數(shù)學(xué)第一章§歸納與類比

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精教材習(xí)題點撥練習(xí)(P7）1.解:楊輝三角形的第8行是：172135352171楊輝三角形中的一般規(guī)律:(1）表中每個數(shù)都是組合數(shù)，第n行的第r+1個數(shù)是。（2）三角形的兩條斜邊上都是數(shù)字1,而其余的數(shù)都等于它肩上的兩個數(shù)字相加，也就是=+。(3)楊輝三角具有對稱性(對稱美)，即=。（4）楊輝三角的第n行是二項式(a+b)n展開式,即（a+b)n=an+an-1b1+…+an—rbr+…+Cnnbn的二項式系數(shù)。2.答案：(1)證明:如圖所示,P是等邊△ABC內(nèi)一點,PD⊥AB,PE⊥AC,PF⊥BC，則S△ABC=S△ABP+S△ACP+S△BCP=PD·AB+PE·AC+PF·BC，因為AB=BC=AC,所以S△ABC=PD·AB+PE·AB+PF·AB=(PD+PE+PF）AB,所以PD+PE+PF=.因為等邊△ABC的面積和邊長AB為一定值，所以PD+PE+PF為定值.所以結(jié)論成立。（2）猜想：將上述結(jié)論從平面類比到空間,可以得出的結(jié)論是:正四面體內(nèi)一點到四面體的各個面的距離之和是一個定值。證明：設(shè)P是正四面體ABCD內(nèi)一點,PE,PF,PM，PN分別是點P到正四面體ABCD四個面的距離,則VABCD=（PE+PF+PM+PN)S（S為正四面體ABCD一個面的面積）,所以PE+PF+PM+PN=.因為S，VABCD為一定值,所以PE+PF+PM+PN為定值。所以結(jié)論成立.習(xí)題1-1(P7）1。解：可以得出的結(jié)論是:37×3n=n×111（n=1，2，…，9）.思路分析：通過對各個等式的觀察,注意其數(shù)量變化規(guī)律,就可以得出相應(yīng)的通式.2。解：13+23=32=(1+2)2.13+23+33=62=(1+2+3）2，13+23+33+43=102=（1+2+3+4)2,……對上述各式進行歸納,可以得出如下結(jié)論:13+23+33+…+n3=（1+2+3+…+n）2=［］2=.3。解：1層六邊形的點數(shù)和為S1=5=5×1,2層六邊形的點數(shù)和為S2=5+5+4=14=5×2+4，3層六邊形的點數(shù)和為S3=5+5+4+5+4+4=27=5×3+4×3，……對上述各式進行歸納，可以得出n層六邊形的點數(shù)和為:Sn=5+5+4+5+4+4…+5+4+4+…+4=5n+4×=5n+2n(n—1）=2n2+3n。4.解:類比1+2+…+n的求和的過程可得：因為n3-（n-1）3=n2+n(n-1)+（n—1)2,(n—1）3-(n-2）3=（n-1)2+（n—1）（n—2)+（n—2）2,……23—13=22+2×1+12，從而有n3—13=n2+2(n-1）2+2（n-2)2…+2×22+12+n(n—1）+（n—1)(n-2）+…+2×1，=n2+2(n—1)2+2(n—2)2…+2×22+12+n2—n+(n-1）2-n—1+…+22-2+1-1=3［n2+（n-1）2…+22+12］—［n+(n-1）+…+2+1］-n2-1=3［n2+（n-1)2…+22+12]—n2-1，所以有12+22+…+n2=.5.解：與平面向量的坐標(biāo)表示相類比,可以得出空間向量的坐標(biāo)表示:空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo):已知空間直角坐標(biāo)系和向量a，設(shè)i，j,k為坐標(biāo)向量，則存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(a1,a2,a3），使a=a1i+a2j+a3k，有序?qū)崝?shù)組(a1,a2，a3)叫作向量a在空間直角坐標(biāo)系O—xyz中的坐標(biāo),記作a=（a1，a2,a3)。在空間直角坐標(biāo)系O—xyz中,對空間任一點A，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組（x，y,z），使=xi+yj+zk,有序?qū)崝?shù)組（x，y,z)叫做點A在空間直角坐標(biāo)系O—xyz中的坐標(biāo),記作A(x,y，z),x叫橫坐標(biāo)，y叫縱坐標(biāo),z叫豎坐標(biāo)。STS類比推理的具體應(yīng)用1915年4月22日，第一次世界大戰(zhàn)期間，德軍和英法聯(lián)軍在比利時的伊普雷發(fā)生激戰(zhàn),德軍使用了180噸的液態(tài)氯氣攻擊對方陣地,致使英法聯(lián)軍1500人中毒，5000多人喪命。毒氣區(qū)的大量家禽、野生動物也遭厄運.但令人驚奇的是野豬安然無恙。這一現(xiàn)象引起了英法聯(lián)軍的極大興趣，難道野豬天生有抗毒、解毒的腺細胞嗎?經(jīng)軍事科研人員的多次試驗觀察,野豬并沒有這種腺細胞,而是發(fā)揮了拱土的天賦才能幸免于難。原來，當(dāng)毒氣襲來時，野豬的呼吸道受到毒氣的刺激，野豬不堪忍受，就拼命用嘴巴拱土。把土拱起后,將嘴埋在松軟的泥土中.含有毒氣的空氣通過土壤大小不同的疏松顆粒時,毒氣被土壤顆粒吸附，而野豬吸到的已是經(jīng)過凈化的空氣.科研人員由此受到啟發(fā)，根據(jù)這一原理找到了既能吸附有毒物質(zhì)又能暢通空氣的木炭并很快設(shè)計制造出世界上首批防毒面具。向動物學(xué)習(xí),古已有之,20世紀(jì)60年代甚至由此興起一門新的學(xué)科—-仿生學(xué)。這是專門研究生物(主要是動物)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和功能并創(chuàng)造出模擬它們的技術(shù)系統(tǒng)。例如，青蛙的眼睛是跟蹤運動目標(biāo)-—飛蟲的非常完善的器官，人們研究蛙眼的結(jié)構(gòu)與反應(yīng)原理，并設(shè)計出模擬蛙眼的“電子蛙眼”,它能跟蹤天上的衛(wèi)星以及監(jiān)視空中的飛機.在茫茫雪原上,由于摩擦力減小,膠輪汽車前進極為困難,可是，生活在冰天雪地的南極的企鵝，只要撲倒在地，把肚子貼在雪地表面上，蹬動起雙腳，就能以每小時達30千米的速度滑行前進。受此啟示，人們設(shè)計制造了一種“極地越野車”，它寬闊的底部貼在雪地上,用轉(zhuǎn)動的輪勺扒雪前進，行駛的速度達每小時50千米.以上事例都是類比推理的具體應(yīng)用。類比推理是這樣的推理：它根據(jù)兩個（或兩類）對象在一系列屬性上是相同或相似的,且已知