新高考數(shù)學(xué)之圓錐曲線綜合講義第28講四點(diǎn)共圓問(wèn)題(原卷版+解析)

第28講四點(diǎn)共圓問(wèn)題一、解答題1．已知直線交拋物線于兩點(diǎn)．（1）設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為．若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若點(diǎn)在拋物線上，且關(guān)于直線對(duì)稱，求證：四點(diǎn)共圓．2．已知橢圓上三點(diǎn)、、與原點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)平行四邊形．（1）若點(diǎn)是橢圓的左頂點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若、、、四點(diǎn)共圓，求直線的斜率．3．已知拋物線：（）上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為1．（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）求直線：交拋物線于兩點(diǎn)、，線段的垂直平分線交拋物線于兩點(diǎn)、，求證：、、、四點(diǎn)共圓．4．已知直線與軸，軸分別交于，，線段的中垂線與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)、．（1）求的取值范圍；（2）是否存在，使得，，，四點(diǎn)共圓，若存在，請(qǐng)求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．5．已知斜率為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，的垂直平分線與橢圓交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn).（1）若，求直線的方程以及的取值范圍；（2）不管怎么變化，都有，，，四點(diǎn)共圓，求的取值范圍.6．已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，且，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)．（Ⅰ）若△的周長(zhǎng)為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）若，且，，，四點(diǎn)共圓，求橢圓離心率的值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，且直線的斜率，試求直線的斜率的取值范圍．7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的右焦點(diǎn)為，為右準(zhǔn)線上一點(diǎn)．點(diǎn)在橢圓上，且．（1）若橢圓的離心率為，短軸長(zhǎng)為．求橢圓的方程；（2）若在軸上方存在兩點(diǎn)，使四點(diǎn)共圓，求橢圓離心率的取值范圍．8．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)F的直線m與拋物線E交于兩點(diǎn)，過(guò)F且與直線m垂直的直線n與準(zhǔn)線交于點(diǎn)M．（1）若直線m的斜率為，求的值；（2）設(shè)的中點(diǎn)為N，若四點(diǎn)共圓，求直線m的方程．9．如圖，已知橢圓C的方程為，為半焦距，橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為，橢圓C的離心率為．（1）若橢圓過(guò)點(diǎn)，兩條準(zhǔn)線之間的距離為，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線與橢圓C相交于，兩點(diǎn)，且四點(diǎn)共圓，若，試求的最大值．10．如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C：(a＞b＞0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(﹣2,0)和,橢圓C上三點(diǎn)A,M,B與原點(diǎn)O構(gòu)成一個(gè)平行四邊形AMBO.（1）求橢圓C的方程；（2）若點(diǎn)B是橢圓C左頂點(diǎn),求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）若A,M,B,O四點(diǎn)共圓,求直線AB的斜率.11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知為橢圓上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的一點(diǎn)，過(guò)與軸平行的直線交橢圓的兩條準(zhǔn)線于點(diǎn)，，直線，交于點(diǎn).（1）若與的面積相等，求橢圓的離心率；（2）若，.①求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；②試判斷點(diǎn)，，，是否四點(diǎn)共圓，并說(shuō)明理由.12．（題文）（題文）已知點(diǎn)F(p2,0)，直線l:x=?p2，點(diǎn)Μ是l上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Μ垂直于（1）求點(diǎn)Ν的軌跡方程；（2）若p=2，直線y=x與點(diǎn)Ν的軌跡交于A、B兩點(diǎn)，試問(wèn)Ν的軌跡上是否存在兩點(diǎn)C、D，使得A、B、C、D四點(diǎn)共圓？若存在，求出圓的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．13．從拋物線上各點(diǎn)向軸作垂線段，記垂線段中點(diǎn)的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程，并說(shuō)明曲線是什么曲線；（2）過(guò)點(diǎn)的直線交曲線于兩點(diǎn)、，線段的垂直平分線交曲線于兩點(diǎn)、，探究是否存在直線使、、、四點(diǎn)共圓？若能，請(qǐng)求出圓的方程；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．14．在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，是拋物線上上一點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，.（1）求拋物線的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線與準(zhǔn)線交于點(diǎn)，設(shè)的中點(diǎn)為，若、、四點(diǎn)共圓，求直線的方程.15．已知橢圓C：的左?右頂點(diǎn)分別為A，B，離心率為，P是C上異于A，B的動(dòng)點(diǎn).（1）證明：直線AP，BP的斜率之積為定值，并求出該定值.（2）設(shè)，直線AP，BP分別交直線l：x=3于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，試問(wèn)：在x軸上是否存在定點(diǎn)T，使得O，M，N，T四點(diǎn)共圓？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.16．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是拋物線E上一點(diǎn)，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，.（1）求拋物線E的方程；（2）過(guò)點(diǎn)F的直線m與拋物線E交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F且與直線m垂直的直線n與準(zhǔn)線l交于點(diǎn)M，設(shè)AB的中點(diǎn)為N，若O、M、N、F四點(diǎn)共圓，求直線m的方程.第28講四點(diǎn)共圓問(wèn)題一、解答題1．已知直線交拋物線于兩點(diǎn)．（1）設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為．若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若點(diǎn)在拋物線上，且關(guān)于直線對(duì)稱，求證：四點(diǎn)共圓．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析．【分析】（1）設(shè)，直線方程代入拋物線方程后由判別式得的范圍，由韋達(dá)定理得，再由向量的數(shù)乘可得＝0，結(jié)合韋達(dá)定理可得值；（2）設(shè)，由對(duì)稱性得，．再由在拋物線上，代入變形得與的關(guān)系，然后計(jì)算，得，同理，得證四點(diǎn)共圓．【詳解】解：由得．設(shè)，則．因?yàn)橹本€與相交，所以得．（1）由，得，所以，解得從而，因?yàn)樗越獾茫?）設(shè)，因?yàn)閮牲c(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則解得．又于是解得．又點(diǎn)在拋物線上，于是．因?yàn)樗?，于是因此，同理于是點(diǎn)在以為直徑的圓上，即四點(diǎn)共圓．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查直線與拋物線相交問(wèn)題，解題方法是設(shè)而不求的思想方法，如設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，直線方程代入拋物線方程后應(yīng)用韋達(dá)定理可得，再利用向量的線性運(yùn)算求得關(guān)系，從而可求得值．2．已知橢圓上三點(diǎn)、、與原點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)平行四邊形．（1）若點(diǎn)是橢圓的左頂點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若、、、四點(diǎn)共圓，求直線的斜率．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由已知可得，由，且，設(shè)，代入橢圓方程解方程即可得解；（2）因?yàn)?、、、四點(diǎn)共圓，則平行四邊形是矩形且，設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理代入，化簡(jiǎn)計(jì)算求解即可.【詳解】解析：（1）如圖所示：因?yàn)?，四邊形為平行四邊形，所以，且．設(shè)點(diǎn)，則因?yàn)辄c(diǎn)M、A在橢圓C上，所以，解得，所以．（2）因?yàn)橹本€的斜率存在，所以設(shè)直線的方程為，，．由消去y得，則有，．因?yàn)槠叫兴倪呅危裕驗(yàn)?，所以，所以．因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓C上，所以將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入橢圓C的方程化得．①因?yàn)锳、M、B、O四點(diǎn)共圓，所以平行四邊形是矩形，且，所以．因?yàn)?，所以，化得．②由①②解得，，此時(shí)，因此．所以所求直線的斜率為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了聯(lián)立直線與橢圓的方程利用韋達(dá)定理列式表達(dá)斜率以及垂直的方法進(jìn)而代入求解的問(wèn)題，考查計(jì)算能力和邏輯推理能力，屬于難題.3．已知拋物線：（）上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為1．（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）求直線：交拋物線于兩點(diǎn)、，線段的垂直平分線交拋物線于兩點(diǎn)、，求證：、、、四點(diǎn)共圓．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）證明見(jiàn)解析.【分析】（Ⅰ）根據(jù)拋物線的定義可得點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離等于該點(diǎn)到準(zhǔn)線距離，即可求出，從而得到拋物線方程，再計(jì)算出參數(shù)的值；（Ⅱ）設(shè)，，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達(dá)定理，即可求出線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)，因?yàn)橹本€為線段的垂直平分線，直線的方程為，設(shè)，，求出線段的中點(diǎn)坐標(biāo)，再利用勾股定理計(jì)算可得；【詳解】解：（Ⅰ）的準(zhǔn)線為，因?yàn)辄c(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離等于該點(diǎn)到準(zhǔn)線距離，所以，故，即，又在上，所以；（Ⅱ）設(shè)，，聯(lián)立，得，則，，且，即，則，且線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則，所以線段中點(diǎn)為，因?yàn)橹本€為線段的垂直平分線，直線的方程為，聯(lián)立，得，設(shè)，，則，故，線段中點(diǎn)為，因?yàn)?，，所以，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，同理點(diǎn)在以為直徑的圓上，所以、、、四點(diǎn)共圓．【點(diǎn)睛】(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問(wèn)題，要注意直線是否過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，若過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過(guò)焦點(diǎn)，則必須用一般弦長(zhǎng)公式．4．已知直線與軸，軸分別交于，，線段的中垂線與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)、．（1）求的取值范圍；（2）是否存在，使得，，，四點(diǎn)共圓，若存在，請(qǐng)求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）存在，【分析】（1）求出兩點(diǎn)坐標(biāo)，得出其中垂線方程為，與拋物線方程聯(lián)立根據(jù)即可得結(jié)果；（2）設(shè)，，線段的中點(diǎn)為，將（1）和韋達(dá)定理可得，，結(jié)合四點(diǎn)共圓的特征得，代入兩點(diǎn)間距離公式可解得的值.【詳解】（1）因?yàn)橹本€與軸，軸分別交于，.所以，，所以線段的中點(diǎn)為，，所以線段的中垂線的方程為，即.將代入，得，因?yàn)榕c有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，.所以，又，所以，即的取值范圍為.（2）若，，，四點(diǎn)共圓，由對(duì)稱性可知，圓心應(yīng)為線段的中點(diǎn)，設(shè)，，線段的中點(diǎn)為，則，所以，，若，，C，四點(diǎn)共圓，則，即，所以.所以，解得，又滿足，所以存在，使得，，C，四點(diǎn)共圓.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，圓內(nèi)接四邊形的特征，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題.5．已知斜率為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，的垂直平分線與橢圓交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn).（1）若，求直線的方程以及的取值范圍；（2）不管怎么變化，都有，，，四點(diǎn)共圓，求的取值范圍.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）將直線的方程代入橢圓方程，再利用根與系數(shù)的關(guān)系可得，從而可求出的值，進(jìn)而可得到直線的方程，由判別式大于零可求出的取值范圍；（2）設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程中，利用根與系數(shù)的關(guān)系，再利用弦長(zhǎng)公式表示出,由于是的垂直平分線，所以同理可表示的長(zhǎng)，求出中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則可求出點(diǎn)到的距離，由，，，四點(diǎn)共圓，將，，代入化簡(jiǎn)可得，從而可求出的值，進(jìn)而可求得【詳解】設(shè)，.（1）當(dāng)時(shí)，直線的方程為，將方程代入得：.①由，解得，此時(shí)的方程為.將代入①，得.由，解得.（2）設(shè)直線的方程為，將方程代入得：.②由題意，即.，同理得，所以中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，點(diǎn)到的距離為，由，，，四點(diǎn)共圓，即，③不管怎么變化，都有，，，四點(diǎn)共圓，即上式恒成立，所以，解得，此時(shí)③式成立.代入②，由得.所以的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查計(jì)算求解能力，解題的關(guān)鍵是由，，，四點(diǎn)共圓，將，，代入化簡(jiǎn)可得，從而可求出的值，進(jìn)而可求得，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題6．已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，且，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)．（Ⅰ）若△的周長(zhǎng)為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）若，且，，，四點(diǎn)共圓，求橢圓離心率的值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，且直線的斜率，試求直線的斜率的取值范圍．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）．（Ⅲ）．【解析】試題解析：（Ⅰ）由題意得，根據(jù)，得．結(jié)合，解得所以，橢圓的方程為．（Ⅱ）（解法一）由得．設(shè)．所以，由、互相平分且共圓，易知，，因?yàn)?，，所以．即，所以有結(jié)合．解得，所以離心率．（若設(shè)相應(yīng)給分）（解法二）設(shè)，又、互相平分且共圓，所以、是圓的直徑，所以，又由橢圓及直線方程綜合可得：前兩個(gè)方程解出，將其帶入第三個(gè)方程并結(jié)合，解得：，．…8分（Ⅲ）由（Ⅱ）結(jié)論，橢圓方程為，由題可設(shè)，，所以，又，即，由可知，．考點(diǎn)：1．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)；2．直線與橢圓的位置關(guān)系．7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的右焦點(diǎn)為，為右準(zhǔn)線上一點(diǎn)．點(diǎn)在橢圓上，且．（1）若橢圓的離心率為，短軸長(zhǎng)為．求橢圓的方程；（2）若在軸上方存在兩點(diǎn)，使四點(diǎn)共圓，求橢圓離心率的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）設(shè)橢圓的焦距為，由題意，可得，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，，，，可得的外接圓即為以為直徑的圓，可得，根據(jù)點(diǎn)，均在軸上方，可得，解得即可；【詳解】解：（1）設(shè)橢圓的焦距為，由題意，可得，解得，，橢圓的方程為，（2）設(shè)，，，，，則的外接圓即為以為直徑的圓，由題意，焦點(diǎn)，原點(diǎn)均在該圓上，，消去可得，，點(diǎn)，均在軸上方，，即，，，，故的范圍為．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線的圓錐曲線的位置關(guān)系，考查圓的方程及點(diǎn)到直線的距離公式，直線的斜率公式，考查計(jì)算能力，解題時(shí)要認(rèn)真審題，屬于中檔題．8．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)F的直線m與拋物線E交于兩點(diǎn)，過(guò)F且與直線m垂直的直線n與準(zhǔn)線交于點(diǎn)M．（1）若直線m的斜率為，求的值；（2）設(shè)的中點(diǎn)為N，若四點(diǎn)共圓，求直線m的方程．【答案】（1）或；（2）．【分析】（1）由拋物線的定義建立方程即可.（2）設(shè)直線m的方程為，用表示坐標(biāo)，再結(jié)合條件得到，建立關(guān)于的方程即可獲解.【詳解】（1）設(shè)，當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，直線m的斜率為直線m的傾斜角為，由拋物線的定義，有，，解得：，若時(shí)，同理可得：，或．（2）設(shè)直線m的方程為，代入，得．設(shè)，則．由，得，所以．因?yàn)橹本€m的斜率為，所以直線n的斜率為，則直線n的方程為．由解得．若四點(diǎn)共圓，再結(jié)合，得，則，解得，所以直線m的方程為．【點(diǎn)睛】（1）有些題目可以利用拋物線的定義結(jié)合幾何關(guān)系建立方程獲解；（2）直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系.9．如圖，已知橢圓C的方程為，為半焦距，橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為，橢圓C的離心率為．（1）若橢圓過(guò)點(diǎn)，兩條準(zhǔn)線之間的距離為，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線與橢圓C相交于，兩點(diǎn)，且四點(diǎn)共圓，若，試求的最大值．【答案】（1）（2）【分析】(1)利用準(zhǔn)線,以及求出離心率,又因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn),確定方程.(2)將直線方程代入橢圓方程,根據(jù)中心對(duì)稱性和四點(diǎn)共圓，所以.所以三角形是直角三角形,,根據(jù)得出取得最大值.【詳解】（1）因?yàn)閮蓷l準(zhǔn)線之間的距離為，所以，又，故，因?yàn)?，所以，解得，因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)，所以，故，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，由得，解得.由橢圓的中心對(duì)稱性得，，因?yàn)樗狞c(diǎn)共圓，所以，所以，即，所以三角形是直角三角形，且，所以，即，故，所以，即，分離k，e得，，因?yàn)?，所以，令則，所以，令，則，易得當(dāng)，單調(diào)遞減，所以時(shí)，取最大值，即取得最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程,直線與橢圓的位置關(guān)系,含參分式的最值,屬于難題.10．如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C：(a＞b＞0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(﹣2,0)和,橢圓C上三點(diǎn)A,M,B與原點(diǎn)O構(gòu)成一個(gè)平行四邊形AMBO.（1）求橢圓C的方程；（2）若點(diǎn)B是橢圓C左頂點(diǎn),求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）若A,M,B,O四點(diǎn)共圓,求直線AB的斜率.【答案】（1）＋y2＝1；（2）M(－1,±)；（3）±【分析】(1)將點(diǎn)和代入橢圓＋＝1求解即可.(2)根據(jù)平行四邊形AMBO可知AM∥BO,且AM＝BO＝2.再設(shè)點(diǎn)M(x0,y0),則A(x0＋2,y0),代入橢圓C求解即可.(3)因?yàn)锳,M,B,O四點(diǎn)共圓,所以平行四邊形AMBO是矩形,且OA⊥OB,再聯(lián)立直線與橢圓的方程,結(jié)合韋達(dá)定理代入·＝x1x2＋y1y2＝0求解即可.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓＋＝1(a＞b＞0)過(guò)點(diǎn)和,所以a＝2,＋＝1,解得b2＝1,所以橢圓C的方程為＋y2＝1.（2）因?yàn)锽為左頂點(diǎn),所以B(－2,0).因?yàn)樗倪呅蜛MBO為平行四邊形,所以AM∥BO,且AM＝BO＝2.設(shè)點(diǎn)M(x0,y0),則A(x0＋2,y0).因?yàn)辄c(diǎn)M,A在橢圓C上,所以解得所以M(－1,±).（3）因?yàn)橹本€AB的斜率存在,所以設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋m,A(x1,y1),B(x2,y2).由消去y,得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0,則有x1＋x2＝,x1x2＝.因?yàn)槠叫兴倪呅蜛MBO,所以＝＋＝(x1＋x2,y1＋y2).因?yàn)閤1＋x2＝,所以y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝k·＋2m＝,所以M(,).因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓C上,所以將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入橢圓C的方程,化得4m2＝4k2＋1.①因?yàn)锳,M,B,O四點(diǎn)共圓,所以平行四邊形AMBO是矩形,且OA⊥OB,所以·＝x1x2＋y1y2＝0.因?yàn)閥1y2＝(kx1＋m)(kx1＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝,所以x1x2＋y1y2＝＋＝0,化得5m2＝4k2＋4.②由①②解得k2＝,m2＝3,此時(shí)△＞0,因此k＝±.所以所求直線AB的斜率為±.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓方程的基本求法,同時(shí)也考查了聯(lián)立直線與橢圓的方程,利用韋達(dá)定理列式表達(dá)斜率以及垂直的方法,進(jìn)而代入求解的問(wèn)題.屬于難題.11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知為橢圓上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的一點(diǎn)，過(guò)與軸平行的直線交橢圓的兩條準(zhǔn)線于點(diǎn)，，直線，交于點(diǎn).（1）若與的面積相等，求橢圓的離心率；（2）若，.①求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；②試判斷點(diǎn)，，，是否四點(diǎn)共圓，并說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）①；②，，，四點(diǎn)共圓，理由見(jiàn)解析.【分析】（1）設(shè)，，可表示出直線的方程，從而求得點(diǎn)坐標(biāo)；根據(jù)三角形面積相等可構(gòu)造關(guān)于的齊次方程，進(jìn)而求得離心率；（2）①根據(jù)，和橢圓的關(guān)系，可求得的值，進(jìn)而得到橢圓方程；②設(shè)過(guò)點(diǎn)，，三點(diǎn)的圓的方程為，代入點(diǎn)坐標(biāo)可求得方程為；驗(yàn)證可知點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程，由此得到四點(diǎn)共圓.【詳解】設(shè)，，，（1）由題意得：，.直線的方程為：，直線的方程為：，將直線與聯(lián)立可得：，即點(diǎn).與的面積相等，，，，即橢圓的離心率為.（2）①，，，，解得：，，，以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.②由①知：，，.設(shè)過(guò)點(diǎn)，，三點(diǎn)的圓的方程為，即.將代入該方程得：，過(guò)，，三點(diǎn)的圓的方程為：，將代入該方程左邊，則，點(diǎn)也在過(guò)點(diǎn)，，三點(diǎn)的圓上，從而點(diǎn)，，，四點(diǎn)共圓.【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓的綜合應(yīng)用問(wèn)題，涉及到橢圓離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程的求解、四點(diǎn)共圓問(wèn)題的證明；證明四點(diǎn)共圓問(wèn)題的關(guān)鍵是能夠通過(guò)三點(diǎn)坐標(biāo)確定三點(diǎn)所在圓的方程，進(jìn)而代入第四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，驗(yàn)證其滿足方程即可.12．（題文）（題文）已知點(diǎn)F(p2,0)，直線l:x=?p2，點(diǎn)Μ是l上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Μ垂直于（1）求點(diǎn)Ν的軌跡方程；（2）若p=2，直線y=x與點(diǎn)Ν的軌跡交于A、B兩點(diǎn)，試問(wèn)Ν的軌跡上是否存在兩點(diǎn)C、D，使得A、B、C、D四點(diǎn)共圓？若存在，求出圓的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）y2=2px；（2）存在a>72且a≠4，【解析】試題分析：（1）借助點(diǎn)在線段ΜF(xiàn)的中垂線上建立等式并化簡(jiǎn)即可；（2）依據(jù)題設(shè)條件建立方程,通過(guò)方程有無(wú)解的分析析作出推理和判斷即可.試題解析：解:（1）設(shè)Ν(x,y)，依題意，|ΝF|=|ΝΜ|，即化簡(jiǎn)整理得y2（2）把y=x與y2=4x聯(lián)立，解得Α(0,0)，Β(4,4)，則線段ΑΒ若存在C、D兩點(diǎn)，使得Α、Β、C、D四點(diǎn)共圓，則圓心必在直線y=?x+4上，設(shè)圓心坐標(biāo)(a,?a+4)，則半徑r=a∴圓的方程為(x?a)2將x=y24則y(y?4)(y2+4y+32?8a)=0，∴y1=0∴y2+4y+32?8a=0應(yīng)有除y1∴Δ>0，且32?8a≠0，42+4×4+32?8a≠0，解得a>72且∴存在a>72且a≠4，a≠8的無(wú)數(shù)個(gè)圓考點(diǎn)：(1)軌跡方程與探求方法；(2)圓的方程及簡(jiǎn)單高次方程的求解等有關(guān)知識(shí)的運(yùn)用.13．從拋物線上各點(diǎn)向軸作垂線段，記垂線段中點(diǎn)的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程，并說(shuō)明曲線是什么曲線；（2）過(guò)點(diǎn)的直線交曲線于兩點(diǎn)、，線段的垂直平分線交曲線于兩點(diǎn)、，探究是否存在直線使、、、四點(diǎn)共圓？若能，請(qǐng)求出圓的方程；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）曲線的方程為，曲線是焦點(diǎn)為的拋物線；（2）存在；圓的方程為或．【分析】（1）設(shè)拋物線上的任意點(diǎn)為，垂線段的中點(diǎn)為，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得出，代入等式化簡(jiǎn)可得出曲線的方程，進(jìn)而可得出曲線的形狀；（2）設(shè)直線的方程為，將直線的方程與曲線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出，求出線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)一步求出線段的中垂線的方程，求出，根據(jù)四點(diǎn)共圓結(jié)合垂徑定理可得出關(guān)于的等式，求出的值，進(jìn)一步可求得圓的方程，由此可得出結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)拋物線上的任意點(diǎn)為，垂線段的中點(diǎn)為，故，則，代入得，得曲線的方程為，所以曲線是焦點(diǎn)為的拋物線；（2）若直線與軸重合，則直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意.設(shè)直線的方程為，根據(jù)題意知，設(shè)、，聯(lián)立，得，，則，，則，且線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，即，所以線段中點(diǎn)為，因?yàn)橹本€為線段的垂直平分線，可設(shè)直線的方程為，則，故，聯(lián)立，得，設(shè)、，則，，故，線段中點(diǎn)為，假設(shè)、、、四點(diǎn)共圓，則弦的中垂線與弦中垂線的交點(diǎn)必為圓心，因?yàn)闉榫€段的中垂線，則可知弦的中點(diǎn)必為圓心，則，在中，，所以，則，故，即，解得，即，所以存在直線，使、、、四點(diǎn)共圓，且圓心為弦的中點(diǎn)，圓的方程為或．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程有如下幾種方法：（1）直譯法：直接將條件翻譯成等式，整理化簡(jiǎn)后即得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）定義法：如果能確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫(xiě)出方程；（3）相關(guān)點(diǎn)法：用動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)、表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)、，然后代入點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的曲線方程，整理化簡(jiǎn)可得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（4）參數(shù)法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)、之間的直接關(guān)系難以找到時(shí)，往往先尋找、與某一參數(shù)得到方程，即為動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（5）交軌法：將兩動(dòng)曲線方程中的參數(shù)消去，得到不含參數(shù)的方程，即為兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡方程.14．在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，是拋物線上上一點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，.（1）求拋物線的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線與準(zhǔn)線交于點(diǎn)，設(shè)的中點(diǎn)為，若、、四點(diǎn)共圓，求直線的方程.【答案】（1）（2）【分析】（1）由拋物線的定義可得，即可求出，從而得到拋物線方程；（2）設(shè)直線的方程為，代入，得.設(shè)，，列出韋達(dá)定理，表示出中點(diǎn)的坐標(biāo)，若、、、四點(diǎn)共圓，再結(jié)合，得，則即可求出參數(shù)，從而得解；【詳解】解：（1）由拋物線定義，得，解得，所以拋物線的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，代入，得.設(shè)，，則，.由，，得，所以.因?yàn)橹本€的斜率為，所以直線的斜率為，則直線的方程為.由解得.若、、、四點(diǎn)共圓，再結(jié)合，得，則，解得，所以直線的方程為.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義及性質(zhì)的應(yīng)用，直線與拋物線綜合問(wèn)題，屬于中檔題.15．已知橢圓C：的左?右頂點(diǎn)分別為A，B，離心率為，P是C上異于A，B的動(dòng)點(diǎn).（1）證明：直線AP，BP的斜率之積為定值，并求出該定值.（2）設(shè)，直線AP，BP分別交直線l：x=3于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，試