新高考數(shù)學之圓錐曲線綜合講義第28講四點共圓問題(原卷版+解析)

第28講四點共圓問題一、解答題1．已知直線交拋物線于兩點．（1）設直線與軸的交點為．若，求實數(shù)的值；（2）若點在拋物線上，且關于直線對稱，求證：四點共圓．2．已知橢圓上三點、、與原點構成一個平行四邊形．（1）若點是橢圓的左頂點，求點的坐標；（2）若、、、四點共圓，求直線的斜率．3．已知拋物線：（）上的點到其焦點的距離為1．（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）求直線：交拋物線于兩點、，線段的垂直平分線交拋物線于兩點、，求證：、、、四點共圓．4．已知直線與軸，軸分別交于，，線段的中垂線與拋物線有兩個不同的交點、．（1）求的取值范圍；（2）是否存在，使得，，，四點共圓，若存在，請求出的值，若不存在，請說明理由．5．已知斜率為的直線交橢圓于，兩點，的垂直平分線與橢圓交于，兩點，點是線段的中點.（1）若，求直線的方程以及的取值范圍；（2）不管怎么變化，都有，，，四點共圓，求的取值范圍.6．已知橢圓的左，右焦點分別為，，且，直線與橢圓交于，兩點．（Ⅰ）若△的周長為，求橢圓的標準方程；（Ⅱ）若，且，，，四點共圓，求橢圓離心率的值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，設為橢圓上一點，且直線的斜率，試求直線的斜率的取值范圍．7．如圖，在平面直角坐標系中，已知橢圓的右焦點為，為右準線上一點．點在橢圓上，且．（1）若橢圓的離心率為，短軸長為．求橢圓的方程；（2）若在軸上方存在兩點，使四點共圓，求橢圓離心率的取值范圍．8．已知拋物線的焦點為F，準線為為坐標原點，過F的直線m與拋物線E交于兩點，過F且與直線m垂直的直線n與準線交于點M．（1）若直線m的斜率為，求的值；（2）設的中點為N，若四點共圓，求直線m的方程．9．如圖，已知橢圓C的方程為，為半焦距，橢圓C的左、右焦點分別為，橢圓C的離心率為．（1）若橢圓過點，兩條準線之間的距離為，求橢圓C的標準方程；（2）設直線與橢圓C相交于，兩點，且四點共圓，若，試求的最大值．10．如圖,在平面直角坐標系xOy中,橢圓C：(a＞b＞0)經過點(﹣2,0)和,橢圓C上三點A,M,B與原點O構成一個平行四邊形AMBO.（1）求橢圓C的方程；（2）若點B是橢圓C左頂點,求點M的坐標；（3）若A,M,B,O四點共圓,求直線AB的斜率.11．如圖，在平面直角坐標系中，已知為橢圓上異于長軸端點的一點，過與軸平行的直線交橢圓的兩條準線于點，，直線，交于點.（1）若與的面積相等，求橢圓的離心率；（2）若，.①求橢圓的標準方程；②試判斷點，，，是否四點共圓，并說明理由.12．（題文）（題文）已知點F(p2,0)，直線l:x=?p2，點Μ是l上的動點，過點Μ垂直于（1）求點Ν的軌跡方程；（2）若p=2，直線y=x與點Ν的軌跡交于A、B兩點，試問Ν的軌跡上是否存在兩點C、D，使得A、B、C、D四點共圓？若存在，求出圓的方程；若不存在，請說明理由．13．從拋物線上各點向軸作垂線段，記垂線段中點的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程，并說明曲線是什么曲線；（2）過點的直線交曲線于兩點、，線段的垂直平分線交曲線于兩點、，探究是否存在直線使、、、四點共圓？若能，請求出圓的方程；若不能，請說明理由．14．在平面直角坐標系中，已知拋物線的焦點為，準線為，是拋物線上上一點，且點的橫坐標為，.（1）求拋物線的方程；（2）過點的直線與拋物線交于、兩點，過點且與直線垂直的直線與準線交于點，設的中點為，若、、四點共圓，求直線的方程.15．已知橢圓C：的左?右頂點分別為A，B，離心率為，P是C上異于A，B的動點.（1）證明：直線AP，BP的斜率之積為定值，并求出該定值.（2）設，直線AP，BP分別交直線l：x=3于M，N兩點，O為坐標原點，試問：在x軸上是否存在定點T，使得O，M，N，T四點共圓？若存在，求出點T的坐標；若不存在，請說明理由.16．在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線的焦點為F，準線為l，P是拋物線E上一點，且點P的橫坐標為2，.（1）求拋物線E的方程；（2）過點F的直線m與拋物線E交于A、B兩點，過點F且與直線m垂直的直線n與準線l交于點M，設AB的中點為N，若O、M、N、F四點共圓，求直線m的方程.第28講四點共圓問題一、解答題1．已知直線交拋物線于兩點．（1）設直線與軸的交點為．若，求實數(shù)的值；（2）若點在拋物線上，且關于直線對稱，求證：四點共圓．【答案】（1）；（2）證明見解析．【分析】（1）設，直線方程代入拋物線方程后由判別式得的范圍，由韋達定理得，再由向量的數(shù)乘可得＝0，結合韋達定理可得值；（2）設，由對稱性得，．再由在拋物線上，代入變形得與的關系，然后計算，得，同理，得證四點共圓．【詳解】解：由得．設，則．因為直線與相交，所以得．（1）由，得，所以，解得從而，因為所以解得．（2）設，因為兩點關于直線對稱，則解得．又于是解得．又點在拋物線上，于是．因為所以，于是因此，同理于是點在以為直徑的圓上，即四點共圓．【點睛】方法點睛：本題考查直線與拋物線相交問題，解題方法是設而不求的思想方法，如設交點坐標為，直線方程代入拋物線方程后應用韋達定理可得，再利用向量的線性運算求得關系，從而可求得值．2．已知橢圓上三點、、與原點構成一個平行四邊形．（1）若點是橢圓的左頂點，求點的坐標；（2）若、、、四點共圓，求直線的斜率．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由已知可得，由，且，設，代入橢圓方程解方程即可得解；（2）因為、、、四點共圓，則平行四邊形是矩形且，設直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)韋達定理代入，化簡計算求解即可.【詳解】解析：（1）如圖所示：因為，四邊形為平行四邊形，所以，且．設點，則因為點M、A在橢圓C上，所以，解得，所以．（2）因為直線的斜率存在，所以設直線的方程為，，．由消去y得，則有，．因為平行四邊形，所以．因為，所以，所以．因為點M在橢圓C上，所以將點M的坐標代入橢圓C的方程化得．①因為A、M、B、O四點共圓，所以平行四邊形是矩形，且，所以．因為，所以，化得．②由①②解得，，此時，因此．所以所求直線的斜率為．【點睛】本題主要考查了聯(lián)立直線與橢圓的方程利用韋達定理列式表達斜率以及垂直的方法進而代入求解的問題，考查計算能力和邏輯推理能力，屬于難題.3．已知拋物線：（）上的點到其焦點的距離為1．（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）求直線：交拋物線于兩點、，線段的垂直平分線交拋物線于兩點、，求證：、、、四點共圓．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）證明見解析.【分析】（Ⅰ）根據(jù)拋物線的定義可得點到其焦點的距離等于該點到準線距離，即可求出，從而得到拋物線方程，再計算出參數(shù)的值；（Ⅱ）設，，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達定理，即可求出線段的中點的坐標，因為直線為線段的垂直平分線，直線的方程為，設，，求出線段的中點坐標，再利用勾股定理計算可得；【詳解】解：（Ⅰ）的準線為，因為點到其焦點的距離等于該點到準線距離，所以，故，即，又在上，所以；（Ⅱ）設，，聯(lián)立，得，則，，且，即，則，且線段中點的縱坐標為，則，所以線段中點為，因為直線為線段的垂直平分線，直線的方程為，聯(lián)立，得，設，，則，故，線段中點為，因為，，所以，所以點在以為直徑的圓上，同理點在以為直徑的圓上，所以、、、四點共圓．【點睛】(1)直線與拋物線的位置關系和直線與橢圓、雙曲線的位置關系類似，一般要用到根與系數(shù)的關系；(2)有關直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式．4．已知直線與軸，軸分別交于，，線段的中垂線與拋物線有兩個不同的交點、．（1）求的取值范圍；（2）是否存在，使得，，，四點共圓，若存在，請求出的值，若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）存在，【分析】（1）求出兩點坐標，得出其中垂線方程為，與拋物線方程聯(lián)立根據(jù)即可得結果；（2）設，，線段的中點為，將（1）和韋達定理可得，，結合四點共圓的特征得，代入兩點間距離公式可解得的值.【詳解】（1）因為直線與軸，軸分別交于，.所以，，所以線段的中點為，，所以線段的中垂線的方程為，即.將代入，得，因為與有兩個不同的交點，.所以，又，所以，即的取值范圍為.（2）若，，，四點共圓，由對稱性可知，圓心應為線段的中點，設，，線段的中點為，則，所以，，若，，C，四點共圓，則，即，所以.所以，解得，又滿足，所以存在，使得，，C，四點共圓.【點睛】本題主要考查了直線與拋物線的位置關系，圓內接四邊形的特征，考查了學生的計算能力，屬于中檔題.5．已知斜率為的直線交橢圓于，兩點，的垂直平分線與橢圓交于，兩點，點是線段的中點.（1）若，求直線的方程以及的取值范圍；（2）不管怎么變化，都有，，，四點共圓，求的取值范圍.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）將直線的方程代入橢圓方程，再利用根與系數(shù)的關系可得，從而可求出的值，進而可得到直線的方程，由判別式大于零可求出的取值范圍；（2）設直線的方程為，代入橢圓方程中，利用根與系數(shù)的關系，再利用弦長公式表示出,由于是的垂直平分線，所以同理可表示的長，求出中點的橫坐標，則可求出點到的距離，由，，，四點共圓，將，，代入化簡可得，從而可求出的值，進而可求得【詳解】設，.（1）當時，直線的方程為，將方程代入得：.①由，解得，此時的方程為.將代入①，得.由，解得.（2）設直線的方程為，將方程代入得：.②由題意，即.，同理得，所以中點的橫坐標，點到的距離為，由，，，四點共圓，即，③不管怎么變化，都有，，，四點共圓，即上式恒成立，所以，解得，此時③式成立.代入②，由得.所以的取值范圍為.【點睛】關鍵點點睛：此題考查直線與橢圓的位置關系，考查計算求解能力，解題的關鍵是由，，，四點共圓，將，，代入化簡可得，從而可求出的值，進而可求得，考查數(shù)學轉化思想，屬于較難題6．已知橢圓的左，右焦點分別為，，且，直線與橢圓交于，兩點．（Ⅰ）若△的周長為，求橢圓的標準方程；（Ⅱ）若，且，，，四點共圓，求橢圓離心率的值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，設為橢圓上一點，且直線的斜率，試求直線的斜率的取值范圍．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）．（Ⅲ）．【解析】試題解析：（Ⅰ）由題意得，根據(jù)，得．結合，解得所以，橢圓的方程為．（Ⅱ）（解法一）由得．設．所以，由、互相平分且共圓，易知，，因為，，所以．即，所以有結合．解得，所以離心率．（若設相應給分）（解法二）設，又、互相平分且共圓，所以、是圓的直徑，所以，又由橢圓及直線方程綜合可得：前兩個方程解出，將其帶入第三個方程并結合，解得：，．…8分（Ⅲ）由（Ⅱ）結論，橢圓方程為，由題可設，，所以，又，即，由可知，．考點：1．橢圓的標準方程及其幾何性質；2．直線與橢圓的位置關系．7．如圖，在平面直角坐標系中，已知橢圓的右焦點為，為右準線上一點．點在橢圓上，且．（1）若橢圓的離心率為，短軸長為．求橢圓的方程；（2）若在軸上方存在兩點，使四點共圓，求橢圓離心率的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）設橢圓的焦距為，由題意，可得，即可求得橢圓的標準方程；（2）設，，，，可得的外接圓即為以為直徑的圓，可得，根據(jù)點，均在軸上方，可得，解得即可；【詳解】解：（1）設橢圓的焦距為，由題意，可得，解得，，橢圓的方程為，（2）設，，，，，則的外接圓即為以為直徑的圓，由題意，焦點，原點均在該圓上，，消去可得，，點，均在軸上方，，即，，，，故的范圍為．【點睛】本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質，直線的圓錐曲線的位置關系，考查圓的方程及點到直線的距離公式，直線的斜率公式，考查計算能力，解題時要認真審題，屬于中檔題．8．已知拋物線的焦點為F，準線為為坐標原點，過F的直線m與拋物線E交于兩點，過F且與直線m垂直的直線n與準線交于點M．（1）若直線m的斜率為，求的值；（2）設的中點為N，若四點共圓，求直線m的方程．【答案】（1）或；（2）．【分析】（1）由拋物線的定義建立方程即可.（2）設直線m的方程為，用表示坐標，再結合條件得到，建立關于的方程即可獲解.【詳解】（1）設，當時，設，則，直線m的斜率為直線m的傾斜角為，由拋物線的定義，有，，解得：，若時，同理可得：，或．（2）設直線m的方程為，代入，得．設，則．由，得，所以．因為直線m的斜率為，所以直線n的斜率為，則直線n的方程為．由解得．若四點共圓，再結合，得，則，解得，所以直線m的方程為．【點睛】（1）有些題目可以利用拋物線的定義結合幾何關系建立方程獲解；（2）直線與拋物線的位置關系和直線與橢圓、雙曲線的位置關系類似，一般要用到根與系數(shù)的關系.9．如圖，已知橢圓C的方程為，為半焦距，橢圓C的左、右焦點分別為，橢圓C的離心率為．（1）若橢圓過點，兩條準線之間的距離為，求橢圓C的標準方程；（2）設直線與橢圓C相交于，兩點，且四點共圓，若，試求的最大值．【答案】（1）（2）【分析】(1)利用準線,以及求出離心率,又因為橢圓過點,確定方程.(2)將直線方程代入橢圓方程,根據(jù)中心對稱性和四點共圓，所以.所以三角形是直角三角形,,根據(jù)得出取得最大值.【詳解】（1）因為兩條準線之間的距離為，所以，又，故，因為，所以，解得，因為橢圓過點，所以，故，，所以橢圓的標準方程為.（2）設，由得，解得.由橢圓的中心對稱性得，，因為四點共圓，所以，所以，即，所以三角形是直角三角形，且，所以，即，故，所以，即，分離k，e得，，因為，所以，令則，所以，令，則，易得當，單調遞減，所以時，取最大值，即取得最大值為．【點睛】本題考查橢圓方程,直線與橢圓的位置關系,含參分式的最值,屬于難題.10．如圖,在平面直角坐標系xOy中,橢圓C：(a＞b＞0)經過點(﹣2,0)和,橢圓C上三點A,M,B與原點O構成一個平行四邊形AMBO.（1）求橢圓C的方程；（2）若點B是橢圓C左頂點,求點M的坐標；（3）若A,M,B,O四點共圓,求直線AB的斜率.【答案】（1）＋y2＝1；（2）M(－1,±)；（3）±【分析】(1)將點和代入橢圓＋＝1求解即可.(2)根據(jù)平行四邊形AMBO可知AM∥BO,且AM＝BO＝2.再設點M(x0,y0),則A(x0＋2,y0),代入橢圓C求解即可.(3)因為A,M,B,O四點共圓,所以平行四邊形AMBO是矩形,且OA⊥OB,再聯(lián)立直線與橢圓的方程,結合韋達定理代入·＝x1x2＋y1y2＝0求解即可.【詳解】（1）因為橢圓＋＝1(a＞b＞0)過點和,所以a＝2,＋＝1,解得b2＝1,所以橢圓C的方程為＋y2＝1.（2）因為B為左頂點,所以B(－2,0).因為四邊形AMBO為平行四邊形,所以AM∥BO,且AM＝BO＝2.設點M(x0,y0),則A(x0＋2,y0).因為點M,A在橢圓C上,所以解得所以M(－1,±).（3）因為直線AB的斜率存在,所以設直線AB的方程為y＝kx＋m,A(x1,y1),B(x2,y2).由消去y,得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0,則有x1＋x2＝,x1x2＝.因為平行四邊形AMBO,所以＝＋＝(x1＋x2,y1＋y2).因為x1＋x2＝,所以y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝k·＋2m＝,所以M(,).因為點M在橢圓C上,所以將點M的坐標代入橢圓C的方程,化得4m2＝4k2＋1.①因為A,M,B,O四點共圓,所以平行四邊形AMBO是矩形,且OA⊥OB,所以·＝x1x2＋y1y2＝0.因為y1y2＝(kx1＋m)(kx1＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝,所以x1x2＋y1y2＝＋＝0,化得5m2＝4k2＋4.②由①②解得k2＝,m2＝3,此時△＞0,因此k＝±.所以所求直線AB的斜率為±.【點睛】本題主要考查了橢圓方程的基本求法,同時也考查了聯(lián)立直線與橢圓的方程,利用韋達定理列式表達斜率以及垂直的方法,進而代入求解的問題.屬于難題.11．如圖，在平面直角坐標系中，已知為橢圓上異于長軸端點的一點，過與軸平行的直線交橢圓的兩條準線于點，，直線，交于點.（1）若與的面積相等，求橢圓的離心率；（2）若，.①求橢圓的標準方程；②試判斷點，，，是否四點共圓，并說明理由.【答案】（1）；（2）①；②，，，四點共圓，理由見解析.【分析】（1）設，，可表示出直線的方程，從而求得點坐標；根據(jù)三角形面積相等可構造關于的齊次方程，進而求得離心率；（2）①根據(jù)，和橢圓的關系，可求得的值，進而得到橢圓方程；②設過點，，三點的圓的方程為，代入點坐標可求得方程為；驗證可知點坐標滿足方程，由此得到四點共圓.【詳解】設，，，（1）由題意得：，.直線的方程為：，直線的方程為：，將直線與聯(lián)立可得：，即點.與的面積相等，，，，即橢圓的離心率為.（2）①，，，，解得：，，，以橢圓的標準方程為.②由①知：，，.設過點，，三點的圓的方程為，即.將代入該方程得：，過，，三點的圓的方程為：，將代入該方程左邊，則，點也在過點，，三點的圓上，從而點，，，四點共圓.【點睛】本題考查直線與橢圓的綜合應用問題，涉及到橢圓離心率和標準方程的求解、四點共圓問題的證明；證明四點共圓問題的關鍵是能夠通過三點坐標確定三點所在圓的方程，進而代入第四個點的坐標，驗證其滿足方程即可.12．（題文）（題文）已知點F(p2,0)，直線l:x=?p2，點Μ是l上的動點，過點Μ垂直于（1）求點Ν的軌跡方程；（2）若p=2，直線y=x與點Ν的軌跡交于A、B兩點，試問Ν的軌跡上是否存在兩點C、D，使得A、B、C、D四點共圓？若存在，求出圓的方程；若不存在，請說明理由．【答案】（1）y2=2px；（2）存在a>72且a≠4，【解析】試題分析：（1）借助點在線段ΜF(xiàn)的中垂線上建立等式并化簡即可；（2）依據(jù)題設條件建立方程,通過方程有無解的分析析作出推理和判斷即可.試題解析：解:（1）設Ν(x,y)，依題意，|ΝF|=|ΝΜ|，即化簡整理得y2（2）把y=x與y2=4x聯(lián)立，解得Α(0,0)，Β(4,4)，則線段ΑΒ若存在C、D兩點，使得Α、Β、C、D四點共圓，則圓心必在直線y=?x+4上，設圓心坐標(a,?a+4)，則半徑r=a∴圓的方程為(x?a)2將x=y24則y(y?4)(y2+4y+32?8a)=0，∴y1=0∴y2+4y+32?8a=0應有除y1∴Δ>0，且32?8a≠0，42+4×4+32?8a≠0，解得a>72且∴存在a>72且a≠4，a≠8的無數(shù)個圓考點：(1)軌跡方程與探求方法；(2)圓的方程及簡單高次方程的求解等有關知識的運用.13．從拋物線上各點向軸作垂線段，記垂線段中點的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程，并說明曲線是什么曲線；（2）過點的直線交曲線于兩點、，線段的垂直平分線交曲線于兩點、，探究是否存在直線使、、、四點共圓？若能，請求出圓的方程；若不能，請說明理由．【答案】（1）曲線的方程為，曲線是焦點為的拋物線；（2）存在；圓的方程為或．【分析】（1）設拋物線上的任意點為，垂線段的中點為，根據(jù)中點坐標公式得出，代入等式化簡可得出曲線的方程，進而可得出曲線的形狀；（2）設直線的方程為，將直線的方程與曲線的方程聯(lián)立，列出韋達定理，求出，求出線段的中點的坐標，進一步求出線段的中垂線的方程，求出，根據(jù)四點共圓結合垂徑定理可得出關于的等式，求出的值，進一步可求得圓的方程，由此可得出結論.【詳解】（1）設拋物線上的任意點為，垂線段的中點為，故，則，代入得，得曲線的方程為，所以曲線是焦點為的拋物線；（2）若直線與軸重合，則直線與曲線只有一個交點，不合乎題意.設直線的方程為，根據(jù)題意知，設、，聯(lián)立，得，，則，，則，且線段中點的縱坐標為，即，所以線段中點為，因為直線為線段的垂直平分線，可設直線的方程為，則，故，聯(lián)立，得，設、，則，，故，線段中點為，假設、、、四點共圓，則弦的中垂線與弦中垂線的交點必為圓心，因為為線段的中垂線，則可知弦的中點必為圓心，則，在中，，所以，則，故，即，解得，即，所以存在直線，使、、、四點共圓，且圓心為弦的中點，圓的方程為或．【點睛】方法點睛：求動點的軌跡方程有如下幾種方法：（1）直譯法：直接將條件翻譯成等式，整理化簡后即得動點的軌跡方程；（2）定義法：如果能確定動點的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫出方程；（3）相關點法：用動點的坐標、表示相關點的坐標、，然后代入點的坐標所滿足的曲線方程，整理化簡可得出動點的軌跡方程；（4）參數(shù)法：當動點坐標、之間的直接關系難以找到時，往往先尋找、與某一參數(shù)得到方程，即為動點的軌跡方程；（5）交軌法：將兩動曲線方程中的參數(shù)消去，得到不含參數(shù)的方程，即為兩動曲線交點的軌跡方程.14．在平面直角坐標系中，已知拋物線的焦點為，準線為，是拋物線上上一點，且點的橫坐標為，.（1）求拋物線的方程；（2）過點的直線與拋物線交于、兩點，過點且與直線垂直的直線與準線交于點，設的中點為，若、、四點共圓，求直線的方程.【答案】（1）（2）【分析】（1）由拋物線的定義可得，即可求出，從而得到拋物線方程；（2）設直線的方程為，代入，得.設，，列出韋達定理，表示出中點的坐標，若、、、四點共圓，再結合，得，則即可求出參數(shù)，從而得解；【詳解】解：（1）由拋物線定義，得，解得，所以拋物線的方程為.（2）設直線的方程為，代入，得.設，，則，.由，，得，所以.因為直線的斜率為，所以直線的斜率為，則直線的方程為.由解得.若、、、四點共圓，再結合，得，則，解得，所以直線的方程為.【點睛】本題考查拋物線的定義及性質的應用，直線與拋物線綜合問題，屬于中檔題.15．已知橢圓C：的左?右頂點分別為A，B，離心率為，P是C上異于A，B的動點.（1）證明：直線AP，BP的斜率之積為定值，并求出該定值.（2）設，直線AP，BP分別交直線l：x=3于M，N兩點，O為坐標原點，試