2025屆青海省湟川中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測(cè)模擬試題含解析

2025屆青海省湟川中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測(cè)模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀(guān)題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)是A. B.C. D.2．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，其?dǎo)函數(shù)為，若，則下列式子一定成立的是（）A. B.C. D.3．世界上最早在理論上計(jì)算出“十二平均律”的是我國(guó)明代杰出的律學(xué)家朱載堉，他當(dāng)時(shí)稱(chēng)這種律制為“新法密率”十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份，依次得到十三個(gè)單音，從第二個(gè)單音起，每一個(gè)單音的頻率與它前一個(gè)單音的頻率的比都相等，且最后一個(gè)單音是第一個(gè)單音頻率的2倍.已知第十個(gè)單音的頻率，則與第四個(gè)單音的頻率最接近的是（）A.880 B.622C.311 D.2204．雙曲線(xiàn)的左右焦點(diǎn)分別是，，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)在第一象限的交點(diǎn)為，在軸上的投影恰好是，則雙曲線(xiàn)的離心率是（）A. B.C. D.5．在空間中，“直線(xiàn)與沒(méi)有公共點(diǎn)”是“直線(xiàn)與異面”的（）A.必要不充分條件 B.充要條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件6．“”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件7．在中，角、、的對(duì)邊分別是、、，若．則的大小為（）A. B.C. D.8．已知四面體中，，若該四面體的外接球的球心為，則的面積為（）A. B.C. D.9．已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)為，是上一點(diǎn)，是直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的一個(gè)交點(diǎn)，若，則（）A. B.3C. D.210．已知雙曲線(xiàn)：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上.若為鈍角三角形，則的取值范圍是A. B.C. D.11．已知一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為，其中的單位為米，的單位為秒，則第1秒末的瞬時(shí)速度為（）A. B.C. D.12．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．棱長(zhǎng)為的正方體的頂點(diǎn)到截面的距離等于__________.14．雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)到C的漸近線(xiàn)的距離為，則C漸近線(xiàn)方程為_(kāi)_____15．已知函數(shù)，則________16．有一道樓梯共10階，小王同學(xué)要登上這道樓梯，登樓梯時(shí)每步隨機(jī)選擇一步一階或一步兩階，小王同學(xué)7步登完樓梯的概率為_(kāi)__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知二次函數(shù).（1）若時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（2）解關(guān)于的不等式（其中）.18．（12分）已知直線(xiàn)恒過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F（1）求拋物線(xiàn)的方程；（2）若直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，且，求直線(xiàn)的方程19．（12分）已知等差數(shù)列滿(mǎn)足，，的前項(xiàng)和為.（1）求及；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.20．（12分）已知雙曲線(xiàn)與有相同的漸近線(xiàn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求雙曲線(xiàn)的方程；（2）已知直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于不同的兩點(diǎn)，且線(xiàn)段的中點(diǎn)在圓上，求實(shí)數(shù)的值.21．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)的和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.22．（10分）已知函數(shù)其中.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，滿(mǎn)足，證明.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】先判斷焦點(diǎn)的位置，再?gòu)臉?biāo)準(zhǔn)型中找出即得焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】焦點(diǎn)在軸上，又，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選D.【點(diǎn)睛】求圓錐曲線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)，首先要把圓錐曲線(xiàn)的方程整理為標(biāo)準(zhǔn)方程，從而得到焦點(diǎn)的位置和焦點(diǎn)的坐標(biāo).2、B【解析】令，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，即可得到，從而求出答案【詳解】解：令，則，又不等式恒成立，所以，即，所以在單調(diào)遞增，故，即，所以，故選：B3、C【解析】依題意，每一個(gè)單音的頻率構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，由，算出公比，結(jié)合，即可求出.【詳解】設(shè)第一個(gè)單音的頻率為，則最后一個(gè)單音的頻率為，由題意知，且每一個(gè)單音的頻率構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，設(shè)公比為，則，解得：又，則與第四個(gè)單音的頻率最接近的是311,故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是分析題意將其轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的知識(shí)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】根據(jù)題意的到，，代入到雙曲線(xiàn)方程，解得，即，則，即，即，求解方程即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)原點(diǎn)為，∵直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)在第一象限的交點(diǎn)在軸上的投影恰好是，∴，且，∴，將代入到雙曲線(xiàn)方程，可得，解得，即，則，即，即，解得（舍負(fù)），故.故選:D.5、A【解析】由于在空間中，若直線(xiàn)與沒(méi)有公共點(diǎn)，則直線(xiàn)與平行或異面，再根據(jù)充分、必要條件的概念判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】在空間中，若直線(xiàn)與沒(méi)有公共點(diǎn)，則直線(xiàn)與平行或異面.故“直線(xiàn)與沒(méi)有公共點(diǎn)”是“直線(xiàn)與異面”的必要不充分條件.故選：A.6、B【解析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可；【詳解】解：由，得，反之不成立，如，，滿(mǎn)足，但是不滿(mǎn)足，故“”是“”的充分不必要條件故選：B7、B【解析】利用余弦定理結(jié)合角的范圍可求得角的值，再利用三角形的內(nèi)角和定理可求得的值.【詳解】因?yàn)?，則，則，由余弦定理可得，因?yàn)?，則，故.故選：B.8、C【解析】根據(jù)四面體的性質(zhì)，結(jié)合線(xiàn)面垂直的判定定理、球的性質(zhì)、正弦定理進(jìn)行求解即可.【詳解】由圖設(shè)點(diǎn)為中點(diǎn)，連接，由，所以，面，則面，且，所以球心面，所以平面與球面的截面為大圓，延長(zhǎng)線(xiàn)與此大圓交于點(diǎn).在三角形中，由，所以，由正弦定理知：三角形的外接圓半徑為，設(shè)三角形的外接圓圓心為點(diǎn)，則面，有，則，設(shè)的外接圓圓心為點(diǎn)，則面，由正弦定理知：三角形PAB的外接圓半徑為，所以，又三角形中，，所以為的角平分線(xiàn)，則，在直角三角形OMD中，，在直角三角形OED中，，在三角形中，取中點(diǎn)，由，所以，故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：運(yùn)用正弦定理、勾股定理、線(xiàn)面垂直的判定定理是解題的關(guān)鍵.9、D【解析】根據(jù)拋物線(xiàn)的定義求得，由此求得的長(zhǎng).【詳解】過(guò)作，垂足為，設(shè)與軸交點(diǎn)為.根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可知.由于，所以，所以，所以，所以.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線(xiàn)定義，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】根據(jù)雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，結(jié)合余弦定理分別討論當(dāng)為鈍角時(shí)的取值范圍，根據(jù)雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，可以只考慮點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上第一象限部分即可.【詳解】由題：雙曲線(xiàn)：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，必有，若為鈍角三角形，根據(jù)雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性不妨考慮點(diǎn)在雙曲線(xiàn)第一象限部分：當(dāng)為鈍角時(shí)，在中，設(shè)，有，，即，，所以；當(dāng)時(shí)，所在直線(xiàn)方程，所以，，，根據(jù)圖象可得要使，點(diǎn)向右上方移動(dòng)，此時(shí)，綜上所述：的取值范圍是.故選：C【點(diǎn)睛】此題考查雙曲線(xiàn)中焦點(diǎn)三角形相關(guān)計(jì)算，關(guān)鍵在于根據(jù)幾何意義結(jié)合特殊情況分類(lèi)討論，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想.11、C【解析】求出即得解.【詳解】解：由題意得，故質(zhì)點(diǎn)在第1秒末的瞬時(shí)速度為.故選：C12、C【解析】利用，把代入中，即可求出答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)勾股定理可以計(jì)算出，這樣得到是直角三角形，利用等體積法求出點(diǎn)到的距離.【詳解】解：如圖所示，在三棱錐中，是三棱錐的高，，在中，,,,所以是直角三角形，，設(shè)點(diǎn)到的距離為，.故A到平面的距離為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)到線(xiàn)的距離，利用等體積法求出點(diǎn)到面的距離.是解題的關(guān)鍵.14、【解析】根據(jù)給定條件求出雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)，再用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式計(jì)算作答【詳解】雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為：，即，依題意，，即，解得，所以C漸近線(xiàn)方程為.故答案為：15、.【解析】將代入計(jì)算，利用和互為相反數(shù)，作差可得，計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】解：函數(shù)則.，，作差可得：，即，解得：代入此時(shí)成立.故答案為：.16、【解析】由題意可分為步、步、步、步、步、步共6種情況，分別求出每種的基本事件數(shù)，再利用古典概型的概率公式計(jì)算可得；【詳解】解：由題意可分為步、步、步、步、步、步共6種情況，①步：即步兩階，有種；②步：即步兩階與步一階，有種；③步：即步兩階與步一階，有種；④步：即步兩階與步一階，有種；⑤步：即步兩階與步一階，有種；⑥步：即步一階，有種；綜上可得一共有種情況，滿(mǎn)足7步登完樓梯的有種；故7步登完樓梯的概率為故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）答案見(jiàn)解析.【解析】（1）結(jié)合分離常數(shù)法、基本不等式求得的取值范圍.（2）將原不等式轉(zhuǎn)化為，對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論，由此求得不等式的解集.【詳解】（1）不等式即為：，當(dāng)時(shí)，可變形為：，即.又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，，即.實(shí)數(shù)的取值范圍是：.（2）不等式，即，等價(jià)于，即，①當(dāng)時(shí)，不等式整理為，解得：；當(dāng)時(shí)，方程的兩根為：，.②當(dāng)時(shí)，可得，解不等式得：或；③當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋獠坏仁降茫?；④?dāng)時(shí)，因?yàn)?，不等式的解集為；⑤?dāng)時(shí)，因?yàn)?，解不等式得：；綜上所述，不等式的解集為：①當(dāng)時(shí)，不等式解集為；②當(dāng)時(shí)，不等式解集為；③當(dāng)時(shí)，不等式解集為；④當(dāng)時(shí)，不等式解集為；⑤當(dāng)時(shí)，不等式解集為.18、（1）（2）或【解析】（1）把直線(xiàn)化為，得到拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，求得，即可求得拋物線(xiàn)的方程；（2）聯(lián)立方程組，得到，，結(jié)合，列出方程求得的值，即可求得直線(xiàn)的方程【小問(wèn)1詳解】解：將直線(xiàn)化為，可得直線(xiàn)恒過(guò)點(diǎn)，即拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，所以，解得，所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為【小問(wèn)2詳解】解：由題意顯然,聯(lián)立方程組，整理得，設(shè)，，則，，因?yàn)椋?，解得，所以或，所以直線(xiàn)的方程為或19、（1），；（2）.【解析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及已知條件，，解方程組可得，，進(jìn)而可得等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式可得；（2）將數(shù)列的通項(xiàng)公式代入可得的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法求和可得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，由于，，所以，，解得，，所以，；（2）因?yàn)?，所以，故，，兩式相減得，所以.【點(diǎn)睛】本題的核心是考查錯(cuò)位相減求和.一般地，如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列{bn}的公比，然后作差求解.20、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)所求雙曲線(xiàn)與有共同的漸近線(xiàn)可設(shè)出所求雙曲線(xiàn)方程為，在根據(jù)點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，代入雙曲線(xiàn)方程中即可求解.（2）聯(lián)立直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的方程，得關(guān)于的一元二次方程，利用韋達(dá)定理得出的關(guān)系，再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出線(xiàn)段的中點(diǎn)的坐標(biāo)，代入圓方程即可求解.【小問(wèn)1詳解】由題意，設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為，則又因?yàn)殡p曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，，所以雙曲線(xiàn)的方程為：【小問(wèn)2詳解】由，消去整理，得，設(shè)，則因?yàn)橹本€(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于不同的兩點(diǎn)，所以，解得.，所以則中點(diǎn)坐標(biāo)為，代入圓得，解得.實(shí)數(shù)的值為21、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)，并結(jié)合等比數(shù)列的定義即可求得答案；（2）結(jié)合（1），并通過(guò)錯(cuò)位相減法即可求得答案.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，.【小問(wèn)2詳解】，…①…②①-②得，.22、（1）單調(diào)遞增區(qū)間,無(wú)遞減區(qū)間；（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，從而判斷其正負(fù)，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)題意可得到，進(jìn)而變形為，然后換元令，將證明的問(wèn)題轉(zhuǎn)換為成立的問(wèn)題，從而構(gòu)造新函數(shù)，求新函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷其單調(diào)性，求其最值，進(jìn)而證明不等式成立.【小問(wèn)1詳解】時(shí)，，,令，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，則，故是單調(diào)遞增函數(shù)，即的單調(diào)遞增區(qū)