傅立葉變換 拉普拉斯變換

學(xué)習(xí)目標(biāo)1、了解傅里葉積分;2、理解傅里葉變換;3、掌握函數(shù)及傅里葉變換;4、熟悉傅里葉變換的性質(zhì).第七章傅里葉變換所謂積分變換,就是把某函數(shù)類A中的函數(shù)(象原函數(shù))乘上一個(gè)確定的二元函數(shù),然后計(jì)算積分,即這樣變成另一個(gè)函數(shù)類B中的函數(shù)(象函數(shù)).根據(jù)選取的二元函數(shù)(核函數(shù))不同,就得到不同名稱的積分變換.積分變換7.1傅里葉變換的概念與性質(zhì)41、

連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)2、

只有有限個(gè)極值點(diǎn)這兩個(gè)條件實(shí)際上就是要保證函數(shù)是可積函數(shù).在高等數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)傅里葉級數(shù)時(shí)知道，研究周期函數(shù)實(shí)際上只須研究其中的一個(gè)周期內(nèi)的情況即可,通常研究在閉區(qū)間[-T/2,T/2]內(nèi)函數(shù)變化的情況.并非理論上的所有周期函數(shù)都可以用傅里葉級數(shù)逼近,而是要滿足狄利克雷(Dirichlet)條件,即在區(qū)間[-T/2,T/2]上5因此,任何滿足狄氏條件的周期函數(shù),可表示為三角級數(shù)的形式如下:6而利用三角函數(shù)的指數(shù)形式可將級數(shù)表示為:其中7例1

定義方波函數(shù)為如圖所示:1-1otf(t)1

81-13T=4f4(t)t現(xiàn)以f(t)為基礎(chǔ)構(gòu)造一周期為T的周期函數(shù)fT(t),令T=4,則9則10sinc函數(shù)介紹11sinc函數(shù)的圖形:sinc(x)x12前面計(jì)算出w13現(xiàn)在將周期擴(kuò)大一倍,令T=8,以f(t)為基礎(chǔ)構(gòu)造一周期為8的周期函數(shù)f8(t)1-17T=8f8(t)t14則15則在T=8時(shí),w16如果再將周期增加一倍,令T=16,可計(jì)算出w17一般地,對于周期T18當(dāng)周期T越來越大時(shí),各個(gè)頻率的正弦波的頻率間隔越來越小,而它們的強(qiáng)度在各個(gè)頻率的輪廓?jiǎng)t總是sinc函數(shù)的形狀,因此,如果將方波函數(shù)f(t)看作是周期無窮大的周期函數(shù),則它也可以看作是由無窮多個(gè)無窮小的正弦波構(gòu)成,將那個(gè)頻率上的輪廓即sinc函數(shù)的形狀看作是f(t)的各個(gè)頻率成份上的分布,稱作f(t)的傅里葉變換.19對任何一個(gè)非周期函數(shù)f(t)都可以看成是由某個(gè)周期函數(shù)fT(t)當(dāng)T

時(shí)轉(zhuǎn)化而來的.

作周期為T的函數(shù)fT(t),使其在[-T/2,T/2]之內(nèi)等于f(t),在[-T/2,T/2]之外按周期T延拓到整個(gè)數(shù)軸上,則T越大,fT(t)與f(t)相等的范圍也越大,這就說明當(dāng)T

時(shí),周期函數(shù)fT(t)便可轉(zhuǎn)化為f(t),即有20Otf(t)OtfT1(t)OtfT2(t)2122如圖{O

w1

w2

w3

wn-1wn{{{w23

24此公式稱為函數(shù)f(t)的傅里葉積分公式,簡稱傅氏積分公式,而等號右端的積分式稱為的傅里葉積分(簡稱傅氏積分).

若函數(shù)在任何有限區(qū)間上滿足狄氏條件（即函數(shù)在任何有限區(qū)間上滿足：(1）連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)；(2)至多有有限個(gè)極值點(diǎn)）,并且在上絕對可積，則有：傅氏積分存在定理

為連續(xù)點(diǎn)為間斷點(diǎn)上式稱為傅氏積分的復(fù)指數(shù)形式，利用歐拉公式，也可以轉(zhuǎn)化為三角形式.2627又考慮到積分最后這個(gè)式子就是傅里葉積分的三角形式也叫做的傅氏積分表達(dá)式

如果函數(shù)滿足傅里葉積分定理,由傅里葉積分公式,設(shè)7.1.2傅里葉變換的概念叫做的傅氏變換,象函數(shù),可記做

=?[]叫做的傅氏逆變換,象原函數(shù),=?例2

求函數(shù)的傅氏變換

解例3求指數(shù)衰減函數(shù)的傅氏變換和傅氏積分表達(dá)式.解這個(gè)指數(shù)衰減函數(shù)是工程技術(shù)中常遇到的一個(gè)函數(shù)

tf(t)若上式右端為于是7.1.3－函數(shù)及其傅里葉變換

在物理和工程技術(shù)中,除了用到指數(shù)衰減函數(shù)外,還常常會碰到單位脈沖函數(shù).因?yàn)樵谠S多物理現(xiàn)象中,除了有連續(xù)分布的物理量外,還會有集中在一點(diǎn)的量（點(diǎn)源）,或者具有脈沖性質(zhì)的量.例如瞬間作用的沖擊力,電脈沖等.在電學(xué)中,我們要研究線性電路受具有脈沖性質(zhì)的電勢作用后所產(chǎn)生的電流；在力學(xué)中,要研究機(jī)械系統(tǒng)受沖擊力作用后的運(yùn)動情況等.研究這類問題就會產(chǎn)生我們要介紹的脈沖函數(shù).有了這種函數(shù),對于許多集中在一點(diǎn)或一瞬間的量,例如點(diǎn)電荷、點(diǎn)熱源、集中于一點(diǎn)的質(zhì)量以及脈沖技術(shù)中的非常狹窄的脈沖等,就能夠像處理連續(xù)分布的量那樣,用統(tǒng)一的方式來加以解決.函數(shù)的定義

（1）看作矩形脈沖的極限（2）函數(shù)的數(shù)學(xué)定義（3）物理學(xué)家狄拉克給出的定義滿足下列兩個(gè)條件的函數(shù)稱為函數(shù)：Ⅰ

Ⅱ

1函數(shù)用一個(gè)長度等于1的有向線段來表示,如下圖o定義為滿足下列條件的函數(shù)如下圖1o

函數(shù)的性質(zhì)

（1）對任意的連續(xù)函數(shù),都有

（2）函數(shù)為偶函數(shù),即

（3）其中,稱為單位階躍函數(shù).反之,有.Otu(t)

函數(shù)的傅里葉變換由于

=?可見,

?[]=1,?-1[1]=.

與常數(shù)1構(gòu)成了一個(gè)傅氏變換對,即與也構(gòu)成了一個(gè)傅氏變換對,即

一些常見函數(shù)的傅氏變換和一些傅氏變換對

例4

可以證明單位階躍函數(shù)的傅氏變換為的積分表達(dá)式為pwO|F(w)|例5證明的傅氏變換為證明=?所以例6

求正弦函數(shù)的傅氏變換

可以證明??pp-w0w0Ow|F(w)|tsint

7.1.4傅里葉變換的性質(zhì)

1線性性質(zhì)?=?設(shè)為常數(shù)則=?

?這一講介紹傅氏變換的幾個(gè)重要性質(zhì),為了敘述方便起見,假定在這些性質(zhì)中,凡是需要求傅氏變換的函數(shù)都滿足傅氏積分定理中的條件,在證明這些性質(zhì)時(shí),不再重述這些條件.2對稱性質(zhì)

若=?則以為自變量的函數(shù)

的象函數(shù)為

即?

?3相似性質(zhì)=?若則??4平移性質(zhì)

若=?為實(shí)常數(shù),則??（1）象原函數(shù)的平移性質(zhì)例7

求??解因?yàn)樗?（2）象函數(shù)的平移性質(zhì)

若=?為實(shí)常數(shù),則

??例8已知?求?解??顯然一般地?且則5微分性質(zhì)若=??一般地,若?則?（1）象原函數(shù)的微分性質(zhì)例9證明?證明因?yàn)樗???一般地?（2）象函數(shù)的微分性質(zhì)

若=?則?或?例10已知?求?解?6積分性質(zhì)若=??則在這里必須滿足傅氏積分存在定理的條件,若不滿足,則這個(gè)廣義積分應(yīng)改為?第7章傅里葉變換7.2傅里葉變換的應(yīng)用7.2.1傅氏變換的物理意義—頻譜

在頻譜分析中,傅氏變換

又稱為的頻譜函數(shù),而它的模

稱為的振幅頻譜(亦簡稱為頻譜).由于w是連續(xù)變化的,我們稱之為連續(xù)頻譜,對一個(gè)時(shí)間函數(shù)作傅氏變換,就是求這個(gè)時(shí)間函數(shù)的頻譜.可以證明,頻譜為偶函數(shù),即53例1作如圖所示的單個(gè)矩形脈沖的頻譜圖f(t)單個(gè)矩形脈沖的頻譜函數(shù)為:tE-t/2t/254矩形脈沖的頻譜圖為wEt|F(w)|O55振幅函數(shù)|F(w)|是角頻率w的偶函數(shù),即56我們定義為f(t)的相角頻譜.顯然,相角頻譜j(w)是w的奇函數(shù),即j(w)=-j(-w).第8章拉普拉斯變換

本章學(xué)習(xí)目標(biāo)1、理解拉普拉變換的概念與性質(zhì)；2、掌握拉普拉變換的逆變換；3、了解拉普拉斯變換的應(yīng)用。第8章拉普拉斯變換8.1拉普拉斯變換的概念與性質(zhì)在所確定的某一域內(nèi)收斂,則由此積分所確定的函數(shù)可寫為

8.1.1拉普拉斯變換的概念定義8.1

設(shè)函數(shù)當(dāng)有定義,而且積分是一個(gè)復(fù)參量）我們稱上式為函數(shù)的拉普拉斯變換式

,記做?

叫做的拉氏變換,象函數(shù).叫做的拉氏逆變換,象原函數(shù),=?

的增長速度不超過某一指數(shù)函數(shù),亦即存在常數(shù)

拉普拉斯變換存在定理

若函數(shù)滿足下列條件

Ⅰ在的任一有限區(qū)間上連續(xù)或分段連續(xù),時(shí),

Ⅱ當(dāng)時(shí),及,使得成立,則函數(shù)的拉氏變換在半平面上一定存在.此時(shí)右端的積分絕對收斂而且一致收斂.并且在此半平面內(nèi)為解析函數(shù)

一些常用函數(shù)的拉普拉斯變換【例2】求單位階躍函數(shù)的拉氏變換

解

?

【例1】求單位脈沖函數(shù)的拉氏變換

解

?

【例3】求函數(shù)的拉氏變換

解

?

【例4】求單位斜坡函數(shù)的拉氏變換

解

?

【例5】

求冪函數(shù)的拉氏變換

解

?

當(dāng)為正整數(shù)時(shí),?

【例6】

求正弦函數(shù)

的拉氏變換

?

解

則所以?

即同理可得如?

?

是周期為當(dāng)在一個(gè)周期上連續(xù)或分段連續(xù)時(shí),則有周期函數(shù)的拉普拉斯變換

這是求周期函數(shù)拉氏變換公式

的周期函數(shù),即可以證明:若?

8.1.2拉普拉斯變換的性質(zhì)

1線性性質(zhì)

設(shè)為常數(shù)，則

??

?

?

2平移性質(zhì)

（1）象原函數(shù)的平移性質(zhì)

為非負(fù)實(shí)常數(shù),則???【例7】求函數(shù)的拉氏變換解因?yàn)?所以?若（2）象函數(shù)的平移性質(zhì)

為實(shí)常數(shù),則

??若這個(gè)性質(zhì)表明，象原函數(shù)乘以，等于其象函數(shù)做位移(為正整數(shù)).

【例8】求解因?yàn)?

?

?

?

所以?

?

3.延滯性質(zhì)若則?

?

Ottf(t)f(t-a)這個(gè)性質(zhì)表明，時(shí)間延遲了個(gè)單位，相當(dāng)于象函數(shù)乘以指數(shù)因子則4微分性質(zhì)

（1）象原函數(shù)的微分性質(zhì)

一般地,??

若?特別地,當(dāng)時(shí),?可以證明?（2）象函數(shù)的微分性質(zhì)

若則?從而??

??這個(gè)性質(zhì)表明，一個(gè)函數(shù)求導(dǎo)后取拉普拉斯變換，等于這個(gè)函數(shù)的拉普拉斯變換乘以參數(shù)再減去這個(gè)函數(shù)的初值【例9】求函數(shù)解因?yàn)橥????所以,?5積分性質(zhì)

若?則??

（1）象原函數(shù)的積分性質(zhì)

一般地?且積分收斂若?則??

（2）象函數(shù)的積分性質(zhì)

一般地?或推論若則?

且積分收斂【例10】

求?

解因?yàn)?

所以??

亦可得拉普拉斯還有一些其他性質(zhì)，如相似性質(zhì)若=?

則??有興趣者可以查閱相關(guān)書籍第8章拉普拉斯變換8.2拉普拉斯變換的逆變換

求拉普拉斯逆變換的方法主要有留數(shù)法、部分分式法、查表法等.查表法是一種簡單、快速、有效的求拉普拉斯逆變換的基本方法,但是它局限于表中類型.根據(jù)拉普拉斯變換的定義

右端的積分稱為拉氏反演積分.它是一個(gè)復(fù)變函數(shù)的積分,但計(jì)算比較麻煩.

8.2.1利用部分積分法求拉普拉斯逆變換在用拉普拉斯變換解決工程技術(shù)中的應(yīng)用問題時(shí)，經(jīng)常遇到的象原函數(shù)是有理分式，一般可將其分解為部分分式之和，然后再利用拉普拉斯變換表求出象原函數(shù).【例1】求的拉普拉斯逆變換.

解先將函數(shù)分解為部分分式之和

用待定系數(shù)法求得所以則有????8.2.2