新高考數(shù)學(xué)之圓錐曲線綜合講義第24講直徑問(wèn)題(原卷版+解析)

第24講直徑問(wèn)題1．如圖，，為橢圓長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，為橢圓上不同于，的三點(diǎn)，直線，，，圍成一個(gè)平行四邊形，求.2．已知橢圓，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，是橢圓上兩點(diǎn)，，的斜率存在并分別記為、，且，求的最小值.3．已知橢圓的離心率是，是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，為橢圓上異于，的點(diǎn)，直線，的斜率分別是，．（Ⅰ）求證：為定值；（Ⅱ）設(shè)直線交橢圓于，兩點(diǎn)，，，且的面積是，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．4．如圖，已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)，，為橢圓上一點(diǎn)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作圓的兩條切線分別交橢圓于點(diǎn)，，直線，的斜率存在且不為零，分別記為，．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）求證：為定值；（Ⅲ）請(qǐng)問(wèn)的面積是否為定值？若是，請(qǐng)求出定值并證明；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．5．在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓，其焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為，離心率為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖所示，是橢圓上兩點(diǎn)，且的面積，設(shè)射線，的斜率分別為，①求的值；②延長(zhǎng)到，使得，且交橢圓于，求證：為定值．6．已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率，過(guò)橢圓右焦點(diǎn)且垂直于軸的一條直線交橢圓于，兩點(diǎn)，．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）已知兩點(diǎn)，設(shè)，，是橢圓上的三點(diǎn)，滿足，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求的值．7．已知橢圓的離心率為，其四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為4．求橢圓的方程；如圖，橢圓內(nèi)切于四條直線，所圍成的矩形，、是矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)．（1）設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn)，且，求證：動(dòng)點(diǎn)在定圓上運(yùn)動(dòng)，并求出定圓的方程；（2）若、是橢圓上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線、的斜率之積等于直線、的斜率之積，試探求的面積是否為定值，并說(shuō)明理由．8．已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，且直線與圓相切．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)斜率為且不過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線，的斜率分別為，，若，，成等比數(shù)列，推斷是否為定值？若是，求出此定值；若不是，說(shuō)明理由．9．已知橢圓的右焦點(diǎn)到直線的距離為，離心率，，是橢圓上的兩動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，（其中為常數(shù)）．（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)且直線與斜率均存在時(shí)，求的最小值；（3）若是線段的中點(diǎn)，且，問(wèn)是否存在常數(shù)和平面內(nèi)兩定點(diǎn)，，使得動(dòng)點(diǎn)滿足，若存在，求出的值和定點(diǎn)，；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．10．已知直線經(jīng)過(guò)橢圓S：的一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)．（1）求橢圓S的方程；（2）如圖，M，N分別是橢圓S的頂點(diǎn)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于P、A兩點(diǎn)，其中P在第一象限，過(guò)P作軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)B，設(shè)直線PA的斜率為k．①若直線PA平分線段MN，求k的值；②對(duì)任意，求證：．11．設(shè)F1,F2分別為橢圓C(1)若橢圓C上的點(diǎn)(2)設(shè)點(diǎn)K是(1)中所得橢圓上的動(dòng)點(diǎn),求線段F1K的中點(diǎn)的軌跡方程;(3)已知橢圓具有性質(zhì):若M,N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn),點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn),當(dāng)直線PM,PN的斜率都存在,并記為kPM,kPN時(shí),那么kPM與kPN之積是與點(diǎn)P位置無(wú)關(guān)的定值,試寫出雙曲第24講直徑問(wèn)題1．如圖，，為橢圓長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，為橢圓上不同于，的三點(diǎn)，直線，，，圍成一個(gè)平行四邊形，求.【解答】解：設(shè)，，，，，，斜率分別為，，則，的斜率為，，且，所以，同理，因此．2．已知橢圓，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，是橢圓上兩點(diǎn)，，的斜率存在并分別記為、，且，求的最小值【解答】解：設(shè)，，，，，，，，由，整理得：，即，則，，則，，即，，，，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，或，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，或，綜上可知：的最小值，故選：．3．已知橢圓的離心率是，是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，為橢圓上異于，的點(diǎn)，直線，的斜率分別是，．（Ⅰ）求證：為定值；（Ⅱ）設(shè)直線交橢圓于，兩點(diǎn)，，，且的面積是，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【解答】證明：，，，．可得．設(shè)，．則，可得：．．解：由題意可得：不垂直于軸，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，化為：．△．設(shè)，，，，，．，，，即．，．．化為：，△．．點(diǎn)到直線的距離．的面積，解得．．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．4．如圖，已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)，，為橢圓上一點(diǎn)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作圓的兩條切線分別交橢圓于點(diǎn)，，直線，的斜率存在且不為零，分別記為，．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）求證：為定值；（Ⅲ）請(qǐng)問(wèn)的面積是否為定值？若是，請(qǐng)求出定值并證明；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：由題意可得：，，．聯(lián)立解得，．橢圓的方程為：．證明：設(shè)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的圓的切線的方程為，則，化為：，則，是此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．則，又，可得，．解：的面積為定值1．下面給出證明．聯(lián)立，化為：，．不妨設(shè)．?。砜傻茫海本€的方程為：，原點(diǎn)到直線的距離，．5．在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓，其焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為，離心率為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖所示，是橢圓上兩點(diǎn)，且的面積，設(shè)射線，的斜率分別為，①求的值；②延長(zhǎng)到，使得，且交橢圓于，求證：為定值．【解答】解：（1）由題意可知，，解得：，，橢圓的方程為：；（2）①方法1：設(shè)直線，設(shè)直線，則，解得：，同理可得，點(diǎn)到的距離為，因?yàn)榈拿娣e為，所以，即，即，所以，所以；方法2：齊次化設(shè)，，，，因此，，由，因此，直線，的斜率存在時(shí)，兩邊同除以，則，所以，因此；方法3：參數(shù)法設(shè)，，因?yàn)椋虼?，則，則，，所以，所以；②證明：因?yàn)?，所以，，設(shè)交橢圓于，，且，因此，即，，，所以，即，，因?yàn)?，，都在橢圓上，則，，，所以，整理得，且，所以，即，所以，所以為定值．總結(jié)：橢圓，，為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，，，，且滿足，則有：①，，；②；③為橢圓上一點(diǎn)，且，且．6．已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率，過(guò)橢圓右焦點(diǎn)且垂直于軸的一條直線交橢圓于，兩點(diǎn)，．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）已知兩點(diǎn)，設(shè)，，是橢圓上的三點(diǎn)，滿足，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求的值．【解答】解：（Ⅰ）依據(jù)題意可設(shè)橢圓，，則有：，解得，橢圓；（Ⅱ）設(shè)，，，，則，①，由，得，又點(diǎn)在橢圓上，則有②，綜合①、②得：．又線段的中點(diǎn)為，且．上式表明，點(diǎn)在橢圓上，且該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)恰好為兩點(diǎn)，由橢圓定義有．7．已知橢圓的離心率為，其四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為4．求橢圓的方程；如圖，橢圓內(nèi)切于四條直線，所圍成的矩形，、是矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)．（1）設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn)，且，求證：動(dòng)點(diǎn)在定圓上運(yùn)動(dòng)，并求出定圓的方程；（2）若、是橢圓上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線、的斜率之積等于直線、的斜率之積，試探求的面積是否為定值，并說(shuō)明理由．【解答】解：由題意知橢圓的離心率，即．又，所以，即，所以．因?yàn)樗膫€(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形面積為4，所以，即，解得，．故橢圓的方程為；（5分），，．（1）設(shè)，，則．由，得，所以，即．故點(diǎn)在定圓上．（10分）（2）設(shè)，、，，則．平方得，即．（12分）因?yàn)橹本€的方程為，所以到直線的距離為，所以的面積，，故的面積為定值1．（16分）8．已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，且直線與圓相切．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)斜率為且不過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線，的斜率分別為，，若，，成等比數(shù)列，推斷是否為定值？若是，求出此定值；若不是，說(shuō)明理由．【解答】解：（1）因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，，則，所以．（2分）因?yàn)橹本€與圓相切，則，即．（4分）解得，，所以橢圓的方程是．（5分）（2）設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，，，，將直線的方程代入橢圓方程，得，即，則，．（7分）由已知，，則，即，所以，即．因?yàn)?，則，即，從而，．（10分）所以．為定值．（12分）9．已知橢圓的右焦點(diǎn)到直線的距離為，離心率，，是橢圓上的兩動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，（其中為常數(shù)）．（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)且直線與斜率均存在時(shí)，求的最小值；（3）若是線段的中點(diǎn)，且，問(wèn)是否存在常數(shù)和平面內(nèi)兩定點(diǎn)，，使得動(dòng)點(diǎn)滿足，若存在，求出的值和定點(diǎn)，；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）由題設(shè)可知：，解得，．橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)，，，則由，得，．．由得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；（3）．．．設(shè)，則由，得，，，，，即，．點(diǎn)、在橢圓上，．．即，點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，設(shè)該橢圓的左、右焦點(diǎn)為、，則由橢圓的定義，得，，，．存在常數(shù)，和平面內(nèi)兩定點(diǎn)，，，，使得動(dòng)點(diǎn)滿足．10．已知直線經(jīng)過(guò)橢圓S：的一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)．（1）求橢圓S的方程；（2）如圖，M，N分別是橢圓S的頂點(diǎn)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于P、A兩點(diǎn)，其中P在第一象限，過(guò)P作軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)B，設(shè)直線PA的斜率為k．①若直線PA平分線段MN，求k的值；②對(duì)任意，求證：．【答案】(1)橢圓方程為;(2)見解析.【解析】試題分析：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力．第一問(wèn)，令或，得出頂點(diǎn)和焦點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，得出a和b的值；第二問(wèn)，將直線PA方程與橢圓方程聯(lián)立，消參，利用韋達(dá)定理，得到，即得到B點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算出向量和的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積證明．試題解析：（1）在直線中令得；令得，則橢圓方程為（2）①，，M、N的中點(diǎn)坐標(biāo)為（，），所以②法一：將直線PA方程代入，解得記，則，，于是，故直線AB方程為代入橢圓方程得，由，因此，法二：由題意設(shè)，∵A、C、B三點(diǎn)共線，又因?yàn)辄c(diǎn)P、B在橢圓上，，兩式相減得：考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系．11．設(shè)F1,F2分別為橢圓C(1)若橢圓C上的點(diǎn)(2)設(shè)點(diǎn)K是(1)中所得橢圓上的動(dòng)點(diǎn),求線段F1K的中點(diǎn)的軌跡方程;(3)已知橢圓具有性質(zhì):若M,N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn),點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn),當(dāng)直線PM,PN的斜率都存在,并記為kPM,kPN時(shí),那么kPM與kPN之積是與點(diǎn)P位置無(wú)關(guān)的定值,試寫出雙曲【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析【解析】分析：（1）到兩交點(diǎn)的距離之和為4，點(diǎn)在曲線上，列出的方程求解即可。（2）設(shè)橢圓上的動(dòng)點(diǎn)為，線段的中點(diǎn),利用中點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系式，列出與的坐標(biāo)關(guān)系，用表示出，代入橢圓方程即可。（3）分別設(shè)出的坐標(biāo)，表示出斜率化簡(jiǎn)整理即可。詳解：(1)橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上.由橢圓上的點(diǎn)A到F1,F2兩點(diǎn)的距離之和是4,得2a=4,即a=2.又點(diǎn)A,∴+=1,b2=3.∴c2=a2-b2=1.∴橢圓C的方程+=1,焦點(diǎn)F1(-1,0),F2(1,0).(2)設(shè)橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)為K(x1,y1),線段F1K的中點(diǎn)Q(x,y)滿足:x=,y=,∴x1=2x+1,y1=2y.∴+=1,+=1為所求的軌跡方程.(3)類似的性質(zhì)為:若M,N是雙曲-=1(a>0,b>0)上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn),點(diǎn)P是雙曲線上任意一點(diǎn),當(dāng)直線PM,PN的斜率都存在,并記為kPM,