數(shù)字信號處理 序列的離散時(shí)間Fourier變換

序列的DTFT定義序列的DTFT性質(zhì)*序列的DTFT的頻域抽樣序列的離散時(shí)間Fourier變換(DTFT)

序列的DTFT定義

對于某些滿足條件的非周期序列x[k]，可以表達(dá)為虛指數(shù)序列ejWk

的線性疊加

不同的序列x[k]對應(yīng)不同的加權(quán)系數(shù)X(ejW)，其計(jì)算表達(dá)式為:X(ejW

)是W的連續(xù)函數(shù)

X(ejW)是周期為2p的周期函數(shù)由X(ejW)的周期性，IDTFT可寫為DTFT:序列的DTFT定義例：試求序列x[k]=aku[k]的DTFT。

當(dāng)|a|>1時(shí)，求和不收斂，序列的DTFT不存在。

當(dāng)|a|<1時(shí)，解：DTFT的收斂性

定義X(ejW)的部分和絕對可和一致收斂能量有限均方收斂

若序列滿足絕對可和，則序列存在DTFT

若序列滿足能量有限，存在DTFT。（充分條件）例：N=10時(shí)N=60時(shí)序列不滿足絕對可和，但能量有限。序列取不同的N值時(shí)，對應(yīng)的DTFT如圖所示。例：試求周期為2p的單位沖激函數(shù)的IDTFT。解：

該例說明絕對可和與平方可和只是DTFT存在的充分條件，不是必要條件。序列DTFT的性質(zhì)相位譜f(W)的主值(principalvalue)區(qū)間為

-p<f(W)

p

序列的DTFTX(ejW)一般為W的復(fù)函數(shù)，可表達(dá)為幅度譜和相位譜的形式，也可表達(dá)為實(shí)部和虛部的形式。1.線性特性若則有序列DTFT的性質(zhì)若則2.對稱特性序列DTFT的性質(zhì)2.對稱特性當(dāng)x[k]是實(shí)序列時(shí)，由于x[k]=x*[k]，所以有序列DTFT的性質(zhì)小結(jié)實(shí)數(shù)對稱性實(shí)數(shù)序列的Fourier變換滿足共軛對稱性幅度是

的偶函數(shù)幅角是

的奇函數(shù)實(shí)部是

的偶函數(shù)虛部是

的奇函數(shù)例：求序列x[k]={1,2,1；k=0,1,2}的幅度譜和相位譜。p-pW解：0p2pW42.對稱特性當(dāng)x[k]為實(shí)偶對稱序列時(shí)，由于x[k]=x*[-k]

，所以X(ejW)是W純虛函數(shù),且為奇對稱當(dāng)x[k]為實(shí)奇對稱序列時(shí)，由于x[k]=-x*[-k]

，所以XR(ejW)=0;序列DTFT的性質(zhì)例：試求序列y[k]的DTFT。若則

序列的時(shí)域位移對應(yīng)頻域的相移序列的時(shí)域相移對應(yīng)頻域的頻移3.位移特性序列DTFT的性質(zhì)例：已知x[k]的頻譜如圖所示，試求y[k]=x[k]cos(pk)的頻譜。解：例：已知x[k]的頻譜如圖所示，試求y[k]=x[k]cos(pk)的頻譜。解：4.卷積特性

序列時(shí)域的卷積對應(yīng)頻域的乘積序列時(shí)域的乘積對應(yīng)頻域的卷積序列DTFT的性質(zhì)

序列時(shí)域的能量等于頻域的能量證明:5.Parseval定理*序列DTFT的性質(zhì)舉例

已知序列，它的傅里葉變換，則________；_____________。2

DTFT的頻域抽樣

是周期為N的序列可否利用其樣點(diǎn)序列表達(dá)X(ejW)?

結(jié)論：當(dāng)序列長度不超過N時(shí),周期化后的序列和原序列一個周期內(nèi)的值相同。

當(dāng)序列長度超過N時(shí)，周期化后的序列會出現(xiàn)混疊(aliasing)。DTFT的頻域抽樣X(ejW)在頻域的離散化導(dǎo)致對應(yīng)的時(shí)域序列x[k]的周期化.x(t)在時(shí)域的離散化導(dǎo)致對應(yīng)的頻譜函數(shù)X(jw)的周期化.

時(shí)域抽樣定理和頻域抽樣定理為利用數(shù)字化方式分析和處理信號奠定了理論基礎(chǔ)。時(shí)域抽樣和頻域抽樣CTFTDTFTIDTFTIDFS例：已知有限序列x[k]={-1,-1,4,3；k=0,1,2,3}，序列x[k]的DTFT為X(ejW)。記X(ejW)在{W=2p

m/3;m=0,1,2}的取樣值為X[m]，求IDFT{X[m]}

。IDFT{X[m]}=x[k]+x[k+3]={2,-1,4;k=0,1,2}解：X(ejW)在頻域的離散化導(dǎo)致對應(yīng)的時(shí)域序列x[k]的周期化.1.4離散系統(tǒng)的頻域分析

離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)單頻信號通過LTI系統(tǒng)的響應(yīng)余弦信號通過LTI系統(tǒng)的響應(yīng)任意信號通過LTI系統(tǒng)的響應(yīng)一般周期信號通過LTI系統(tǒng)的響應(yīng)離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和瞬態(tài)響應(yīng)離散系統(tǒng)的相位延遲和群延遲理想數(shù)字濾波器離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)幅度響應(yīng)(magnituderesponse)

相位響應(yīng)(phaseresponse)離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)定義為:頻響反映了系統(tǒng)對激勵中各頻率分量的幅度和相位影響。單頻信號通過離散LTI系統(tǒng)的響應(yīng)x[k]=ejWk;(-<k<)稱為單頻信號

余弦序列通過LTI系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

當(dāng)系統(tǒng)輸入為余弦序列時(shí)，則輸出為同頻率的余弦序列，其幅度受頻率響應(yīng)幅度|H(ej

)|加權(quán)影響，而輸出的相位則為輸入相位與系統(tǒng)響應(yīng)相位之和。?推導(dǎo)過程h[k]是實(shí)序列，故滿足共軛對稱條件：H(ej0)

的幅度偶對稱，相角奇對稱例：已知一離散LTI系統(tǒng)的h[k]=(0.5)ku[k]，輸入

x[k]=cos(0.5pk)，(-∞<k<∞)求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。舉例已知系統(tǒng)函數(shù):如果輸入序列為：

則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出y[k]:______________任意序列通過離散LTI系統(tǒng)的響應(yīng)由于存在所以有

線性相位系統(tǒng)的定義：f(W)=-k0W設(shè)輸入序列為信號通過線性相位系統(tǒng)的響應(yīng)序列通過線性相位系統(tǒng)的響應(yīng)一般周期序列通過離散LTI系統(tǒng)的響應(yīng)由于存在所以有離散LTI系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和瞬態(tài)響應(yīng)信號x[k]=ejWku[k]通過系統(tǒng)的響應(yīng)

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)(steady-stateresponse)

系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)(transientresponse)

對于BIBO穩(wěn)定的系統(tǒng)

對于h[k]的非零范圍為0

k

N-1的FIR系統(tǒng)當(dāng)k

N-1時(shí)，離散LTI系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和瞬態(tài)響應(yīng)離散系統(tǒng)的相位延遲和群延遲系統(tǒng)的相位延遲系統(tǒng)的群延遲tg(W)(groupdelay)輸入序列x[k]=d[k]cos(Wck)通過LTI系統(tǒng)的響應(yīng)

理想數(shù)字濾波器理想低通濾波器理想高通濾波器理想帶通濾波器理想帶阻濾波器例:

已知輸入信號為角頻率分別為0.1和0.4的離散正弦信號。設(shè)計(jì)簡單FIR高通濾波器,濾除低頻分量，保留高頻分量。群延遲:

為了濾除低頻分量，保留高頻分量則要求解：假設(shè)該DF是一個具有如下形式的長度為3的FIR系統(tǒng)

h[0]=h[2]=a,h[1]=b

系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為解上述的方程組得：滿足要求的FIRDF的差分方程為：

y[k]=x[k]*h[k]=x[k]*(ad[k]+bd[k-1]+a