2025屆云南省永仁縣一中數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題含解析

2025屆云南省永仁縣一中數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充分必要條件 D.既不充分也不必要條件2．已知等比數(shù)列中，，，則首項(xiàng)（）A. B.C. D.03．拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是A. B.C. D.4．若定義在R上的函數(shù)滿(mǎn)足，則不等式的解集為（）A. B.C. D.5．若直線(xiàn)與圓相交于、兩點(diǎn)，且（其中為原點(diǎn)），則的值為（）A. B.C. D.6．設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，則數(shù)列（）A.是等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列 B.是等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列C.是等比數(shù)列，也是等差數(shù)列 D.既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列7．已知圓與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)相切，則實(shí)數(shù)p的值為（）A.2 B.6C.3或8 D.2或68．已知直線(xiàn)與平行，則系數(shù)（）A. B.C. D.9．連續(xù)拋擲一枚均勻硬幣3次，事件“至少2次出現(xiàn)正面”的對(duì)立事件是（）A.只有2次出現(xiàn)反面 B.至少2次出現(xiàn)正面C.有2次或3次出現(xiàn)正面 D.有2次或3次出現(xiàn)反面10．兩個(gè)圓和的位置是關(guān)系是（）A.相離 B.外切C.相交 D.內(nèi)含11．若，，則下列各式中正確的是（）A. B.C. D.12．命題“存在，使得”的否定為（）A.存在， B.對(duì)任意，C.對(duì)任意， D.對(duì)任意，二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．等差數(shù)列中，若，，則______，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則______14．已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)___________.15．已知莖葉圖記錄了甲、乙兩組各名學(xué)生在一次英語(yǔ)聽(tīng)力測(cè)試中的成績(jī)（單位：分）．已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則的值為_(kāi)_________．甲組乙組16．矩形ABCD中，，在CD邊上任取一點(diǎn)M，則的最大邊是AB的概率為_(kāi)_____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知圓：，定點(diǎn)，A是圓上的一動(dòng)點(diǎn)，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)交半徑于P點(diǎn)（1）求P點(diǎn)的軌跡C的方程；（2）設(shè)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)且與曲線(xiàn)C相交于M，N兩點(diǎn)，不經(jīng)過(guò)點(diǎn)．證明：直線(xiàn)MQ的斜率與直線(xiàn)NQ的斜率之和為定值18．（12分）已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為2（1）求C的方程;（2）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，點(diǎn)Q滿(mǎn)足，求直線(xiàn)斜率最大值.19．（12分）已知，C是圓B：（B是圓心）上一動(dòng)點(diǎn)，線(xiàn)段AC的垂直平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)P（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的方程；（2）設(shè)E，F(xiàn)為與x軸的兩交點(diǎn)，Q是直線(xiàn)上動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)QE，QF分別交于M，N兩點(diǎn)，求證：直線(xiàn)MN過(guò)定點(diǎn)20．（12分）設(shè)點(diǎn)，動(dòng)圓P經(jīng)過(guò)點(diǎn)F且和直線(xiàn)相切，記動(dòng)圓的圓心P的軌跡為曲線(xiàn)W（1）求曲線(xiàn)W的方程；（2）直線(xiàn)與曲線(xiàn)W交于A、B兩點(diǎn)，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)T的坐標(biāo)為，記直線(xiàn)TA，TB的斜率分別為，，則是否為定值，若是求出，不是說(shuō)明理由21．（12分）在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，O為原點(diǎn)，已知點(diǎn)，，，設(shè)向量，.（1）求與夾角的余弦值；（2）若與互相垂直，求實(shí)數(shù)k的值.22．（10分）如圖，在正方體中，E為的中點(diǎn)（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義直接判斷即可.【詳解】若，則，即或，推不出；反過(guò)來(lái)，若，可推出.故“”是“”的充分不必要條件故選：A.2、B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，列出方程組，即可求得，進(jìn)而可求得答案.【詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為q，則，解得，所以.故選：B3、D【解析】根據(jù)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為可知，拋物線(xiàn)即的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選D.考點(diǎn)：拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì).4、B【解析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)題意，求得其單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性解不等式即可.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則，故在上單調(diào)遞減；又，故可得，則，即，解得，故不等式解集為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考察利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，以及利用函數(shù)單調(diào)性求解不等式，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，屬中檔題.5、D【解析】分析出為等腰直角三角形，可得出原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得出關(guān)于的等式，由此可解得的值.【詳解】圓的圓心為原點(diǎn)，由于且，所以，為等腰直角三角形，且圓心到直線(xiàn)的距離為，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得，解得.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用圓周角求參數(shù)，解題的關(guān)鍵在于求出弦心距，再利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式列方程求解參數(shù).6、B【解析】根據(jù)與的關(guān)系求出通項(xiàng)，然后可知答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上，的通項(xiàng)公式為，數(shù)列為等差數(shù)列同理，由等比數(shù)列定義可判斷數(shù)列不是等比數(shù)列.故選：B7、D【解析】由拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)與圓相切，結(jié)合拋物線(xiàn)方程，令求切線(xiàn)方程且拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)方程為，即可求參數(shù)p.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，故當(dāng)時(shí)，有或，所以或，得或6故選：D8、B【解析】由直線(xiàn)的平行關(guān)系可得，解之可得【詳解】解：直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，，解得故選：9、D【解析】根據(jù)對(duì)立事件的定義選擇【詳解】對(duì)立事件是指事件A和事件B必有一件發(fā)生，連續(xù)拋擲一枚均勻硬幣3次，“至少2次出現(xiàn)正面”即有2次或3次出現(xiàn)正面，對(duì)立事件為“有2次或3次出現(xiàn)反面”故選：D10、C【解析】根據(jù)圓的方程得出兩圓的圓心和半徑，再得出圓心距離與兩圓的半徑的關(guān)系，可得選項(xiàng).【詳解】圓的圓心為，半徑，的圓心為，半徑，則，所以?xún)蓤A的位置是關(guān)系是相交，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查兩圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵在于運(yùn)用判定兩圓的位置關(guān)系一般利用幾何法.即比較圓心之間的距離與半徑之和、之差的大小關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】根據(jù)題意，結(jié)合，，利用不等式的性質(zhì)可判斷，從而判斷，再利用不等式性質(zhì)得出正確答案.【詳解】，，，又，，兩邊同乘以負(fù)數(shù)，可知故選：D12、D【解析】根據(jù)特稱(chēng)命題否定的方法求解，改變量詞，否定結(jié)論.【詳解】由題意可知命題“存在，使得”的否定為“對(duì)任意，”.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.②.【解析】設(shè)等差數(shù)列公差為d，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求通項(xiàng)公式；，采用裂項(xiàng)相消的方法求.【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為d，，，；∵，∴.故答案為：；.14、【解析】當(dāng)時(shí)，利用及求得函數(shù)的解析式.【詳解】當(dāng)時(shí)，，由于函數(shù)是奇函數(shù)，故.【點(diǎn)睛】本小題主要考查已知函數(shù)的奇偶性以及軸一側(cè)的解析式，求另一側(cè)的解析式，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】根據(jù)中位數(shù)、平均數(shù)的定義，結(jié)合莖葉圖進(jìn)行計(jì)算求解即可.【詳解】根據(jù)莖葉圖可知：甲組名學(xué)生在一次英語(yǔ)聽(tīng)力測(cè)試中的成績(jī)分別；乙組名學(xué)生在一次英語(yǔ)聽(tīng)力測(cè)試中的成績(jī)分別，因?yàn)榧捉M數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，所以有，又因?yàn)橐医M數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所以有，所以，故答案為：16、【解析】先利用勾股定理得出滿(mǎn)足條件的長(zhǎng)度，再結(jié)合幾何概型的概率公式得出答案.【詳解】設(shè)，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)?shù)降木嚯x都大于時(shí)，的最大邊是AB，所以的最大邊是AB的概率為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見(jiàn)解析，定值為-1.【解析】(1)根據(jù)給定條件探求出，再利用橢圓定義即可得軌跡C的方程.(2)由給定條件可得直線(xiàn)的斜率k存在且不為0，寫(xiě)出直線(xiàn)的方程，再聯(lián)立軌跡C的方程，借助韋達(dá)定理計(jì)算作答.【小問(wèn)1詳解】圓：的圓心，半徑為8，因A是圓上一動(dòng)點(diǎn)，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)交半徑于P點(diǎn)，則，于是得，因此，P點(diǎn)的軌跡C是以，為左右焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=8的橢圓，短半軸長(zhǎng)b有，所以P點(diǎn)的軌跡C的方程是.【小問(wèn)2詳解】因直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)且與曲線(xiàn)C：相交于M，N兩點(diǎn)，則直線(xiàn)的斜率存在且不為0，又不經(jīng)過(guò)點(diǎn)，即直線(xiàn)的斜率不等于-1，設(shè)直線(xiàn)的斜率為k，且，直線(xiàn)的方程為：，即，由消去y并整理得：，，即，則有且，設(shè)，則，直線(xiàn)MQ的斜率，直線(xiàn)NQ的斜率，，所以直線(xiàn)MQ的斜率與直線(xiàn)NQ的斜率之和為定值.18、（1）；（2）最大值為.【解析】（1）由拋物線(xiàn)焦點(diǎn)與準(zhǔn)線(xiàn)的距離即可得解；（2）設(shè)，由平面向量的知識(shí)可得，進(jìn)而可得，再由斜率公式及基本不等式即可得解.【詳解】（1）拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線(xiàn)方程為，由題意，該拋物線(xiàn)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為，所以該拋物線(xiàn)的方程為；（2）[方法一]：軌跡方程+基本不等式法設(shè)，則，所以，由在拋物線(xiàn)上可得，即，所以直線(xiàn)的斜率，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋藭r(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立；當(dāng)時(shí)，；綜上，直線(xiàn)斜率的最大值為.[方法二]：【最優(yōu)解】軌跡方程+數(shù)形結(jié)合法同方法一得到點(diǎn)Q的軌跡方程為設(shè)直線(xiàn)的方程為，則當(dāng)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切時(shí)，其斜率k取到最值．聯(lián)立得，其判別式，解得，所以直線(xiàn)斜率的最大值為[方法三]：軌跡方程+換元求最值法同方法一得點(diǎn)Q的軌跡方程為設(shè)直線(xiàn)的斜率為k，則令，則的對(duì)稱(chēng)軸為，所以．故直線(xiàn)斜率的最大值為[方法四]參數(shù)+基本不等式法由題可設(shè)因，所以于是，所以則直線(xiàn)的斜率為當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，所以直線(xiàn)斜率的最大值為【整體點(diǎn)評(píng)】方法一根據(jù)向量關(guān)系，利用代點(diǎn)法求得Q的軌跡方程，得到直線(xiàn)OQ的斜率關(guān)于的表達(dá)式，然后利用分類(lèi)討論，結(jié)合基本不等式求得最大值；方法二同方法一得到點(diǎn)Q的軌跡方程，然后利用數(shù)形結(jié)合法，利用判別式求得直線(xiàn)OQ的斜率的最大值，為最優(yōu)解；方法三同方法一求得Q的軌跡方程，得到直線(xiàn)的斜率k的平方關(guān)于的表達(dá)式，利用換元方法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求得最大值，進(jìn)而得到直線(xiàn)斜率的最大值；方法四利用參數(shù)法，由題可設(shè)，求得x,y關(guān)于的參數(shù)表達(dá)式，得到直線(xiàn)的斜率關(guān)于的表達(dá)式，結(jié)合使用基本不等式，求得直線(xiàn)斜率的最大值.19、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）根據(jù)，利用橢圓的定義求解；（2）（解法1）設(shè)，得到，的方程，與橢圓方程聯(lián)立，求得M，N的坐標(biāo)，寫(xiě)出直線(xiàn)的方程求解；（解法2）上同解法1，由對(duì)稱(chēng)性分析知?jiǎng)又本€(xiàn)MN所過(guò)定點(diǎn)一定在x軸上，設(shè)所求定點(diǎn)為，由C，D，T三點(diǎn)共線(xiàn)，然后由求解；（解法3）設(shè)，由，，設(shè)：，：，其中，與橢圓方程聯(lián)立，整理得，由F，M，N三點(diǎn)的橫坐標(biāo)為該方程的三個(gè)根，得到：求解.【小問(wèn)1詳解】解：由題知，則，由橢圓的定義知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)，6為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓，所以軌跡的方程為【小問(wèn)2詳解】（解法1）易知E，F(xiàn)為橢圓的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，不妨設(shè)，，設(shè)，則，，于是：，：，聯(lián)立得，解得或，易得，同理當(dāng)，即時(shí)，：；當(dāng)時(shí)，有，于是：，即綜上直線(xiàn)MN過(guò)定點(diǎn)（解法2）上同解法1，得，，由對(duì)稱(chēng)性分析知?jiǎng)又本€(xiàn)MN所過(guò)定點(diǎn)一定在x軸上，設(shè)所求定點(diǎn)為，由C，D，T三點(diǎn)共線(xiàn)，得，即，于是，整理得，由t的任意性知，即，所以直線(xiàn)MN過(guò)定點(diǎn)（解法3）設(shè)，則，，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)MN即為x軸；當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，則，設(shè)：，：，其中，聯(lián)立，得，整理得，易知F，M，N三點(diǎn)的橫坐標(biāo)為該方程的三個(gè)根，所以：，由及的任意性，知直線(xiàn)MN過(guò)定點(diǎn)20、（1）；（2）是定值，.【解析】(1)根據(jù)給定條件結(jié)合拋物線(xiàn)定義直接求解作答.(2)聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程，借助韋達(dá)定理、斜率坐標(biāo)公式計(jì)算作答.【小問(wèn)1詳解】過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)N，依題意，，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以為焦點(diǎn)，直線(xiàn)為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，所以曲線(xiàn)W的方程是.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，，由消去x并整理得：，則，，因，，則，，因此，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值21、（1）（2）【解析】（1）由向量的坐標(biāo)先求出，，，由向量的夾角公式可得答案.（2）由題意可得，從而求出參數(shù)的值【小問(wèn)1詳解】由題，，，故，，，所以故與夾角余弦值為.【小問(wèn)2詳解】由與的互相垂直知，，，即22、（Ⅰ）證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）證明出四邊形為平行四邊形，可得出，然后利用線(xiàn)面平行的判定定理可證得結(jié)論；也可利用空間向量計(jì)算證明；（Ⅱ）可以將平面擴(kuò)展，將線(xiàn)面角轉(zhuǎn)化，利用幾何方法作出線(xiàn)面角，然后計(jì)算；也可以建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計(jì)算求解.【詳解】（Ⅰ）[方法一]：幾何法如下圖所示：在正方體中，且，且，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，平面；[方法二]:空間向量坐標(biāo)法以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則、、、，，，設(shè)平面的法向量為，由，得，令，則，，則.又∵向量,,又平面，平面；（Ⅱ）[方法一]：幾何法延長(zhǎng)到，使得，連接，交于，又∵，∴四邊形為平行四邊形，∴，又∵,∴,所以平面即平面,連接，作,垂足為,連接,∵平面,平面,∴，又∵,∴直線(xiàn)平面,又∵直線(xiàn)平面,∴平面平面,∴在平面中的射影在直線(xiàn)上,∴直線(xiàn)為直線(xiàn)在平面中的射影，∠為直線(xiàn)與平面所成的角，根據(jù)直線(xiàn)直線(xiàn)，可知∠為直線(xiàn)與平面所成的角.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則,,∴,∴,∴,即直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.[方法二]：向量法接續(xù)（I)的向量方法，求得平面平面的法向量，又∵,∴，∴直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.[方法三]：幾何法+體積法如圖，設(shè)的中點(diǎn)為F，延長(zhǎng)，易證三線(xiàn)交于一點(diǎn)P因?yàn)椋灾本€(xiàn)與平面所成的角，即直線(xiàn)與平面所成的角設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，在中，易得，可得由，得，整理