研究生數值分析試卷

2005～2006學年第一學期碩士研究生期末考試試題（A卷）科目名稱：數值分析學生所在院：學號：姓名：注意：所有的答題內容必須答在答題紙上，凡答在試題或草稿紙上的一律無效.一、(15分）設求方程根的迭代法（1)證明對，均有,其中為方程的根。(2）此迭代法收斂階是多少?證明你的結論。二、（12分）討論分別用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解下列方程組的收斂性.三、(8分）若矩陣，說明對任意實數，方程組都是非病態(tài)的.（范數用)四、（15分）已知的數據如下：求的Hermite插值多項式,并給出截斷誤差。五、(10分）在某個低溫過程中，函數依賴于溫度x（℃)的試驗數據為12340．81．51．82．0已知經驗公式的形式為，試用最小二乘法求出,.六、(12分）確定常數，的值，使積分取得最小值。七、（14分）已知Legendre（勒讓德）正交多項式有遞推關系式：試確定兩點的高斯—勒讓德(G—L)求積公式的求積系數和節(jié)點，并用此公式近似計算積分八、(14分）對于下面求解常微分方程初值問題的單步法：驗證它是二階方法；確定此單步法的絕對穩(wěn)定域.2005～2006學年第一學期碩士研究生期末考試試題（B卷)科目名稱：數值分析學生所在院：學號：姓名：注意：所有的答題內容必須答在答題紙上，凡答在試題或草稿紙上的一律無效。一、（12分）討論分別用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解下列方程組的收斂性.二、（15分）設求方程根的迭代法(1)證明對,均有,其中為方程的根。（2)此迭代法收斂階是多少?證明你的結論。三、（8分）若矩陣，說明對任意實數，方程組都是非病態(tài)的。（范數用）四、（15分）已知的數據如下:123242-1求的Hermite插值多項式，并給出截斷誤差。五、（10分）在某個低溫過程中，函數依賴于溫度x（℃)的試驗數據為12340．81．51．82．0已知經驗公式的形式為，試用最小二乘法求出，。六、（12分）確定常數，的值,使積分取得最小值。七、（14分）對于求積公式：，其中：是區(qū)間上的權函數.證明此求積公式的代數精度不超過2n—1次;若此公式為Gauss型求積公式，試證明八、（14分)對于下面求解常微分方程初值問題的單步法：驗證它是二階方法；確定此單步法的絕對穩(wěn)定域。2006~2007學年第一學期碩士研究生期末考試試題（B卷）科目名稱:數值分析學生所在院：學號：姓名：注意：所有的答題內容必須答在答題紙上，凡答在試題或草稿紙上的一律無效。一、（12分）討論分別用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解下列方程組的收斂性。二、（8分）若矩陣，說明對任意實數，方程組都是非病態(tài)的.（范數用）三、（15分）設導數連續(xù)，迭代格式一階局部收斂到點。構造新的迭代格式：問如何選取常數及，使新迭代格式有更高的收斂階，并問是幾階收斂。四、(15分)已知的數據如下：123242—1求的Hermite插值多項式，并給出截斷誤差.五、（10分)在某個低溫過程中,函數依賴于溫度x（℃）的試驗數據為12340．81．51．82．0已知經驗公式的形式為，試用最小二乘法求出，。六、（12分）確定常數，的值，使積分取得最小值。七、（14分)對于求積公式：，其中:是區(qū)間上的權函數.證明此求積公式的代數精度不超過2n—1次;若此公式為Gauss型求積公式，試證明八、（14分）對于下面求解常微分方程初值問題的單步法：驗證它是二階方法；確定此單步法的絕對穩(wěn)定域。2006~2007學年第一學期碩士研究生期末考試試題(A卷）科目名稱：數值分析學生所在院：學號:姓名：注意：所有的答題內容必須答在答題紙上，凡答在試題或草稿紙上的一律無效。一、(12分）設方程組為用Doolittle分解法求解方程組；求矩陣A的條件數二、（12分）設A為n階對稱正定矩陣，A的n個特征值為,為求解方程組，建立迭代格式，求出常數的取值范圍，使迭代格式收斂.三、（12分）已知數據—2—101201210試用二次多項式擬合這些數據。四、（14分）已知的數據如下：12324123（1）求的Hermite插值多項式；（2）為求的值，采用算法:試導出截斷誤差R五、（12分）確定常數，的值，使積分取得最小值。六、（12)確定常數,使求積公式的代數精度盡可能高,并問是否是Gauss型公式。七、（12分)設導數連續(xù),迭代格式一階局部收斂到點。對于常數，構造新的迭代格式：問如何選取，使新迭代格式有更高的收斂階，并問是幾階收斂。八、(14分)對于下面求解常微分方程初值問題的單步法：驗證它是二階方法；確定此單步法的絕對穩(wěn)定區(qū)域。2007~2008學年第一學期碩士研究生期末考試試題科目名稱：數值分析學生所在院：學號:姓名：注意：所有的答題內容必須答在答題紙上,凡答在試題或草稿紙上的一律無效。一、(15分）給定方程（1）分析該方程存在幾個根；(2)用迭代法求出這些根,精確至2位有效數；(3)說明所用的迭代格式是收斂的.二、（15分)設線性方程組為證明用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法解此方程組要么同時收斂,要么同時發(fā)散.(2）當同時收斂時比較其收斂速度。三、(10分）設為非奇異矩陣,方程組的系數矩陣有擾動，受擾動后的方程組為，若,試證：四、（15分）已知的數據如下：求的Hermite插值多項式，并給出截斷誤差。五、（10分）已知數據i0123xi0123yi3247設，求常數a,b,使得六、（15分）定義內積在中求的最佳平方逼近元素.七、（10分)給定求積公式試確定，使此求積公式的代數精度盡可能高，并問是否是Gauss型公式.八、（10分）給定微分方程初值問題用一個二階方法計算在0.1,0.2處的近似值。取計算結果保留5位有效數字。2008～2009學年第一學期碩士研究生期末考試試題一、（本題共3小題，每題8分,共24分）解答下面各題：1)下表給出了函數f（x)在一些節(jié)點上的函數值：x0.00。10。20。30.40.50。60。70。8f（x)58630—3—335用復化Simpson求積公式近似計算函數f(x)在區(qū)間［0,0.8］上的積分。2)已知函數y=f（x）的觀察值如下表所示，使用Newton插值法求其插值多項式.x0123y230—13）取初值為2,利用Newton迭代法求方程:在［0，2]中的近似解。要求迭代兩次.（如果計算結果用小數表示，則最后結果應保留5位小數）。二、（本題15分)設常數a≠0，試求a的取值范圍,使得用雅可比(Jacobi）迭代法求解下面線性方程組時是收斂的。三、（本題16分)利用Hermite插值多項式構造下面的求積公式：并導出其積分余項。四（14分）已知方程在0.2附近有解，建立用于求解此解的