2024屆河北省張家口市宣化市一中高三線上練習(xí)測(cè)試：三角函數(shù)

2024屆河北省張家口市宣化市一中高三線上練習(xí)測(cè)試：三角函數(shù)考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，，若，對(duì)任意恒有，在區(qū)間上有且只有一個(gè)使，則的最大值為（）A． B． C． D．2．已知集合，則等于（）A． B． C． D．3．已知、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過作雙曲線的一條漸近線的垂線，分別交兩條漸近線于點(diǎn)、，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足恰為，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．4．設(shè)，，分別是中，，所對(duì)邊的邊長(zhǎng)，則直線與的位置關(guān)系是（）A．平行 B．重合C．垂直 D．相交但不垂直5．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）A． B．64 C． D．326．函數(shù)的部分圖象大致是（）A． B．C． D．7．某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是邊長(zhǎng)為4的正三角形，俯視圖是由邊長(zhǎng)為4的正三角形和一個(gè)半圓構(gòu)成，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．8．已知點(diǎn)在雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．9．設(shè)集合，，則（）．A． B．C． D．10．已知實(shí)數(shù)，則的大小關(guān)系是()A． B． C． D．11．已知將函數(shù)（，）的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，若和的圖象都關(guān)于對(duì)稱，則下述四個(gè)結(jié)論：①②③④點(diǎn)為函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④12．已知α，β表示兩個(gè)不同的平面，l為α內(nèi)的一條直線，則“α∥β是“l(fā)∥β”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列滿足對(duì)任意，若，則數(shù)列的通項(xiàng)公式________．14．某市公租房源位于、、三個(gè)小區(qū)，每位申請(qǐng)人只能申請(qǐng)其中一個(gè)小區(qū)的房子，申請(qǐng)其中任意一個(gè)小區(qū)的房子是等可能的，則該市的任意位申請(qǐng)人中，恰好有人申請(qǐng)小區(qū)房源的概率是______.（用數(shù)字作答）15．在中，、的坐標(biāo)分別為，，且滿足，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的取值范圍為__________.16．設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）過點(diǎn)作傾斜角為的直線與曲線（為參數(shù)）相交于M、N兩點(diǎn)．（1）寫出曲線C的一般方程；（2）求的最小值．18．（12分）已知函數(shù)，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）用表示中較大者，記函數(shù).若函數(shù)在上恰有2個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.19．（12分）在中，角的對(duì)邊分別為，且.（1）求角的大??；（2）已知外接圓半徑,求的周長(zhǎng).20．（12分）已知直線與拋物線交于兩點(diǎn).（1）當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為4時(shí)，求直線的斜率；（2）已知點(diǎn)，直線過點(diǎn)，記直線的斜率分別為，當(dāng)取最大值時(shí)，求直線的方程.21．（12分）已知，函數(shù)的最小值為1．（1）證明：．（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值．22．（10分）如圖所示，在四棱錐中，底面是棱長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)面為正三角形，且面面，分別為棱的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求二面角的正切值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

根據(jù)的零點(diǎn)和最值點(diǎn)列方程組，求得的表達(dá)式（用表示），根據(jù)在上有且只有一個(gè)最大值，求得的取值范圍，求得對(duì)應(yīng)的取值范圍，由為整數(shù)對(duì)的取值進(jìn)行驗(yàn)證，由此求得的最大值.【詳解】由題意知，則其中，．又在上有且只有一個(gè)最大值，所以，得，即，所以，又，因此．①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)取可使成立，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)或時(shí)，都成立，舍去；②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)取可使成立，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)或時(shí)，都成立，舍去；③當(dāng)時(shí)，，此時(shí)取可使成立，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，成立；綜上所得的最大值為．故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)的零點(diǎn)和最值，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.2、C【解析】

先化簡(jiǎn)集合A，再與集合B求交集.【詳解】因?yàn)?，，所?故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的基本運(yùn)算以及分式不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】

設(shè)點(diǎn)位于第二象限，可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，再由直線與直線垂直，轉(zhuǎn)化為兩直線斜率之積為可得出的值，進(jìn)而可求得雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)點(diǎn)位于第二象限，由于軸，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，即點(diǎn)，由題意可知，直線與直線垂直，，，因此，雙曲線的離心率為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的計(jì)算，解答的關(guān)鍵就是得出、、的等量關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于中等題.4、C【解析】試題分析：由已知直線的斜率為，直線的斜率為，又由正弦定理得，故，兩直線垂直考點(diǎn)：直線與直線的位置關(guān)系5、A【解析】

根據(jù)三視圖，還原空間幾何體，即可得該幾何體的體積.【詳解】由該幾何體的三視圖，還原空間幾何體如下圖所示：可知該幾何體是底面在左側(cè)的四棱錐，其底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，高為4，故.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖的簡(jiǎn)單應(yīng)用，由三視圖還原空間幾何體，棱錐體積的求法，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

判斷函數(shù)的性質(zhì)，和特殊值的正負(fù)，以及值域，逐一排除選項(xiàng).【詳解】，函數(shù)是奇函數(shù)，排除，時(shí)，，時(shí)，，排除，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，排除，符合條件，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象，屬于基礎(chǔ)題型，一般根據(jù)選項(xiàng)判斷函數(shù)的奇偶性，零點(diǎn)，特殊值的正負(fù)，以及單調(diào)性，極值點(diǎn)等排除選項(xiàng).7、A【解析】由題意得到該幾何體是一個(gè)組合體，前半部分是一個(gè)高為底面是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形的三棱錐，后半部分是一個(gè)底面半徑為2的半個(gè)圓錐，體積為故答案為A.點(diǎn)睛：思考三視圖還原空間幾何體首先應(yīng)深刻理解三視圖之間的關(guān)系，遵循“長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等”的基本原則，其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高，長(zhǎng)是幾何體的長(zhǎng)；俯視圖的長(zhǎng)是幾何體的長(zhǎng)，寬是幾何體的寬；側(cè)視圖的高是幾何體的高，寬是幾何體的寬.由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法：1、首先看俯視圖，根據(jù)俯視圖畫出幾何體地面的直觀圖；2、觀察正視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左、右的高度；3、畫出整體，然后再根據(jù)三視圖進(jìn)行調(diào)整.8、C【解析】

將點(diǎn)A坐標(biāo)代入雙曲線方程即可求出雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)和虛軸長(zhǎng)，進(jìn)而求得離心率.【詳解】將,代入方程得，而雙曲線的半實(shí)軸，所以，得離心率,故選C.【點(diǎn)睛】此題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率的概念，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】

根據(jù)題意，求出集合A，進(jìn)而求出集合和，分析選項(xiàng)即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意，則故選：D【點(diǎn)睛】此題考查集合的交并集運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)單題目,10、B【解析】

根據(jù)，利用指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出．【詳解】解：∵，∴，，．∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．11、B【解析】

首先根據(jù)三角函數(shù)的平移規(guī)則表示出，再根據(jù)對(duì)稱性求出、，即可求出的解析式，從而驗(yàn)證可得；【詳解】解：由題意可得，又∵和的圖象都關(guān)于對(duì)稱，∴，∴解得，即，又∵，∴，，∴，∴，，∴①③④正確，②錯(cuò)誤.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，三角函數(shù)的變換規(guī)則，屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】試題分析：利用面面平行和線面平行的定義和性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷．解：根據(jù)題意，由于α，β表示兩個(gè)不同的平面，l為α內(nèi)的一條直線，由于“α∥β，則根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可知，則必然α中任何一條直線平行于另一個(gè)平面，條件可以推出結(jié)論，反之不成立，∴“α∥β是“l(fā)∥β”的充分不必要條件．故選A．考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷；平面與平面平行的判定．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由可得，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，再利用累加法求和與等比數(shù)列的求和公式，即可得出結(jié)論.【詳解】由，得，數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為2，，，，，滿足上式，.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式，遞推公式轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列是解題的關(guān)鍵，利用累加法求通項(xiàng)公式，屬于中檔題.14、【解析】

基本事件總數(shù)，恰好有2人申請(qǐng)小區(qū)房源包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出該市的任意5位申請(qǐng)人中，恰好有2人申請(qǐng)小區(qū)房源的概率．【詳解】解：某市公租房源位于、、三個(gè)小區(qū)，每位申請(qǐng)人只能申請(qǐng)其中一個(gè)小區(qū)的房子，申請(qǐng)其中任意一個(gè)小區(qū)的房子是等可能的，該市的任意5位申請(qǐng)人中，基本事件總數(shù)，該市的任意5位申請(qǐng)人中，恰好有2人申請(qǐng)小區(qū)房源包含的基本事件個(gè)數(shù)：，該市的任意5位申請(qǐng)人中，恰好有2人申請(qǐng)小區(qū)房源的概率是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．15、【解析】

由正弦定理可得點(diǎn)在曲線上，設(shè)，則，將代入可得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得范圍.【詳解】解：由正弦定理得，則點(diǎn)在曲線上，設(shè)，則，，又，，因?yàn)椋瑒t，即的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的定義，考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查學(xué)生計(jì)算能力，有一定的綜合性，但難度不大.16、【解析】

當(dāng)時(shí)，由，解得，當(dāng)時(shí)，，兩式相減可得，即，可得數(shù)列是等比數(shù)列再求通項(xiàng)公式.【詳解】當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，兩式相減可得，即，即，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的前項(xiàng)和與通項(xiàng)公式的關(guān)系，還考查運(yùn)算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）．【解析】

（1）將曲線的參數(shù)方程消參得到普通方程；（2）寫出直線MN的參數(shù)方程，將參數(shù)方程代入曲線方程，并將其化為一個(gè)關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)，結(jié)合韋達(dá)定理和余弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求出的最小值.【詳解】（1）由曲線C的參數(shù)方程（是參數(shù)），可得，即曲線C的一般方程為．（2）直線MN的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），將直線MN的參數(shù)方程代入曲線，得，整理得，設(shè)M，N對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)分別為，，則，當(dāng)時(shí)，取得最小值為．【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)參數(shù)方程的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有參數(shù)方程向普通方程的轉(zhuǎn)化，直線的參數(shù)方程的應(yīng)用，屬于簡(jiǎn)單題目.18、（1）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）.【解析】

（1）由題可得,結(jié)合的范圍判斷的正負(fù),即可求解；（2）結(jié)合導(dǎo)數(shù)及函數(shù)的零點(diǎn)的判定定理,分類討論進(jìn)行求解【詳解】（1）,①當(dāng)時(shí),,∴函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí),令,解得或,當(dāng)或時(shí),,則單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,則單調(diào)遞減,∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和,單調(diào)遞減區(qū)間為（2）（Ⅰ）當(dāng)時(shí),所以在上無零點(diǎn)；（Ⅱ）當(dāng)時(shí),,①若,即,則是的一個(gè)零點(diǎn)；②若,即,則不是的零點(diǎn)（Ⅲ）當(dāng)時(shí),,所以此時(shí)只需考慮函數(shù)在上零點(diǎn)的情況,因?yàn)?所以①當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增。又，所以（?。┊?dāng)時(shí),在上無零點(diǎn)；（ⅱ）當(dāng)時(shí),,又,所以此時(shí)在上恰有一個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí),令,得,由,得；由,得,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,因?yàn)?,所以此時(shí)在上恰有一個(gè)零點(diǎn),綜上,【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間,考查利用導(dǎo)數(shù)處理零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題,考查運(yùn)算能力,考查分類討論思想19、（1）（2）3+3【解析】

（1）利用余弦的二倍角公式和同角三角函數(shù)關(guān)系式化簡(jiǎn)整理并結(jié)合范圍0＜A＜π，可求A的值．（2）由正弦定理可求a，利用余弦定理可得c值，即可求周長(zhǎng)．【詳解】（1），即又（2）,∵，∴由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA，∴，∵c＞0，所以得c=2,∴周長(zhǎng)a+b+c=3+3．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦定理，余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．20、（1）（2）【解析】

（1）設(shè)，根據(jù)直線的斜率公式即可求解；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，由韋達(dá)定理得，，結(jié)合直線的斜率公式得到，換元后討論的符號(hào)，求最值可求解.【詳解】（1）設(shè)，因?yàn)?，即直線的斜率為1.（2）顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為.聯(lián)立方程組，可得則，令，則則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，解得時(shí)，取“=”號(hào)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，綜上所述，當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)直線的方程是.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線的斜率公式，直線與拋物線的位置關(guān)系，換元法，均值不等式，考查了運(yùn)算能力，屬于難題.21、（1）2；（2）【解析】分析：（1）將轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，求函數(shù)的最小值（2）分離參數(shù)，利用基本不等式證明即可．詳解：（Ⅰ）證明：，顯然在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，即．（Ⅱ）因?yàn)楹愠闪?，所以恒成立，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以，即實(shí)數(shù)的最大值為．點(diǎn)睛：本題主要考查含兩個(gè)絕對(duì)值的函數(shù)的最值和不等式的應(yīng)用，第二問恒成立問題分離參數(shù)，利用基本不等式求解很關(guān)鍵，屬于中檔題．22、(1)見證明；(2)【解析】

（1）取PD中點(diǎn)