留數(shù)在定積分計算中的應用

第五章留數(shù)及其應用正確理解留數(shù)概念、留數(shù)定理掌握留數(shù)的計算法掌握留數(shù)在定積分計算中的應用第一節(jié)留數(shù)一般理論正確理解函數(shù)在孤立奇點的留數(shù)概念掌握并能應用留數(shù)定理掌握留數(shù)的計算法，特別是極點處留數(shù)的求法一、留數(shù)的概念

設函數(shù)f(z)在點z0解析。作圓使f(z)在以它為邊界的閉圓盤上解析。根據(jù)柯西定理，如果z0是f(z)的孤立奇點，則上述積分就不一定等于零。注：留數(shù)Res[f(z),z0]與圓C的半徑r無關(guān).定理5.1（留數(shù)定理）設D是復平面上的一個有界區(qū)域，函數(shù)f(z)在D內(nèi)除有限個孤立奇點外處處解析.C是D內(nèi)包圍各奇點的一條正向簡單閉曲線,那么我們有：二、留數(shù)定理留數(shù)定理的基本思想Dz1z2z3znC1C2C3CnC證明:把在C內(nèi)的孤立奇點zk

(k=1,2,...,n)用互不包含的正向簡單閉曲線Ck圍繞起來,則根據(jù)復合閉路定理有Dz1z2z3znC1C2C3CnC兩邊同時除以得，求沿閉曲線C積分求C內(nèi)各孤立奇點處的留數(shù).注1三、留數(shù)的計算求函數(shù)在孤立奇點處的留數(shù)的一般方法

——將函數(shù)在以z0為中心的圓環(huán)內(nèi)展開為洛朗級數(shù)，求出級數(shù)中C-1(z-z0)-1項的系數(shù)C-1如果z0是可去奇點，則Res[f(z),z0]=0;如果z0是本性奇點，則往往只能用展開成洛朗級數(shù)的方法來求C-1.函數(shù)在極點處留數(shù)的計算：法則Ⅰ（一階極點的情形）法則Ⅱ法則Ⅲ（高階極點的情形）否則需要采用其他方法求留數(shù)。問題轉(zhuǎn)化為求泰勒級數(shù)展式的系數(shù)。如果容易求出它的泰勒級數(shù)展式，那么由此可得因此，可根據(jù)下列公式計算解：在z=0有三階極點，則四、無窮遠點的留數(shù)注意：即使z=∞是f(z)的可去奇點，f(z)在

z=∞的留數(shù)也未必是0.法則Ⅳ第二節(jié)留數(shù)在定積分計算中的應用掌握用留數(shù)求圍道上積分的方法利用留數(shù)定理計算實變函數(shù)定積分的方法稱為圍道積分方法.所謂圍道積分方法，概括的說，就是把求實變函數(shù)的積分化為復變函數(shù)沿圍線的積分，然后應用留數(shù)定理，將計算歸結(jié)為求某些解析函數(shù)在孤立奇點的留數(shù).留數(shù)定理的應用——積分的計算:利用留數(shù)計算積分的特點：1、被積函數(shù)與某個解析函數(shù)有關(guān)；2、定積分計算可化為某個沿閉路的積分.2.形如的積分1.形如的積分3.形如的積分幾種特殊形式的定積分的值類型Ⅰ且當t從0增加到2π時，z按逆時針方向繞圓C:|z|=1一周.類型ⅡO-RRCRxyz1z2zkz3解：考慮函數(shù)該函數(shù)有兩個二階極點，在上半平面上的一個是z=i。作以O為心、r為半徑的圓盤，考慮這一圓盤在上半平面的部分。設其邊界為Cr，取r>1，那么z=i包含在Cr的內(nèi)區(qū)域內(nèi)。類型Ⅲ證明：設M(r)是f(z)在上的最大值，則有因為當時，所以又因為所以，例3、

計算積分解：取r>0，則有函數(shù)在時除有一階極點z=i外，在其它每一點都解析。只要取r>1，