專題10拋物線方程及其簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)突破(原卷版+解析)

4/4專題10拋物線方程及其簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)性質(zhì)題型一求軌跡方程1．已知點(diǎn)到的距離與到直線的距離相等，求點(diǎn)的軌跡方程．2．已知圓的方程為，求與軸相切且與圓外切的動(dòng)圓圓心軌跡方程．3．點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的距離小1，則點(diǎn)的軌跡方程是．4．點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的距離小1，則點(diǎn)的軌跡方程是．5．平面上動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比點(diǎn)到軸的距離大1，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．6．設(shè)動(dòng)圓與軸相切且與圓相外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為．7．已知?jiǎng)訄A與定圓相外切，又與定直線相切，求動(dòng)圓的圓心的軌跡方程．8．已知是拋物線的頂點(diǎn)，、是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且．（1）試判斷直線是否經(jīng)過某一個(gè)定點(diǎn)？若是，求這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，說明理由；（2）設(shè)點(diǎn)是的外接圓圓心，求點(diǎn)的軌跡方程．

題型二拋物線的幾何性質(zhì)9．已知拋物線的焦點(diǎn)為，在上有一點(diǎn)，,則的中點(diǎn)到軸的距離為A．4 B．5 C． D．610．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過拋物線上一點(diǎn)作的垂線，垂足為，設(shè)，與相交于點(diǎn)．若，且的面積為，則點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是A． B． C． D．11．已知直線與拋物線交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在第四象限），與軸交于點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則的取值范圍是A．， B．， C．， D．，12．已知過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，線段的延長線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)．若，，則A．2 B．3 C．6 D．813．以拋物線的頂點(diǎn)為圓心的圓交于，兩點(diǎn)，交的準(zhǔn)線于，兩點(diǎn)，已知，，則A．2 B．4 C．6 D．814．已知拋物線的焦點(diǎn)為，經(jīng)過的直線交拋物線于，、，，過點(diǎn)、作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為、，則以下四個(gè)結(jié)論正確的是A． B． C． D．15．已知拋物線，焦點(diǎn)為，過焦點(diǎn)的直線拋物線相交于，，，兩點(diǎn)，則下列說法一定正確的是A．的最小值為2 B．線段為直徑的圓與直線相切 C．為定值 D．若，則題型三最值問題16．已知拋物線方程為，直線的方程為，在拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)到軸的距離為，點(diǎn)到直線的距離為，則的最小值為．17．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，是以為焦點(diǎn)的拋物線上任意一點(diǎn)，是線段上的點(diǎn)，且，則直線的斜率的最大值為．18．已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與該拋物線相交于，兩點(diǎn)，則線段的最小值為A．1 B．2 C．3 D．419．拋物線的焦點(diǎn)為,的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn),為上的動(dòng)點(diǎn).則的最小值為A．1 B． C． D．20．已知為曲線上一點(diǎn)，，，則的最小值為A．6 B． C．5 D．21．已知過拋物線的焦點(diǎn)且傾斜角為的直線交于，兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，則的最小值為A．5 B．6 C．7 D．822．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)、為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，過弦的中點(diǎn)作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則的最小值為A． B． C．2 D．123．已知過拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，則的最小值為A． B． C． D．624．已知點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，則的周長的最小值為A．3 B．1 C． D．25．拋物線上的點(diǎn)到直線距離的最小值是A．3 B． C． D．26．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，則的中點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離的最小值為A．2 B．4 C．5 D．627．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)作直線交拋物線于，兩點(diǎn)，則的最小值為A． B． C． D．1/15專題10拋物線方程及其簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)題型一求軌跡方程1．已知點(diǎn)到的距離與到直線的距離相等，求點(diǎn)的軌跡方程．【解答】解：設(shè)點(diǎn)為，則根據(jù)題意．故答案為：．2．已知圓的方程為，求與軸相切且與圓外切的動(dòng)圓圓心軌跡方程．【解答】解：若動(dòng)圓在軸右側(cè)，則動(dòng)圓圓心到定點(diǎn)與到定直線的距離相等，其軌跡是拋物線，方程為，若動(dòng)圓在軸左側(cè)，則動(dòng)圓圓心軌跡是負(fù)半軸，方程為，，綜上，動(dòng)圓圓心軌跡方程是或，．3．點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的距離小1，則點(diǎn)的軌跡方程是．【解答】解：設(shè)，依題意得點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的距離小1，由兩點(diǎn)間的距離公式，得，根據(jù)平面幾何原理，得，原方程化為兩邊平方，得，整理得即點(diǎn)的軌跡方程是．故答案為：．4．點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的距離小1，則點(diǎn)的軌跡方程是．【解答】解：點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的距離小1，點(diǎn)到直線的距離和它到點(diǎn)的距離相等．根據(jù)拋物線的定義可得點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，以直線為準(zhǔn)線的拋物線，，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故答案為．5．平面上動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比點(diǎn)到軸的距離大1，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．【解答】解：設(shè)，由到定點(diǎn)的距離為，到軸的距離為，當(dāng)時(shí)，的軌跡為；當(dāng)時(shí)，又動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比到軸的距離大1，列出等式：化簡(jiǎn)得，為焦點(diǎn)為的拋物線．則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為：或．6．設(shè)動(dòng)圓與軸相切且與圓相外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為或．【解答】解：設(shè)動(dòng)圓圓心的坐標(biāo)為，則動(dòng)圓與軸相切且與圓相外切，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故答案為：或．7．已知?jiǎng)訄A與定圓相外切，又與定直線相切，求動(dòng)圓的圓心的軌跡方程．【解答】解：令點(diǎn)坐標(biāo)為，，動(dòng)圓得半徑為，則根據(jù)兩圓相外切及直線與圓相切得性質(zhì)可得，，，在直線的左側(cè)，故到定直線的距離是，所以，，即，化簡(jiǎn)得：8．已知是拋物線的頂點(diǎn)，、是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且．（1）試判斷直線是否經(jīng)過某一個(gè)定點(diǎn)？若是，求這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，說明理由；（2）設(shè)點(diǎn)是的外接圓圓心，求點(diǎn)的軌跡方程．【解答】解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為：，設(shè)，，，，故，因?yàn)椋瑒t，因?yàn)椤⑹巧系膬蓚€(gè)動(dòng)點(diǎn)，則有，，故，整理可得，解得，由，消去可得，則有，，所以，解得，故直線的方程為，所以直線經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)．（2）線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，又直線的斜率為，所以線段的垂直平分線的方程為，①同理，線段的垂直平分線的方程為，②由①②解得，設(shè)點(diǎn)，則有，消去，得到，所以點(diǎn)的軌跡方程為．題型二拋物線的幾何性質(zhì)9．已知拋物線的焦點(diǎn)為，在上有一點(diǎn)，，則的中點(diǎn)到軸的距離為A．4 B．5 C． D．6【解答】解：設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，過點(diǎn)作于點(diǎn)，準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，由拋物線的定義可知，，故的中點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離為，故的中點(diǎn)到軸的距離為4．故選：．10．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過拋物線上一點(diǎn)作的垂線，垂足為，設(shè)，與相交于點(diǎn)．若，且的面積為，則點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是A． B． C． D．【解答】解：如圖所示：拋物線的焦點(diǎn)，，準(zhǔn)線方程為：，過拋物線上一點(diǎn)作的垂線，垂足為，可得，又由且，所以，所以，解得，代入拋物線的方程，可得，又由且，所以四邊形為平行四邊形，所以為的中點(diǎn)，所以的面積為，解得，所以點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是，故選：．11．已知直線與拋物線交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在第四象限），與軸交于點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【解答】解：設(shè)，，，，直線方程為．聯(lián)立，消去，得，所以．所以，因?yàn)?、中點(diǎn)橫坐標(biāo)為3，所以，故，又，所以的取值范圍，．故選：．12．已知過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，線段的延長線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)．若，，則A．2 B．3 C．6 D．8【解答】解：設(shè)、在準(zhǔn)線上的射影分別為、，過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，線段的延長線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，由，可得：，因?yàn)?，，可得，故選：．13．以拋物線的頂點(diǎn)為圓心的圓交于，兩點(diǎn)，交的準(zhǔn)線于，兩點(diǎn)，已知，，則A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：設(shè)拋物線為，如圖，，，，，，，丨丨丨丨丨丨丨丨，，解得，故選：．14．已知拋物線的焦點(diǎn)為，經(jīng)過的直線交拋物線于，、，，過點(diǎn)、作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為、，則以下四個(gè)結(jié)論正確的是A． B． C． D．【解答】解：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，，此時(shí)，，成立，不成立；，，，，，成立；，不成立．當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，可設(shè)，聯(lián)立，得．得，，故成立；而，故不成立；，，，故，成立；而，故不成立．故選：．15．已知拋物線，焦點(diǎn)為，過焦點(diǎn)的直線拋物線相交于，，，兩點(diǎn)，則下列說法一定正確的是A．的最小值為2 B．線段為直徑的圓與直線相切 C．為定值 D．若，則【解答】解：拋物線，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，過焦點(diǎn)的弦中通徑最短，所以的最小值為，故不正確，如圖：設(shè)線段的中點(diǎn)為，過點(diǎn)，，作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，，由拋物線的定義可得，，所以，所以以線段為直徑的圓與直線相切，故正確；設(shè)直線所在的直線方程為，由，消去可得，所以，，所以，故正確；所以，故正確．故選：．題型三最值問題16．已知拋物線方程為，直線的方程為，在拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)到軸的距離為，點(diǎn)到直線的距離為，則的最小值為．【解答】解：由題意，點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，從而到軸的距離等于點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離減1．過焦點(diǎn)作直線的垂線，此時(shí)最小，，則，則的最小值為．故答案為：．17．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，是以為焦點(diǎn)的拋物線上任意一點(diǎn)，是線段上的點(diǎn)，且，則直線的斜率的最大值為．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)，，，則由，得，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，直線的斜率的最大值為．故答案為：．18．已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與該拋物線相交于，兩點(diǎn)，則線段的最小值為A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由，可得，則，即，易知直線過該拋物線的焦點(diǎn)，因?yàn)檫^焦點(diǎn)的弦中通徑最短，所以線段的最小值為，故選：．19．拋物線的焦點(diǎn)為，的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，為上的動(dòng)點(diǎn)．則的最小值為A．1 B． C． D．【解答】解：由題意可得焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，過點(diǎn)作準(zhǔn)線，所以，因?yàn)?，所以，求的最小值等價(jià)于求的最大值，設(shè)，，所以，，所以，．當(dāng)時(shí)，最小值為，所以最小值為．故選：．20．已知為曲線上一點(diǎn)，，，則的最小值為A．6 B． C．5 D．【解答】解：由題意可得，曲線是拋物線的右半部分且是焦點(diǎn)，為曲線上一點(diǎn)，設(shè)到準(zhǔn)線的距離為，則，，要使其最小，則即為到準(zhǔn)線的距離，的最小值為．故選：．21．已知過拋物線的焦點(diǎn)且傾斜角為的直線交于，兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，則的最小值為A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：由題意，得，故直線的方程為，聯(lián)立可得，設(shè)，，，，則，，故，，過作垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)，根據(jù)拋物線的定義可得：，故選：．22．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)、為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，過弦的中點(diǎn)作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則的最小值為A． B． C．2 D．1【解答】解：設(shè)，，由拋物線定義，得，在梯形中，．由余弦定理得，配方得，，又，得到．（當(dāng)時(shí)取等號(hào)）則的最小值為1．故選：．23．已知過拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，則的最小值為A． B． C． D．6【解答】解：作軸于點(diǎn)，軸于設(shè)，由拋物線的方程可得，準(zhǔn)線的方程為，作于，于，由拋物線的定義可得，，所以，，當(dāng)時(shí)，所以，，所以，，所以，當(dāng)時(shí)，，，所以，綜上，的最小值為，故選：．24．已知點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，則的周長的最小值為A．3 B．1 C． D．【解答】解由題意可得在拋物線的內(nèi)部，過向拋物線的準(zhǔn)線作垂線交準(zhǔn)線于交拋物線于，中，三角形的周長為：，由拋物線的性質(zhì)，可得，由拋物線的方程可得，拋物線的準(zhǔn)線方程為，所以，，所以三角形的周長的最小值為：．故選：．25．拋物線上的點(diǎn)到直線距離的最小值是A．3 B． C． D．【解答】解：因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，設(shè)，則點(diǎn)到直線的距離，當(dāng)時(shí)，．故選：．26．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的