新高考數(shù)學專題復習專題31運用構造法研究函數(shù)的性質專題練習(學生版+解析)

專題31運用構造法研究函數(shù)的性質一、題型選講題型一、構造函數(shù)研究函數(shù)的單調性例1、【2020年高考全國I卷理數(shù)】若，則A． B． C． D．變式1、（2020屆山東師范大學附中高三月考）已知偶函數(shù)的定義域為，其導函數(shù)為，當時，有成立，則關于x的不等式的解集為（）A． B．C． D．變式2、（2020屆山東實驗中學高三上期中）已知定義在上的函數(shù)滿足，且當時，有，則不等式的解集是（）A． B．C． D．題型二、構造函數(shù)研究函數(shù)的零點等問題例2、【2020年高考天津】已知函數(shù)若函數(shù)恰有4個零點，則的取值范圍是A． B．C． D．變式1、(2020屆山東省濰坊市高三上學期統(tǒng)考）函數(shù)若函數(shù)只有一個零點，則可能取的值有（）A．2 B． C．0 D．1變式2、【2018年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】已知函數(shù)．若g（x）存在2個零點，則a的取值范圍是A．[–1，0） B．[0，+∞）C．[–1，+∞） D．[1，+∞）題型三、構造函數(shù)證明不等式例3、(2019南通、泰州、揚州一調）已知函數(shù)f(x)＝eq\f(a,x)＋lnx(a∈R)．設f(x)的導函數(shù)為f′(x)，若f(x)有兩個不相同的零點x1，x2.證明：x1f′(x1)＋x2f′(x2)>2lna＋2.例5、(2017蘇州期末）已知函數(shù)f(x)＝(lnx－k－1)x(k∈R)．若x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)，證明：x1x2＜e2k.二、達標訓練1、【2020年高考全國Ⅱ卷理數(shù)】若2x?2y<3?x?3?y，則A．ln(y?x+1)>0 B．ln(y?x+1)<0 C．ln|x?y|>0 D．ln|x?y|<02、【2020年高考浙江】已知a，bR且ab≠0，對于任意x≥0均有(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0，則A．a<0 B．a>0 C．b<0 D．b>03、（2020·全國高三專題練習（文））函數(shù)，若方程有且只有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．4、（2020屆山東實驗中學高三上期中）設定義在上的函數(shù)滿足，且當時，.己知存在，且為函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù))的一個零點，則實數(shù)的取值可能是（）A． B． C． D．5、（2020屆山東省濱州市高三上期末）已知定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為，且，，則下列判斷中正確的是()A． B．C． D．6、（2020·浙江學軍中學高三3月月考）已知函數(shù)，若函數(shù)有9個零點，則實數(shù)k的取值范圍是（）A． B．C． D．專題31運用構造法研究函數(shù)的性質一、題型選講題型一、構造函數(shù)研究函數(shù)的單調性例1、【2020年高考全國I卷理數(shù)】若，則A． B． C． D．【答案】B【解析】設，則為增函數(shù)，因為所以，所以，所以.，當時，，此時，有當時，，此時，有，所以C、D錯誤.故選：B．變式1、（2020屆山東師范大學附中高三月考）已知偶函數(shù)的定義域為，其導函數(shù)為，當時，有成立，則關于x的不等式的解集為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題意設，則，又當時，，則有，所以在上單調遞減，又在上是偶函數(shù)，所以，所以是偶函數(shù)，所以，又為偶函數(shù)，且在上為減函數(shù)，且定義域為，則有，解得或，即不等式的解集為，故選：B.變式2、（2020屆山東實驗中學高三上期中）已知定義在上的函數(shù)滿足，且當時，有，則不等式的解集是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意，設，則，則有，，即有，故函數(shù)的圖象關于對稱，則有，當時，，，又由當時，，即當時，，即函數(shù)在區(qū)間為增函數(shù)，由可得，即，，函數(shù)的圖象關于對稱，函數(shù)在區(qū)間為增函數(shù)，由可得，即，此時不存在，故選：．題型二、構造函數(shù)研究函數(shù)的零點等問題例2、【2020年高考天津】已知函數(shù)若函數(shù)恰有4個零點，則的取值范圍是A． B．C． D．【答案】D【解析】注意到，所以要使恰有4個零點，只需方程恰有3個實根即可，令，即與的圖象有個不同交點.因為，當時，此時，如圖1，與有個不同交點，不滿足題意；當時，如圖2，此時與恒有個不同交點，滿足題意；當時，如圖3，當與相切時，聯(lián)立方程得，令得，解得（負值舍去），所以.綜上，的取值范圍為.故選：D．變式1、(2020屆山東省濰坊市高三上學期統(tǒng)考）函數(shù)若函數(shù)只有一個零點，則可能取的值有（）A．2 B． C．0 D．1【答案】ABC【解析】∵只有一個零點，

∴函數(shù)與函數(shù)有一個交點，

作函數(shù)函數(shù)與函數(shù)的圖象如下，

結合圖象可知，當時；函數(shù)與函數(shù)有一個交點；

當時，，可得，令可得，所以函數(shù)在時，直線與相切，可得.綜合得：或.

故選：ABC.變式2、【2018年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】已知函數(shù)．若g（x）存在2個零點，則a的取值范圍是A．[–1，0） B．[0，+∞）C．[–1，+∞） D．[1，+∞）【答案】C【解析】畫出函數(shù)的圖象，在y軸右側的圖象去掉，再畫出直線，之后上下移動，可以發(fā)現(xiàn)當直線過點（0,1）時，直線與函數(shù)圖象有兩個交點，并且向下可以無限移動，都可以保證直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，即方程有兩個解，也就是函數(shù)有兩個零點，此時滿足，即.故選C．題型三、構造函數(shù)證明不等式例3、(2019南通、泰州、揚州一調）已知函數(shù)f(x)＝eq\f(a,x)＋lnx(a∈R)．設f(x)的導函數(shù)為f′(x)，若f(x)有兩個不相同的零點x1，x2.證明：x1f′(x1)＋x2f′(x2)>2lna＋2.【解析】設p＝x1f′(x1)＋x2f′(x2)＝1－eq\f(a,x1)＋1－eq\f(a,x2)＝2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,x1)＋\f(a,x2))).又eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(lnx1＋\f(a,x1)＝0，lnx2＋\f(a,x2)＝0，))則p＝2＋ln(x1x2)．下面證明x1x2>a2.不妨設x1<x2，由①知0<x1<a<x2.要證x1x2>a2，即證x1>eq\f(a2,x2).因為x1，eq\f(a2,x2)∈(0，a)，f(x)在(0，a)上為減函數(shù)，所以只要證feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,x2)))>f(x1)．又f(x1)＝f(x2)＝0，即證feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,x2)))>f(x2)．(14分)設函數(shù)F(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,x)))－f(x)＝eq\f(x,a)－eq\f(a,x)－2lnx＋2lna(x>a)．所以F′(x)＝eq\f(（x－a）2,ax2)>0，所以F(x)在(a，＋∞)為增函數(shù)．所以F(x2)>F(a)＝0，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,x2)))>f(x2)成立．從而x1x2>a2成立．所以p＝2＋ln(x1x2)>2lna＋2，即x1f′(x1)＋x2f′(x2)>2lna＋2成立．(16分)例5、(2017蘇州期末）已知函數(shù)f(x)＝(lnx－k－1)x(k∈R)．若x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)，證明：x1x2＜e2k.【解析】因為f′(x)＝lnx－k，所以f(x)在(0，ek]上單調遞減，在[ek，＋∞)上單調遞增．不妨設0＜x1＜ek＜x2.要證x1x2＜e2k，只要證x2＜eq\f(e2k,x1).因為f(x)在[ek，＋∞)上單調遞增，所以只要證f(x1)＝f(x2)＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e2k,x1)))，即要證(lnx1－k－1)x1＜(k－lnx1－1)eq\f(e2k,x1)令t＝2(k－lnx1)＞0，只要證(t－2)et＋t＋2＞0.設H(t)＝(t－2)et＋t＋2，則只要證H(t)＞0對t＞0恒成立．H′(t)＝(t－1)et＋1，H″(t)＝tet＞0對t＞0恒成立．所以H′(t)在(0，＋∞)上單調遞增，H′(t)＞H′(0)＝0.所以H(t)在(0，＋∞)上單調遞增，H(t)＞H(0)＝0.綜上所述，x1x2＜e2k.二、達標訓練1、【2020年高考全國Ⅱ卷理數(shù)】若2x?2y<3?x?3?y，則A．ln(y?x+1)>0 B．ln(y?x+1)<0 C．ln|x?y|>0 D．ln|x?y|<0【答案】A【解析】由得：，令，為上的增函數(shù)，為上的減函數(shù)，為上的增函數(shù)，，，，，則A正確，B錯誤；與的大小不確定，故CD無法確定.故選：A．2、【2020年高考浙江】已知a，bR且ab≠0，對于任意x≥0均有(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0，則A．a<0 B．a>0 C．b<0 D．b>0【答案】C【解析】因為，所以且，設，則零點為當時，則，，要使，必有，且，即，且，所以；當時，則，，要使，必有.綜上一定有.故選：C3、（2020·全國高三專題練習（文））函數(shù)，若方程有且只有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】令,畫出與的圖象,平移直線,當直線經過時只有一個交點,此時,向右平移,不再符合條件,故故選：A4、（2020屆山東實驗中學高三上期中）設定義在上的函數(shù)滿足，且當時，.己知存在，且為函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù))的一個零點，則實數(shù)的取值可能是（）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】令函數(shù)，因為，，為奇函數(shù)，當時，，在上單調遞減，在上單調遞減．存在，得，，即，；，為函數(shù)的一個零點；當時，，函數(shù)在時單調遞減，由選項知，取，又，要使在時有一個零點，只需使，解得，的取值范圍為，故選：．5、（2020屆山東省濱州市高三上期末）已知定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為，且，，則下列判斷中正確的是()A． B．C． D．【答案】CD【解析】令，，則，因為，所以在上恒成立，因此函數(shù)在上單調遞減，因此，