蘇科版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步精講精練2.7有理數(shù)的乘方(六大題型)(原卷版+解析)

（蘇科版）七年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)《第2章有理數(shù)》2.7有理數(shù)的乘方知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)一有理數(shù)的乘方的意義◆有理數(shù)乘方的定義：求n個(gè)相同因數(shù)積的運(yùn)算，叫做乘方．一般地，n個(gè)相同的數(shù)a相乘，簡(jiǎn)記為，即.乘方的結(jié)果叫做冪，在an中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)．a(chǎn)n讀作a的n次方，也可以讀作a的n次冪．（將an看作是a的n次方的結(jié)果時(shí)）【注意】（1）一個(gè)數(shù)可以看作這個(gè)數(shù)本身的一次方，例如，5就是51，指數(shù)1通常省略不寫.（2）指數(shù)是2時(shí)讀作平方（或二次方），指數(shù)是3時(shí)讀作立方（或三次方）.（3）指數(shù)n是正整數(shù)，底數(shù)a可以是任意有理數(shù).知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)二有理數(shù)的乘方的運(yùn)算◆1、乘方運(yùn)算的符號(hào)法則：（1）負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；（2）正數(shù)的任何正整數(shù)次冪都是正數(shù)，0的任何正整數(shù)次冪都是0.◆2、有理數(shù)的乘方運(yùn)算計(jì)算一個(gè)有理數(shù)的乘方時(shí)，應(yīng)將乘方運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，先確定冪的符號(hào)，再計(jì)算冪的絕對(duì)值.有相反意義的量就可以用負(fù)數(shù)表示．知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)三科學(xué)記數(shù)法◆1、科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)（1）科學(xué)記數(shù)法：把一個(gè)大于10的數(shù)記成a×10n的形式，其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，n是正整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法．【科學(xué)記數(shù)法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n為正整數(shù)．】（2）規(guī)律方法總結(jié)：①科學(xué)記數(shù)法中a的要求和10的指數(shù)n的表示規(guī)律為關(guān)鍵，由于10的指數(shù)比原來的整數(shù)位數(shù)少1；按此規(guī)律，先數(shù)一下原數(shù)的整數(shù)位數(shù)，即可求出10的指數(shù)n．②記數(shù)法要求是大于10的數(shù)可用科學(xué)記數(shù)法表示，實(shí)質(zhì)上絕對(duì)值大于10的負(fù)數(shù)同樣可用此法表示，只是前面多一個(gè)負(fù)號(hào)．◆2、科學(xué)記數(shù)法—原數(shù)（1）科學(xué)記數(shù)法a×10n表示的數(shù)，“還原”成通常表示的數(shù)，就是把a(bǔ)的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)n位所得到的數(shù)．（2）把一個(gè)數(shù)表示成科學(xué)記數(shù)法的形式及把科學(xué)記數(shù)法還原是兩個(gè)互逆的過程，這也可以作為檢查用科學(xué)記數(shù)法表示一個(gè)數(shù)是否正確的方法．題型一有理數(shù)乘方的概念題型一有理數(shù)乘方的概念【例題1】（2023?普寧市一模）式子﹣22的意義是（）A．2的平方 B．﹣2的平方 C．2的平方的相反數(shù) D．﹣2的平方的相反數(shù)解題技巧提煉有理數(shù)乘方的定義：求n個(gè)相同因數(shù)積的運(yùn)算，叫做乘方．乘方的結(jié)果叫做冪，在an中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)．a(chǎn)n讀作a的n次方．（將an看作是a的n次方的結(jié)果時(shí)，也可以讀作a的n次冪．）【變式1-1】（2022秋?膠州市校級(jí)月考）比較﹣33與（﹣3）3，下列說法正確的是（）A．它們的底數(shù)相同，指數(shù)也相同 B．它們所表示的意義相同，但運(yùn)算結(jié)果不相同 C．它們底數(shù)相同，但指數(shù)不相同 D．雖然他們底數(shù)不同，但是運(yùn)算結(jié)果相同【變式1-2】把（﹣3）×（﹣3）×（﹣3）寫成冪的形式是，底數(shù)是，指數(shù)是．【變式1-3】﹣53表示的意義為（）A．（﹣5）×（﹣5）×（﹣5） B．﹣5×5×5 C．（﹣5）+（﹣5）+（﹣5） D．（﹣5）×3【變式1-4】（2023春?肇東市期末）已知4個(gè)數(shù)中：（﹣1）2005，﹣（﹣1.5），﹣32，0，其中正數(shù)的個(gè)數(shù)有（）A．1 B．2 C．3 D．4【變式1-5】設(shè)n是一個(gè)正整數(shù)，則10n是（）A．10個(gè)n相乘所得的積 B．一個(gè)（n﹣1）位整數(shù) C．一個(gè)n位整數(shù) D．一個(gè)1后面有n個(gè)0的數(shù)【變式1-6】（2023?許昌一模）計(jì)算2×2×?×2︷A．2m3n B．2m3n C．【變式1-7】（2022秋?懷仁市校級(jí)期末）設(shè)a是任意有理數(shù)，下列說法正確的是（）A．（a+1）2的值總是正的 B．a(chǎn)2+1的值總是正的 C．﹣（a+1）2的值總是負(fù)的 D．a(chǎn)2+1的值中，最大值是1題型二有理數(shù)的乘方運(yùn)算題型二有理數(shù)的乘方運(yùn)算【例題2】下列各組數(shù)中，結(jié)果一定相等的是（）A．﹣22與（﹣2）2 B．22與（﹣2）2 C．22與﹣（﹣2）2 D．（﹣2）2與﹣（﹣2）解題技巧提煉1、有理數(shù)的乘方運(yùn)算與有理數(shù)的加減乘除運(yùn)算一樣，首先要確定冪的符號(hào)，然后再計(jì)算冪的絕對(duì)值；2、乘方的符號(hào)法則：正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；0的任何正整數(shù)次冪都是0．【變式2-1】下列各組數(shù)中，運(yùn)算結(jié)果相等的是（）A．﹣42和34 B．﹣53和（﹣5）3 C．﹣42和（﹣4）2 D．(23【變式2-2】計(jì)算：(?25)3=【變式2-3】（2023春?香坊區(qū)校級(jí)期中）下列各對(duì)數(shù)中，不相等的一對(duì)數(shù)是（）A．（﹣3）3與﹣33 B．|﹣33|與|33| C．（﹣3）4與﹣34 D．（﹣3）2與32【變式2-4】若a＝﹣2×（13）2，b＝（﹣2×13）2，c＝﹣（2×A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．c＞a＞b【變式2-5】（2022?新都區(qū)模擬）計(jì)算（﹣2）×（﹣5）2的結(jié)果等于（）A．10 B．﹣50 C．50 D．20【變式2-6】計(jì)算：；（2）；；（4）；（5）（﹣1）9；（6）（﹣1）12；【變式2-7】計(jì)算：(1)－(－3)3;(2)(－eq\f(3,4))2；(3)(－eq\f(2,3))3;(4)(－1)2015.題型三非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方題型三非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方【例題3】（2022秋?陳倉區(qū)期末）已知|3a+1|+（b﹣3）2＝0，則（ab）2022的值是（）A．1 B．﹣1 C．0 D．3解題技巧提煉偶次方具有非負(fù)性．任意一個(gè)數(shù)的偶次方都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)幾個(gè)數(shù)或式的偶次方相加和為0時(shí)，則其中的每一項(xiàng)都必須等于0．【變式3-1】（2022秋?澄海區(qū)期末）若（m﹣2）2與|n+3|互為相反數(shù)，則nm的值是（）A．﹣8 B．8 C．﹣9 D．9【變式3-2】（2022秋?嘉祥縣期末）已知a，b滿足|a﹣3|+（b+2）2＝0，則式子（a+b）2022的值是（）A．1 B．﹣1 C．2022 D．﹣2022【變式3-3】（2022秋?越城區(qū)期中）根據(jù)右邊的數(shù)值轉(zhuǎn)換器，當(dāng)輸入的x與y滿足|x+1|+(y?1【變式3-4】（2023?沙坪壩區(qū)校級(jí)開學(xué)）|x+y﹣3|+（m﹣n+1）2＝0，則n﹣m﹣2x﹣2y的值為（）A．﹣7 B．7 C．﹣5 D．5【變式3-5】（2022秋?龍馬潭區(qū)期中）如果|a﹣1|+（b+2）2+|c﹣3|＝0，求（a+b）2018﹣3abc的值．【變式3-6】已知有理數(shù)x，y，z，且|x﹣3|+2|y+1|+7（2z+1）2＝0，求x+y+z的相反數(shù)的倒數(shù)．【變式3-7】如果有理數(shù)a、b滿足|ab﹣2|+（1﹣b）2＝0，試求1ab題型四乘方與相反數(shù)、倒數(shù)、絕對(duì)值等的綜合題型四乘方與相反數(shù)、倒數(shù)、絕對(duì)值等的綜合【例題4】已知：|a|＝3，|b|＝2，且a＜b，求（a+b）3的值．解題技巧提煉1、互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的偶次冪相等、奇次冪仍互為相反數(shù)；2、相反數(shù)是它本身的數(shù)是0；3、倒數(shù)等于它本身的數(shù)是1和﹣1；4、絕對(duì)值和偶次方都具有非負(fù)性.【變式4-1】下列各數(shù)中，互為相反數(shù)的是（）A．|﹣1|和1 B．﹣3和﹣（﹣2） C．（﹣2）2和﹣22 D．﹣3和1【變式4-2】已知a、b互為相反數(shù)，e的絕對(duì)值為3，m與n互為倒數(shù)，則a+b3A．1 B．3 C．0 D．無法確定【變式4-3】（2022春?梁山縣期中）已知|x|＝2，y2＝9，且x＞y，求x+y的值.【變式4-4】（2022秋?東西湖區(qū)期中）已知|a﹣2|＝3，（b﹣2）2＝1，且ab＜0，求a+b的值．【變式4-5】已知a是絕對(duì)值最小的有理數(shù)，b是倒數(shù)等于本身的數(shù)，c的平方等于4，求a+b+c的值．【變式4-6】已知（x+3）2與|y﹣2|互為相反數(shù)，z是絕對(duì)值最小的有理數(shù)，求（x+y）y+xyz的值．【變式4-7】（2022秋?雙遼市期中）已知|a|＝5，b2＝4，c3＝﹣8．若a＜b＜0，求a+b+c的值．【變式4-8】（2022秋?磁縣期中）已知a與﹣b互為相反數(shù)，﹣c與d互為倒數(shù)，|x|＝1，求2x2+（a﹣b+cd）x+（a﹣b）2022+（﹣cd）2023的值．題型五利用有理數(shù)的乘方解決實(shí)際問題題型五利用有理數(shù)的乘方解決實(shí)際問題【例題5】（2022秋?福田區(qū)校級(jí)期末）面食不僅是中華民族飲食文化的重要組成部分，也是世界的面食之根其中，“拉面”遠(yuǎn)播世界各地，制作方法是：用一根很粗的面條，把兩頭捏合在一起拉伸，再捏合，反復(fù)幾次，這根很粗的面條就被拉成許多細(xì)的面條，第一次捏合變2根細(xì)面條，第二次捏合變4根細(xì)面條，第三次捏合變8根細(xì)面條，這樣捏合到第n次后可拉出細(xì)面條（）A．2n﹣1根 B．2n根 C．2n+1根 D．（12）n+1解題技巧提煉用有理數(shù)的乘方運(yùn)算解決實(shí)際問題時(shí)，關(guān)鍵是審清題意，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，常見的問題有拉面的條數(shù)、折紙的張數(shù)、繩子的長(zhǎng)度、細(xì)胞分裂的個(gè)數(shù)等都利用2n或.【變式5-1】（2023?館陶縣校級(jí)模擬）《孫子算經(jīng)》卷上說：“十圭為抄，十抄為撮，十撮為勺，十勺為合．”說明“抄、撮、勺、合”均為十進(jìn)制．則十合等于（）A．102圭 B．103圭 C．104圭 D．105圭【變式5-2】手工拉面是我國(guó)的傳統(tǒng)面食．制作時(shí)，拉面師傅，將一根很粗的面條，把兩頭捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反復(fù)幾次，就把這根很粗的面條截成了許多細(xì)細(xì)的面條，如下圖所示．請(qǐng)問這樣第次捏合后可拉出128根面條．【變式5-3】（2022春?東臺(tái)市月考）某種細(xì)胞開始分裂時(shí)有兩個(gè)，1小時(shí)后分裂成4個(gè)并死去一個(gè)，2小時(shí)后分裂成6個(gè)并死去一個(gè)，3小時(shí)后分裂成10個(gè)并死去一個(gè)，按此規(guī)律，8小時(shí)后細(xì)胞存活的個(gè)數(shù)是（）A．253 B．255 C．257 D．259【變式5-4】《莊子》中記載：“一尺之捶，日取其半，萬世不竭．”這句話的意思是一尺長(zhǎng)的木棍，每天截取它的一半，永遠(yuǎn)也截不完．若按此方式截一根長(zhǎng)為1的木棍，第5天截取后木棍剩余的長(zhǎng)度是（）A．1?125 B．1?124【變式5-5】拉面是把一根較粗的面條先對(duì)折成2根再拉開，然后將兩端捏緊，再對(duì)折成4根再拉開，…，一直重復(fù)這個(gè)流程，面條的數(shù)量會(huì)不斷增多，也會(huì)不斷變細(xì)．（1）將這個(gè)流程重復(fù)7次后，面條的數(shù)量會(huì)變成多少根？（2）若剛開始時(shí)的面條的橫截面積為8cm2，則將這個(gè)流程重復(fù)8次后，平均每一根面條橫截面積是多少？（每一次拉開的長(zhǎng)度都與第一根面條的長(zhǎng)度相同且粗細(xì)均勻）【變式5-6】如圖，當(dāng)你把一張紙對(duì)折1次時(shí)可以得到2層，對(duì)折2次時(shí)可以得到4層，對(duì)折3次時(shí)可以得到8層，繼續(xù)對(duì)折下去（最多折7次）．（1）你能發(fā)現(xiàn)層數(shù)與折紙次數(shù)之間的關(guān)系嗎？（2）如果每層紙的厚度是0.05毫米，求對(duì)折7次時(shí)紙的總厚度．【變式5-7】已知某細(xì)菌繁殖時(shí)，一個(gè)細(xì)菌分裂成兩個(gè)，一個(gè)細(xì)菌在分裂t次后，數(shù)量變?yōu)?t個(gè)，細(xì)菌每15分鐘分裂1次，試回答下列問題：（1）如果現(xiàn)在瓶子里有這種細(xì)菌100個(gè)，那么30分鐘后，瓶子里有多少個(gè)這種細(xì)菌？（2）3小時(shí)后這種細(xì)菌的數(shù)量是1小時(shí)后的幾倍？題型六科學(xué)記數(shù)法題型六科學(xué)記數(shù)法【例題6】（2023春?瓊海期末）新華社北京5月5日電，記者從國(guó)家郵政局獲悉，“五一”假期全國(guó)郵政快遞業(yè)攬收快遞包裹1340000000件，同比增長(zhǎng)2.3%，其中1340000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．13.4×108 B．0.134×1010 C．1.34×109 D．1.34×108解題技巧提煉1、科學(xué)記數(shù)法：把一個(gè)大于10的數(shù)記成a×10n的形式，其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，n是正整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法．10的指數(shù)比原來的整數(shù)位數(shù)少1．2、科學(xué)記數(shù)法a×10n表示的數(shù)，“還原”成通常表示的數(shù)，就是把a(bǔ)的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)n位所得到的數(shù)．【變式6-1】（2023?思明區(qū)校級(jí)模擬）2022年5月17日，工業(yè)和信息化部負(fù)責(zé)人在“2022世界電信和信（）A．160×104 B．16×105 C．1.6×106 D．1.6×107【變式6-2】（2023?長(zhǎng)沙縣二模）湘雅路過江通道工程是長(zhǎng)沙市區(qū)“十八橫十六縱”三十四條主干路之一，位于三一大道與營(yíng)盤路之間，總投資53.278億元．其中數(shù)據(jù)53.278億元精確到哪位？（）A．萬位 B．十萬位 C．百萬位 D．億位【變式6-3】（2023?長(zhǎng)沙一模）2022年10月16日，中國(guó)共產(chǎn)黨第二十次全國(guó)代表大會(huì)在北京人民大會(huì)堂開幕．開幕式中一組組亮眼的數(shù)據(jù)，展示了新時(shí)代十年發(fā)展的新成就．其中，國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值從540000億元增長(zhǎng)到1140000億元．把“1140000”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．0.114×107 B．1.14×106 C．11.4×105 D．114×104【變式6-4】（2023?順德區(qū)校級(jí)三模）2023年五蓮高鐵將開工！京滬高鐵輔助通道濰坊至宿遷鐵路工程（新開工），日照境內(nèi)約49.8公里，設(shè)五蓮北站、莒縣北站，投資約94.42億元．將數(shù)據(jù)94.42億用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．0.9442×1012 B．9.442×109 C．9.442×1010 D．94.42×108【變式6-5】（2023春?豐寧縣期末）光年是天文學(xué)上的一種距離單位，一光年是指光在一年內(nèi)走過的路程，約等于9.46×1012km．據(jù)探測(cè)某星體距離地球約為2光年，則2光年用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．9.46×1013 B．18.92×1012 C．1.892×1013 D．1.892×1014【變式6-6】（2023?龍江縣三模）商業(yè)航天在近幾年得到快速成長(zhǎng)并初具規(guī)模，2022年中國(guó)商業(yè)航天的市場(chǎng)規(guī)模突破1.5萬億元．將1.5萬億用科學(xué)記數(shù)法表示為．【變式6-7】經(jīng)測(cè)算，如果全國(guó)每年能減少十分之一的包裝紙用量，則能減少3.12×106噸二氧化碳的排放量，將用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)3.12×106還原正確的是（）A．31200000 B．312000000 C．3120000 D．312000【變式6-8】每年的12月2日是“全國(guó)交通安全日”，最新數(shù)據(jù)顯示，我國(guó)機(jī)動(dòng)車和駕駛?cè)藬?shù)量持續(xù)增長(zhǎng)，目前機(jī)動(dòng)車保有量已達(dá)3.93×108輛．將用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)還原正確的是（）A．39300000 B．393000000 C．3930000000 D．39300000000【變式6-9】把下列用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)還原成原數(shù)．（1）地球的直徑大約為1.28×107m，約為km；（2）地球與冥王星的距離最近時(shí)也有4.0×109km，記為m；（3）有資料統(tǒng)計(jì)，我國(guó)2021年前4個(gè)月，14家汽車行業(yè)國(guó)家重點(diǎn)企業(yè)共實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)1.20×1010元，記作萬元；（4）某年我國(guó)在公路建設(shè)中投資2.61×106萬元，記作元．【變式6-10】將下列用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)還原成原數(shù)．（1）1.2×105（2）2.3×107（3）3.6×108（4）﹣4.2×106．

（蘇科版）七年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)《第2章有理數(shù)》2.7有理數(shù)的乘方知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)一有理數(shù)的乘方的意義◆有理數(shù)乘方的定義：求n個(gè)相同因數(shù)積的運(yùn)算，叫做乘方．一般地，n個(gè)相同的數(shù)a相乘，簡(jiǎn)記為，即.乘方的結(jié)果叫做冪，在an中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)．a(chǎn)n讀作a的n次方，也可以讀作a的n次冪．（將an看作是a的n次方的結(jié)果時(shí)）【注意】（1）一個(gè)數(shù)可以看作這個(gè)數(shù)本身的一次方，例如，5就是51，指數(shù)1通常省略不寫.（2）指數(shù)是2時(shí)讀作平方（或二次方），指數(shù)是3時(shí)讀作立方（或三次方）.（3）指數(shù)n是正整數(shù)，底數(shù)a可以是任意有理數(shù).知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)二有理數(shù)的乘方的運(yùn)算◆1、乘方運(yùn)算的符號(hào)法則：（1）負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；（2）正數(shù)的任何正整數(shù)次冪都是正數(shù)，0的任何正整數(shù)次冪都是0.◆2、有理數(shù)的乘方運(yùn)算計(jì)算一個(gè)有理數(shù)的乘方時(shí)，應(yīng)將乘方運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，先確定冪的符號(hào)，再計(jì)算冪的絕對(duì)值.有相反意義的量就可以用負(fù)數(shù)表示．知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)三科學(xué)記數(shù)法◆1、科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)（1）科學(xué)記數(shù)法：把一個(gè)大于10的數(shù)記成a×10n的形式，其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，n是正整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法．【科學(xué)記數(shù)法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n為正整數(shù)．】（2）規(guī)律方法總結(jié)：①科學(xué)記數(shù)法中a的要求和10的指數(shù)n的表示規(guī)律為關(guān)鍵，由于10的指數(shù)比原來的整數(shù)位數(shù)少1；按此規(guī)律，先數(shù)一下原數(shù)的整數(shù)位數(shù)，即可求出10的指數(shù)n．②記數(shù)法要求是大于10的數(shù)可用科學(xué)記數(shù)法表示，實(shí)質(zhì)上絕對(duì)值大于10的負(fù)數(shù)同樣可用此法表示，只是前面多一個(gè)負(fù)號(hào)．◆2、科學(xué)記數(shù)法—原數(shù)（1）科學(xué)記數(shù)法a×10n表示的數(shù)，“還原”成通常表示的數(shù)，就是把a(bǔ)的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)n位所得到的數(shù)．（2）把一個(gè)數(shù)表示成科學(xué)記數(shù)法的形式及把科學(xué)記數(shù)法還原是兩個(gè)互逆的過程，這也可以作為檢查用科學(xué)記數(shù)法表示一個(gè)數(shù)是否正確的方法．題型一有理數(shù)乘方的概念題型一有理數(shù)乘方的概念【例題1】（2023?普寧市一模）式子﹣22的意義是（）A．2的平方 B．﹣2的平方 C．2的平方的相反數(shù) D．﹣2的平方的相反數(shù)【分析】根據(jù)乘方的意義和相反數(shù)的定義進(jìn)行判斷．【解答】解：﹣22的意義為2的平方的相反數(shù)．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)乘方：求n個(gè)相同因數(shù)積的運(yùn)算，叫做乘方．乘方的結(jié)果叫做冪，在an中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)．a(chǎn)n讀作a的n次方．也考查了相反數(shù)．解題技巧提煉有理數(shù)乘方的定義：求n個(gè)相同因數(shù)積的運(yùn)算，叫做乘方．乘方的結(jié)果叫做冪，在an中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)．a(chǎn)n讀作a的n次方．（將an看作是a的n次方的結(jié)果時(shí)，也可以讀作a的n次冪．）【變式1-1】（2022秋?膠州市校級(jí)月考）比較﹣33與（﹣3）3，下列說法正確的是（）A．它們的底數(shù)相同，指數(shù)也相同 B．它們所表示的意義相同，但運(yùn)算結(jié)果不相同 C．它們底數(shù)相同，但指數(shù)不相同 D．雖然他們底數(shù)不同，但是運(yùn)算結(jié)果相同【分析】（﹣3）3表示三個(gè)﹣3的乘積，﹣33表示3個(gè)3乘積的相反數(shù)，計(jì)算得到結(jié)果，即可做出判斷．【解答】解：∵（﹣3）3＝﹣27，﹣33＝﹣27，∴（﹣3）3和﹣33底數(shù)不同，運(yùn)算結(jié)果相同．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的乘方，熟練掌握有理數(shù)的乘方是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】把（﹣3）×（﹣3）×（﹣3）寫成冪的形式是，底數(shù)是，指數(shù)是．【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方的定義解答．【解答】解：把（﹣3）×（﹣3）×（﹣3）寫成冪的形式是（﹣3）3，底數(shù)是﹣3，指數(shù)是3，故答案為：（﹣3）3，﹣3，3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的乘方，是基礎(chǔ)題，熟記概念是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】﹣53表示的意義為（）A．（﹣5）×（﹣5）×（﹣5） B．﹣5×5×5 C．（﹣5）+（﹣5）+（﹣5） D．（﹣5）×3【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方的意義，即可作出判斷．【解答】解：﹣53表示的意義為﹣5×5×5 ，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了有理數(shù)的乘方，以及有理數(shù)的加法，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．【變式1-4】（2023春?肇東市期末）已知4個(gè)數(shù)中：（﹣1）2005，﹣（﹣1.5），﹣32，0，其中正數(shù)的個(gè)數(shù)有（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方，相反數(shù)的定義分別計(jì)算后，再由正數(shù)、負(fù)數(shù)的意義進(jìn)行判斷即可．【解答】解：（﹣1）2005＝﹣1，結(jié)果是負(fù)數(shù)，﹣（﹣1.5）＝1.5，結(jié)果是正數(shù)，﹣32＝﹣9，結(jié)果是負(fù)數(shù)，0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，綜上所述，結(jié)果是正數(shù)的有1個(gè)，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正數(shù)、負(fù)數(shù)，相反數(shù)以及有理數(shù)的乘方，理解正數(shù)、負(fù)數(shù)的意義是正確判斷的關(guān)鍵．【變式1-5】設(shè)n是一個(gè)正整數(shù)，則10n是（）A．10個(gè)n相乘所得的積 B．一個(gè)（n﹣1）位整數(shù) C．一個(gè)n位整數(shù) D．一個(gè)1后面有n個(gè)0的數(shù)【分析】根據(jù)乘方的含義，求n個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做乘方．在an中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)．【解答】解：n是一個(gè)正整數(shù)，則10n表示的是n個(gè)10相乘所得的結(jié)果，它是一個(gè)（n+1）位的整數(shù)．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)乘方的定義，解決本題的關(guān)鍵是一定要完全理解an中表示的含義，才能做到靈活應(yīng)用．如本題所示的10n的意義．【變式1-6】（2023?許昌一模）計(jì)算2×2×?×2︷A．2m3n B．2m3n C．【分析】根據(jù)冪的意義和乘法是相同加數(shù)的和的簡(jiǎn)便運(yùn)算即可得出答案．【解答】解：原式=2故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的乘方，掌握求n個(gè)相同因數(shù)積的運(yùn)算，叫做乘方是解題的關(guān)鍵．【變式1-7】（2022秋?懷仁市校級(jí)期末）設(shè)a是任意有理數(shù)，下列說法正確的是（）A．（a+1）2的值總是正的 B．a(chǎn)2+1的值總是正的 C．﹣（a+1）2的值總是負(fù)的 D．a(chǎn)2+1的值中，最大值是1【分析】根據(jù)偶次方的非負(fù)性，即a2≥0進(jìn)行判斷即可．【解答】解：（a+1）2≥0，A錯(cuò)誤；a2+1＞0，B正確；﹣（a+1）2，≤0，C錯(cuò)誤；a2+1的值中，最小值是1，D錯(cuò)誤，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是偶次方的非負(fù)性，掌握a2≥0是解題的關(guān)鍵．題型二有理數(shù)的乘方運(yùn)算題型二有理數(shù)的乘方運(yùn)算【例題2】下列各組數(shù)中，結(jié)果一定相等的是（）A．﹣22與（﹣2）2 B．22與（﹣2）2 C．22與﹣（﹣2）2 D．（﹣2）2與﹣（﹣2）2【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方的定義與運(yùn)算法則逐一計(jì)算可得．【解答】解：A、﹣22＝﹣4，（﹣2）2＝4，結(jié)果不相等，故此選項(xiàng)不符合題意；B、22＝4，（﹣2）2＝4，結(jié)果相等，故此選項(xiàng)符合題意；C、22＝4，﹣（﹣2）2＝﹣4，結(jié)果不相等，故此選項(xiàng)不符合題意；D、（﹣2）2＝4，﹣（﹣2）2＝﹣4，結(jié)果不相等，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查有理數(shù)的乘方，解題的關(guān)鍵是掌握絕對(duì)值的定義和相反數(shù)的定義及有理數(shù)的乘方的定義與運(yùn)算法則．解題技巧提煉1、有理數(shù)的乘方運(yùn)算與有理數(shù)的加減乘除運(yùn)算一樣，首先要確定冪的符號(hào)，然后再計(jì)算冪的絕對(duì)值；2、乘方的符號(hào)法則：正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；0的任何正整數(shù)次冪都是0．【變式2-1】下列各組數(shù)中，運(yùn)算結(jié)果相等的是（）A．﹣42和34 B．﹣53和（﹣5）3 C．﹣42和（﹣4）2 D．(23【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方解決此題．【解答】解：A．根據(jù)有理數(shù)的乘方，﹣42＝﹣16，34＝81，那么﹣42≠34，故A不符合題意．B．根據(jù)有理數(shù)的乘方，﹣53＝﹣125，（﹣5）3＝﹣125，那么﹣53＝（﹣5）3，故B符合題意．C．根據(jù)有理數(shù)的乘方，﹣42＝﹣16，（﹣4）2＝16，那么﹣42≠（﹣4）2，故C不符合題意．D．根據(jù)有理數(shù)的乘方，(23)3=827故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查有理數(shù)的乘方，熟練掌握有理數(shù)的乘方是解決本題的關(guān)鍵．【變式2-2】計(jì)算：(?25)3=【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方運(yùn)算法則即可求出答案．【解答】解：原式=?8平方等于4的數(shù)是±2，故答案為：?8【點(diǎn)評(píng)】本題考查有理數(shù)的乘方，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用有理數(shù)的乘方運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．【變式2-3】（2023春?香坊區(qū)校級(jí)期中）下列各對(duì)數(shù)中，不相等的一對(duì)數(shù)是（）A．（﹣3）3與﹣33 B．|﹣33|與|33| C．（﹣3）4與﹣34 D．（﹣3）2與32【分析】根據(jù)乘方的法則及絕對(duì)值的性質(zhì)計(jì)算．【解答】解：A、（﹣3）3＝﹣27，﹣33＝﹣27，∴不符合題意；B、|﹣33|＝27，|33|＝27，∴不符合題意；C、（﹣3）4＝81，﹣34＝﹣81，∴符合題意；D、（﹣3）2＝9，32＝9，∴不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查有理數(shù)乘方，掌握乘方的法則及絕對(duì)值的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式2-4】若a＝﹣2×（13）2，b＝（﹣2×13）2，c＝﹣（2×A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．c＞a＞b【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方的定義化簡(jiǎn)后，再根據(jù)負(fù)數(shù)＜0＜正數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)比較，絕對(duì)值大的反而小判斷即可．【解答】解：a＝﹣2×（13）2=?29，b＝（﹣2×13）2=49，∵|?29|=29，|?4∴?4∴b＞a＞c，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)大小比較以及有理數(shù)的乘方，熟練掌握兩個(gè)負(fù)數(shù)比較，絕對(duì)值大的反而小是解題的關(guān)鍵．【變式2-5】（2022?新都區(qū)模擬）計(jì)算（﹣2）×（﹣5）2的結(jié)果等于（）A．10 B．﹣50 C．50 D．20【分析】先計(jì)算乘方，再計(jì)算乘法即可得出答案．【解答】解：原式＝（﹣2）×25＝﹣50．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的乘方，乘法，掌握an表示n個(gè)a相乘是解題的關(guān)鍵．【變式2-6】計(jì)算：；（2）；；（4）；（5）（﹣1）9；（6）（﹣1）12；【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方和乘法分別計(jì)算各選項(xiàng)中的數(shù)即可得出答案．【解答】解：（1）﹣（﹣3）2=﹣（﹣3）×（﹣3）=﹣9；（2）﹣32=﹣3×3=﹣9；（3）（﹣5）3=（﹣5）×（﹣5）×（﹣5）=﹣125；（4）0.13=0.1×0.1×0.1=0.001；（5）（﹣1）9=﹣1；（6）（﹣1）12=1；【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的乘方計(jì)算，把乘方運(yùn)算轉(zhuǎn)化成乘法計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式2-7】計(jì)算：(1)－(－3)3;(2)(－eq\f(3,4))2；(3)(－eq\f(2,3))3;(4)(－1)2015.【分析】可根據(jù)乘方的意義，先把乘方轉(zhuǎn)化為乘法，再根據(jù)乘法的運(yùn)算法則來計(jì)算；【解答】解：(1)﹣(﹣3)3＝﹣(﹣33)＝33＝3×3×3＝27；(2)(﹣eq\f(3,4))2＝eq\f(3,4)×eq\f(3,4)＝eq\f(9,16)；(3)(﹣eq\f(2,3))3＝﹣(eq\f(2,3)×eq\f(2,3)×eq\f(2,3))＝﹣eq\f(8,27)；(4)(﹣1)2015＝﹣1.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的乘方計(jì)算，把乘方運(yùn)算轉(zhuǎn)化成乘法計(jì)算是解題的關(guān)鍵．題型三非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方題型三非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方【例題3】（2022秋?陳倉區(qū)期末）已知|3a+1|+（b﹣3）2＝0，則（ab）2022的值是（）A．1 B．﹣1 C．0 D．3【分析】根據(jù)題意得a=?13，b＝3，將a=?13，b＝3代入（【解答】解：∵|3a+1|+（b﹣3）2＝0，∴3a+1＝0，b﹣3＝0，解得，a=?13，則(ab)故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了絕對(duì)值，代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握這些知識(shí)點(diǎn)．解題技巧提煉偶次方具有非負(fù)性．任意一個(gè)數(shù)的偶次方都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)幾個(gè)數(shù)或式的偶次方相加和為0時(shí)，則其中的每一項(xiàng)都必須等于0．【變式3-1】（2022秋?澄海區(qū)期末）若（m﹣2）2與|n+3|互為相反數(shù)，則nm的值是（）A．﹣8 B．8 C．﹣9 D．9【分析】首先根據(jù)互為相反數(shù)的定義，可得（m﹣2）2+|n+3|＝0，再根據(jù)乘方運(yùn)算及絕對(duì)值的非負(fù)性，即可求得m、n的值，據(jù)此即可解答．【解答】解：∵（m﹣2）2與|n+3|互為相反數(shù)，∴（m﹣2）2+|n+3|＝0，∴m﹣2＝0，n+3＝0，解得m＝2，n＝﹣3，∴nm＝（﹣3）2＝9，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了互為相反數(shù)的性質(zhì)，乘方運(yùn)算及絕對(duì)值的非負(fù)性，代數(shù)式求值問題，求得m、n的值是解決本題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2022秋?嘉祥縣期末）已知a，b滿足|a﹣3|+（b+2）2＝0，則式子（a+b）2022的值是（）A．1 B．﹣1 C．2022 D．﹣2022【分析】先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a，b的值，再代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：∵|a﹣3|+（b+2）2＝0，∴a﹣3＝0，b+2＝0，∴a＝3，b＝﹣2，∴（a+b）2022＝（3﹣2）2022＝1．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟知當(dāng)幾個(gè)數(shù)或式的偶次方或絕對(duì)值相加和為0時(shí)，則其中的每一項(xiàng)都必須等于0是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2022秋?越城區(qū)期中）根據(jù)右邊的數(shù)值轉(zhuǎn)換器，當(dāng)輸入的x與y滿足|x+1|+(y?1【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，求出x、y的值，再由轉(zhuǎn)換器（x2+2y+1）÷2，求得輸出的值即可．【解答】解：∵|x+1|+(y?1∴x+1＝0，y?1解得x＝﹣1，y=1把x＝﹣1，y=12代入（x2+2故答案為1.5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，有限個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零，那么每一個(gè)加數(shù)也必為零．把轉(zhuǎn)換器用數(shù)學(xué)符號(hào)表示是解決此題的關(guān)鍵．【變式3-4】（2023?沙坪壩區(qū)校級(jí)開學(xué)）|x+y﹣3|+（m﹣n+1）2＝0，則n﹣m﹣2x﹣2y的值為（）A．﹣7 B．7 C．﹣5 D．5【分析】根據(jù)絕對(duì)值、偶次方的非負(fù)性得出x+y＝3，m﹣n＝﹣1，再整體代入計(jì)算即可．【解答】解：∵|x+y﹣3|+（m﹣n+1）2＝0，而|x+y﹣3≥0，（m﹣n+1）2≥0，∴x+y﹣3＝0，m﹣n+1＝0，即x+y＝3，m﹣n＝﹣1，∴n﹣m﹣2x﹣2y＝﹣（m﹣n）﹣2（x+y）＝1﹣6＝﹣5．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查絕對(duì)值、偶次方的非負(fù)性，掌握絕對(duì)值、偶次方的非負(fù)性是正確解答的前提，求出x+y，m﹣n的值是得出正確答案的關(guān)鍵．【變式3-5】（2022秋?龍馬潭區(qū)期中）如果|a﹣1|+（b+2）2+|c﹣3|＝0，求（a+b）2018﹣3abc的值．【分析】根據(jù)|a﹣1|+（b+2）2+|c﹣3|＝0，由非負(fù)數(shù)性質(zhì)可以求得a、b、c的值，從而可以求得所求式子的值．【解答】解：由題意得，a﹣1＝0，b+2＝0，c﹣3＝0，解得a＝1，b＝﹣2，c＝3，∴（a+b）2018﹣3abc＝（﹣1）2018﹣3×1×（﹣2）×3＝1+18＝19．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)字的變化類、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出a、b、c的值．【變式3-6】已知有理數(shù)x，y，z，且|x﹣3|+2|y+1|+7（2z+1）2＝0，求x+y+z的相反數(shù)的倒數(shù)．【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列出方程求出x、y、z的值，代入所求代數(shù)式計(jì)算即可．【解答】解：∵|x﹣3|+2|y+1|+7（2z+1）2＝0，|x﹣3|≥0，2|y+1|≥0，7（2z+1）2≥0∴x﹣3＝0，y+1＝0，2z+1＝0解得x＝3，y＝﹣1，z=?1∴x+y+z=3∴x+y+z的相反數(shù)的倒數(shù)是?2【點(diǎn)評(píng)】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0時(shí)，這幾個(gè)非負(fù)數(shù)都為0．【變式3-7】如果有理數(shù)a、b滿足|ab﹣2|+（1﹣b）2＝0，試求1ab【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列方程求出a、b的值，然后代入代數(shù)式裂項(xiàng)求解即可．【解答】解：由題意得，ab﹣2＝0，1﹣b＝0，解得a＝2，b＝1，所以，1ab=1＝1?1＝1?1=2018【點(diǎn)評(píng)】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0時(shí)，這幾個(gè)非負(fù)數(shù)都為0，本題難點(diǎn)在于裂項(xiàng)．題型四乘方與相反數(shù)、倒數(shù)、絕對(duì)值等的綜合題型四乘方與相反數(shù)、倒數(shù)、絕對(duì)值等的綜合【例題4】已知：|a|＝3，|b|＝2，且a＜b，求（a+b）3的值．【分析】先根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)去絕對(duì)值符號(hào)，再根據(jù)a＜b確定出a、b的值，代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：∵|a|＝3，∴a＝±3，∵|b|＝2，∴b＝±2，又∵a＜b，∴a＝﹣3，b＝±2．當(dāng)a＝﹣3，b＝2時(shí)．∴（a+b）3＝（﹣3+2）3＝﹣1．當(dāng)a＝﹣3，b＝﹣2時(shí)．∴（a+b）3＝（﹣3﹣2）3＝﹣53＝﹣125．∴（a+b）3的值是﹣1或﹣125．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是有理數(shù)的乘方，熟知有理數(shù)乘方的法則是解答此題的關(guān)鍵．解題技巧提煉1、互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的偶次冪相等、奇次冪仍互為相反數(shù)；2、相反數(shù)是它本身的數(shù)是0；3、倒數(shù)等于它本身的數(shù)是1和﹣1；4、絕對(duì)值和偶次方都具有非負(fù)性.【變式4-1】下列各數(shù)中，互為相反數(shù)的是（）A．|﹣1|和1 B．﹣3和﹣（﹣2） C．（﹣2）2和﹣22 D．﹣3和1【分析】根據(jù)相反數(shù)，絕對(duì)值，有理數(shù)的乘方化簡(jiǎn)各選項(xiàng)中的數(shù)，根據(jù)相反數(shù)的定義判斷即可得出答案．【解答】解：A選項(xiàng)，1和1不是相反數(shù)，故該選項(xiàng)不符合題意；B選項(xiàng)，﹣3和2不是相反數(shù)，故該選項(xiàng)不符合題意；C選項(xiàng)，4和﹣4是相反數(shù)，故該選項(xiàng)符合題意；D選項(xiàng)，﹣3和13故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相反數(shù)，絕對(duì)值，有理數(shù)的乘方，掌握只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】已知a、b互為相反數(shù)，e的絕對(duì)值為3，m與n互為倒數(shù)，則a+b3A．1 B．3 C．0 D．無法確定【分析】根據(jù)互為相反數(shù)的定義可得a+b＝0，根據(jù)絕對(duì)值求出e的值，根據(jù)互為倒數(shù)的定義可得mn＝1，然后代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可得解．【解答】解：∵a、b互為相反數(shù)，∴a+b＝0，∵m與n互為倒數(shù)，∴mn＝1，∵e的絕對(duì)值為3，∴e＝±3，∴e2＝9，∴a+b3故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，代數(shù)式求值，主要利用了相反數(shù)的定義，倒數(shù)的定義以及絕對(duì)值的性質(zhì)，熟記概念與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2022春?梁山縣期中）已知|x|＝2，y2＝9，且x＞y，求x+y的值.【分析】根據(jù)絕對(duì)值和有理數(shù)的乘方求出x，y的值，根據(jù)x＞y分兩種情況分別計(jì)算即可．【解答】解：∵|x|＝2，y2＝9，∴x＝±2，y＝±3，∵x＞y，∴當(dāng)x＝2，y＝﹣3時(shí)，x+y＝﹣1；當(dāng)x＝﹣2，y＝﹣3時(shí)，x+y＝﹣5；【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的乘方，絕對(duì)值，有理數(shù)的加法，考查分類討論的思想，根據(jù)x＞y分兩種情況分別計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式4-4】（2022秋?東西湖區(qū)期中）已知|a﹣2|＝3，（b﹣2）2＝1，且ab＜0，求a+b的值．【分析】先根據(jù)|a﹣2|＝3，（b﹣2）2＝1可得：∴a＝5或a＝﹣1，b＝3或b＝1，再根據(jù)ab＜0時(shí)，a和b同號(hào)，求出a、b的值，最后代入求解．【解答】解：∵|a﹣2|＝3，（b﹣2）2＝1，∴a＝5或a＝﹣1，b＝3或b＝1，∵ab＜0，∴當(dāng)a＝﹣1時(shí)，b＝3，a+b＝2，當(dāng)a＝﹣1時(shí)，b＝1，a+b＝0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的加法，絕對(duì)值及有理數(shù)的乘方，分類討論思想是解題的關(guān)鍵．【變式4-5】已知a是絕對(duì)值最小的有理數(shù)，b是倒數(shù)等于本身的數(shù)，c的平方等于4，求a+b+c的值．【分析】根據(jù)有理數(shù)與倒數(shù)的定義及乘方的運(yùn)算法則得出a，b，c的值，再分情況求解可得．【解答】解：根據(jù)題意知a＝0，b＝1或b＝﹣1，c＝2或c＝﹣2，當(dāng)a＝0，b＝1，c＝2時(shí)，原式＝0+1+2＝3；當(dāng)a＝0，b＝1，c＝﹣2時(shí)，原式＝0+1﹣2＝﹣1；當(dāng)a＝0，b＝﹣1，c＝2時(shí)，原式＝0﹣1+2＝1；當(dāng)a＝0，b＝﹣1，c＝﹣2時(shí)，原式＝0﹣1﹣2＝﹣3；綜上，a+b+c的值為±1或±3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)與倒數(shù)的定義及乘方的運(yùn)算法則，有理數(shù)的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．【變式4-6】已知（x+3）2與|y﹣2|互為相反數(shù)，z是絕對(duì)值最小的有理數(shù)，求（x+y）y+xyz的值．【分析】根據(jù)題意z是絕對(duì)值最小的有理數(shù)可知，z＝0，且互為相反數(shù)的兩數(shù)和為0，注意平方和絕對(duì)值都具有非負(fù)性．【解答】解：∵（x+3）2與|y﹣2|互為相反數(shù)，∴（x+3）2+|y﹣2|＝0，∵（x+3）2≥0，|y﹣2|≥0，∴（x+3）2＝0，|y﹣2|＝0，即x+3＝0，y﹣2＝0，∴x＝﹣3，y＝2，∵z是絕對(duì)值最小的有理數(shù)，∴z＝0．（x+y）y+xyz＝（﹣3+2）2+（﹣3）×2×0＝1．故答案為：1【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)．初中階段有三種類型的非負(fù)數(shù)：（1）絕對(duì)值；（2）偶次方；（3）二次根式（算術(shù)平方根）．當(dāng)它們相加和為0時(shí)，必須滿足其中的每一項(xiàng)都等于0．根據(jù)這個(gè)結(jié)論可以求解這類題目．【變式4-7】（2022秋?雙遼市期中）已知|a|＝5，b2＝4，c3＝﹣8．若a＜b＜0，求a+b+c的值．【分析】根據(jù)條件分別求出a，b，c的值，再進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：∵|a|＝5，b2＝4，c3＝﹣8，∴a＝±5，b＝±2，c＝﹣2，∵a＜b＜0，∴a＝﹣5，b＝﹣2，c＝﹣2，∴a+b+c＝﹣5+（﹣2）+（﹣2）＝﹣9，∴a+b+c的值為﹣9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了絕對(duì)值、有理數(shù)的乘方知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)題意求出符合條件的值是解本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，難度不大．【變式4-8】（2022秋?磁縣期中）已知a與﹣b互為相反數(shù)，﹣c與d互為倒數(shù)，|x|＝1，求2x2+（a﹣b+cd）x+（a﹣b）2022+（﹣cd）2023的值．【分析】由a與﹣b互為相反數(shù)，﹣c與d互為倒數(shù)，|x|＝1，可得a﹣b＝0，﹣cd＝1，x＝±1，再分情況整體代入代數(shù)式2x2+（a﹣b+cd）x+（a﹣b）2022+（﹣cd）2023求值即可．【解答】解：∵a與﹣b互為相反數(shù)，﹣c與d互為倒數(shù)，|x|＝1，∴a﹣b＝0，﹣cd＝1，x＝±1，∴cd＝﹣1，當(dāng)x＝1時(shí)，原式＝2×12+（0﹣1）×1+02022+12023＝2﹣1+0+1＝2；當(dāng)x＝﹣1時(shí)，原式＝2×（﹣1）2+（0﹣1）×（﹣1）+02022+12023＝2﹣（﹣1）+0+1＝4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是有理數(shù)的混合運(yùn)算，涉及到相反數(shù)，倒數(shù)，絕對(duì)值的性質(zhì)，求代數(shù)式的值，掌握“整體代入法求代數(shù)式的值”是解本題的關(guān)鍵．題型五利用有理數(shù)的乘方解決實(shí)際問題題型五利用有理數(shù)的乘方解決實(shí)際問題【例題5】（2022秋?福田區(qū)校級(jí)期末）面食不僅是中華民族飲食文化的重要組成部分，也是世界的面食之根其中，“拉面”遠(yuǎn)播世界各地，制作方法是：用一根很粗的面條，把兩頭捏合在一起拉伸，再捏合，反復(fù)幾次，這根很粗的面條就被拉成許多細(xì)的面條，第一次捏合變2根細(xì)面條，第二次捏合變4根細(xì)面條，第三次捏合變8根細(xì)面條，這樣捏合到第n次后可拉出細(xì)面條（）A．2n﹣1根 B．2n根 C．2n+1根 D．（12）n+1【分析】本題可通過題目和圖形的結(jié)合得出前幾組的數(shù)，然后進(jìn)行歸納即可得出答案．【解答】解：設(shè)面條的根數(shù)為x，則依題意得：n＝1，x＝2＝21．n＝2，x＝2×2＝4＝22．n＝3，x＝2×2×2＝8＝23．…依此類推可知，當(dāng)n＝n時(shí)，x＝2n．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題是一道找規(guī)律的題目，這類題型在中考中經(jīng)常出現(xiàn)．對(duì)于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的．解題技巧提煉用有理數(shù)的乘方運(yùn)算解決實(shí)際問題時(shí)，關(guān)鍵是審清題意，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，常見的問題有拉面的條數(shù)、折紙的張數(shù)、繩子的長(zhǎng)度、細(xì)胞分裂的個(gè)數(shù)等都利用2n或.【變式5-1】（2023?館陶縣校級(jí)模擬）《孫子算經(jīng)》卷上說：“十圭為抄，十抄為撮，十撮為勺，十勺為合．”說明“抄、撮、勺、合”均為十進(jìn)制．則十合等于（）A．102圭 B．103圭 C．104圭 D．105圭【分析】結(jié)合實(shí)際問題運(yùn)用乘方的概念進(jìn)行求解．【解答】解：由題意得，1合＝10勺＝102撮＝103抄＝104圭，∴十合＝10×104圭＝105圭，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了運(yùn)用乘方的概念解決實(shí)際問題的能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運(yùn)用該知識(shí)．【變式5-2】手工拉面是我國(guó)的傳統(tǒng)面食．制作時(shí)，拉面師傅，將一根很粗的面條，把兩頭捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反復(fù)幾次，就把這根很粗的面條截成了許多細(xì)細(xì)的面條，如下圖所示．請(qǐng)問這樣第次捏合后可拉出128根面條．【分析】根據(jù)拉面的變化，求出變化的規(guī)律，即可求出答案．【解答】解：第一次﹣﹣﹣﹣﹣﹣2根面條；第二次﹣﹣﹣﹣﹣﹣22根面條；第三次﹣﹣﹣﹣﹣﹣23根面條；…第x次﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2x根面條．于是2x＝128＝27，x＝7．故答案為7．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了乘方的應(yīng)用，找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2022春?東臺(tái)市月考）某種細(xì)胞開始分裂時(shí)有兩個(gè)，1小時(shí)后分裂成4個(gè)并死去一個(gè)，2小時(shí)后分裂成6個(gè)并死去一個(gè)，3小時(shí)后分裂成10個(gè)并死去一個(gè)，按此規(guī)律，8小時(shí)后細(xì)胞存活的個(gè)數(shù)是（）A．253 B．255 C．257 D．259【分析】根據(jù)題意，n個(gè)小時(shí)后細(xì)胞存活的個(gè)數(shù)是2n+1，求出n＝8時(shí)的值即可．【解答】解：根據(jù)題意，1小時(shí)后分裂成4個(gè)并死去1個(gè)，剩3個(gè)，3＝2+1；2小時(shí)后分裂成6個(gè)并死去1個(gè)，剩5個(gè)，5＝22+1；3小時(shí)后分裂成10個(gè)并死去一個(gè)，剩9個(gè)，9＝23+1；……n個(gè)小時(shí)后細(xì)胞存活的個(gè)數(shù)是2n+1，當(dāng)n＝8時(shí)，存活個(gè)數(shù)是28+1＝257．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題是一道找規(guī)律的題目，要求學(xué)生通過觀察，分析，歸納發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用規(guī)律解決問題．【變式5-4】《莊子》中記載：“一尺之捶，日取其半，萬世不竭．”這句話的意思是一尺長(zhǎng)的木棍，每天截取它的一半，永遠(yuǎn)也截不完．若按此方式截一根長(zhǎng)為1的木棍，第5天截取后木棍剩余的長(zhǎng)度是（）A．1?125 B．1?124【分析】根據(jù)分?jǐn)?shù)乘法的意義求得剩下的長(zhǎng)度．【解答】解：由題意，第一次截取后剩余長(zhǎng)度為1×（1?12）第二次截取后剩余長(zhǎng)度為12×（1?1第三次截取后剩余長(zhǎng)度為12…，第n次截取后剩余長(zhǎng)度為12∴第五次截取后剩余長(zhǎng)度為12故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分?jǐn)?shù)乘法的應(yīng)用及乘方的意義，理解求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少用乘法計(jì)算，掌握有理數(shù)乘方的意義是解題關(guān)鍵．【變式5-5】拉面是把一根較粗的面條先對(duì)折成2根再拉開，然后將兩端捏緊，再對(duì)折成4根再拉開，…，一直重復(fù)這個(gè)流程，面條的數(shù)量會(huì)不斷增多，也會(huì)不斷變細(xì)．（1）將這個(gè)流程重復(fù)7次后，面條的數(shù)量會(huì)變成多少根？（2）若剛開始時(shí)的面條的橫截面積為8cm2，則將這個(gè)流程重復(fù)8次后，平均每一根面條橫截面積是多少？（每一次拉開的長(zhǎng)度都與第一根面條的長(zhǎng)度相同且粗細(xì)均勻）【分析】（1）面條對(duì)折1次再拉開，面條的數(shù)量是2，面條對(duì)折2次再拉開，面條的數(shù)量是22，面條對(duì)折3次再拉開，面條的數(shù)量是23，…，面條對(duì)折7次再拉開，面條的數(shù)量是27．（2）由發(fā)現(xiàn)的規(guī)律知，將這個(gè)流程重復(fù)8次后，面條的數(shù)量是28，因?yàn)槊恳淮卫_的長(zhǎng)度都與第一根面條的長(zhǎng)度相同且粗細(xì)均勻，所以8次后，平均每一根面條橫截面積＝剛開始時(shí)的面條的橫截面積÷面條總條數(shù)，求出結(jié)果．【解答】解：（1）27＝128（根）∴這個(gè)流程重復(fù)7次后，面條的數(shù)量會(huì)變成128根．（2）將這個(gè)流程重復(fù)8次后，面條的數(shù)量是28．∵每一次拉開的長(zhǎng)度都與第一根面條的長(zhǎng)度相同且粗細(xì)均勻，∴8次后，平均每一根面條橫截面積＝8÷28＝23÷28=132（cm【點(diǎn)評(píng)】本題考查有理數(shù)的乘方，能夠從題中歸納發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式5-6】如圖，當(dāng)你把一張紙對(duì)折1次時(shí)可以得到2層，對(duì)折2次時(shí)可以得到4層，對(duì)折3次時(shí)可以得到8層，繼續(xù)對(duì)折下去（最多折7次）．（1）你能發(fā)現(xiàn)層數(shù)與折紙次數(shù)之間的關(guān)系嗎？（2）如果每層紙的厚度是0.05毫米，求對(duì)折7次時(shí)紙的總厚度．【分析】（1）通過例舉尋找規(guī)律即可；（2）先算對(duì)折7次總共有多少張紙的厚度，再算對(duì)折7次時(shí)紙的總厚度即可．【解答】解：（1）∵對(duì)折1次，層數(shù)＝21，對(duì)折2次，層數(shù)＝22，對(duì)折3次，層數(shù)＝23，∴對(duì)折n次，層數(shù)＝2n；（2）0.05×27＝0.05×128＝6.4（毫米），答：對(duì)折7次時(shí)紙的總厚度的總厚度為6.4毫米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的乘方，通過例舉尋找規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式5-7】已知某細(xì)菌繁殖時(shí)，一個(gè)細(xì)菌分裂成兩個(gè)，一個(gè)細(xì)菌在分裂t次后，數(shù)量變?yōu)?t個(gè)，細(xì)菌每15分鐘分裂1次，試回答下列問題：（1）如果現(xiàn)在瓶子里有這種細(xì)菌100個(gè)，那么30分鐘后，瓶子里有多少個(gè)這種細(xì)菌？（2）3小時(shí)后這種細(xì)菌的數(shù)量是1小時(shí)后的幾倍？【分析】根據(jù)細(xì)菌分裂規(guī)律，利用乘方的意義計(jì)算即可得到結(jié)果．【解答】解：（1）30分鐘后，瓶子里的細(xì)菌個(gè)數(shù)為：30÷15＝2（次），100×22＝400（個(gè)），答：30分鐘后，瓶子里有400個(gè)這種細(xì)菌．（2）60÷15＝4（次），3×60÷15＝12（次），212÷24＝28＝256，答：3小時(shí)后這種細(xì)菌的數(shù)量是1小時(shí)后的256倍．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了有理數(shù)的乘方，熟練掌握乘方的意義是解本題的關(guān)鍵．題型六科學(xué)記數(shù)法題型六科學(xué)記數(shù)法【例題6】（2023春?瓊海期末）新華社北京5月5日電，記者從國(guó)家郵政局獲悉，“五一”假期全國(guó)郵政快遞業(yè)攬收快遞包裹1340000000件，同比增長(zhǎng)2.3%，其中1340000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．13.4×108 B．0.134×1010 C．1.34×109 D．1.34×108【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)時(shí)，一般形式為a×10n，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，且n比原來的整數(shù)位數(shù)少1，據(jù)此判斷即可．【解答】解：1340000000＝1.34×109．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，一般形式為a×10n，其中1≤|a|＜10，確定a與n的值是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉1、科學(xué)記數(shù)法：把一個(gè)大于10的數(shù)記成a×10n的形式，其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，n是正整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法．10的指數(shù)比原來的整數(shù)位數(shù)少1．2、科學(xué)記數(shù)法a×10n表示的數(shù)，“還原”成通常表示的數(shù)，就是把a(bǔ)的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)n位所得到的數(shù)．【變式6-1】（2023?思明區(qū)校級(jí)模擬）2022年5月17日，工業(yè)和信息化部負(fù)責(zé)人在“2022世界電信和信息社會(huì)日”大會(huì)上宣布，我國(guó)目前已建成5G基站近1600000個(gè)．將數(shù)據(jù)1600000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．160×104 B．16×105 C．1.6×106 D．1.6×107【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同，當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值≥10時(shí)，n是正整數(shù)，當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)整數(shù)．【解答】解：1600000＝1.6×106，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．【變式6-2】（2023?長(zhǎng)沙縣二模）湘雅路過江通道工程是長(zhǎng)沙市區(qū)“十八橫十六縱”三十四條主干路之一，位于三一大道與營(yíng)盤路之間，總投資53.278億元．其中數(shù)據(jù)53.278億元精確到哪位？（）A．萬位 B．十萬位 C．百萬位 D．億位【分析】根據(jù)近似數(shù)的精確度求解．【解答】解：數(shù)據(jù)53.278億精確到的位數(shù)是十萬位．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了近似數(shù)和有效數(shù)字：近似數(shù)與精確數(shù)的接近程度，可以用精確度表示．一般有，精確到哪一位，保留幾個(gè)有效數(shù)字等說法．【變式6-3】（2023?長(zhǎng)沙一模）2022年10月16日，中國(guó)共產(chǎn)黨第二十次全國(guó)代表大會(huì)在北京人民大會(huì)堂開幕．開幕式中一組組亮眼的數(shù)據(jù)，展示了新時(shí)代十年發(fā)展的新成就．其中，國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值從540000億元增長(zhǎng)到1140000億元．把“1140000”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．0.114×107 B．1.14×106 C．11.4×105 D．114×104【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值≥10時(shí)，n是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)整數(shù)．【解答】解：1140000＝1.14×106．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．【變式6-4】（2023?順德區(qū)校級(jí)三模）2023年五蓮高鐵將開工！京滬高鐵輔助通道濰坊至宿遷鐵路工程（新開工），日照境內(nèi)約49.8公里，設(shè)五蓮北站、莒縣北站，投資約94.42億元．將數(shù)據(jù)94.42億用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．0.9442×1012 B．9.442×109 C．9.442×1010 D．94.42×108【分析】將一個(gè)數(shù)表示成a×10n，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，這種表示數(shù)的方法叫做科學(xué)記數(shù)法，據(jù)此即可得出答案．【解答】解：94.42億＝9442000000＝9.442×109，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，科學(xué)記數(shù)法是基礎(chǔ)且重要知識(shí)點(diǎn)，必須熟練掌握．【變式6-5】（2023春?豐寧縣期末）光年是天文學(xué)上的一種距離單位，一光年是指光在一年內(nèi)走過的路程，約等于9.46×1012km．據(jù)探測(cè)某星體距離地球約為2光年，則2光年用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．9.46×1013 B．18.92×1012 C．1.892×1013 D