人教版高中數(shù)學必修4-3.2《簡單的三角恒等變換(第1課時)》教學設計

3.2簡單的三角恒等變換3.2.2簡單的三角恒等變換（第1課時）（李蓉）一、教學目標（一）核心素養(yǎng) 這節(jié)課通過三角恒等變換在數(shù)學中應用的舉例，進一步加深理解變換思想，提高學生的推理能力，通過數(shù)學實例的解決，促進學生對函數(shù)模型多樣性的理解，提升學生數(shù)學建模的能力.（二）學習目標1．理解并掌握輔助角公式.2.會利用公式進行簡單的恒等變形.3.體會三角恒等變形在數(shù)學中的應用.能通過數(shù)學建模解決實際問題.（三）學習重點 1通過三角恒等變換推導輔助角公式． 2．靈活利用公式，通過三角恒等變換，解決函數(shù)的最值、周期、單調(diào)性等問題.（四）學習難點 靈活運用三角公式解決一些實際問題.二、教學設計（一）課前設計1．預習任務（1）寫一寫：復習三角恒等變換的一系列公式及回憶相應公式的使用依據(jù).；；；（降冪公式）（2）填一填：閱讀教材140頁例3.把下列式子化成一個角的三角函數(shù)2．預習自測（1）等于（）A．B．eq\r(2)sinC．eq\r(2)sinD．sin【知識點】輔助角公式【數(shù)學思想】轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學思想【解題過程】【思路點撥】一般地，先提公因式，再令，可得：最后利用兩角和差的正余弦公式進行合角：．【答案】C．（2）函數(shù)的最小值等于________．【知識點】二倍角公式【解題過程】，故．【思路點撥】牢記二倍角公式的形式．【答案】（3）函數(shù)的最小正周期是________，最小值是________．【知識點】二倍角公式【數(shù)學思想】轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學思想【解題過程】，故最小正周期是，最小值是．【思路點撥】將函數(shù)化為的形式，牢記利用二倍角公式進行降次的三種形式：=1\*GB3①，=2\*GB3②,=3\*GB3③．【答案】最小正周期是，最小值是．（4）已知，則等于（）A．B．C． D．【知識點】二倍角公式【數(shù)學思想】轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學思想【解題過程】由兩邊平方得，解得，所以．【思路點撥】由平方可得，牢記利用二倍角公式進行降次的三種形式：=1\*GB3①，=2\*GB3②,=3\*GB3③．【答案】B．(二)課堂設計1．知識回顧（1）兩角和差的正余弦公式.（2）二倍角公式及變形.2．問題探究探究公式的變形過程.●活動1公式的理論基礎.你能把函數(shù)化成的形式嗎？引導學生操作如下三步：①②③若把看成一個角，你還能把函數(shù)化成別的一個角的三角函數(shù)形式嗎？由，若令，那么此時表達式就變?yōu)椋?，使用兩角差的余弦公式：在上述兩種變換過程中使用了兩角和差的正余弦公式【設計意圖】連續(xù)兩個問題的提出讓學生動手進行簡單的三角恒等變換，既讓學生體會到變換結(jié)果的不唯一性，也讓學生感受從特殊到一般的數(shù)學歸納推理方法．●活動2公式的推導滿足“同角（均為），齊一次，正余全”這樣三個特點，形如的式子，能否將其化為的形式?如果遇到了符合以上三個條件的式子，可以通過以下三步：①一提：提取系數(shù)：，表達式變?yōu)椋孩诙遥河桑士煽醋魍粋€角的正余弦（稱為輔助角），如，可得：③三合：利用兩角和差的正余弦公式進行合角：常常稱該公式為輔助角公式.【設計意圖】通過公式的推導可以加深學生對公式的記憶與利用.在嘗試之后對輔助角公式的特點有一個加深的認識.●活動3使用輔助角公式注意事項：①在找角的過程中，一定要找“同一個角”的正余弦，因為輔助角公式理論基礎是兩角和差的正余弦公式，所以構(gòu)造的正余弦要同角②此公式不要死記硬背，找角的要求很低，只需同一個角的正余弦即可，所以可以從不同的角度構(gòu)造角，從而利用不同的公式進行合角，例如活動1中的那個例子：，可視為，那么此時表達式就變?yōu)椋?，使用兩角差的余弦公式：所以，找角可以靈活，不必拘于結(jié)論的形式.當然，角尋找的不同，自然結(jié)果形式上也不一樣，但與本質(zhì)是同一個式子（為什么？想想誘導公式的作用）③通常遇到的輔助角都是常見的特殊角，這也為我們的化簡提供了便利，如果提完系數(shù)發(fā)現(xiàn)括號里不是特殊角的正余弦，那么可用抽象的來代替，再在旁邊標注的一個三角函數(shù)值.【設計意圖】讓學生掌握記憶公式的同時，歸納總結(jié)公式適用的條件，培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力．活動4鞏固基礎，檢查反饋例1：化簡下列三角函數(shù)解析式為y＝Asin(ωx＋φ)+B的形式：(1)（2）【知識點】輔助角公式【數(shù)學思想】轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學思想【解題過程】（1）（2）其中【思路點撥】（1）將打開（2）用公式降冪【答案】（1）（2）同類訓練把函數(shù)化成y＝Asin(ωx＋φ)+B的形式.【知識點】三角恒等變換.【數(shù)學思想】轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學思想【解題過程】y＝cos4x－2sinxcosx－sin4x＝(cos4x－sin4x)－2sinxcosx＝(cos2x－sin2x)(cos2x＋sin2x)－2sinxcosx＝cos2x－sin2x＝eq\r(2)＝eq\r(2)＝eq\r(2)sin.【思路點撥】使用降冪公式及兩角和差的正余弦公式化簡三角函數(shù)式．【答案】eq\r(2)sin．●活動5強化提升、靈活應用例2已知函數(shù)f(x)＝sin2x＋asinxcosx－cos2x，且.(1)求常數(shù)a的值及f(x)的最小值；(2)當時，求f(x)的單調(diào)增區(qū)間．【知識點】三角恒等變換及三角函數(shù)的性質(zhì).【數(shù)學思想】轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學思想．【解題過程】(1)∵，∴sin2eq\f(π,4)＋asineq\f(π,4)coseq\f(π,4)－cos2eq\f(π,4)＝1，解得a＝2.∴f(x)＝sin2x＋2sinxcosx－cos2x＝sin2x－cos2x＝eq\r(2)sin.當2x－eq\f(π,4)＝2kπ－eq\f(π,2)(k∈Z)，即x＝kπ－eq\f(π,8)(k∈Z)時，sin有最小值－1，則f(x)的最小值為－eq\r(2).(2)令2kπ－eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，整理得kπ－eq\f(π,8)≤x≤kπ＋eq\f(3π,8)(k∈Z)；又，則0≤x≤eq\f(3π,8).∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間是【思路點撥】利用相應三角公式進行三角恒等變換，在對函數(shù)的性質(zhì)進行研究【答案】(1)a＝2(2).同類訓練已知函數(shù)求函數(shù)在區(qū)間的值域【知識點】三角恒等變換及三角函數(shù)的性質(zhì).【數(shù)學思想】轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學思想．【解題過程】【思路點撥】將視為一個整體，先根據(jù)的范圍求出的范圍，再判斷其正弦值的范圍【答案】例3如圖，已知OPQ是半徑為1，圓心角為的扇形，C是扇形弧上的動點，ABCD是扇形的內(nèi)接矩形，記，問當角取何值時，矩形ABCD的面積最大？并求出這個最大面積.OOABPCDQ【知識點】三角恒等變換及三角函數(shù)性質(zhì).【數(shù)學思想】數(shù)學建模與轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學思想.【思路點撥】（1）找出S與之間的函數(shù)關(guān)系，（2）由得出的函數(shù)關(guān)系，求S的最大值【解題過程】【答案】同類訓練如圖所示，已知矩形中，，試求其外接矩形面積的最大值【知識點】三角恒等變換及三角函數(shù)最值.【數(shù)學思想】數(shù)學建模與轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學思想.【思路點撥】以角為變量建立矩形面積的的函數(shù)關(guān)系，從而求相應的最大值【解題過程】∴=由，知時，取得最大值為【答案】3.課堂總結(jié)知識梳理（1）通過三角恒等變換推導輔助角公式并應用到三角函數(shù)中，對函數(shù)的性質(zhì)進一步研究.(2)通過用角為自變量建立函數(shù)模型，從而求解相應最值，既促進學生對函數(shù)模型多樣性的理解，也使學生感受到以角為自變量的優(yōu)點，體現(xiàn)了化歸思想.重難點歸納（1）進一步學習三角變換的內(nèi)容，思想和方法，體會三角變換的特點，提高推理，運算能力.（2）進一步認識三角變換的特點，并熟練運用數(shù)學思想方法指導變換過程的設計，提高從整體上把握變換過程的能力.（三）課后作業(yè)基礎型自主突破1．3sinx－eq\r(3)cosx＝（）A．sinB．3sinC.eq\r(3)sin D．2eq\r(3)sin【知識點】輔助角公式．【數(shù)學思想】轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學思想【解題過程】3sinx－eq\r(3)cosx＝2eq\r(3)＝2eq\r(3)＝2eq\r(3)sin.【思路點撥】直接使用公式【答案】D．2．函數(shù)f(x)＝sinx－cos(x＋eq\f(π,6))的值域為（）A．[－2,2] B．[－eq\r(3)，eq\r(3)]C．[－1,1] D．[－eq\f(\r(3),2)，eq\f(\r(3),2)]【知識點】三角恒等變換及三角函數(shù)值域．【數(shù)學思想】轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學思想【解題過程】由f(x)＝sinx－eq\f(\r(3),2)cosx＋eq\f(1,2)sinx＝eq\r(3)(eq\f(\r(3),2)sinx－eq\f(1,2)cosx)＝eq\r(3)cos(x－eq\f(π,6))【思路點撥】將打開，整理后再運用輔助角公式．【答案】B3．函數(shù)y＝2cos2(x－eq\f(π,4))－1是（）A．最小正周期為π的奇函數(shù)B．最小正周期為π的偶函數(shù)C．最小正周期為eq\f(π,2)的奇函數(shù)D．最小正周期為eq\f(π,2)的偶函數(shù)【知識點】三角恒等變換及三角函數(shù)性質(zhì)．【數(shù)學思想】轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學思想【解題過程】由y＝2cos2(x－eq\f(π,4))－1＝cos2(x－eq\f(π,4))＝cos(2x－eq\f(π,2))＝cos(eq\f(π,2)－2x)＝sin2x，而y＝sin2x為奇函數(shù)，其最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π【思路點撥】使用公式及誘導公式變形．【答案】A.4．函數(shù)f(x)＝cos2x＋2sinx的最小值和最大值分別為（）A．－3,1B．－2,2C．－3，eq\f(3,2) D．－2，eq\f(3,2)【知識點】三角函數(shù)與二次函數(shù)有關(guān)的最值．【數(shù)學思想】轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學思想【解題過程】由f(x)＝cos2x＋2sinx＝－2sin2x＋2sinx＋1，令sinx＝t，t∈[－1,1]，則y＝－2t2＋2t＋1＝－2(t－eq\f(1,2))2＋eq\f(3,2)，當t＝eq\f(1,2)時，ymax＝eq\f(3,2)，當t＝－1時，ymin＝－3．【思路點撥】統(tǒng)一函數(shù)解析式中的角及函數(shù)名，再通過換元法把函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解．【答案】C.5．設α、β都是銳角，且cosα＝eq\f(\r(5),5)，sin(α＋β)＝eq\f(3,5)，則cosβ等于（）A．eq\f(2\r(5),25)B．eq\f(2\r(5),5)C．eq\f(2\r(5),25)或eq\f(2\r(5),5) D．eq\f(\r(5),5)或eq\f(\r(5),25)【知識點】兩角和與差的三角函數(shù)．【數(shù)學思想】轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學思想【解題過程】依題意得sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(2\r(5),5)，cos(α＋β)＝±eq\r(1－sin2α＋β)＝±eq\f(4,5).又α，β均為銳角，所以0<α<α＋β<π，cosα>cos(α＋β)．因為eq\f(4,5)>eq\f(\r(5),5)>－eq\f(4,5)，所以cos(α＋β)＝－eq\f(4,5).于是cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－eq\f(4,5)×eq\f(\r(5),5)＋eq\f(3,5)×eq\f(2\r(5),5)＝eq\f(2\r(5),25)．【思路點撥】角的范圍一定要確定準確，以免導致開方時符號錯誤．【答案】A．6．已知函數(shù)f(x)＝4cosxsin(x＋eq\f(π,6))－1.則f(x)在區(qū)間[－eq\f(π,6)，eq\f(π,4)]上的最大值和最小值為（）A．2，-2B．2，1C．1，-2 D．2，-1【知識點】三角恒等變換及三角函數(shù)的最值.【數(shù)學思想】轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學思想.【解題過程】f(x)＝4cosxsin(x＋eq\f(π,6))－1＝4cosx(eq\f(\r(3),2)sinx＋eq\f(1,2)cosx)－1＝eq\r(3)sin2x＋2cos2x－1＝eq\r(3)sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋eq\f(π,6))，因為－eq\f(π,6)≤x≤eq\f(π,4)，所以－eq\f(π,6)≤2x＋eq\f(π,6)≤eq\f(2π,3).于是，當2x＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，即x＝eq\f(π,6)時，f(x)取得最大值2；當2x＋eq\f(π,6)＝－eq\f(π,6)，即x＝－eq\f(π,6)時，f(x)取得最小值－1.【思路點撥】打開sin(x＋eq\f(π,6))，降冪再利用輔助角公式變換成y＝Asin(ωx＋φ)+B的形式，再求該函數(shù)的區(qū)間最值．【答案】D．能力型師生共研7．已知0＜β＜eq\f(π,2)＜α＜π，且coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))＝－eq\f(1,9)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＝eq\f(2,3)，則cos(α＋β)的值為________．【知識點】兩角和與差的三角函數(shù)【數(shù)學思想】轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學思想.【解題過程】∵0＜β＜eq\f(π,2)＜α＜π，∴－eq\f(π,4)＜eq\f(α,2)－β＜eq\f(π,2)，eq\f(π,4)＜α－eq\f(β,2)＜π，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＝eq\r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β)))＝eq\f(\r(5),3)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))＝eq\r(1－cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2))))＝eq\f(4\r(5),9)，∴coseq\f(α＋β,2)＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,9)))×eq\f(\r(5),3)＋eq\f(4\r(5),9)×eq\f(2,3)＝eq\f(7\r(5),27)，∴cos(α＋β)＝2cos2eq\f(α＋β,2)－1＝2×eq\f(49×5,729)－1＝－eq\f(239,729)．【思路點撥】角eq\f(α,2)－β、α－eq\f(β,2)的范圍一定要確定準確，以免導致開方時符號錯誤．【答案】－eq\f(239,729)．8．已知向量m＝(cosθ，sinθ)，n＝(eq\r(2)－sinθ，cosθ)，θ∈(π，2π)，且|m＋n|＝eq\f(8\r(2),5)，求cos(eq\f(θ,2)＋eq\f(π,8))的值．【知識點】三角恒等變換及三角函數(shù)與向量.【數(shù)學思想】轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學思想.【解題過程】m＋n＝(cosθ－sinθ＋eq\r(2)，cosθ＋sinθ)，|m＋n|＝eq\r((cosθ－sinθ＋\r(2))2＋(cosθ＋sinθ)2)＝eq\r(4＋2\r(2)(cosθ－sinθ))＝eq\r(4＋4cos(θ＋\f(π,4)))＝2eq\r(1＋cos(θ＋\f(π,4)))，由已知|m＋n|＝eq\f(8\r(2),5)，得cos(θ＋eq\f(π,4))＝eq\f(7,25).又cos(θ＋eq\f(π,4))＝2cos2(eq\f(θ,2)＋eq\f(π,8))－1，∴cos2(eq\f(θ,2)＋eq\f(π,8))＝eq\f(16,25).∵π<θ<2π，∴eq\f(5π,8)<eq\f(θ,2)＋eq\f(π,8)<eq\f(9π,8).∴cos(eq\f(θ,2)＋eq\f(π,8))<0.∴cos(eq\f(θ,2)＋eq\f(π,8))＝－eq\f(4,5).方法二：|m＋n|2＝(m＋n)2＝m2＋2m·n＋n2＝|m|2＋|n|2＋2m·n＝(eq\r(cos2θ＋sin2θ))2＋[eq\r((\r(2)－sinθ)2＋cos2θ)]2＋2[cosθ(eq\r(2)－sinθ)＋sinθcosθ]＝4＋2eq\r(2)(cosθ－sinθ)＝4[1＋cos(θ＋eq\f(π,4))]＝8cos2(eq\f(θ,2)＋eq\f(π,8))．由已知|m＋n|＝eq\f(8\r(2),5)，得|cos(eq\f(θ,2)＋eq\f(π,8))|＝eq\f(4,5).又π<θ<2π，∴eq\f(5π,8)<eq\f(θ,2)＋eq\f(π,8)<eq\f(9π,8)∴cos(eq\f(θ,2)＋eq\f(π,8))<0.∴cos(eq\f(θ,2)＋eq\f(π,8))＝－eq\f(4,5).【思路點撥】思路一：先進行向量坐標運算再三角恒等變換.思路二：先應用向量的模長運算在利用模長公式結(jié)合三角恒等變換.【答案】cos(eq\f(θ,2)＋eq\f(π,8))＝－eq\f(4,5).探究型多維突破9.如圖，要把半徑為R的半圓形木料截成長方形，應怎樣截取，才能使長方形截面面積最大？最大面積為（）A．B．C． D．【知識點】三角恒等變換及三角函數(shù)性質(zhì).【數(shù)學思想】數(shù)學建模與轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學思想.【解題過程】設圓心為O，長方形截面面積為S，∠AOB＝α，則AB＝Rsinα，OB＝Rcosα，S＝(Rsinα)·2(Rcosα)＝2R2sinαcosα＝R2sin2α.當sin2α＝1時，即α＝eq\f(π,4)時，長方形截面面積最大，最大截面面積等于R2.【思路點撥】（1）設長方形截面面積為S，∠AOB＝α找出與之間的函數(shù)關(guān)系，（2）由得出的函數(shù)關(guān)系，求的最大值【答案】B．10.已知函數(shù)f(x)＝sinx，x∈R.(1)函數(shù)g(x)＝2sinx·(sinx＋cosx)－1的圖像可由f(x)的圖像經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到；(2)設h(x)＝f＋4λf(x－eq\f(π,2))，是否存在實數(shù)λ，使得函數(shù)h(x)在R上的最小值是－eq\f(3,2)？若存在，求出對應的λ值；若不存在，說明理由．【知識點】三角恒等變換及三角函數(shù)的最值的逆向問題.【數(shù)學思想】轉(zhuǎn)化化歸與分類討論的數(shù)學思想.【解題過程】(1)g(x)＝2sin2x＋sin2x－1＝sin2x－cos2x＝eq\r(2)sin，先將f(x)的圖像向右平移eq\f(π,4)個單位長度得到y(tǒng)＝sin的圖像；再將y＝sin(x－eq\f(π,4))圖像上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼膃q\f(1,2)倍，得到函數(shù)y＝sin的圖像；最后將曲線上各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼膃q\r(2)倍得到函數(shù)g(x)的圖像．(2)h(x)＝cos2x－4λcosx＝2cos2x－4λcosx－1＝2(cosx－λ)2－2λ2－1，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ<－1，,1＋4λ＝－\f(3,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤λ≤1，,－2λ2－1＝－\f(3,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ>1，,1－4λ＝－\f(3,2).))∴λ＝±eq\f(1,2).【思路點撥】（1）降冪再利用輔助角公式變換成y＝Asin(ωx＋φ)+B的形式，（2）轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值.【答案】(1)見解題過程.(2)λ＝±eq\f(1,2).自助餐1.下列各值中，函數(shù)不能取得的是（）A.3 B.3.5 C.4 D.4.5【知識點】三角恒等變換及三角函數(shù)的值域.【數(shù)學思想】轉(zhuǎn)化化歸數(shù)學思想.【解題過程】因為，所以函數(shù)不能取得的是4.5.【思路點撥】利用輔助角公式變換成y＝Asin(ωx＋φ)+B的形式再根據(jù)三角函數(shù)范圍求解.【答案】D.2．已知函數(shù)f(x)＝(1＋cos2x)sin2x，x∈R，則f(x)是（）A．最小正周期為π的奇函數(shù)B．最小正周期為π的偶函數(shù)C．最小正周期為eq\f(π,2)的奇函數(shù)D．最小正周期為eq\f(π,2)的偶函數(shù)【知識點】三角恒等變換及三角函數(shù)性質(zhì)．【數(shù)學思想】轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學思想【解題過程】f(x)＝(1＋cos2x)sin2x＝(1＋cos2x)·eq\f(1－cos2x,2)＝eq\f(1,2)(1－cos22x)＝eq\f(1,2)(1－eq\f(1＋cos4x,2))，可知f(x)的最小正周期為eq\f(π,2)的偶函數(shù)．【思路點撥】使用公式與進行三角恒等變換【答案】D3．若0＜α＜eq\f(π,2)，－eq\f(π,2)＜β＜0，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\f(1,3)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(β,2)))＝eq\f(\r(3),3)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(β,2)))等于（）A．eq\f(\r(3),3) B．－eq\f(\r(3),3)C．eq\f(5\r(3),9) D．－eq\f(\r(6),9)【知識點】兩角和與差的三角函數(shù)．【數(shù)學思想】轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學思想【解題過程】coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(β,2)))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(β,2)))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(β,2)))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(β,2)))，∵0＜α＜eq\f(π,2)，∴eq\f(π,4)＜eq\f(π,4)＋α＜eq\f(3π,4)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\f(2\r(2),3).又－eq\f(π,2)＜β＜0，則eq\f(π,4)＜eq\f(π,4)－eq\f(β,2)＜eq\f(π,2)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(β,2)))＝eq\f(\r(6),3).故coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(β,2)))＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),3)＋eq\f(2\r(2),3)×eq\f(\r(6),3)＝eq\f(5\r(3),9)．【思路點撥】角的范圍一定要確定準確，以免導致開方時符號錯誤．【答案】C．4．已知cos(α－eq\f(π,6))＋sinα＝eq\f(4,5)eq\r(3)，則sin(α＋eq\f(7π,6))的值是________．【知識點】兩角和與差的三角函數(shù)．【數(shù)學思想】轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學思想【解題過程】∵cos(α－eq\f(π,6))＋sinα＝eq\f(4,5)eq\r(3)，∴eq\f(\r(3),2)cosα＋eq\f(3,2)sinα＝eq\f(4,5)eq\r(3)，eq\r(3)(eq\f(1,2)cosα＋eq\f(\r(3),2)sinα)＝eq\f(4,5)eq\r(3)，eq