專題17導(dǎo)數(shù)中的三角函數(shù)問題(原卷版+解析)

專題17導(dǎo)數(shù)中的三角函數(shù)問題1．設(shè)函數(shù).（1）若在處的切線為，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求的范圍.2．已知函數(shù)．（1）若，求的極值；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．3．設(shè)函數(shù)．（1）若在上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．4．已知函數(shù)，（其中）.（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.5．已知函數(shù)，.（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若在上恒成立，求的取值范圍.6．設(shè)，．（1）討論在上的單調(diào)性；（2）令，試判斷在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并加以證明．7．設(shè)（1）恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求證：當(dāng)時(shí)，．8．已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，求證：；（3）求證：當(dāng)時(shí)，方程有且僅有2個(gè)實(shí)數(shù)根.9．已知函數(shù).（1）求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.10．已知函數(shù)，.（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，且，證明：.11．已知.（1）當(dāng)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，求的取值范圍；（2）當(dāng)，時(shí)，設(shè)，求證：.12．已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（1）求實(shí)數(shù)的值，并證明：對(duì)，恒成立．（2）設(shè)函數(shù)，試判斷函數(shù)在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由．13．設(shè)函數(shù)，，（為參數(shù)）．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間，并證明有且只有兩個(gè)零點(diǎn)；（2）當(dāng)時(shí)，證明：在區(qū)間上有兩個(gè)極值點(diǎn)．14．已知函數(shù)，.（1）若在上有極值點(diǎn)，求的取值范圍；（2）若，時(shí)，，求的最大值.15．已知是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，函數(shù)，.（1）若曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，求的最小值；（2）若當(dāng)時(shí)，有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.16．已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．17．已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求證：；（2）求證：當(dāng)時(shí)，方程有且僅有個(gè)實(shí)數(shù)根.18．已知函數(shù)．（1）試討論函數(shù)在區(qū)間上的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）設(shè)，當(dāng)時(shí)，若方程在區(qū)間上有唯一解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．19．已知函數(shù)．（1）若在上為單調(diào)遞減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)函數(shù)，，若恰有1個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．20．已知函數(shù).（1）若，證明：；（2）若在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.21．已知函數(shù)，其中為的導(dǎo)數(shù)．（1）若為定義域內(nèi)的單調(diào)遞減函數(shù)，求a的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，記，求證：當(dāng)時(shí)，恒成立．22．已知函數(shù).（1）求的單調(diào)性；（2）設(shè)函數(shù)，討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)專題17導(dǎo)數(shù)中的三角函數(shù)問題1．設(shè)函數(shù).（1）若在處的切線為，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求的范圍.【解析】（1）由得：，且.由題意得：，即，又在切線上.∴，得.（2）當(dāng)時(shí)，，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí).∴，即在上單調(diào)遞増，則，要使恒成立，即，∴.2．已知函數(shù)．（1）若，求的極值；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．【解析】（1），,當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),當(dāng)變化時(shí),的變化情況如下表：單調(diào)遞增單調(diào)遞減因此,當(dāng)時(shí),有極大值,并且極大值為，沒有極小值.（2）令函數(shù),由（1）知在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減.又，故在存在唯一零點(diǎn).設(shè)為,則，當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減，又，所以，當(dāng)時(shí),.故.3．設(shè)函數(shù)．（1）若在上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．【解析】（1）設(shè)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，所以在上恒大于零，所以在上不存在零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，根據(jù)增函數(shù)的和為增函數(shù)，所以在上為單調(diào)函數(shù)，所以在上若有零點(diǎn)，則僅有1個(gè)，所以，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍（2）證明：設(shè)，則，則，所以，因?yàn)?，所以，所以在上遞增，在上恒成立，所以在上遞增，而，因?yàn)?，所以，所以恒成立，所以?dāng)時(shí)，4．已知函數(shù)，（其中）.（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，，恒成立，在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，都有，因此，當(dāng)時(shí)，；（2）即，由得，令，，令，，則，得在單調(diào)遞減，，從而當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，，得.即實(shí)數(shù)的取值范圍為.5．已知函數(shù)，.（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若在上恒成立，求的取值范圍.【解析】（1）若，則，∴∴，令，則，∴，令，則，，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，（2），令，，則令，則.∵，∴，∴，∴，∴在上單調(diào)遞減，∴∴，∴在上單調(diào)遞減，∴，故所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.6．設(shè)，．（1）討論在上的單調(diào)性；（2）令，試判斷在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并加以證明．【解析】（1），令，則，或，時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，，時(shí)，，單調(diào)遞減，綜上，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為和．（2）在上有3個(gè)零點(diǎn)，證明如下：，則，故是的一個(gè)零點(diǎn)，，是偶函數(shù)，要確定在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，只需確定時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可，①當(dāng)時(shí)，，令，即，，時(shí)，，單調(diào)遞減，，，時(shí)，，單調(diào)遞增，，在有唯一零點(diǎn)．②當(dāng)時(shí)，由于，，，而在，單調(diào)遞增，，故，故在，無零點(diǎn)，在有一個(gè)零點(diǎn)，由于是偶函數(shù)，在有一個(gè)零點(diǎn)，而，故在上有且僅有3個(gè)零點(diǎn)．7．設(shè)（1）恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求證：當(dāng)時(shí)，．【解析】（1）解，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在為增函數(shù)?此時(shí)恒成立：當(dāng)時(shí)，存在，使得，所以在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，與矛盾．綜上所述，的取值范圍為；（2）證明：原不等式等價(jià)于易知，令，則，，所以在是減函數(shù)，考慮到在也是減函數(shù)，所以，在為增函數(shù)，又因?yàn)?，所以時(shí)，，所以在為增函數(shù)，又因?yàn)?，所以在成立，命題獲證．8．已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，求證：；（3）求證：當(dāng)時(shí)，方程有且僅有2個(gè)實(shí)數(shù)根.【解析】（1）因?yàn)椋?，故在點(diǎn)處的切線斜率為，點(diǎn)為，故所求的切線方程為，（2）令，的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，恒成立，∴在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，恒成立，∴在上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)，恒成立，故當(dāng)時(shí)，；（3）由，即，則，設(shè)，的定義域?yàn)?，，設(shè)，的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，恒成立，∴在上單調(diào)遞減，又，，∴存在唯一的使得，當(dāng)時(shí)，，則，∴在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則，∴在上單調(diào)遞減，∴在處取得極大值也是最大值，從而又，，∴在與上各有一個(gè)零點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，方程有且僅有2個(gè)實(shí)數(shù)根9．已知函數(shù).（1）求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】（1）由題可知.令，得，從而，∴的單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）由可得，即當(dāng)時(shí)，恒成立.設(shè)，則.令，則當(dāng)時(shí)，.∴當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.∴，∴.10．已知函數(shù)，.（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，且，證明：.【解析】（1），，由得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）∵，且，∴由（1）知，不妨設(shè).要證，只需證明，而，在上單調(diào)遞減，故只需證明.又，∴只需證明.令函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，，故，∴在上單調(diào)遞增，故在上，∴成立，故成立.11．已知.（1）當(dāng)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，求的取值范圍；（2）當(dāng)，時(shí)，設(shè)，求證：.【解析】(1)由題知，有兩個(gè)零點(diǎn)，時(shí)，，故當(dāng)有一個(gè)非零實(shí)根，設(shè)，得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.又，時(shí)，；時(shí)，.所以，的取值范圍是或.(2)由題，，法一：，令，令，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.，法二：要證成立，故設(shè)，，()，令，則，在上單調(diào)遞增.又，使，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.=0，12．已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（1）求實(shí)數(shù)的值，并證明：對(duì)，恒成立．（2）設(shè)函數(shù)，試判斷函數(shù)在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由．【解析】（1）根據(jù)題意，，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，，，此時(shí)若要證明，對(duì)，恒成立，需證明，，故需證明，則令，，；；，函數(shù)在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；故有當(dāng)，，即對(duì)，恒成立，，恒成立．（2）根據(jù)題意可得，，在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)和的圖象如下：假設(shè)當(dāng)時(shí)，函數(shù)和的相交，時(shí)，單調(diào)遞增；時(shí)，單調(diào)遞減；即得，，，又，綜上可得，函數(shù)在上無零點(diǎn)，在上只有一個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)．13．設(shè)函數(shù)，，（為參數(shù)）．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間，并證明有且只有兩個(gè)零點(diǎn)；（2）當(dāng)時(shí)，證明：在區(qū)間上有兩個(gè)極值點(diǎn)．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．且，，，.根據(jù)零點(diǎn)存在定理得，在有唯一零點(diǎn)，在有唯一零點(diǎn)，因此，在上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)．（2）當(dāng)時(shí)，，，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．又因?yàn)?，，，根?jù)零點(diǎn)存在定理得，在和各有一個(gè)零點(diǎn)分別為，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故在上有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)．14．已知函數(shù)，.（1）若在上有極值點(diǎn)，求的取值范圍；（2）若，時(shí)，，求的最大值.【解析】（1），依題意，有變號(hào)零點(diǎn)，令，則，所以在有實(shí)根，注意到，所以，解得，即.（2），，當(dāng)時(shí)，，顯然成立；當(dāng)時(shí)，，所以.記，則恒成立，，，在單調(diào)遞增，，若，則，記，，則，所以存在，使得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以時(shí)，，不符題意，當(dāng)時(shí)，，即時(shí)，單調(diào)遞增，所以，，符合題意，當(dāng)時(shí)，，由，，所以，而時(shí)，，所以成立，綜上所述，的最大值為3.15．已知是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，函數(shù)，.（1）若曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，求的最小值；（2）若當(dāng)時(shí)，有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）由得.曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，，，.當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，，，則，在上單調(diào)遞增，；（2），設(shè)，，則當(dāng)時(shí)，有解.，.當(dāng)時(shí)，，解，可得或，解得，.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減.，，且，，的取值范圍為.16．已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．【解析】（1）因?yàn)?，所以，．所以．所以所求切線方程為．（2）法一：設(shè)，則當(dāng)時(shí)，．所以，所以．因?yàn)?，其中，，．又?dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增．因?yàn)椋?，所以存在，使?3極小所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．依題意，只需，即．所以的取值范圍是．法二：設(shè)，則當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，設(shè)．則．令，則．所以時(shí)，，單調(diào)遞增．所以時(shí)，，，單調(diào)遞增．依題意，只需，即．所以的取值范圍是．17．已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求證：；（2）求證：當(dāng)時(shí)，方程有且僅有個(gè)實(shí)數(shù)根.【解析】(1)令，的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，恒成立，∴在上單調(diào)遞減，∴當(dāng)時(shí)，恒成立，故當(dāng)時(shí)，；(2)設(shè)，的定義域?yàn)?，，設(shè)，的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，恒成立，∴在上單調(diào)遞減，又，，∴存在唯一的使據(jù)，當(dāng)時(shí)，則，∴在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，則，∴在上單調(diào)遞減，∴在處取得極大值也是最大值，又，，，∴在與上各有一個(gè)零點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，方程有且僅有個(gè)實(shí)數(shù)根.18．已知函數(shù)．（1）試討論函數(shù)在區(qū)間上的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）設(shè)，當(dāng)時(shí)，若方程在區(qū)間上有唯一解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1），①當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，所以單調(diào)遞增，在上無極值點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，，所以存在，使得，則為的極大值點(diǎn)；在上單調(diào)遞增，，所以存在使得，則為的極小值點(diǎn)；所以在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)．③當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，，所以存在，使得，則為的極小值點(diǎn)；在上單調(diào)遞減，，所以存在使得，則為的極大值點(diǎn)；所以在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)．綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上無極值點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)．（2）當(dāng)時(shí)，，則，設(shè)，則．因?yàn)?，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，因?yàn)椋源嬖谖ㄒ坏?，使得，即，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，因?yàn)?，又因?yàn)榉匠淘趨^(qū)間上有唯一解，所以．19．已知函數(shù)．（1）若在上為單調(diào)遞減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)函數(shù)，，若恰有1個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）∵在上為單調(diào)遞減函數(shù)，∴對(duì)任意恒成立∴，則，令，．則，∴在單調(diào)減，則的最小值為，∴，即，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是，（2）①，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，又因?yàn)椋栽谏蠠o零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，，使得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又因?yàn)?，，所以若，即時(shí)，在上無零點(diǎn)，若，即時(shí)，在上有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減且，所以在上無零點(diǎn)，綜上，20．已知函數(shù).（1）若，證明：；（2）若在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】（1）證明：當(dāng)時(shí)，，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以，即；（2），由在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，則在上有兩個(gè)不同的實(shí)根，即，設(shè)，，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，又，又，所以當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.21．已知函數(shù)，其中為的導(dǎo)數(shù)．（1）若為定義域內(nèi)的單調(diào)遞減函數(shù)，求a的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，記，求證：當(dāng)時(shí)，恒成立．【解析】（1）因?yàn)?，所以，要使為定義域內(nèi)的單調(diào)減函數(shù)，需滿足，即，令，，由且函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，知的最大值為，所以當(dāng)時(shí)，在定義域內(nèi)單調(diào)減函數(shù)．綜上，a的取值范圍是．（2）當(dāng)時(shí)，，，要，即證，當(dāng)時(shí)，，而，所以成立，當(dāng)時(shí)，令，則，記，則，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，即，所以在上單調(diào)遞增，所