高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)(新教材新高考)專題7.2等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和專題練習(xí)（學(xué)生版+解析）

專題7.2等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（2021·全國高三其他模擬（文））在等差數(shù)列中，已知，則公差（）A．1 B．2 C．-2 D．-12．（2020·湖北武漢?高三其他（文））設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則公差等于（）A．0 B．1 C． D．3.（2020·全國高三其他（理））已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（）A．12 B．15 C．18 D．214．（2019·浙江高三會(huì)考）等差數(shù)列ann∈N?的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，若A．4B．5C．6D．75．（2021·全國高三其他模擬（文））我國明代數(shù)學(xué)家程大位的《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：今有鈔二百三十八貫，令五等人從上作互和減半分之，只云戊不及甲三十三貫六百文，問：各該鈔若干？其意思是：現(xiàn)有錢238貫，采用等差數(shù)列的方法依次分給甲?乙?丙?丁?戊五個(gè)人，現(xiàn)在只知道戊所得錢比甲少33貫600文(1貫=1000文)，問各人各得錢多少？在這個(gè)問題中，戊所得錢數(shù)為（）A．30.8貫 B．39.2貫 C．47.6貫 D．64.4貫6．（2020·全國高三課時(shí)練習(xí)（理））設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足S15>0，S16<0，則，，…，中最大的項(xiàng)為（）A．B．C．D．7．（2019·全國高考真題（文））記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則___________.8.（2019·全國高考真題（理））記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，，則___________.9.（2021·河南高三其他模擬（文））設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S4=2S3-2，2a5-a6=7，則S8=___________.10.（2018·全國高考真題（理））記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知（1）求{a（2）求Sn，并求S練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2021·上海市大同中學(xué)高三三模）已知數(shù)列滿足，若，則“數(shù)列為無窮數(shù)列”是“數(shù)列單調(diào)”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2021·哈爾濱市第一中學(xué)校高三三模（理））習(xí)近平總書記提出：鄉(xiāng)村振興，人才是關(guān)鍵．要積極培養(yǎng)本土人才，鼓勵(lì)外出能人返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)．為鼓勵(lì)返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)，黑龍江對(duì)青山鎮(zhèn)鎮(zhèn)政府決定投入創(chuàng)業(yè)資金和開展“創(chuàng)業(yè)技術(shù)培訓(xùn)”幫扶返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)人員．預(yù)計(jì)該鎮(zhèn)政府每年投入的創(chuàng)業(yè)資金構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列（單位萬元，），每年開展“創(chuàng)業(yè)技術(shù)培訓(xùn)”投入的資金為第一年創(chuàng)業(yè)資金的倍，已知．則預(yù)計(jì)該鎮(zhèn)政府幫扶五年累計(jì)總投入資金的最大值為（）A．72萬元 B．96萬元 C．120萬元 D．144萬元3．（2021·四川遂寧市·高三其他模擬（理））定義函數(shù)，其中表示不超過的最大整數(shù)，例如：，，.當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?記集合中元素的個(gè)數(shù)為，則的值為（）A． B． C． D．4．（2021·全國高三其他模擬（理））已知等差數(shù)列的公差，為其前n項(xiàng)和，則的最小值為___________.5．（2021·全國高三其他模擬（理））已知數(shù)列…，其中在第個(gè)1與第個(gè)1之間插入個(gè)若該數(shù)列的前項(xiàng)的和為則___________.6．（2021·廣東揭陽市·高三其他模擬）已知正項(xiàng)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，記數(shù)列的前項(xiàng)和，求.7．（2021·全國高三其他模擬（理））已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.8．（2021·全國高三其他模擬（理））已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足，且，．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．9．（2021·山東泰安市·高三其他模擬）設(shè)各項(xiàng)均為正的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)的和．10．（2019·浙江高三期末）在數(shù)列、中，設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，，.（Ⅰ）求和；（Ⅱ）若時(shí)，恒成立，求整數(shù)的最小值.練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1.（2020·浙江省高考真題）我國古代數(shù)學(xué)家楊輝，朱世杰等研究過高階等差數(shù)列的求和問題，如數(shù)列就是二階等差數(shù)列，數(shù)列的前3項(xiàng)和是________．2．（2020·海南省高考真題）將數(shù)列{2n–1}與{3n–2}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}的前n項(xiàng)和為________．3.（2019·北京高考真題（理））設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a2=?3，S5=?10，則a5=__________，Sn的最小值為__________．4.（2021·全國高考真題（文））記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，且數(shù)列是等差數(shù)列，證明：是等差數(shù)列.5.（2021·全國高考真題（理））記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，為數(shù)列的前n項(xiàng)積，已知．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列;（2）求的通項(xiàng)公式．19·全國高考真題（文））記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知S9=－a5．（1）若a3=4，求{an}的通項(xiàng)公式；（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范圍．專題7.2等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（2021·全國高三其他模擬（文））在等差數(shù)列中，已知，則公差（）A．1 B．2 C．-2 D．-1【答案】B【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式計(jì)算可得；【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，所以，解得故選：B2．（2020·湖北武漢?高三其他（文））設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則公差等于（）A．0 B．1 C． D．【答案】B【解析】，解得，所以．故選：B.3.（2020·全國高三其他（理））已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（）A．12 B．15 C．18 D．21【答案】B【解析】由，得，所以.故選：B.4．（2019·浙江高三會(huì)考）等差數(shù)列ann∈N?的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，若A．4B．5C．6D．7【答案】C【解析】根據(jù)題意，等差數(shù)列an中，S3=S9，則S9?S3=a4+a55．（2021·全國高三其他模擬（文））我國明代數(shù)學(xué)家程大位的《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：今有鈔二百三十八貫，令五等人從上作互和減半分之，只云戊不及甲三十三貫六百文，問：各該鈔若干？其意思是：現(xiàn)有錢238貫，采用等差數(shù)列的方法依次分給甲?乙?丙?丁?戊五個(gè)人，現(xiàn)在只知道戊所得錢比甲少33貫600文(1貫=1000文)，問各人各得錢多少？在這個(gè)問題中，戊所得錢數(shù)為（）A．30.8貫 B．39.2貫 C．47.6貫 D．64.4貫【答案】A【解析】由題意知甲?乙?丙?丁?戊五個(gè)人所得錢數(shù)組成等差數(shù)列，由等差數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)列方程組即可求出所要的結(jié)果.【詳解】解：依次記甲?乙?丙?丁?戊五個(gè)人所得錢數(shù)為a1，a2，a3，a4，a5，由數(shù)列{an}為等差數(shù)列，可記公差為d，依題意得：，解得a1=64.4，d=﹣8.4，所以a5=64.4﹣33.6=30.8，即戊所得錢數(shù)為30.8貫.故選：A.6．（2020·全國高三課時(shí)練習(xí)（理））設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足S15>0，S16<0，則，，…，中最大的項(xiàng)為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵等差數(shù)列前n項(xiàng)和，由S15>0，S16<0，得，∴，若視為函數(shù)則對(duì)稱軸在之間，∵，∴Sn最大值是，分析，知為正值時(shí)有最大值，故為前8項(xiàng)，又d＜0，遞減，前8項(xiàng)中遞增，∴前8項(xiàng)中最大最小時(shí)有最大值，∴最大．7．（2019·全國高考真題（文））記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則___________.【答案】100【解析】得8.（2019·全國高考真題（理））記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，，則___________.【答案】4.【解析】因，所以，即，所以．9.（2021·河南高三其他模擬（文））設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S4=2S3-2，2a5-a6=7，則S8=___________.【答案】64【解析】設(shè){an}的公差為d.根據(jù)已知條件列出方程組，計(jì)算求解即可.【詳解】設(shè){an}的公差為d.因?yàn)?，即所以，所?故答案為：64.10.（2018·全國高考真題（理））記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知（1）求{a（2）求Sn，并求S【答案】（1）an=2n–9，（2）Sn=n2–8n，最小值為–16．【解析】（1）設(shè){an}的公差為d，由題意得3a1+3d=–15．由a1=–7得d=2．所以{an}的通項(xiàng)公式為an=2n–9．（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．所以當(dāng)n=4時(shí)，Sn取得最小值，最小值為–16．練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2021·上海市大同中學(xué)高三三模）已知數(shù)列滿足，若，則“數(shù)列為無窮數(shù)列”是“數(shù)列單調(diào)”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由已知可得，設(shè)，若存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)數(shù)列為有窮數(shù)列；若恒不為0，由，有，此時(shí)為無窮數(shù)列，由此根據(jù)充分條件、必要條件的定義進(jìn)行分析即可得結(jié)論．【詳解】解：令，，由，可得，所以，即，所以數(shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為1，所以，設(shè)，則數(shù)列是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，若存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，則有，此時(shí)數(shù)列為有窮數(shù)列；若恒不為0，由，有，數(shù)列就可以按照此遞推關(guān)系一直計(jì)算下去，所以此時(shí)為無窮數(shù)列.（1）若恒不為0，則為無窮數(shù)列，由遞推關(guān)系式有，取，時(shí)，，則，，，，此時(shí)數(shù)列不是單調(diào)數(shù)列；（2）當(dāng)數(shù)列為有窮數(shù)列時(shí)，存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)數(shù)列為，，，，，，由，若數(shù)列單調(diào)，則，，，，全為正或全為負(fù)，由，則，，，，全為正，而，這與單調(diào)遞增矛盾，所以當(dāng)數(shù)列為有窮數(shù)列時(shí)，數(shù)列不可能單調(diào)，所以當(dāng)數(shù)列單調(diào)時(shí)，數(shù)列一定有無窮多項(xiàng)．故選：B.2．（2021·哈爾濱市第一中學(xué)校高三三模（理））習(xí)近平總書記提出：鄉(xiāng)村振興，人才是關(guān)鍵．要積極培養(yǎng)本土人才，鼓勵(lì)外出能人返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)．為鼓勵(lì)返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)，黑龍江對(duì)青山鎮(zhèn)鎮(zhèn)政府決定投入創(chuàng)業(yè)資金和開展“創(chuàng)業(yè)技術(shù)培訓(xùn)”幫扶返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)人員．預(yù)計(jì)該鎮(zhèn)政府每年投入的創(chuàng)業(yè)資金構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列（單位萬元，），每年開展“創(chuàng)業(yè)技術(shù)培訓(xùn)”投入的資金為第一年創(chuàng)業(yè)資金的倍，已知．則預(yù)計(jì)該鎮(zhèn)政府幫扶五年累計(jì)總投入資金的最大值為（）A．72萬元 B．96萬元 C．120萬元 D．144萬元【答案】C【解析】本題可設(shè)等差數(shù)列的公差為，然后根據(jù)題意得出五年累計(jì)總投入資金為，最后通過基本不等式即可求出最值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可知，五年累計(jì)總投入資金為：，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故預(yù)計(jì)該鎮(zhèn)政府幫扶五年累計(jì)總投入資金的最大值為120萬元，故選：C.3．（2021·四川遂寧市·高三其他模擬（理））定義函數(shù)，其中表示不超過的最大整數(shù)，例如：，，.當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?記集合中元素的個(gè)數(shù)為，則的值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】先根據(jù)條件分析出當(dāng)時(shí)，集合中的元素個(gè)數(shù)為，進(jìn)而可得，再結(jié)合裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求和可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，所以在各個(gè)區(qū)間中的元素個(gè)數(shù)分別為：，所以當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，集合中元素個(gè)數(shù)為：，所以，所以，故選：D.4．（2021·全國高三其他模擬（理））已知等差數(shù)列的公差，為其前n項(xiàng)和，則的最小值為___________.【答案】8【解析】利用，求得的值，然后利用等差數(shù)列求和公式求得，利用函數(shù)圖象得的最小值可能為，或，分別求出，，，得出最小值.【詳解】由于即,解得,故,作函數(shù)的圖象，故的最小值可能為，或，而，，，故的最小值為.故答案為：8.5．（2021·全國高三其他模擬（理））已知數(shù)列…，其中在第個(gè)1與第個(gè)1之間插入個(gè)若該數(shù)列的前項(xiàng)的和為則___________.【答案】3【解析】當(dāng)時(shí)，若有n個(gè)1，由題知，數(shù)列共有項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則在第63個(gè)1后面跟第2個(gè)x就是第2018項(xiàng)，所以前項(xiàng)中含63個(gè)1，其余均為x，從而根據(jù)前項(xiàng)的和為求得x.【詳解】當(dāng)時(shí)，若有n個(gè)1，由題知，數(shù)列共有項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則在第63個(gè)1后面跟第2個(gè)x就是第2018項(xiàng)，所以前項(xiàng)中含63個(gè)1，其余均為x，故該數(shù)列的前項(xiàng)的和為，解得.故答案為：36．（2021·廣東揭陽市·高三其他模擬）已知正項(xiàng)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，記數(shù)列的前項(xiàng)和，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減可得，從而可求出，當(dāng)時(shí)，，求出，進(jìn)而可出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，從而可求出【詳解】解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由，得相減得即，又，所以，由，得，解得，(舍去)由，得；（2）.7．（2021·全國高三其他模擬（理））已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，根據(jù)，求得，得到，進(jìn)而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）得到，利用累加法，求得，進(jìn)而求得，利用裂項(xiàng)法求和，即可求解.【詳解】（1）由題意，數(shù)列的前項(xiàng)和為，可得，，因?yàn)?，所以，解得，所以，，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以.當(dāng)時(shí)，符合上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）知，可得，所以，，，……，，所以，又由，可得，當(dāng)時(shí)，，滿足上式，所以.所以，所以.8．（2021·全國高三其他模擬（理））已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足，且，．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【解析】（1）將已知遞推關(guān)系移項(xiàng)配方整理可得，進(jìn)而利用等差中項(xiàng)法證明數(shù)列是等差數(shù)列；（2）利用裂項(xiàng)求和法求和化簡(jiǎn)后即得證.【詳解】解：（1）由結(jié)合數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)得則，所以數(shù)列是等差數(shù)列；（2），則公差∴，∴.9．（2021·山東泰安市·高三其他模擬）設(shè)各項(xiàng)均為正的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)的和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由求出的值，當(dāng)時(shí)，由與的關(guān)系推導(dǎo)出數(shù)列為等差數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)與公差，可求得的通項(xiàng)公式；（2）計(jì)算出，然后利用等差數(shù)列的求和公式可求得.【詳解】（1）令，則，可得，得；當(dāng)時(shí)，由可得，兩式相減得，即，由數(shù)列的各項(xiàng)為正，可得，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．即數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2）由得，則有，因?yàn)?，因此?10．（2019·浙江高三期末）在數(shù)列、中，設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，，.（Ⅰ）求和；（Ⅱ）若時(shí)，恒成立，求整數(shù)的最小值.【答案】（1），（2）整數(shù)的最小值是11.【解析】（Ⅰ）因?yàn)椋?，所以是等差?shù)列，又，所以，從而.（Ⅱ）因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，①②①-②可得，，即，而也滿足，故.令，則，即，因?yàn)椋?，依?jù)指數(shù)增長(zhǎng)性質(zhì)，整數(shù)的最小值是11.練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1.（2020·浙江省高考真題）我國古代數(shù)學(xué)家楊輝，朱世杰等研究過高階等差數(shù)列的求和問題，如數(shù)列就是二階等差數(shù)列，數(shù)列的前3項(xiàng)和是________．【答案】【解析】因?yàn)?，所以．即．故答案為?2．（2020·海南省高考真題）將數(shù)列{2n–1}與{3n–2}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}的前n項(xiàng)和為________．【答案】【解析】因?yàn)閿?shù)列是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，數(shù)列是以1首項(xiàng)，以3為公差的等差數(shù)列，所以這兩個(gè)數(shù)列的公共項(xiàng)所構(gòu)成的新數(shù)列是以1為首項(xiàng)，以6為公差的等差數(shù)列，所以的前項(xiàng)和為，故答案為：.3.（2019·北京高考真題（理））設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a2=?3，S5=?10，則a5=_________