少元?數(shù)學(xué)返回目錄思路點(diǎn)撥:(1)設(shè)降價(jià)x元,根據(jù)“每套利潤×數(shù)量=總利潤”關(guān)系進(jìn)行列方程計(jì)算,但要注意減少庫存的取值取舍;(2)設(shè)總利潤為w元,根據(jù)“每套利潤×數(shù)量=總利潤”關(guān)系列出二次函數(shù)關(guān)系式,用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.數(shù)學(xué)返回目錄解:(1)設(shè)每套應(yīng)降價(jià)x元,根據(jù)題意,得(40-x)(20+2x)=1

200,整理,得2x2-60x+400=0,解得,x1=10,x2=20.∵盡快減少庫存,∴x=20.答:每套應(yīng)降價(jià)20元.數(shù)學(xué)返回目錄

數(shù)學(xué)返回目錄??

對應(yīng)練習(xí)

某經(jīng)銷商以每箱12元的價(jià)格購進(jìn)一批消毒水進(jìn)行銷售,當(dāng)每箱售價(jià)為26元時(shí),日均銷量為60箱.為了增加銷量,該經(jīng)銷商準(zhǔn)備適當(dāng)降價(jià).經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),每箱消毒水降價(jià)1元,則可以多銷售5箱.設(shè)每箱降價(jià)x元,日均銷量為y箱.(1)求日均銷量y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;(2)要使日均利潤為800元,則每箱應(yīng)降價(jià)多少元?(3)如果該經(jīng)銷商想獲得最大的日均利潤,則每箱消毒水應(yīng)降價(jià)多少元最合適?最大日均利潤為多少元?數(shù)學(xué)返回目錄解:(1)∵每箱消毒水降價(jià)1元,則可以多銷售5箱,每箱降價(jià)x元,∴日均銷量增加5x箱,∴日均銷量y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=5x+60.(2)由題意,得(26-x-12)(5x+60)=800,整理,得x2-2x-8=0,解得x1=4,x2=-2(不合題意,舍去);答:要使日均利潤為800元,則每箱應(yīng)降價(jià)4元.數(shù)學(xué)返回目錄(3)設(shè)銷售這種消毒水的日均利潤為w元,由題意,得w=(26-x-12)(5x+60)=-5x2+10x+840=-5(x-1)2+845,∵-5<0,拋物線開口向下,∴當(dāng)x=1時(shí),w有最大值845,答:每箱消毒水降價(jià)1元可獲得最大利潤,最大日均利潤為845元.數(shù)學(xué)返回目錄

數(shù)學(xué)◆

基礎(chǔ)鞏固◆返回目錄一、選擇題1.從地面豎直向上拋出一小球,小球的高度y(米)與小球運(yùn)動的時(shí)間x(秒)之間的關(guān)系式為y=ax2+bx+c(a≠0).若小球在第7秒與第14秒時(shí)的高度相同,則在下列時(shí)間中小球所在高度最高的是

(

)A.第8秒

B.第10秒C.第12秒 D.第15秒B數(shù)學(xué)返回目錄2.某商場降價(jià)銷售一批名牌襯衫,已知所獲利y(元)與降價(jià)金額x(元)之間滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=-2x2+60x+800,則獲利最多為(

)A.15元 B.400元C.800元 D.1250元D數(shù)學(xué)返回目錄3.將進(jìn)貨價(jià)格為35元的商品按單價(jià)40元售出時(shí),能賣出200個(gè),已知該商品單價(jià)每上漲1元,其銷售量就減少5個(gè).設(shè)這種商品的售價(jià)上漲x元時(shí),獲得的利潤為y元,則下列關(guān)系式正確的是(

)A.y=(x-35)(200-5x)B.y=(x+40)(200-10x)C.y=(x+5)(200-5x)D.y=(x+5)(200-10x)解析:根據(jù)題意,可得y=(40+x-35)(200-5x)=(x+5)(200-5x).故選C.C數(shù)學(xué)返回目錄二、填空題1.寒假期間,小明到一家電腦銷售商場做銷售員,期間商場搞了一次促銷活動,他發(fā)現(xiàn)銷售某種型號電腦所獲利潤y(元)與銷售臺數(shù)x滿足關(guān)系式y(tǒng)=-x2+50x+28625,因此小明提醒該商場老板,要獲得最大利潤,這次活動應(yīng)賣出

臺電腦.

25數(shù)學(xué)返回目錄2.將進(jìn)貨單價(jià)為70元的某種商品按零售價(jià)100元售出時(shí),每天能賣出20個(gè);若這種商品的零售價(jià)在一定范圍內(nèi)每降價(jià)1元,其日銷售量就增加2個(gè).則每天的最大利潤為

元.

3.某種商品每件進(jìn)價(jià)為20元,調(diào)查表明:在某段時(shí)間內(nèi)若以每件x元(20≤x≤30,且x為整數(shù))出售,可賣出(30-x)件,若要使利潤最大,則每件商品的售價(jià)應(yīng)為

元.

80025數(shù)學(xué)返回目錄三、解答題某網(wǎng)商經(jīng)銷一種暢銷玩具,每件進(jìn)價(jià)為18元,每月銷量y(件)與銷售單價(jià)x(元)之間的函數(shù)關(guān)系如圖中線段AB所示.(1)寫出毎月銷量y(件)與銷售單價(jià)x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式(含x的取值范圍).數(shù)學(xué)返回目錄

數(shù)學(xué)返回目錄(2)當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí),該網(wǎng)商毎月經(jīng)銷這種玩具能夠獲得最大銷售利潤?最大銷售利潤是多少?(銷售利潤=售價(jià)-進(jìn)價(jià))解:設(shè)銷售利潤為w元,w=(x-18)(-20x+1

000)=-20x2+1

360x-18

000=-20(x-34)2+5

120,∵20≤x≤50,∴當(dāng)x=34時(shí),w取得最大值,此時(shí)w=5

120.答:當(dāng)銷售單價(jià)為34元時(shí),該網(wǎng)商每月經(jīng)銷這種玩具能夠獲得最大銷售利潤,最大銷售利潤是5

120元.數(shù)學(xué)◆

能力提升◆返回目錄1.山東全省2019年國慶假期旅游人數(shù)增長12.5%,其中尤其是鄉(xiāng)村旅游最為火爆.泰山腳下的某旅游村,為接待游客住宿需要,開設(shè)了有100張床位的旅館,當(dāng)每張床位每天收費(fèi)100元時(shí),床位可全部租出,若每張床位每天收費(fèi)提高20元,則相應(yīng)的減少了10張床位租出,如果每張床位每天以20元為單位提高收費(fèi),為使租出的床位少且租金高,那么每張床位每天最合適的收費(fèi)是(

)A.140元B.150元C.160元 D.180元C數(shù)學(xué)返回目錄

數(shù)學(xué)返回目錄

3.25數(shù)學(xué)返回目錄

13.5數(shù)學(xué)返回目錄

4數(shù)學(xué)返回目錄

數(shù)學(xué)返回目錄5.炮彈從炮口射出后,飛行的高度h(m)與飛行時(shí)間t(s)之間的函數(shù)關(guān)系是h=v0tsinα-5t2,其中v0是炮彈發(fā)射的初速度,α是炮彈的發(fā)射角,當(dāng)v0=300m/s,α=30°時(shí),炮彈飛行的最大高度是

.

1

125

數(shù)學(xué)返回目錄6.某公司分別在A,B兩城生產(chǎn)同種產(chǎn)品,共100件.A城生產(chǎn)產(chǎn)品的總成本y(萬元)與產(chǎn)品數(shù)量x(件)之間具有函數(shù)關(guān)系y=ax2+bx+c,當(dāng)x=10時(shí),y=400;當(dāng)x=20時(shí),y=100