2024-2025學年滬教版初中數(shù)學九年級（上）教案 第21章 二次函數(shù)與反比例函數(shù)21.5　反比例函數(shù)（第2課時）

第21章二次函數(shù)與反比例函數(shù)21.5反比例函數(shù)第2課時反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)教學目標1.學會用描點法作反比例函數(shù)的圖象，能結合函數(shù)圖象進行探索.2.理解并掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)，會應用反比例函數(shù)的性質(zhì)解決問題.3.理解反比例函數(shù)k的幾何意義，并會應用其解決問題.教學重難點重點：反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，比例系數(shù)k的幾何意義.難點：應用反比例函數(shù)的性質(zhì)解決問題.教學過程復習鞏固【問題】1.反比例函數(shù)的概念？一般地，表達式形如y＝(k常數(shù)，且QUOTEkk≠0)的函數(shù)叫做反比例函數(shù).2.你還記得作函數(shù)圖象的一般步驟嗎？列表,描點,連線.探究新知【嘗試】在坐標系中畫出反比例函數(shù)y＝和y＝-的圖象.1.列表：x…-6-5-4-3-2-1123456……-1-1.2-1.5-2-3-66321.51.21……11.21.5236-6-3-2-1.5-1.2-1…【思考】取值時應注意什么？注意：1.列表：①列表時自變量取值要均勻和對稱；②x≠0；③自變量取整數(shù)，能方便計算和描點.2.描點.3.連線.連線時，要養(yǎng)成按自變量從小到大的順序，依次用平滑的曲線連接,從中體會函數(shù)的增減性.【問題】(小組討論，老師引導)從上面所作的圖象中，比較y＝和y＝-的圖象有什么共同特征？反比例函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形.有兩條對稱軸：直線y＝xQUOTEy=x和y＝-x.對稱中心是：原點.【活動】(小組討論)1.反比例函數(shù)圖象的特點：反比例函數(shù)的圖象是由兩支雙曲線組成的，因此稱反比例函數(shù)y＝的圖象為雙曲線.圖象的兩個分支都可以無限延伸，并無限接近x軸和y軸，但永遠不與它們相交.2.函數(shù)圖象分別位于哪幾個象限？當k>0QUOTE時,兩支雙曲線分別位于第一、三象限內(nèi)；當k<0時,兩支雙曲線分別位于第二、四象限內(nèi).3.反比例函數(shù)圖象上點的對稱性.如果點P(x0，y0)在函數(shù)y＝的圖象上，那么點P(-x0，-y0)也在函數(shù)y＝的圖象上.【歸納】列表填寫：y＝k>0k<0圖象每一象限內(nèi)，圖象自左向右下降每一象限內(nèi)，圖象自左向右上升性質(zhì)函數(shù)圖象的兩個分支分別在第一、三象限，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小函數(shù)圖象的兩個分支分別在第二、四象限，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大【問題】(小組討論)已知反比例函數(shù)y＝.(1)如果這個函數(shù)圖象經(jīng)過點(-3,5),求k的值；(2)如果這個函數(shù)圖象在它所處的每個象限內(nèi),函數(shù)y隨x的增大而減小,求k的取值范圍.【思考】(小組合作，老師指導)解(1)因為函數(shù)圖象經(jīng)過點(-3,5),代入函數(shù)的表達式,得5＝QUOTE,解得k＝-7.(2)根據(jù)題意,有2k-1>0，解得k>QUOTE.【反思】反比例函數(shù)圖象的增減性主要由誰決定？【練一練】已知反比例函數(shù)y＝的圖象在第一、三象限，反比例函數(shù)y＝在x>0時，y隨x的增大而增大，則k的取值范圍是_______.答案：-2<k<3【探究】(師生互動，總結結論)在反比例函數(shù)y＝的圖象上分別取點P，Q向x軸、y軸作垂線，圍成面積分別為S1，S2的矩形，填寫表格：y＝S1的值S2的值S1與S2的關系猜想與k的關系P(2，2)，Q(4，1)44S1＝S2S1＝S2＝k【思考】(激發(fā)學生思考)你從中能發(fā)現(xiàn)什么結論？如圖，過雙曲線y＝上任意一點P(x，y)分別作QUOTExx軸、QUOTEyy軸的垂線PM，PN，連接OP.S矩形OMPN＝PM·PN＝|x|·|y|＝|x·y|.∵y＝，∴x·y＝k，∴S矩形OMPN＝|k|，S△OPN＝S△OPM＝.【嘗試】如圖，矩形AOBC的面積為4，反比例函數(shù)y＝的圖象的一支經(jīng)過矩形對角線的交點P,則該反比例函數(shù)的表達式是()A.y＝B.y＝C.y＝D.y＝ 解析：過點P作PD⊥OB（圖略）.由反比例函數(shù)的幾何意義可知，S△OPD＝，即，解得k＝±1.又因為反比例函數(shù)圖象在第一象限，所以k>0，所以k＝1,故選C.【答案】C課堂練習1.函數(shù)y＝的圖象在第_______象限，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而_______.2.函數(shù)y＝的圖象在第______象限，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而_______.3.函數(shù)，當x>0時，圖象在第____象限，y隨x的增大而_________.4.已知函數(shù)y＝(m+1)是反比例函數(shù)，且圖象在第二、四象限內(nèi)，則m的值是()A.2B.-2C.±2D.5.已知反比例函數(shù)y＝，下列結論不正確的是()A.圖象經(jīng)過點(1，1)B.圖象在第一、三象限C.當x>1時，0<y<1D.當x<0時，y隨著x的增大而增大6.如圖，A是反比例函數(shù)y＝的圖象上的一點，AB⊥x軸于點B，且△ABO的面積是3，則k的值是()A.3B.-3C.6D.-67.已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點A(2，6).(1)這個函數(shù)的圖象位于哪些象限？在每個象限內(nèi)，y隨x的增大如何變化？(2)點B(3，4)，C，D(2，5)是否在這個函數(shù)的圖象上？參考答案1.一、三減小2.二、四增大3.一減小4.B5.D6.C7.解：(1)因為點A(2，6)在第一象限，所以這個函數(shù)的圖象位于第一、三象限.在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小.(2)設這個反比例函數(shù)的表達式為y＝.因為點A(2，6)在其圖象上，所以點A的坐標滿足y＝，即6＝，解得k＝12.所以，這個反比例函數(shù)的表達式為y＝.因為點B，C的坐標都滿足y＝，點D的坐標不滿足y＝.所以點B，C在函數(shù)y＝的圖象上，點D不在這個函數(shù)的圖象上.課堂小結反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)形狀：反比例函數(shù)的圖象是由兩支雙曲線組成的，因此稱反比例函數(shù)的圖象為雙曲線.位置：當k>0時,兩支雙曲線分別位于第一、三象限內(nèi)；當k<0QUOTEk<0時,兩支雙曲線分別位于第二、四象限內(nèi).反比例函數(shù)中比例系數(shù)k的幾何意義過雙曲線??＝上任意一點??分別作??軸、??軸的垂線????，????，連接????.則S矩形OMPN＝|k|，S△OPM＝S△OPN＝.布置作業(yè)教材P48第4題.板書設計反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)y＝k>0k<0圖象每一象限內(nèi)，圖象自左向右下降每一