數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案：任意角

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1.1。1任意角1.了解任意角的概念，能區(qū)分各類角的概念。2.掌握象限角的概念，并會(huì)用集合表示象限角。3。理解終邊相同的角的含義及表示，并能解決有關(guān)問(wèn)題.1。角(1）定義：平面內(nèi)一條射線繞著從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形稱為角，所旋轉(zhuǎn)射線的端點(diǎn)叫做角的，開(kāi)始位置的射線叫做角的，終止位置的射線叫做角的。如圖所示。（2)分類:如下表。任意角定義正角按時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角負(fù)角按時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角零角一條射線沒(méi)有作任何形成的角（3)記法：用一個(gè)希臘字母表示，如α，β，γ，…；也可用3個(gè)大寫的英文字母表示（字母前面要寫“∠”）,其中中間字母表示角的頂點(diǎn)，如∠AOB，∠DEF，….（1)確定任意角的大小要明確其旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)量；(2）零角的始邊和終邊重合，但始邊和終邊重合的角不一定是零角,如周角等；（3)角的范圍由0°~360°推廣到任意角后，角的加減運(yùn)算類似于實(shí)數(shù)的加減運(yùn)算;(4)畫圖表示角時(shí),應(yīng)注意箭頭的方向不可丟掉，箭頭方向代表角的正負(fù)?！咀鲆蛔?】將射線OM繞端點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)120°所得的角為（)A.120° B。－120° C.60° D.240°2.象限角使角的頂點(diǎn)與重合，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合。那么，角的（除原點(diǎn)外）在第幾象限,就說(shuō)這個(gè)角是第幾,即象限角的終邊在第一或第二或第三或第四象限內(nèi),不與重合。如果角的終邊在坐標(biāo)軸上,就說(shuō)這個(gè)角不屬于任何象限?！咀鲆蛔?】－30°是（)A.第一象限角 B。第二象限角 C。第三象限角 D。第四象限角3.終邊相同的角(1)研究終邊相同的角的前提條件是：角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合。(2）終邊相同角的集合:所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝｛β｜β＝，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和。理解集合S＝｛β｜β＝α＋k·360°，k∈Z｝要注意以下幾點(diǎn)：（1)式中角α為任意角;（2）k∈Z這一條件必不可少；(3)k·360°與α之間是“＋”，如k·360°－30°應(yīng)看成k·360°＋（－30°)，即與－30°角終邊相同；（4)當(dāng)α與β的終邊相同時(shí)，α－β＝k·360°（k∈Z）。反之亦然.【做一做3－1】與95°角終邊相同的角是（)A。－5° B。85° C。395° D.－265°【做一做3－2】與210°角的終邊相同的角連同210°角在內(nèi)組成的角的集合是________。答案：1．(1)端點(diǎn)頂點(diǎn)始邊終邊(2）逆順旋轉(zhuǎn)【做一做1】A2．原點(diǎn)x終邊象限角坐標(biāo)軸【做一做2】D3．（2）α＋k·360°【做一做3－1】D【做一做3－2】{β｜β＝210°＋k·360°，k∈Z｝1。象限角與軸線角(終邊在坐標(biāo)軸上的角)的集合表示剖析：（1）象限角：象限角集合表示第一象限角｛α｜k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z｝第二象限角｛α|k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°,k∈Z}第三象限角{α|k·360°＋180°＜α＜k·360°＋270°,k∈Z}第四象限角{α｜k·360°＋270°＜α＜k·360°＋360°,k∈Z｝（2)軸線角:角的終邊的位置集合表示終邊落在x軸的非負(fù)半軸上{α｜α＝k·360°，k∈Z｝終邊落在x軸的非正半軸上｛α｜α＝k·360°＋180°，k∈Z}終邊落在y軸的非負(fù)半軸上{α｜α＝k·360°＋90°，k∈Z}終邊落在y軸的非正半軸上{α｜α＝k·360°＋270°，k∈Z｝終邊落在y軸上｛α｜α＝k·180°＋90°，k∈Z}終邊落在x軸上{α｜α＝k·180°,k∈Z｝終邊落在坐標(biāo)軸上{α｜α＝k·90°，k∈Z}2.α,β的終邊相同,但是α與β不一定相等剖析：若α，β的終邊相同，則它們的關(guān)系為：將角α終邊旋轉(zhuǎn)(逆時(shí)針或順時(shí)針）k(k∈Z）周即得β，所以α,β的數(shù)量關(guān)系為β＝k·360°＋α(k∈Z），即α,β的大小相差360°的整數(shù)k倍，所以α與β不一定相等.所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi),可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β｜β＝α＋k·360°，k∈Z｝，即任一與角α終邊相同的角,都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和。3。銳角、0°～90°的角、小于90°的角、第一象限角的區(qū)別剖析：（1）銳角、0°～90°的角、小于90°的角、第一象限角的范圍,如下表所示.角集合表示銳角｛α|0°＜α＜90°}0°～90°的角{α｜0°≤α＜90°｝小于90°的角｛α|α＜90°｝第一象限角{α|k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z}（2)銳角、0°~90°的角、小于90°的角、第一象限角的關(guān)系用Venn圖表示，如圖所示.由(1)(2）可知銳角是0°～90°的角，是小于90°的角,是第一象限角；0°~90°的角是小于90°的角，不一定是第一象限角；小于90°的角不一定是第一角限角，第一象限角不一定是小于90°的角、銳角、0°～90°的角.例如390°是第一象限角，但390°不是小于90°的角、銳角或0°~90°的角。題型一在坐標(biāo)系中畫出任意角【例1】在坐標(biāo)系中畫出下列各角:（1)210°；（2）－230°.分析：先確定旋轉(zhuǎn)的方向，再確定旋轉(zhuǎn)量.反思：在坐標(biāo)系中畫出任意角α：(1)當(dāng)α＞0°時(shí)，將x軸的非負(fù)半軸繞原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α；（2)當(dāng)α＜0°時(shí),將x軸的非負(fù)半軸繞原點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)|α|；（3)當(dāng)α＝0°時(shí)，將x軸的非負(fù)半軸繞原點(diǎn)不作任何旋轉(zhuǎn).題型二判斷象限角【例2】在0°～360°之間，求出一個(gè)與下列各角終邊相同的角，并判斷下列各角是哪個(gè)象限的角.(1）908°28′；(2)－734°。反思：判斷角α的終邊所在位置的步驟是：（1)當(dāng)0°≤α＜360°時(shí),依據(jù)下表來(lái)判斷.α的范圍α終邊的位置0°x軸非負(fù)半軸0°＜α＜90°第一象限90°y軸非負(fù)半軸90°＜α＜180°第二象限180°x軸非正半軸180°＜α＜270°第三象限270°y軸非正半軸270°＜α＜360°第四象限（2)當(dāng)α＜0°或α≥360°時(shí)，將α化為k·360°＋β(k∈Z，0°≤β＜360°)，轉(zhuǎn)化為判斷β終邊所在的位置.題型三終邊相同的角的表示【例3】若角α的終邊在函數(shù)y＝－x的圖象上，試寫出角α的集合.分析：(思路一)函數(shù)y＝－x的圖象是第二、四象限的平分線，可以先在0°～360°范圍內(nèi)找出滿足條件的角,進(jìn)一步寫出滿足條件的所有角，并注意化簡(jiǎn).(思路二)結(jié)合圖形，α與135°相差180°的整數(shù)倍，由此寫出集合.反思：寫出終邊落在某條過(guò)原點(diǎn)的直線上的角的集合有兩種方法：一是分別寫出每條終邊所代表的角的集合，再取并集；二是在其中一條終邊上找出一個(gè)角,然后再加上180°的整數(shù)倍.答案:【例1】解：在坐標(biāo)系中畫出各角如圖所示．【例2】解：（1）908°28′＝188°28′＋2×360°，則188°28′即為所求角,因?yàn)?88°28′是第三象限角，故908°28′也是第三象限角；（2)－734°＝346°－3×360°，則346°即為所求角,因?yàn)?46°是第四象限角，故－734°也是第四象限角．【例3】解法一：由于y＝－x的圖象是第二、四象限的平分線，故在0°～360°范圍內(nèi)所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)角分別為135°及315°，從而角α的集合為S＝{α｜α＝k·360°＋135°或α＝k·360°＋315°，k∈Z｝＝{α｜α＝2k·180°＋135°或α＝（2k＋1）·180°＋135°,R∈Z}，∴S＝｛α|α＝k·180°＋135°,k∈Z}．解法二：如圖所示．∵角α的終邊在函數(shù)y＝－x的圖象上，∴角α的集合為S＝{α｜α＝k·180°＋135°，k∈Z}．1．－215°是()A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角2．在－360°~720°之間，與－367°角終邊相同的角是.3．若角α的終邊在函數(shù)y＝x的圖象上，則角α組成的集合為S＝________.4．在坐標(biāo)系中畫出下列各角:(1）－180°；（2）1070°。5．已知α＝－1910°.(1）把α寫成β＋k·360°（k∈Z，0°≤β＜360°）的形式，指出它是第幾象限角；（2)求θ，使θ與α的終邊相同,且－720°≤θ＜0°.答案:1．B由于－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，則－215°也是第二象限角．2．－7°，353°，713°與－367°角終邊相同的角可表示為α＝k·360°－367°,k∈Z。當(dāng)k＝1，2,3時(shí)，α＝－7°，353°,713°，這三個(gè)角都是符合條件的角．3．{α｜α＝k·180°＋45°，k∈Z｝4．解：在坐標(biāo)系中畫