2024屆河北省邢臺(tái)一中高三下學(xué)期3月考試數(shù)學(xué)試題_第1頁
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文檔簡介

2024屆河北省邢臺(tái)一中高三下學(xué)期3月考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.某人用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)無理數(shù)的值,做法如下:首先在平面直角坐標(biāo)系中,過點(diǎn)作軸的垂線與曲線相交于點(diǎn),過作軸的垂線與軸相交于點(diǎn)(如圖),然后向矩形內(nèi)投入粒豆子,并統(tǒng)計(jì)出這些豆子在曲線上方的有粒,則無理數(shù)的估計(jì)值是()A. B. C. D.2.秦九韶是我國南寧時(shí)期的數(shù)學(xué)家,普州(現(xiàn)四川省安岳縣)人,他在所著的《數(shù)書九章》中提出的多項(xiàng)式求值的秦九韶算法,至今仍是比較先進(jìn)的算法.如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項(xiàng)式值的一個(gè)實(shí)例.若輸入、的值分別為、,則輸出的值為()A. B. C. D.3.已知,若則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.4.設(shè)分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn),過點(diǎn)作圓的切線,與雙曲線的左、右兩支分別交于點(diǎn),若,則雙曲線漸近線的斜率為()A. B. C. D.5.設(shè)直線過點(diǎn),且與圓:相切于點(diǎn),那么()A. B.3 C. D.16.執(zhí)行下面的程序框圖,則輸出的值為()A. B. C. D.7.盒子中有編號(hào)為1,2,3,4,5,6,7的7個(gè)相同的球,從中任取3個(gè)編號(hào)不同的球,則取的3個(gè)球的編號(hào)的中位數(shù)恰好為5的概率是()A. B. C. D.8.設(shè)函數(shù),若在上有且僅有5個(gè)零點(diǎn),則的取值范圍為()A. B. C. D.9.已知函數(shù),要得到函數(shù)的圖象,只需將的圖象()A.向左平移個(gè)單位長度 B.向右平移個(gè)單位長度C.向左平移個(gè)單位長度 D.向右平移個(gè)單位長度10.已知雙曲線(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,若過點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線l與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn),則此雙曲線的離心率e的取值范圍是()A. B.(1,2), C. D.11.定義在上的偶函數(shù),對(duì),,且,有成立,已知,,,則,,的大小關(guān)系為()A. B. C. D.12.已知,是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn),是它們的一個(gè)公共點(diǎn),且,橢圓的離心率為,雙曲線的離心率為,若,則的最小值為()A. B. C.8 D.6二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)f(x)=etx(t>0),過點(diǎn)P(t,0)且平行于y軸的直線與曲線C:y=f(x)的交點(diǎn)為Q,曲線C過點(diǎn)Q的切線交x軸于點(diǎn)R,若S(1,f(1)),則△PRS的面積的最小值是_____.14.設(shè)變量,,滿足約束條件,則目標(biāo)函數(shù)的最小值是______.15.已知隨機(jī)變量,且,則______16.三棱柱中,,側(cè)棱底面,且三棱柱的側(cè)面積為.若該三棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球的表面上,則球的表面積的最小值為_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知在多面體中,平面平面,且四邊形為正方形,且//,,,點(diǎn),分別是,的中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.18.(12分)已知函數(shù).(Ⅰ)求函數(shù)的極值;(Ⅱ)若,且,求證:.19.(12分)某生物硏究小組準(zhǔn)備探究某地區(qū)蜻蜓的翼長分布規(guī)律,據(jù)統(tǒng)計(jì)該地區(qū)蜻蜓有兩種,且這兩種的個(gè)體數(shù)量大致相等,記種蜻蜓和種蜻蜓的翼長(單位:)分別為隨機(jī)變量,其中服從正態(tài)分布,服從正態(tài)分布.(Ⅰ)從該地區(qū)的蜻蜓中隨機(jī)捕捉一只,求這只蜻蜓的翼長在區(qū)間的概率;(Ⅱ)記該地區(qū)蜻蜓的翼長為隨機(jī)變量,若用正態(tài)分布來近似描述的分布,請你根據(jù)(Ⅰ)中的結(jié)果,求參數(shù)和的值(精確到0.1);(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,從該地區(qū)的蜻蜓中隨機(jī)捕捉3只,記這3只中翼長在區(qū)間的個(gè)數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望(分布列寫出計(jì)算表達(dá)式即可).注:若,則,,.20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè),過點(diǎn)的直線與圓相切,且與拋物線相交于兩點(diǎn).(1)當(dāng)在區(qū)間上變動(dòng)時(shí),求中點(diǎn)的軌跡;(2)設(shè)拋物線焦點(diǎn)為,求的周長(用表示),并寫出時(shí)該周長的具體取值.21.(12分)已知,,分別為內(nèi)角,,的對(duì)邊,且.(1)證明:;(2)若的面積,,求角.22.(10分)如圖所示,在四棱錐中,∥,,點(diǎn)分別為的中點(diǎn).(1)證明:∥面;(2)若,且,面面,求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

利用定積分計(jì)算出矩形中位于曲線上方區(qū)域的面積,進(jìn)而利用幾何概型的概率公式得出關(guān)于的等式,解出的表達(dá)式即可.【詳解】在函數(shù)的解析式中,令,可得,則點(diǎn),直線的方程為,矩形中位于曲線上方區(qū)域的面積為,矩形的面積為,由幾何概型的概率公式得,所以,.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查利用隨機(jī)模擬的思想估算的值,考查了幾何概型概率公式的應(yīng)用,同時(shí)也考查了利用定積分計(jì)算平面區(qū)域的面積,考查計(jì)算能力,屬于中等題.2、B【解析】

列出循環(huán)的每一步,由此可得出輸出的值.【詳解】由題意可得:輸入,,,;第一次循環(huán),,,,繼續(xù)循環(huán);第二次循環(huán),,,,繼續(xù)循環(huán);第三次循環(huán),,,,跳出循環(huán);輸出.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)算法框圖計(jì)算輸出值,一般要列舉出算法的每一步,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】

根據(jù),得到有解,則,得,,得到,再根據(jù),有,即,可化為,根據(jù),則的解集包含求解,【詳解】因?yàn)?,所以有解,即有解,所以,得,,所以,又因?yàn)椋?,即,可化為,因?yàn)?,所以的解集包含,所以或,解得,故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次不等式的解法及集合的關(guān)系的應(yīng)用,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題,4、C【解析】

如圖所示:切點(diǎn)為,連接,作軸于,計(jì)算,,,,根據(jù)勾股定理計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示:切點(diǎn)為,連接,作軸于,,故,在中,,故,故,,根據(jù)勾股定理:,解得.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的漸近線斜率,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.5、B【解析】

過點(diǎn)的直線與圓:相切于點(diǎn),可得.因此,即可得出.【詳解】由圓:配方為,,半徑.∵過點(diǎn)的直線與圓:相切于點(diǎn),∴;∴;故選:B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查向量數(shù)量積的計(jì)算,考查圓的方程,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】

根據(jù)框圖,模擬程序運(yùn)行,即可求出答案.【詳解】運(yùn)行程序,,

,,,,,結(jié)束循環(huán),故輸出,故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了程序框圖,循環(huán)結(jié)構(gòu),條件分支結(jié)構(gòu),屬于中檔題.7、B【解析】

由題意,取的3個(gè)球的編號(hào)的中位數(shù)恰好為5的情況有,所有的情況有種,由古典概型的概率公式即得解.【詳解】由題意,取的3個(gè)球的編號(hào)的中位數(shù)恰好為5的情況有,所有的情況有種由古典概型,取的3個(gè)球的編號(hào)的中位數(shù)恰好為5的概率為:故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了排列組合在古典概型中的應(yīng)用,考查了學(xué)生綜合分析,概念理解,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.8、A【解析】

由求出范圍,結(jié)合正弦函數(shù)的圖象零點(diǎn)特征,建立不等量關(guān)系,即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí),,∵在上有且僅有5個(gè)零點(diǎn),∴,∴.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)的性質(zhì),整體代換是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】

根據(jù)函數(shù)圖像平移原則,即可容易求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?,故要得到,只需將向左平移個(gè)單位長度.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖像平移前后解析式的變化,屬基礎(chǔ)題.10、A【解析】

若過點(diǎn)且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn),則該直線的斜率的絕對(duì)值小于等于漸近線的斜率.根據(jù)這個(gè)結(jié)論可以求出雙曲線離心率的取值范圍.【詳解】已知雙曲線的右焦點(diǎn)為,若過點(diǎn)且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn),則該直線的斜率的絕對(duì)值小于等于漸近線的斜率,,離心率,,故選:.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)及其應(yīng)用,解題時(shí)要注意挖掘隱含條件.11、A【解析】

根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)和單調(diào)性即可判斷.【詳解】解:對(duì),,且,有在上遞增因?yàn)槎x在上的偶函數(shù)所以在上遞減又因?yàn)?,,所以故選:A【點(diǎn)睛】考查偶函數(shù)的性質(zhì)以及單調(diào)性的應(yīng)用,基礎(chǔ)題.12、C【解析】

由橢圓的定義以及雙曲線的定義、離心率公式化簡,結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】設(shè)橢圓的長半軸長為,雙曲線的半實(shí)軸長為,半焦距為,則,,設(shè)由橢圓的定義以及雙曲線的定義可得:,則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào).故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的定義以及雙曲線的定義、離心率公式,屬于中等題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

計(jì)算R(t,0),PR=t﹣(t),△PRS的面積為S,導(dǎo)數(shù)S′,由S′=0得t=1,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到最值.【詳解】∵PQ∥y軸,P(t,0),∴Q(t,f(t))即Q(t,),又f(x)=etx(t>0)的導(dǎo)數(shù)f′(x)=tetx,∴過Q的切線斜率k=t,設(shè)R(r,0),則k,∴r=t,即R(t,0),PR=t﹣(t),又S(1,f(1))即S(1,et),∴△PRS的面積為S,導(dǎo)數(shù)S′,由S′=0得t=1,當(dāng)t>1時(shí),S′>0,當(dāng)0<t<1時(shí),S′<0,∴t=1為極小值點(diǎn),也為最小值點(diǎn),∴△PRS的面積的最小值為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求面積的最值問題,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.14、7【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域,得到如圖的△ABC及其內(nèi)部,其中A(2,1),B(1,2),C(4,5)設(shè)z=F(x,y)=2x+3y,將直線l:z=2x+3y進(jìn)行平移,當(dāng)l經(jīng)過點(diǎn)A時(shí),目標(biāo)函數(shù)z達(dá)到最小值∴z最小值=F(2,1)=715、0.1【解析】

根據(jù)原則,可得,簡單計(jì)算,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:隨機(jī)變量,則期望為所以故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布的計(jì)算,掌握正態(tài)曲線的圖形以及計(jì)算,屬基礎(chǔ)題.16、【解析】

分析題意可知,三棱柱為正三棱柱,所以三棱柱的中心即為外接球的球心,設(shè)棱柱的底面邊長為,高為,則三棱柱的側(cè)面積為,球的半徑表示為,再由重要不等式即可得球表面積的最小值【詳解】如下圖,∵三棱柱為正三棱柱∴設(shè),∴三棱柱的側(cè)面積為∴又外接球半徑∴外接球表面積.故答案為:【點(diǎn)睛】考查學(xué)生對(duì)幾何體的正確認(rèn)識(shí),能通過題意了解到題目傳達(dá)的意思,培養(yǎng)學(xué)生空間想象力,能夠利用題目條件,畫出圖形,尋找外接球的球心以及半徑,屬于中檔題三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析;(2).【解析】

(1)構(gòu)造直線所在平面,由面面平行推證線面平行;(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出兩個(gè)平面的法向量,再由法向量之間的夾角,求得二面角的余弦值.【詳解】(1)過點(diǎn)交于點(diǎn),連接,如下圖所示:因?yàn)槠矫嫫矫妫医痪€為,又四邊形為正方形,故可得,故可得平面,又平面,故可得.在三角形中,因?yàn)闉橹悬c(diǎn),,故可得//,為中點(diǎn);又因?yàn)樗倪呅螢榈妊菪?,是的中點(diǎn),故可得//;又,且平面,平面,故面面,又因?yàn)槠矫?,故?即證.(2)連接,,作交于點(diǎn),由(1)可知平面,又因?yàn)?/,故可得平面,則;又因?yàn)?/,,故可得即,,兩兩垂直,則分別以,,為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,,設(shè)面的法向量為,則,,則,可取,設(shè)平面的法向量為,則,,則,可取,可知平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查由面面平行推證線面平行,涉及用向量法求二面角的大小,屬綜合基礎(chǔ)題.18、(Ⅰ)極大值為:,無極小值;(Ⅱ)見解析.【解析】

(Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可求出函數(shù)的極值;(Ⅱ)得到,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化為證明,即證,令,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.【詳解】(Ⅰ)的定義域?yàn)榍伊?,得;令,得在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減函數(shù)的極大值為,無極小值(Ⅱ),,即由(Ⅰ)知在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減且,則要證,即證,即證,即證即證由于,即,即證令則恒成立在遞增在恒成立【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想,轉(zhuǎn)化思想,考查不等式的證明,考查運(yùn)算求解能力及化歸與轉(zhuǎn)化思想,關(guān)鍵是能夠構(gòu)造出合適的函數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值的求解問題,屬于難題.19、(Ⅰ);(Ⅱ),;(Ⅲ)詳見解析.【解析】

(Ⅰ)由題知這只蜻蜓是種還是種的可能性是相等的,所以,代入數(shù)值運(yùn)算即可;(Ⅱ)可判斷均值應(yīng)為,再結(jié)合(1)和題干備注信息可得,進(jìn)而求解;(Ⅲ)求得,該分布符合二項(xiàng)分布,故,列出分布列,計(jì)算出對(duì)應(yīng)概率,結(jié)合即可求解;【詳解】(Ⅰ)記這只蜻蜓的翼長為.因?yàn)榉N蜻蜓和種蜻蜓的個(gè)體數(shù)量大致相等,所以這只蜻蜓是種還是種的可能性是相等的.所以.(Ⅱ)由于兩種蜻蜓的個(gè)體數(shù)量相等,的方差也相等,根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性,可知由(Ⅰ)可知,得.(Ⅲ)設(shè)蜻蜓的翼長為,則.由題有,所以.因此的分布列為.【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布基本量的求解,二項(xiàng)分布求解離散型隨機(jī)變量分布列和期望,屬于中檔題20、(1).(2)的周長為,時(shí),的周長為【解析】

(1)設(shè)的方程為,根據(jù)題意由點(diǎn)到直線的距離公式可得,將直線方程與拋物線方程聯(lián)立可得,設(shè)?坐標(biāo)分別是?,利用韋達(dá)定理以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式消參即可求解.(2)根據(jù)拋物線的定義可得,由(1)

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