數(shù)學(xué)第一講坐標(biāo)系單元測評一

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精單元測評（一)(時間120分鐘，滿分150分）一、選擇題(每小題4分，共24分）1。已知點M的極坐標(biāo)為（—5，），下列所給出的四個坐標(biāo)中不能表示點M的坐標(biāo)的是()A。(5,-)B.（5，）C.（5，—）D.（—5，—）解析:根據(jù)極坐標(biāo)的概念與規(guī)定解.特別注意當(dāng)ρ<0時，點位置如何確定.答案：A2。在極坐標(biāo)系中點(ρ,θ)與（-ρ,π-θ)的位置是（）A.關(guān)于極軸所在直線對稱B.關(guān)于極點對稱C。重合D。關(guān)于直線θ=（ρ∈R)對稱解析：點（—ρ，π—θ）與點(ρ，-θ）是同一個點,它與點(ρ，θ）關(guān)于極軸所在直線對稱.答案:A3。點P（ρ0,θ0）（ρ0≠0）關(guān)于直線θ=（ρ∈R）的對稱點的極坐標(biāo)為()A。（—ρ0，θ0）B。(ρ0,—θ0）C。（-ρ0，-θ0)D.（ρ0,+θ0）解析:由題可知,點P0(ρ0，θ0)關(guān)于極軸的對稱點為(ρ0，—θ0），再根據(jù)（ρ0，-θ0)關(guān)于極點的對稱點為（-ρ0,-θ0).答案:C4。極坐標(biāo)方程4ρ·sin2=5表示的曲線是(）A。圓B.橢圓C.雙曲線的一支D.拋物線解析:直接由所給方程較難判定它表示何種曲線,可把它化成直角坐標(biāo)方程再去判斷.4ρsin2=4ρ=2ρ-2ρcosθ=5,∴2=5+2x.∴y2=5x+，表示拋物線。答案：D5.極坐標(biāo)ρ=cos（-θ)表示的曲線是（）A.雙曲線B.橢圓C。拋物線D。圓解析:ρ=cosθ+sinθ,由于ρ不恒等于0，方程兩邊同乘以ρ,得ρ2=ρcosθ+ρsinθ。∴2(x2+y2）=x+y,表示圓.答案：D6.在極坐標(biāo)系中，與圓ρ=4sinθ相切的一條直線方程為(）A。ρsinθ=2B。ρcosθ=2C。ρcosθ=4D。ρcosθ=-4解析:如圖,⊙C的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ，CO⊥Ox,OA為直徑,｜OA｜=4，l和圓相切，l交極軸于B(2,0)，點P(ρ，θ）為l上任意一點,則有cosθ==，得ρcosθ=2。答案：B二、填空題（每小題4分，共20分）7.已知直線的極坐標(biāo)方程ρsin（θ+)=2，則極點到該直線的距離是________.解析：由ρsin(θ+）=,可得ρsinθ+ρcosθ=2,即得x+y-2=0?！帱cO(0，0）到直線x+y-2=0的距離為d=.答案:8。點P（-2,)關(guān)于直線θ=（P∈R)的對稱點的坐標(biāo)為________.解析：點P(—2，)即為點P（2,)，點P、P′、O組成等腰三角形,且直線θ=為∠POP′的平分線。答案：（2,）9。已知點A(3,)、B(-4，）、O(0，θ),則△ABO的面積為________.解析：點B(—4,)B(4，）.∴|OA｜=3,|OB|=4，∠AOB=-=?！郤=×3×4sin=3.答案:310.已知P（5,),O為極點,則使△POP＇為正三角形的P＇點的坐標(biāo)為________。解析:設(shè)P′(ρ，θ），∵△POP′為正三角形,如圖,∴∠POP′=.∴θ=又ρ=5,∴P(5,）或P（5,π)。答案:(5,）或(5，π)11.圓心為C（3，),半徑為3的圓的極坐標(biāo)方程是________。解析:如圖,設(shè)圓上任一點為P（ρ,θ），OA為圓的直徑,可得ρ=6cos（θ-），當(dāng)P是極點，A點時也適合.答案:ρ=6cos（θ—)三、解答題（共106分)12.（10分)說出由曲線y=tanx得到曲線y=3tan2x的變換規(guī)律,并求滿足其圖形變換的伸縮變換.解析:函數(shù)y=f(ωx),x∈R（其中ω＞0，ω≠1）的圖象,可以看作把f(x）圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短(當(dāng)ω＞1時）或伸長(當(dāng)0＜ω＜1時）到原來的（縱坐標(biāo)不變)而得到。函數(shù)y=Af(x),x∈R(其中A＞0,ω≠1）的圖象,可以看作把f（x)圖象上所有點的縱坐標(biāo)伸長（當(dāng)A＞1時）或縮短（當(dāng)0＜A＜1時）到原來的A倍（橫坐標(biāo)不變）而得到.圖形變換的伸縮變換需要我們記住變換公式:分清新舊坐標(biāo).解:曲線y=tanx上每一點的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)縮短為原來的，得到y(tǒng)=tan2x的圖象,再將其縱坐標(biāo)伸長為原來的3倍，橫坐標(biāo)不變，得到曲線y=3tan2x。設(shè)y′=3tan2x′，變換為將其代入y′=3tan2x′得μy=3tan2λx與y=tanx比較,可得13.（10分)在同一平面直角坐標(biāo)系中,經(jīng)過伸縮變換后，曲線C變?yōu)榍€(x＇—5)2+（y＇+6)2=1，求曲線C的方程，并判斷其形狀。解析：考查變換公式:我們將新坐標(biāo)代入到已知曲線中,即可得原曲線方程.解：將代入(x′-5)2+(y′+6）2=1，得(2x-5)2+(2y+6)2=1，化簡得(x—）2+(y+3）2=.曲線C是以(，—3）為圓心，半徑為的圓.14.（10分)如圖,長方體OABC—D＇A＇B＇C＇中，|OA|=3,｜OC｜=5,｜OD＇|=3，A＇C＇與B＇D＇相交于點P，分別寫出點C、B＇、P的柱坐標(biāo)。解:求點的柱坐標(biāo),需要找到空間任意一點P在Oxy平面上的射影及在平面Oxy上的極坐標(biāo)（ρ,θ）(ρ≥0,0≤θ＜2π).C點的ρ、θ為｜OC|及∠COA;B′點的ρ、θ分別為｜OB|=θ=∠BOA,tan∠BOA=∴∠BOA=arctan.P點的ρ、θ為OE、∠AOE，｜OE｜=|OB｜，∠AOE=∠AOB.∴C點的柱坐標(biāo)為(5,，0）；B′點的柱坐標(biāo)為（,arctan,3）;P點的柱坐標(biāo)為（,arctan,3)。15。(10分)如圖,棱長為a的正方體OABC—D＇A＇B＇C＇中，對角線OB＇與BD＇相交于點P,頂點O為坐標(biāo)原點，OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，試寫出點P的球坐標(biāo).解:求點P的球坐標(biāo)，需要找(r,φ,θ）三個量。r=｜OP|，φ=∠D′OP，θ=∠AOB,｜OP｜=a，∠D′OP=∠OB′B,tan∠OB′B=θ=∠AOB=。∴點P的球坐標(biāo)為（a，arctan,)。16.(12分)△ABC底邊BC=10,∠A=∠B,以B點為極點，BC為極軸，求頂點A的軌跡的極坐標(biāo)方程。解析：本題利用正弦定理的邊角關(guān)系找到頂點A的ρ、θ之間的關(guān)系而求得其軌跡方程.解:如圖,令A(yù)(ρ，θ)。顯然△ABC內(nèi)，∠B=θ,∠A=，|BC|=10,|AB｜=ρ。于是由正弦定理得A點軌跡的極坐標(biāo)方程為ρ=40sin2—30.17。(12分)在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A(3,0)，P是圓x2+y2=1上一個動點,且∠AOP的平分線交PA于Q點，求Q點的軌跡的極坐標(biāo)方程。解析：需要找Q點的極角和極徑的關(guān)系。在這里我們可以根據(jù)三角形的面積法建立關(guān)系式。解：如圖，以圓心O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,設(shè)Q（ρ,θ）、P(1,2θ)?！逽△OAQ+S△OQP=S△OAP，∴·3ρsinθ+ρsinθ=·3·1·sin2θ.整理，得ρ=cosθ.18.(14分)已知線段BB＇=4，直線l垂直平分BB＇，交BB＇于點O，在屬于l并且以O(shè)為起點的同一射線上取兩點P、P＇，使OP·OP＇=9，求直線BP與直線B＇P＇的交點M的軌跡方程.解析:題目中有互相垂直的兩條直線，我們以它建立直角坐標(biāo)系，將直線BP與B′P′的直線方程求出來,再去找交點M的坐標(biāo),把設(shè)的字母消掉即可得交點M的軌跡方程。解：以O(shè)為原點,BB′為y軸,l為x軸建立如圖所示直角坐標(biāo)系，則B（0,2），B′（0,-2），設(shè)P（a，0),a≠0,則由OP·OP′=9得P′(,0）,直線BP的方程為=1，直線B′P′的方程為=1，即2x+ay-2a=0與2ax-9y設(shè)M(x,y）,則由解得(a為參數(shù)）.消去a，可得4x2+9y2=36（x≠0），∴點M的軌跡是長軸長為6,短軸長為4的橢圓(除去點B、B′）.19。(14分）在極坐標(biāo)系中,已知圓C的圓心C（3,），半徑為1.Q點在圓周上運動,O為極點。（1)求圓C的極坐標(biāo)方程；(2）若P在直線OQ上運動，且滿足,求動點P的軌跡方程.解析：在△OCQ中,根據(jù)余弦定理,可找到圓C上的任意一點Q的ρ、θ之間的關(guān)系;通過比例,可找到Q點與P點極坐標(biāo)之間的關(guān)系，從而求出點P的軌跡方程.解：(1）設(shè)Q(ρ，θ)為圓C上任意一點,如圖,在△OCQ中,|OC|=3，｜OQ｜=ρ,｜CQ|=1,∠COQ=｜θ—|,根據(jù)余弦定理，得1=ρ2+9-2·ρ·3·cos|θ—｜,化簡整理，得ρ2-6·ρcos（θ-)+8=0為圓C的軌跡方程.（2)設(shè)Q（ρ1，θ1)，則有ρ12—6·ρ1cos(θ1-)+8=0。①設(shè)P(ρ,θ）,則OQ∶QP=ρ1∶(ρ-ρ1)=2∶3ρ1=ρ。又θ1=θ,即代入①得ρ2-6·ρcos（θ—)+8=0,整理得ρ2—15ρcos（θ-)+50=0為P點的軌跡方程。20.（14分）如圖，在面積為1的△PMN中，tan∠PMN=分12式，tan∠MNP=2.建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求出以M、N為焦點，且過點P的橢圓方程。解析：題中沒有給出坐標(biāo)系,我們根據(jù)圖形的對稱性，建立坐標(biāo)系.當(dāng)然，我們可以嘗試建立其他的坐標(biāo)系。在此題中，角的正切可看作相應(yīng)直線的斜率，從而得點P的坐標(biāo)與c的關(guān)系，求a時可有三種方法：代入點法,利用橢圓的第一定義得方程;利用點在橢圓上，將點的坐標(biāo)代入橢圓方程；根據(jù)△PMN是直角三角形.我們這里只介紹一種方法，讀者可自己嘗試其他方法.解:如圖,以MN所在直線為x軸，MN的垂直平分線為y軸建立坐標(biāo)系。設(shè)以M、N為焦點，且過點P的橢圓方程為=1，焦點為M(-c，0)，N(c