數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2．3.3平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算1．理解向量加法、減法、數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算法則，能熟練進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算．2．會(huì)根據(jù)表示向量的有向線段的起點(diǎn)坐標(biāo)和終點(diǎn)坐標(biāo)求這個(gè)向量的坐標(biāo)．3．能借助于向量坐標(biāo),用已知向量表示其他向量．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)向量a＝（x1，y1），b＝(x2，y2），λ∈R，則有下表：文字描述符號(hào)表示加法兩個(gè)向量和的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的____a＋b＝__________減法兩個(gè)向量差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的____a－b＝__________數(shù)乘實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的________λa＝__________向量坐標(biāo)公式一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)已知A（x1，y1），B（x2,y2)，則eq\o(AB，\s\up6（→）)＝______________【做一做1－1】已知a＝（1,3），b＝(－2，1)，則b－a等于（）A．（－3，2） B．（3，－2） C．（－3，－2） D．(－2，－3）【做一做1－2】已知eq\o(MN,\s\up6（→)）＝(－1,2），則－3eq\o(MN，\s\up6(→)）等于（）A．（－3，－3) B．(－6，3) C．(3，－6) D．(－4,－1)【做一做1－3】已知a＝(3，1），b＝（－2，5),則a＋b等于（)A．(－6,5） B．（1，6） C．(5，－4) D．(7，7)答案：和(x1＋x2，y1＋y2)差(x1－x2，y1－y2)相應(yīng)坐標(biāo)（λx1，λy1）(x2－x1,y2－y1）【做一做1－1】C【做一做1－2】C【做一做1－3】B平面向量坐標(biāo)運(yùn)算規(guī)律剖析：(1）向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo),則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，然后再進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算,另外解題過(guò)程中要注意方程思想的運(yùn)用．（2）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題,主要是根據(jù)相等的向量坐標(biāo)相同這一原則，通過(guò)列方程(組)進(jìn)行求解．(3）利用坐標(biāo)運(yùn)算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐標(biāo),再用待定系數(shù)法求出待定系數(shù)．（4）向量的坐標(biāo)運(yùn)算，使得向量的線性運(yùn)算都可用坐標(biāo)來(lái)進(jìn)行，實(shí)現(xiàn)了向量運(yùn)算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結(jié)合起來(lái)，就可以使很多幾何問(wèn)題的解答轉(zhuǎn)化為我們熟知的數(shù)量運(yùn)算．題型一向量的坐標(biāo)運(yùn)算【例1】已知a＝（2，1)，b＝(－3,4)．求:(1)a＋3b；(2)eq\f(1，2)a－eq\f（1,4)b.反思：向量的坐標(biāo)表示實(shí)質(zhì)上就是用實(shí)數(shù)表示向量，因此，向量的坐標(biāo)運(yùn)算就可以轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)的運(yùn)算．題型二用已知向量表示其他向量【例2】若向量a＝（1,1)，b＝（1，－1)，c＝(－1，2)，試用a，b表示c.分析：由于條件中只給出a，b，c的坐標(biāo)，故可考慮從“數(shù)”的角度出發(fā)用a，b表示c.又a，b不共線,則一定存在實(shí)數(shù)x，y使c＝xa＋yb,然后用向量坐標(biāo)建立x，y的方程組求解．反思：用兩個(gè)已知向量a，b表示第三個(gè)向量c，一般用待定系數(shù)法,設(shè)c＝xa＋yb，利用相等向量的坐標(biāo)分別相等，建立兩個(gè)方程來(lái)解兩個(gè)未知數(shù)x，y.題型三求點(diǎn)或向量的坐標(biāo)【例3】已知A(－2,4)，B（3，－1)，C（－3，－4)，且eq\o(CM，\s\up6(→)）＝3eq\o(CA,\s\up6（→)),eq\o(CN，\s\up6（→））＝2eq\o（CB，\s\up6（→）），求點(diǎn)M，N及向量eq\o（MN，\s\up6(→))的坐標(biāo)．分析：由A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)易求得eq\o(CA,\s\up6(→））,eq\o(CB，\s\up6（→)）的坐標(biāo)，再根據(jù)向量坐標(biāo)的定義就可以求出點(diǎn)M,N的坐標(biāo)．反思：在關(guān)于向量坐標(biāo)運(yùn)算中，求某點(diǎn)或向量坐標(biāo)時(shí)，常用待定系數(shù)法，先設(shè)出坐標(biāo)，再列方程(組）解得．本題中也可直接求出點(diǎn)M的坐標(biāo),如eq\o（OM，\s\up6(→)）＝eq\o(CM,\s\up6(→）)－eq\o（CO，\s\up6（→））＝3eq\o（CA，\s\up6（→)）－eq\o(CO，\s\up6(→）)＝（3，24)－（3，4）＝（0，20)．題型四易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn)忽略平行四邊形頂點(diǎn)的不同排列順序【例4】設(shè)平行四邊形三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(0,0)，B(0,b)，C（a，c)．求第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．錯(cuò)解：設(shè)第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為D(x，y)，如圖所示，則eq\o（AC,\s\up6(→））＝(a，c),eq\o(BD，\s\up6（→））＝（x,y－b),由eq\o(AC,\s\up6(→）)＝eq\o(BD，\s\up6(→)），得（a，c)＝（x，y－b)．∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝x，,c＝y(tǒng)－b。))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝a,，y＝b＋c，))即點(diǎn)D坐標(biāo)為(a，b＋c）．錯(cuò)因分析：平行四邊形四個(gè)頂點(diǎn)按逆時(shí)針順序排列有三種可能,即ACDB,ACBD，ADCB。而錯(cuò)解中只考慮了ACDB一種情形，而疏漏了另兩種情況．答案：【例1】解：(1）a＋3b＝(2，1）＋3(－3,4)＝（2,1）＋（－9，12)＝(－7,13）．（2）eq\f（1,2)a－eq\f(1,4)b＝eq\f(1，2）(2，1）－eq\f(1,4）(－3，4)＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（1,\f(1，2)))－eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，1）)＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（7,4）,－\f（1，2）)).【例2】解：設(shè)c＝xa＋yb，則(－1,2）＝(x,x）＋(y，－y)＝(x＋y,x－y），∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝－1，，x－y＝2.))解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝\f(1，2），，y＝－\f（3,2）。）)∴c＝eq\f（1，2)a－eq\f(3，2）b?！纠?】解：∵A（－2,4），B（3，－1），C（－3，－4)，∴eq\o(CA,\s\up6（→））＝(1，8)，eq\o（CB,\s\up6(→）)＝(6，3），∴eq\o(CM，\s\up6（→）)＝3eq\o(CA，\s\up6(→））＝(3,24）,eq\o（CN,\s\up6(→))＝2eq\o(CB，\s\up6(→））＝（12，6）．設(shè)M（x,y），則eq\o(CM，\s\up6(→）)＝(x＋3,y＋4)．∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＋3＝3，，y＋4＝24,)）∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝0,,y＝20。）)∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0，20)．同理可求點(diǎn)N的坐標(biāo)為（9,2）．∴eq\o（MN,\s\up6（→))＝（9，－18）．【例4】正解：設(shè)第四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為D(x，y）．(1)當(dāng)四個(gè)頂點(diǎn)按逆時(shí)針ACDB排列時(shí)，解法同錯(cuò)解．（2)當(dāng)四個(gè)頂點(diǎn)按逆時(shí)針ACBD排列時(shí)，由eq\o（AC，\s\up6(→)）＝（a，c），eq\o(DB,\s\up6(→))＝(－x,b－y），及eq\o(AC，\s\up6(→））＝eq\o（DB，\s\up6（→）)，得(a，c)＝（－x，b－y）．∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝－x，，c＝b－y.)）∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝－a，,y＝b－c。)）則此時(shí)點(diǎn)D坐標(biāo)為(－a,b－c）．(3)當(dāng)四個(gè)頂點(diǎn)按逆時(shí)針ADCB排列時(shí)，由eq\o(AD，\s\up6(→）)＝(x,y），eq\o（BC，\s\up6（→））＝(a，c－b)，及eq\o（AD，\s\up6（→)）＝eq\o(BC,\s\up6（→))，得(x,y)＝(a，c－b)．∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝a，，y＝c－b.))則此時(shí)點(diǎn)D坐標(biāo)為(a，c－b）．綜上所述，第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(a,b＋c)或（－a,b－c)或(a,c－b）．1．若向量a＝（1,1),b＝（－1,1)，c＝（4,2),則用a，b表示c等于（）A．3a＋b B．3a－b C．－a＋3b D．a(chǎn)＋2．在平行四邊形ABCD中，若＝（2,4）,＝(1,3），則＝（)A．(－2，－4) B．(－3，－5） C．（3，5) D．(2，4）3．作用在原點(diǎn)的三個(gè)力F1＝（1,2），F(xiàn)2＝（－2，3）,F3＝(－1，－4),則它們的合力F的坐標(biāo)為__________．4．已知A（3，－5)，B(－1，3)，點(diǎn)C在線段AB上，且＝，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是__________．5．已知點(diǎn)A（－1,2），B(2,8），及＝，＝,求點(diǎn)C，D和的坐標(biāo)．答案:1．B設(shè)c＝xa＋yb,則（4,2)＝x（1,1)＋y(－1，1）,∴解得∴c＝3a－b.2．B＝－＝－＝（－)－＝－＝（1,3）－（4,8）＝(－3，－5)．3．(－2,1）F＝F1＋F2＋F3＝(1,2）＋(－2,3)＋（－1,－4）＝（－2,1）．4．（0，1）設(shè)C（x，y），則＝（x－3，y＋5）,＝3(－1－x,3－y）＝（－3－3x，9－3y）．∵＝3，∴解得x＝0，