第5章 微專題進(jìn)階課5　平面向量與“四心”-2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（新高考）

平面向量與“四心”在平面向量的應(yīng)用中，用平面向量解決平面幾何問題時(shí)，首先將幾何問題中的幾何元素和幾何關(guān)系用向量表示，然后選擇適當(dāng)?shù)幕紫蛄浚瑢⑾嚓P(guān)向量表示為基向量的線性組合，把問題轉(zhuǎn)化為基向量的運(yùn)算問題，最后將運(yùn)算的結(jié)果再還原為幾何關(guān)系．應(yīng)用向量相關(guān)知識(shí)，可以巧妙地解決三角形四心所具備的一些特定的性質(zhì)．重心問題已知O是△ABC所在平面上的一點(diǎn)，若eq\o(PO,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))(其中P為平面上任意一點(diǎn)),則點(diǎn)O是△ABC的()A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心C解析：由已知得3eq\o(PO,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→))，所以3eq\o(PO,\s\up6(→))＋3eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，即eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，所以點(diǎn)O是△ABC的重心.如圖，△ABC的重心為G，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，試用a，b，c表示eq\o(OG,\s\up6(→)).解：設(shè)AG交BC于點(diǎn)M，則M是BC的中點(diǎn)．因?yàn)閑q\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－\o(OG,\s\up6(→))＝\o(GA,\s\up6(→))，,b－\o(OG,\s\up6(→))＝\o(GB,\s\up6(→))，,c－\o(OG,\s\up6(→))＝\o(GC,\s\up6(→))，))所以a＋b＋c－3eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→)).而eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0，所以a＋b＋c－3eq\o(OG,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(a＋b＋c,3).垂心問題已知點(diǎn)O是平面上的一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|cosB)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|cosC)))，λ∈[0，＋∞),則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的()A．重心B．垂心C．外心D．內(nèi)心B解析：由已知得eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|cosB)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|cosC)))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|cosB)＋\f(\o(AC,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|cosC)))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|\o(AB,\s\up6(→))||\o(BC,\s\up6(→))|cosπ－B,|\o(AB,\s\up6(→))|cosB)＋\f(|\o(AC,\s\up6(→))||\o(BC,\s\up6(→))|cosC,|\o(AC,\s\up6(→))|cosC)))＝λ(－|eq\o(BC,\s\up6(→))|＋|eq\o(BC,\s\up6(→))|)＝0，所以eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，即AP⊥BC，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡通過△ABC的垂心．已知點(diǎn)O為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且eq\o(OA,\s\up6(→))2＋eq\o(BC,\s\up6(→))2＝eq\o(OB,\s\up6(→))2＋eq\o(CA,\s\up6(→))2＝eq\o(OC,\s\up6(→))2＋eq\o(AB,\s\up6(→))2，則點(diǎn)O一定為△ABC的()A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心D解析：因?yàn)閑q\o(OA,\s\up6(→))2＋eq\o(BC,\s\up6(→))2＝eq\o(OB,\s\up6(→))2＋eq\o(CA,\s\up6(→))2，所以eq\o(OA,\s\up6(→))2－eq\o(OB,\s\up6(→))2＝eq\o(CA,\s\up6(→))2－eq\o(BC,\s\up6(→))2，所以(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))·(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))＝(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))·(eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→)))，所以eq\o(BA,\s\up6(→))·(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\o(BA,\s\up6(→))·(eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→)))，所以eq\o(BA,\s\up6(→))·(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝0，所以eq\o(BA,\s\up6(→))·(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝0，所以eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(BA,\s\up6(→))⊥eq\o(OC,\s\up6(→)).同理可得eq\o(CA,\s\up6(→))⊥eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))⊥eq\o(OA,\s\up6(→)).所以O(shè)為△ABC的垂心．故選D．外心問題已知點(diǎn)O是△ABC所在平面上的一點(diǎn)．若(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝(eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→)))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝0，則點(diǎn)O是△ABC的()A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心A解析：由已知得(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))·(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))·(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝(eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→)))·(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))＝0?eq\o(OB,\s\up6(→))2－eq\o(OA,\s\up6(→))2＝eq\o(OC,\s\up6(→))2－eq\o(OB,\s\up6(→))2＝eq\o(OA,\s\up6(→))2－eq\o(OC,\s\up6(→))2＝0?|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|.所以點(diǎn)O是△ABC的外心．在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，E為△ACD的重心，點(diǎn)F為△ABC的外心．求證：EF⊥CD．證明：建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)A(0，b)，B(－a,0)，C(a,0)，則Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，\f(b,2)))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)a，\f(b,2)))，易知△ABC的外心F在y軸上，設(shè)為F(0，y)．由|eq\o(AF,\s\up6(→))|＝|eq\o(CF,\s\up6(→))|可得(y－b)2＝(－a)2＋y2，所以y＝eq\f(b2－a2,2b)，即Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(b2－a2,2b))).連接AE，CE，DE，又由重心公式，得eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(ED,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))＝0，則Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,6)，\f(b,2)))，所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,6)，－\f(a2,2b)))，所以eq\o(CD,\s\up6(→))·eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)a))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,6)))＋eq\f(b,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a2,2b)))＝0，所以eq\o(CD,\s\up6(→))⊥eq\o(EF,\s\up6(→))，即EF⊥CD．內(nèi)心問題已知點(diǎn)O是△ABC所在平面上的一點(diǎn)，若eq\o(PO,\s\up6(→))＝eq\f(a\o(PA,\s\up6(→))＋b\o(PB,\s\up6(→))＋c\o(PC,\s\up6(→)),a＋b＋c)(其中P是△ABC所在平面內(nèi)任意一點(diǎn))，則點(diǎn)O是△ABC的()A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心B解析：因?yàn)閑q\o(PO,\s\up6(→))＝eq\f(a\o(PA,\s\up6(→))＋b\o(PB,\s\up6(→))＋c\o(PC,\s\up6(→)),a＋b＋c)，所以(a＋b＋c)eq\o(PO,\s\up6(→))＝aeq\o(PA,\s\up6(→))＋beq\o(PB,\s\up6(→))＋ceq\o(PC,\s\up6(→))，即aeq\o(PO,\s\up6(→))＋bPO＋ceq\o(PO,\s\up6(→))＝aeq\o(PA,\s\up6(→))＋beq\o(PB,\s\up6(→))＋ceq\o(PC,\s\up6(→))，移項(xiàng)并整理可得a(eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PO,\s\up6(→)))＋b(eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(PO,\s\up6(→)))＋c(eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(PO,\s\up6(→)))＝0，則aeq\o(OA,\s\up6(→))＋beq\o(OB,\s\up6(→))＋ceq\o(OC,\s\up6(→))＝0，所以點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心．已知點(diǎn)O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，滿足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))，λ∈[0，＋∞)，則點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的________.內(nèi)心解析：如圖所示，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))，由已知，