高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)人教A版（2019）《5.5兩角差的余弦公式》教學(xué)設(shè)計(jì)二

高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)人教A版（2019）《5.5兩角差的余弦公式》教學(xué)設(shè)計(jì)二授課內(nèi)容授課時(shí)數(shù)授課班級(jí)授課人數(shù)授課地點(diǎn)授課時(shí)間教學(xué)內(nèi)容一、教學(xué)內(nèi)容

高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)人教A版（2019）第五章《三角函數(shù)》5.5節(jié)《兩角差的余弦公式》。本節(jié)課主要包括以下內(nèi)容：

1.兩角差的余弦公式的基本形式：cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ。

2.公式的推導(dǎo)過程，通過畫圖、構(gòu)造輔助角等方法進(jìn)行推導(dǎo)。

3.公式的應(yīng)用，包括求解兩角差的余弦值、解決實(shí)際問題等。

4.公式的變形和應(yīng)用，如cos(α-β)=-cos(β-α)等。

5.相關(guān)練習(xí)題，鞏固學(xué)生對(duì)兩角差的余弦公式的理解和運(yùn)用。核心素養(yǎng)目標(biāo)分析本節(jié)課旨在培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)。通過學(xué)習(xí)兩角差的余弦公式，學(xué)生能夠理解公式背后的數(shù)學(xué)原理，培養(yǎng)邏輯推理能力；通過公式的推導(dǎo)過程，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力，提升對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解；在應(yīng)用公式解決實(shí)際問題時(shí)，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和問題解決能力；通過相關(guān)練習(xí)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和精度意識(shí)，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。教學(xué)難點(diǎn)與重點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)

本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是理解和掌握兩角差的余弦公式，并能靈活運(yùn)用該公式解決相關(guān)問題。具體包括以下細(xì)節(jié)：

-公式的記憶和應(yīng)用：學(xué)生需要記住cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ這一基本形式。

-公式的推導(dǎo)過程：通過構(gòu)造輔助角和利用三角恒等變換推導(dǎo)出公式，加深對(duì)公式的理解。

-公式的變形和應(yīng)用：例如，cos(α-β)=cos[α-(-β)]=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)，讓學(xué)生理解公式在不同情境下的運(yùn)用。

舉例：在講解過程中，可以通過具體的角度值，如cos(45°-30°)的計(jì)算，來展示公式的應(yīng)用，并強(qiáng)調(diào)公式中的cosαcosβ和sinαsinβ兩部分分別代表什么幾何意義。

2.教學(xué)難點(diǎn)

本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)主要在于公式的推導(dǎo)過程和應(yīng)用中的角度變換。具體包括以下細(xì)節(jié)：

-推導(dǎo)過程中的輔助角構(gòu)造：學(xué)生可能難以理解如何通過畫圖和構(gòu)造輔助角來推導(dǎo)公式。

-角度變換和符號(hào)的處理：在應(yīng)用公式時(shí)，學(xué)生可能混淆角度的正負(fù)號(hào)以及對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值。

-復(fù)雜問題的解決策略：學(xué)生在解決涉及多個(gè)角度變換的問題時(shí)，可能不知如何入手。

舉例：在推導(dǎo)公式時(shí)，可以通過具體的角度如cos(60°-45°)來引導(dǎo)學(xué)生，通過畫圖和標(biāo)記關(guān)鍵點(diǎn)，幫助學(xué)生理解輔助角的作用和推導(dǎo)過程。在應(yīng)用環(huán)節(jié)，可以通過例題cos(α-β)=cos(β-α)的變形，讓學(xué)生觀察和總結(jié)角度變換的規(guī)律，并強(qiáng)調(diào)符號(hào)的正確使用。教學(xué)資源-硬件資源：多媒體教室、投影儀、計(jì)算機(jī)

-軟件資源：數(shù)學(xué)教學(xué)軟件（如幾何畫板）、PPT演示文稿

-課程平臺(tái)：學(xué)校內(nèi)網(wǎng)教學(xué)資源平臺(tái)

-信息化資源：在線數(shù)學(xué)練習(xí)題庫(kù)、電子版教材和輔導(dǎo)資料

-教學(xué)手段：板書、實(shí)物模型、互動(dòng)式問答、小組討論教學(xué)過程設(shè)計(jì)1.導(dǎo)入環(huán)節(jié)（5分鐘）

-創(chuàng)設(shè)情境：利用多媒體展示一個(gè)實(shí)際生活中的問題，如“一個(gè)鐘表的時(shí)針和分針形成一定角度，如何計(jì)算這個(gè)角度的大?。俊?/p>

-提出問題：引導(dǎo)學(xué)生思考，能否用我們已知的三角函數(shù)知識(shí)來解決這個(gè)問題？

-學(xué)生思考并回答，教師總結(jié)：通過這個(gè)問題，引入兩角差的余弦公式，說明它在解決實(shí)際問題中的重要性。

2.講授新課（15分鐘）

-板書標(biāo)題：5.5兩角差的余弦公式

-推導(dǎo)公式：利用幾何畫板軟件，動(dòng)態(tài)展示兩角差的余弦公式的推導(dǎo)過程，引導(dǎo)學(xué)生觀察并理解公式的來源。

-用時(shí)5分鐘

-公式記憶：通過PPT展示公式的記憶口訣，幫助學(xué)生記憶cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ。

-用時(shí)3分鐘

-示例講解：講解兩個(gè)示例，一個(gè)是直接應(yīng)用公式，另一個(gè)是涉及角度變換的復(fù)雜問題。

-用時(shí)7分鐘

3.鞏固練習(xí)（10分鐘）

-練習(xí)題1：給出幾個(gè)角度值，要求學(xué)生計(jì)算兩角差的余弦值，如cos(45°-30°)。

-用時(shí)3分鐘

-練習(xí)題2：讓學(xué)生自行構(gòu)造一個(gè)涉及兩角差的余弦公式的問題，并嘗試解答。

-用時(shí)3分鐘

-小組討論：學(xué)生分小組，互相檢查答案，討論解題過程中的疑問和難點(diǎn)。

-用時(shí)4分鐘

4.師生互動(dòng)環(huán)節(jié)（10分鐘）

-課堂提問：隨機(jī)提問幾位學(xué)生，檢查他們對(duì)兩角差的余弦公式的理解程度。

-用時(shí)3分鐘

-學(xué)生板演：邀請(qǐng)一位學(xué)生上臺(tái)，展示如何使用兩角差的余弦公式解決一個(gè)具體問題。

-用時(shí)5分鐘

-反饋與評(píng)價(jià)：教師對(duì)學(xué)生的解答進(jìn)行評(píng)價(jià)，對(duì)解題過程中的亮點(diǎn)和不足進(jìn)行總結(jié)。

-用時(shí)2分鐘

5.拓展提升（5分鐘）

-展示一些更復(fù)雜的兩角差的余弦公式的應(yīng)用問題，如多角度變換、實(shí)際測(cè)量問題等，讓學(xué)生課后嘗試解決。

-鼓勵(lì)學(xué)生思考兩角差的余弦公式在生活中的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生的探索興趣。

6.結(jié)束語（2分鐘）

-總結(jié)本節(jié)課的重點(diǎn)內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)兩角差的余弦公式的重要性。

-布置作業(yè)，要求學(xué)生在課后完成一些練習(xí)題，鞏固所學(xué)知識(shí)。

總用時(shí)：45分鐘學(xué)生學(xué)習(xí)效果學(xué)生學(xué)習(xí)效果顯著，具體體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

1.知識(shí)掌握：學(xué)生能夠準(zhǔn)確記憶并理解兩角差的余弦公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ，能夠獨(dú)立推導(dǎo)出該公式，并解釋其背后的幾何意義。

2.應(yīng)用能力：學(xué)生能夠?qū)山遣畹挠嘞夜綉?yīng)用于解決實(shí)際問題，如計(jì)算復(fù)合角度的余弦值，以及解決與物理、工程等領(lǐng)域的相關(guān)計(jì)算問題。

3.運(yùn)算技能：通過課堂練習(xí)和課后作業(yè)，學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力得到提升，能夠快速準(zhǔn)確地計(jì)算出兩角差的余弦值，對(duì)三角函數(shù)的運(yùn)算更加熟練。

4.問題解決：學(xué)生在面對(duì)涉及兩角差的余弦公式的復(fù)雜問題時(shí)，能夠有效地分析問題，制定解題策略，并順利解決問題。

5.邏輯思維：學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，通過公式的推導(dǎo)和應(yīng)用，邏輯思維能力得到鍛煉，能夠更好地理解和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)。

6.數(shù)學(xué)建模：學(xué)生在解決實(shí)際問題時(shí)，能夠?qū)?shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用兩角差的余弦公式進(jìn)行建模，提高了數(shù)學(xué)建模能力。

7.學(xué)習(xí)興趣：學(xué)生對(duì)兩角差的余弦公式的學(xué)習(xí)產(chǎn)生了濃厚的興趣，對(duì)三角函數(shù)的學(xué)習(xí)更加積極，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的整體興趣有所提高。

8.自主學(xué)習(xí)：學(xué)生在課后能夠自主查找相關(guān)資料，進(jìn)一步拓展兩角差的余弦公式的應(yīng)用領(lǐng)域，培養(yǎng)了自主學(xué)習(xí)和探索的能力。

9.團(tuán)隊(duì)合作：在小組討論環(huán)節(jié)，學(xué)生能夠積極參與團(tuán)隊(duì)合作，互相幫助，共同解決問題，提高了團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力。

10.核心素養(yǎng)：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生在邏輯思維、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)方面得到了提升，為后續(xù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。教學(xué)反思與總結(jié)這節(jié)課的教學(xué)讓我深刻體會(huì)到兩角差的余弦公式在高中數(shù)學(xué)中的重要性。在教學(xué)過程中，我嘗試了多種方法來幫助學(xué)生理解和掌握這一知識(shí)點(diǎn)，但同時(shí)也發(fā)現(xiàn)了一些不足之處。

教學(xué)反思：

1.教學(xué)方法：我利用了多媒體和幾何畫板等工具來輔助教學(xué)，這確實(shí)增強(qiáng)了學(xué)生的直觀感受，但在公式的推導(dǎo)過程中，我發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生還是難以跟上節(jié)奏。今后，我需要在推導(dǎo)過程中更加細(xì)致地引導(dǎo)學(xué)生，讓他們逐步理解每一步的推導(dǎo)過程。

2.學(xué)生參與：在課堂提問環(huán)節(jié)，學(xué)生的參與度較高，但我也注意到有些學(xué)生可能因?yàn)楹ε鲁鲥e(cuò)而不愿意發(fā)言。我需要在今后的教學(xué)中創(chuàng)造一個(gè)更加寬松和鼓勵(lì)性的課堂氛圍，讓每個(gè)學(xué)生都能勇敢地表達(dá)自己的思考。

3.練習(xí)設(shè)計(jì)：鞏固練習(xí)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)雖然旨在幫助學(xué)生鞏固知識(shí)，但我發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生在面對(duì)復(fù)雜問題時(shí)還是感到困惑。我應(yīng)該在練習(xí)環(huán)節(jié)中加入更多層次的問題，逐步提升難度，幫助學(xué)生逐漸適應(yīng)。

教學(xué)總結(jié)：

1.知識(shí)掌握：通過本節(jié)課的教學(xué)，學(xué)生基本能夠掌握兩角差的余弦公式，并能應(yīng)用于實(shí)際問題中。他們能夠獨(dú)立推導(dǎo)公式，這說明我在公式推導(dǎo)環(huán)節(jié)的教學(xué)是成功的。

2.技能提升：學(xué)生在運(yùn)算技能和問題解決能力方面有所提升，但仍有部分學(xué)生在面對(duì)復(fù)雜問題時(shí)表現(xiàn)不佳。我計(jì)劃在后續(xù)教學(xué)中加強(qiáng)對(duì)這些學(xué)生的個(gè)別輔導(dǎo)。

3.情感態(tài)度：學(xué)生對(duì)兩角差的余弦公式產(chǎn)生了興趣，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的態(tài)度更加積極。他們?cè)谛〗M討論中表現(xiàn)出合作精神，這讓我感到欣慰。

改進(jìn)措施和建議：

1.針對(duì)推導(dǎo)過程中的難點(diǎn)，我計(jì)劃在今后的教學(xué)中使用更多實(shí)際例子來幫助學(xué)生理解，同時(shí)放慢教學(xué)節(jié)奏，確保每個(gè)學(xué)生都能跟上。

2.為了鼓勵(lì)更多學(xué)生參與課堂討論，我會(huì)在課堂上更多地使用小組合作和同伴教學(xué)的方法，讓學(xué)生在互動(dòng)中學(xué)習(xí)。

3.對(duì)于練習(xí)題的設(shè)計(jì)，我會(huì)增加一些與生活實(shí)際相結(jié)合的題目，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的實(shí)用性和趣味性。

4.對(duì)于那些在復(fù)雜問題解決上遇到困難的學(xué)生，我會(huì)安排額外的輔導(dǎo)時(shí)間，針對(duì)性地幫助他們克服困難。課堂課堂評(píng)價(jià)：

在課堂上，我采用了多種方式來評(píng)價(jià)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，以確保他們能夠理解和掌握兩角差的余弦公式。

1.提問環(huán)節(jié)：我通過提問來檢查學(xué)生對(duì)公式的理解和記憶。例如，我會(huì)隨機(jī)提問學(xué)生公式的具體內(nèi)容，或者詢問他們?nèi)绾螒?yīng)用公式解決特定問題。這樣的互動(dòng)有助于我了解學(xué)生的即時(shí)理解程度。

在提問環(huán)節(jié)中，我發(fā)現(xiàn)大多數(shù)學(xué)生能夠回憶起公式的形式，但有些學(xué)生在應(yīng)用公式時(shí)仍然存在困惑。對(duì)于那些回答不夠準(zhǔn)確的學(xué)生，我會(huì)耐心地引導(dǎo)他們，通過逐步解釋幫助他們理解。

2.觀察環(huán)節(jié)：在學(xué)生進(jìn)行練習(xí)和小組討論時(shí)，我會(huì)觀察他們的表現(xiàn)。我注意到，學(xué)生們?cè)谛〗M討論中積極交流，互相幫助解決問題。這表明他們?cè)诤献鲗W(xué)習(xí)方面做得很好，但也有些學(xué)生在討論中顯得較為被動(dòng)，需要更多的鼓勵(lì)和引導(dǎo)。

3.測(cè)試環(huán)節(jié)：在課程結(jié)束時(shí)，我進(jìn)行了一次小測(cè)試，以評(píng)估學(xué)生對(duì)兩角差的余弦公式的掌握程度。測(cè)試包括了基礎(chǔ)題和應(yīng)用題，旨在檢驗(yàn)學(xué)生的知識(shí)運(yùn)用能力。

作業(yè)評(píng)價(jià)：

我對(duì)學(xué)生的作業(yè)進(jìn)行了認(rèn)真的批改和點(diǎn)評(píng)。以下是我對(duì)作業(yè)評(píng)價(jià)的一些觀察和反饋：

1.批改作業(yè)：我仔細(xì)檢查了學(xué)生的作業(yè)，確保他們能夠正確應(yīng)用兩角差的余弦公式。我注意到，大多數(shù)學(xué)生能夠正確地完成基礎(chǔ)題目，但在復(fù)雜的應(yīng)用題目上，一些學(xué)生遇到了困難。

2.點(diǎn)評(píng)反饋：在作業(yè)批改后，我及時(shí)向?qū)W生提供了反饋。對(duì)于正確率高的學(xué)生，我給予了肯定和鼓勵(lì)，對(duì)于存在問題的學(xué)生，我指出了他們的錯(cuò)誤，并提供了詳細(xì)的解釋和建議。

3.鼓勵(lì)進(jìn)步：我鼓勵(lì)所有學(xué)生繼續(xù)努力，特別是那些在作業(yè)中遇到困難的學(xué)生。我告訴他們，通過不斷的練習(xí)和復(fù)習(xí)，他們可以克服困難，提高自己的數(shù)學(xué)能力。

總體來說，通過課堂評(píng)價(jià)和作業(yè)評(píng)價(jià)，我能夠全面了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況。對(duì)于那些在理解和應(yīng)用兩角差的余弦公式上遇到困難的學(xué)生，我會(huì)繼續(xù)提供支持和指導(dǎo)，以確保他們能夠跟上課程的進(jìn)度。同時(shí)，我也會(huì)繼續(xù)改進(jìn)教學(xué)方法，以更好地滿足學(xué)生的學(xué)習(xí)需求。板書設(shè)計(jì)①重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)：

-兩角差的余弦公式：cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

-公式的推導(dǎo)過程及幾何意義

-公式的應(yīng)用場(chǎng)景及解題步驟

②重點(diǎn)詞句：

-“兩