2024-2025學(xué)年滬教版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)（上）教案 第21章 二次函數(shù)與反比例函數(shù)21.4　二次函數(shù)的應(yīng)用（第1課時(shí)）

第21章二次函數(shù)與反比例函數(shù)21.4二次函數(shù)的應(yīng)用

第1課時(shí)利用二次函數(shù)解決幾何圖形面積的最值問題教學(xué)目標(biāo)1.通過復(fù)習(xí)讓學(xué)生系統(tǒng)性地掌握并認(rèn)識(shí)如何用函數(shù)的思想解決幾何問題中面積最值問題,培養(yǎng)整體性思想.2.能通過設(shè)置的問題,概括出用二次函數(shù)解決這類問題的基本思路和基本方法,并學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)問題的結(jié)論,分析是不是實(shí)際問題的解,掌握類比的數(shù)學(xué)思想方法.3.體會(huì)函數(shù)建模思想的同時(shí),體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的緊密聯(lián)系,培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真觀察、不斷反思、主動(dòng)糾錯(cuò)的能力和樂于思考、認(rèn)真嚴(yán)謹(jǐn)、細(xì)心的好習(xí)慣.教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決實(shí)際問題——圖形面積的最值問題.難點(diǎn)：探究在自變量取值范圍內(nèi)求出實(shí)際問題的解.教學(xué)過程導(dǎo)入新課二次函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用常見類型有拋物線型問題和最值問題.而最值問題考試類型有兩類:(1)利潤(rùn)最大問題；(2)幾何圖形中的最值問題:面積的最值、用料的最佳方案等.本節(jié)課,我們學(xué)習(xí)如何用二次函數(shù)解決實(shí)際問題中圖形面積的最值問題.【互動(dòng)】如何求二次函數(shù)的最值？1.當(dāng)自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)時(shí)，二次函數(shù)在頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)處取得最值.即當(dāng)x＝時(shí)，y最值＝.當(dāng)a＞0時(shí)，在頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)處取得最小值，此時(shí)不存在最大值；當(dāng)a＜0時(shí)，在頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)處取得最大值，此時(shí)不存在最小值.2.當(dāng)自變量的取值范圍是x1≤x≤x2時(shí)，(1)若x＝在自變量的取值范圍x1≤x≤x2內(nèi)，則最大值與最小值同時(shí)存在.如圖(1)，當(dāng)a＞0時(shí)，最小值在x＝處取得，最大值為函數(shù)在x＝x1，x＝x2時(shí)的較大的函數(shù)值；當(dāng)a＜0時(shí)，最大值在x＝處取得，最小值為函數(shù)在x＝x1，x＝x2時(shí)的較小的函數(shù)值.(2)若x＝不在自變量的取值范圍x1≤x≤x2內(nèi)，最大值和最小值同時(shí)存在，且函數(shù)在x＝x1，x＝x2時(shí)的函數(shù)值中，較大的為最大值，較小的為最小值，如圖(2).①②(1)(2)【活動(dòng)】例1分別在下列范圍內(nèi)求函數(shù)y＝x2-2x-3的最值.(1)0＜x＜2；(2)2≤x≤3.解：∵y＝x2-2x-3＝(x-1)2-4，∴該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，-4).(1)∵x＝1在0＜x＜2范圍內(nèi)，且a＝1＞0，∴當(dāng)x＝1時(shí)，y有最小值，y最小值＝-4.∵x＝1是0＜x＜2范圍的中點(diǎn)，∴在直線x＝1兩側(cè)二次函數(shù)的圖象左右對(duì)稱，端點(diǎn)處取不到，∴不存在最大值.(2)∵x＝1不在2≤x≤3范圍內(nèi)，而函數(shù)y＝x2-2x-3(2≤x≤3)的圖象是拋物線y＝x2-2x-3的一部分，且當(dāng)2≤x≤3時(shí)，y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＝3時(shí)，y最大值＝32-2×3-3＝0；當(dāng)x＝2時(shí)，y最小值＝22-2×2-3＝-3.【探究】幾何圖形面積的最值.【思考】(小組合作，老師指導(dǎo))如何利用二次函數(shù)的性質(zhì)求幾何圖形面積的最值？例2如圖,在一個(gè)直角三角形的內(nèi)部作一個(gè)矩形ABCD,其中AB和AD分別在兩直角邊上.(1)如果設(shè)矩形的一邊AB＝xm，那么AD邊的長(zhǎng)度如何表示？(2)設(shè)矩形的面積為ym2，當(dāng)x取何值時(shí)，y的值最大？最大值是多少？【互動(dòng)】(引發(fā)學(xué)生思考，老師指導(dǎo))寫出解題過程.解：（1）由題意可得△EDC∽△EAF，∴，∴，∴DE＝，∴AD＝30-.(2)矩形的面積S＝x·＝∴當(dāng)x＝20時(shí)，y有最大值，最大值是300.【總結(jié)】1.利用二次函數(shù)求幾何圖形面積的最值的一般步驟：(1)引入自變量；(2)用含有自變量的代數(shù)式分別表示與所求幾何圖形相關(guān)的量；(3)由幾何圖形的特征，列出其面積的計(jì)算公式，并且用函數(shù)表示這個(gè)面積；(4)根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式及自變量的取值范圍求出其最值.2.易錯(cuò)警示：實(shí)際問題中的最大(小)值未必就是拋物線的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，最大(小)值的取舍要結(jié)合自變量的取值范圍.【探究】(師生互動(dòng))下面我們用學(xué)到的方法，解決下面的問題.例3某建筑物的窗戶如圖所示，它的上半部分是半圓，下半部分是矩形，制造窗框的材料總長(zhǎng)(圖中所有黑線的長(zhǎng)度和)為15m.當(dāng)x為多少時(shí)，窗戶通過的光線最多？(結(jié)果精確到0.01m)此時(shí)，窗戶的面積是多少？(結(jié)果精確到0.01m2)解：∵7x+4y+πx＝15,∴y＝.∵0<x<15，且0<<15，∴0<x<1.48.設(shè)窗戶的面積是Sm2，則S＝＝＝，∴當(dāng)x＝≈1.07(m)時(shí)，S最大＝≈4.02(m2).因此，當(dāng)x約為1.07m時(shí)，窗戶通過的光線最多，此時(shí)窗戶的面積約為4.02m2.例4〈實(shí)際應(yīng)用題，易錯(cuò)題〉張大伯準(zhǔn)備用一面長(zhǎng)15m的墻和長(zhǎng)38m的柵欄修建一個(gè)如圖所示的矩形養(yǎng)殖場(chǎng)ABCD，并在養(yǎng)殖場(chǎng)的一側(cè)留出一個(gè)2m寬的門.(1)求養(yǎng)殖場(chǎng)的面積y(m2)與BC邊的長(zhǎng)x(m)之間的函數(shù)表達(dá)式.(2)當(dāng)BC邊的長(zhǎng)為多少時(shí)，養(yǎng)殖場(chǎng)的面積最大？最大面積是多少？【互動(dòng)】引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形，表示出矩形的長(zhǎng)和寬，同時(shí)也要考慮自變量的限制條件.解：(1)由題意，得AB＝m，∴y＝x·＝x·由題意知∴0<x≤15，∴y＝，其中0<x≤15.(2)y＝＝(x-20)2+200.∵a＝<0，0<x≤15，∴y隨x的增大而增大.∴當(dāng)x＝15時(shí)，y有最大值，y最大值＝(15-20)2+200＝187.5.答：當(dāng)BC邊的長(zhǎng)為15m時(shí)，養(yǎng)殖場(chǎng)的面積最大，最大面積是187.5m2.課堂練習(xí)1.已知一個(gè)直角三角形兩直角邊長(zhǎng)之和為20cm，則這個(gè)直角三角形的最大面積為()A.25cm2B.50cm2C.100cm2D.不確定2.用一條長(zhǎng)為40cm的繩子圍成一個(gè)面積為acm2的長(zhǎng)方形，a的值不可能為()A.20B.40C.100D.1203.如圖，在矩形ABCD中，AD＝1，AB＝2，從較短邊AD上找一點(diǎn)E，過這點(diǎn)剪下兩個(gè)正方形，它們的邊長(zhǎng)分別是AE，DE，當(dāng)剪下的兩個(gè)正方形的面積之和最小時(shí)，點(diǎn)E應(yīng)選在()A.AD的中點(diǎn)B.AE∶ED＝(-1)∶2C.AE∶ED＝∶1D.AE∶ED＝(-1)∶24.某中學(xué)課外興趣活動(dòng)小組準(zhǔn)備圍建一個(gè)矩形苗圃園，其中一邊靠墻，另外三邊用長(zhǎng)為30m的籬笆圍成，已知墻長(zhǎng)為18m(如圖所示)，設(shè)這個(gè)苗圃園垂直于墻的一邊的長(zhǎng)為xm.(1)若苗圃園的面積為72m2，求x.(2)若平行于墻的一邊長(zhǎng)不小于8m，這個(gè)苗圃園的面積有最大值和最小值嗎？如果有,求出最大值和最小值；如果沒有，請(qǐng)說明理由.(3)當(dāng)這個(gè)苗圃園的面積不小于100m2時(shí)，直接寫出x的取值范圍.參考答案1.B2.D3.A4.解：(1)根據(jù)題意，得(30-2x)x＝72，解得x＝3或x＝12.∵30-2x≤18，∴x≥6，∴x＝12.(2)設(shè)苗圃園的面積為y，∴y＝x(30-2x)＝-2x2+30x＝∵a＝-2<0，∴苗圃園的面積y有最大值，∴當(dāng)x＝時(shí)，平行于墻的一邊長(zhǎng)為15m，又8<15<18，∴y最大值＝112.5m2.∵30-2x≥8，∴x≤11，∴6≤x≤11，∴當(dāng)x＝11時(shí)，y最小值＝88m2.(3)由題意，得-2x2+30x≥100，又30-2x≤18，解得6≤x≤10.課堂小結(jié)利用二次函