湖北省棗陽市白水高級(jí)中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末經(jīng)典試題含解析

湖北省棗陽市白水高級(jí)中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末經(jīng)典試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)橢圓C：的右焦點(diǎn)為F，過原點(diǎn)O的動(dòng)直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，那么的周長的取值范圍為（）A. B.C. D.2．圓錐曲線具有豐富的光學(xué)性質(zhì)，從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)．直線l：與橢圓C：相切于點(diǎn)P，橢圓C的焦點(diǎn)為，，由光學(xué)性質(zhì)知直線，與l的夾角相等，則的角平分線所在的直線的方程為（）A. B.C. D.3．已知定義在R上的函數(shù)滿足，且有，則的解集為（）A B.C. D.4．已知拋物線，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，點(diǎn)為切點(diǎn).若的面積不大于，則的取值范圍是（）A. B.C. D.5．圓關(guān)于直線對稱，則的最小值是（）A. B.C. D.6．在中，內(nèi)角的對邊分別為，若，則角為A. B.C. D.7．若將雙曲線繞其對稱中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后可得到某一函數(shù)的圖象，且該函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，則雙曲線C的離心率為（）A. B.C.2 D.8．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點(diǎn)，，A為垂足．如果直線AF的斜率是，那么（）A B.C.16 D.89．下列函數(shù)是偶函數(shù)且在上是減函數(shù)的是A. B.C. D.10．已知拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)重合，過坐標(biāo)原點(diǎn)作兩條互相垂直的射線，，與分別交于，則直線過定點(diǎn)（）A. B.C. D.11．由下面的條件一定能得出為銳角三角形的是（）A. B.C. D.12．已知雙曲線右頂點(diǎn)為，以為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點(diǎn)，若，則的離心率為（）A.2 B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在數(shù)列中，若，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式__________14．已知向量，，不共線，點(diǎn)在平面內(nèi)，若存在實(shí)數(shù)，，，使得，那么的值為________.15．已知為直線上的動(dòng)點(diǎn)，為函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為______16．設(shè)空間向量，且，則___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列滿足，，數(shù)列前項(xiàng)和為.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）表示不超過的最大整數(shù)，如，設(shè)的前項(xiàng)和為，令，求證：.18．（12分）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若公差，且，，成等比數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.19．（12分）如圖所示的四棱錐的底面是一個(gè)等腰梯形，，且，是△的中線，點(diǎn)E是棱的中點(diǎn)（1）證明：∥平面（2）若平面平面，且，求平面與平面夾角余弦值（3）在（2）條件下，求點(diǎn)D到平面的距離20．（12分）已知等差數(shù)列}的公差為整數(shù)，為其前n項(xiàng)和，，（1）求{}的通項(xiàng)公式：（2）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求21．（12分）某校高二年級(jí)全體學(xué)生參加了一次數(shù)學(xué)測試，學(xué)校利用簡單隨機(jī)抽樣方法從甲班、乙班各抽取五名同學(xué)的數(shù)學(xué)測試成績（單位：分）得到如下莖葉圖，若甲、乙兩班數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等且平均數(shù)也相等.（1）求出莖葉圖中m和n的值：（2）若從86分以上（不含86分）的同學(xué)中隨機(jī)抽出兩名，求此兩人都來自甲班的概率.22．（10分）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，以F和準(zhǔn)線上的兩點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是邊長為的等邊三角形，過的直線交拋物線E于A，B兩點(diǎn)（1）求拋物線E的方程；（2）是否存在常數(shù)，使得，如果存在，求的值，如果不存在，請說明理由；（3）證明：內(nèi)切圓的面積小于

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)橢圓的對稱性橢圓的定義可得，結(jié)合的范圍求的周長的取值范圍.【詳解】的周長，又因?yàn)锳，B兩點(diǎn)為過原點(diǎn)O的動(dòng)直線l與橢圓C的交點(diǎn)，所以A，B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，橢圓C的左焦點(diǎn)為，則，所以，又因?yàn)槿c(diǎn)不共線，所以，所以的周長的取值范圍為，故選：A.2、A【解析】先求得點(diǎn)坐標(biāo)，然后求得的角平分線所在的直線的方程.【詳解】，直線的斜率為，由于直線，與l的夾角相等，則的角平分線所在的直線的斜率為，所以所求直線方程為.故選：A3、A【解析】構(gòu)造，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)及已知條件判斷的單調(diào)性，而題設(shè)不等式等價(jià)于即可得解.【詳解】設(shè)，則，∴在R上單調(diào)遞增.又，則.∵等價(jià)于，即，∴，即所求不等式的解集為.故選：A4、C【解析】由題意，設(shè)，直線方程為，則由點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)到直線的距離，再聯(lián)立直線與拋物線方程，由韋達(dá)定理及弦長公式求出，進(jìn)而可得，結(jié)合即可得答案.【詳解】解：因?yàn)閽佄锞€的性質(zhì)：在拋物線上任意一點(diǎn)處的切線方程為，設(shè)，所以在點(diǎn)處的切線方程為，在點(diǎn)B處的切線方程為，因?yàn)閮蓷l切線都經(jīng)過點(diǎn)，所以，，所以直線的方程為，即，點(diǎn)到直線的距離為，聯(lián)立直線與拋物線方程有，消去得，由得，，由韋達(dá)定理得，所以弦長，所以，整理得，即，解得，又所以.故選：C.5、C【解析】先求出圓的圓心坐標(biāo)，根據(jù)條件可得直線過圓心，從而可得，然后由，展開利用均值不等式可得答案.【詳解】由圓可得標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)閳A關(guān)于直線對稱，該直線經(jīng)過圓心，即，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故選：C.6、A【解析】因?yàn)椋敲唇Y(jié)合，所以cosA==，所以A=，故答案為A考點(diǎn)：正弦定理與余弦定理點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦定理與余弦定理的基本應(yīng)用，屬于中等題.7、C【解析】由題意，可知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為120°，再確定參數(shù)的正負(fù)即可求解.【詳解】雙曲線，令，則，顯然，則一條漸近線方程為，繞其對稱中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后可得到某一函數(shù)的圖象，則漸近線就需要旋轉(zhuǎn)到與坐標(biāo)軸重合，故漸近線方程的傾斜角為120°，即，該函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，可知，所以，所以.故選：C8、D【解析】由題可得方程，進(jìn)而可得點(diǎn)坐標(biāo)及點(diǎn)坐標(biāo)，利用拋物線定義即求【詳解】∵拋物線方程為，∴焦點(diǎn)F(2,0)，準(zhǔn)線l方程為x=?2，∵直線AF的斜率為,直線AF的方程為，由，可得，∵PA⊥l，A為垂足，∴P點(diǎn)縱坐標(biāo)為，代入拋物線方程，得P點(diǎn)坐標(biāo)為，∴.故選：D.9、C【解析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)中函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，綜合即可得答案【詳解】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對于A，為一次函數(shù)，不是偶函數(shù)，不符合題意；對于B，，，為奇函數(shù)，不是偶函數(shù)，不符合題意；對于C，，為二次函數(shù)，是偶函數(shù)且在上是減函數(shù)，符合題意；對于D，，，為奇函數(shù)，不是偶函數(shù)，不符合題意；故選C【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的判定，關(guān)鍵是掌握常見函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題10、A【解析】由橢圓方程可求得坐標(biāo)，由此求得拋物線方程；設(shè)，與拋物線方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的形式，根據(jù)可得，由此構(gòu)造方程求得，根據(jù)直線過定點(diǎn)的求法可求得定點(diǎn).【詳解】由橢圓方程知其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，又拋物線焦點(diǎn)，，解得：，則拋物線的方程為，由題意知：直線斜率不為，可設(shè)，由得：，則，即，設(shè)，，則，，，，，解得：或；又與坐標(biāo)原點(diǎn)不重合，，，當(dāng)時(shí)，，直線恒過定點(diǎn).故選：A.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查直線與拋物線綜合應(yīng)用中的直線過定點(diǎn)問題的求解，求解此類問題的基本思路如下：①假設(shè)直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，整理為關(guān)于或的一元二次方程的形式；②利用求得變量的取值范圍，得到韋達(dá)定理的形式；③利用韋達(dá)定理表示出已知中的等量關(guān)系，代入韋達(dá)定理可整理得到變量間的關(guān)系，從而化簡直線方程；④根據(jù)直線過定點(diǎn)的求解方法可求得結(jié)果.11、D【解析】對于A，兩邊平方得，由得，即為鈍角；對于B，由正弦定理求出，進(jìn)而求出，可得結(jié)果；對于C，根據(jù)平方關(guān)系將余弦化為正弦，用正弦定理可將角轉(zhuǎn)化為邊，進(jìn)而可得的值，從而作出判斷；對于D，由可得，推出，，，故可知三個(gè)內(nèi)角均為銳角【詳解】解：對于A，由，兩邊平方整理得，，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以為鈍角三角形，故A不正確；對于B，由，得，所以，因?yàn)?，所以，所以或，所以或，所以為直角三角形或鈍角三角形，故B不正確；對于C，因?yàn)?，所以，即，由正弦定理得，由余弦定理得，因?yàn)椋?，故三角形為鈍角三角形，C不正確；對于D，由可得，因?yàn)橹凶疃嘀挥幸粋€(gè)鈍角，所以，，中最多只有一個(gè)為負(fù)數(shù)，所以，，，所以中三個(gè)內(nèi)角都為銳角，所以為銳角三角形，故D正確；故選：D12、B【解析】，得出到漸近線的距離為，由此可得的關(guān)系，從而求得離心率【詳解】因?yàn)?，而，所以是等邊三角形，到直線的距離為，又，漸近線方程取，即，所以，化簡得故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由已知可得數(shù)列是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可得解.【詳解】解：由在數(shù)列中，若，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可得，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，重點(diǎn)考查了運(yùn)算能力，屬基礎(chǔ)題.14、1【解析】通過平面向量基本定理推導(dǎo)出空間向量基本定理得推論.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在平面內(nèi)，則由平面向量基本定理得：存在，使得：即，整理得：，又，所以，，，從而.故答案為：115、【解析】求得的導(dǎo)數(shù)，由題意可得與直線平行的直線和曲線相切，然后求出的值最小，設(shè)出切點(diǎn)，求出切線方程，再由兩直線平行的距離公式，得到的最小值【詳解】解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，設(shè)與直線平行的直線與曲線相切，設(shè)切點(diǎn)為，則，所以，所以，所以，所以，所以切線方程為，可得的最小值為，故答案為：16、1【解析】根據(jù)，由求解.【詳解】因?yàn)橄蛄?，且，所以，即，解?故答案為：1三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）證明見解析【解析】(1)利用累加法求通項(xiàng)公式，利用通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的關(guān)系可求的通項(xiàng)公式；(2)求出并判斷其范圍，求出，利用裂項(xiàng)相消法求的前n項(xiàng)和即可證明.【小問1詳解】由題可知，當(dāng)n≥2時(shí)，＝當(dāng)n＝1時(shí)，也符合上式，∴；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)n＝1時(shí)，也符合上式，∴；【小問2詳解】由(1)知，∴，∵，；∵，，，，，∴設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則.18、（1）；（2）.【解析】（1）由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)列方程可得數(shù)列首項(xiàng)與公差，即可得解；（2）由，結(jié)合裂項(xiàng)相消法即可得解.【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，，，，成等比數(shù)列，所以，所以，即，又因?yàn)椋?，所以；?）因?yàn)?，所?【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用及裂項(xiàng)相消法的應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.19、（1）證明見解析；（2）；（3）.【解析】（1）連接、，平行四邊形的性質(zhì)、線面平行的判定可得平面、平面，再根據(jù)面面平行的判定可得平面平面，利用面面平行的性質(zhì)可證結(jié)論；（2）取的中點(diǎn)為，連接，證明出平面，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得平面與平面所成銳二面角的余弦值.（3）利用等體積法，求D到平面的距離【小問1詳解】連接、，由、分別是棱、的中點(diǎn)，則，平面，平面，則平面又，且，∴且，四邊形是平行四邊形，則，平面，平面，則平面又，可得平面平面．又平面∴平面【小問2詳解】由知：，又平面平面，平面平面，平面，∴平面取的中點(diǎn)為，連接、，由且，故四邊形為平行四邊形，故，則△為等邊三角形，故，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為軸、軸、軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系易知，，所以、、、、，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得設(shè)平面的法向量為，則，令，得設(shè)平面與平面所成的銳二面角為．則，即平面與平面所成銳二面角的余弦值為【小問3詳解】由（2）知：平面，則是三棱錐的高且，四邊形為平行四邊形，又，即為菱形，∴，而，則，且，∴，故.又，由上易知：△為等腰三角形且，∴，則D到平面的距離.20、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)題意利用等差數(shù)列的性質(zhì)列出方程，即可解得答案；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，求出的表達(dá)式，利用裂項(xiàng)求和的方法求得答案.小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列{}的公差為d，則,整理可得：，∵d是整數(shù)，解得，從而，所以數(shù)列{}的通項(xiàng)公式為：;【小問2詳解】由（1）知，，所以21、（1），（2）【解析】（1）根據(jù)莖葉圖得甲班中位數(shù)為，由此能求出，根據(jù)由，且，能求出.（2）甲班86分以上有2人，乙班86分以有2人，從86分以上(不含86分)的同學(xué)中隨機(jī)抽出兩名，用列舉法寫出基本事件總數(shù)，再利用古典概型的概率計(jì)算公式即可求解.【小問1詳解】根據(jù)莖葉圖可知1班中位數(shù)為86，則，又∵，且故【小問2詳解】由（1）可知，甲班86分以上有2人，乙班86以上有2人設(shè)甲班86分以上2人為，，乙班86分以上2人為，，從中任取兩名同學(xué)共有，，，，,共有6組基本事件，且每組出現(xiàn)都是等可能的記：“從86分以上（不含86分）的同學(xué)中隨機(jī)抽出兩名，兩人都來自甲班”為事件