第07講等邊三角形的性質與判定（3種題型）（原卷版）

第07講等邊三角形的性質與判定（3種題型）了解等邊三角形的有關概念，探索并掌握性質及判定方法。一．等邊三角形的性質（1）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作為判定一個三角形是否為等邊三角形的方法；②可以得到它與等腰三角形的關系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況．在等邊三角形中，腰和底、頂角和底角是相對而言的．（2）等邊三角形的性質：等邊三角形的三個內角都相等，且都等于60°．等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對邊，三邊的垂直平分線是對稱軸．二．等邊三角形的判定（1）由定義判定：三條邊都相等的三角形是等邊三角形．（2）判定定理1：三個角都相等的三角形是等邊三角形．（3）判定定理2：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．說明：在證明一個三角形是等邊三角形時，若已知或能求得三邊相等則用定義來判定；若已知或能求得三個角相等則用判定定理1來證明；若已知等腰三角形且有一個角為60°，則用判定定理2來證明．三．等邊三角形的判定與性質（1）等邊三角形是一個非常特殊的幾何圖形，它的角的特殊性給有關角的計算奠定了基礎，它的邊角性質為證明線段、角相等提供了便利條件．同是等邊三角形又是特殊的等腰三角形，同樣具備三線合一的性質，解題時要善于挖掘圖形中的隱含條件廣泛應用．（2）等邊三角形的特性如：三邊相等、有三條對稱軸、一邊上的高可以把等邊三角形分成含有30°角的直角三角形、連接三邊中點可以把等邊三角形分成四個全等的小等邊三角形等．（3）等邊三角形判定最復雜，在應用時要抓住已知條件的特點，選取恰當?shù)呐卸ǚ椒ǎ话愕?，若從一般三角形出發(fā)可以通過三條邊相等判定、通過三個角相等判定；若從等腰三角形出發(fā)，則想法獲取一個60°的角判定．一．等邊三角形的性質（共9小題）1．（2022秋?崇川區(qū)校級月考）如圖，在等邊△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點D，過點D作DE⊥BC于點E，且CE＝1.5，則AB的長為（）A．3 B．4.5 C．6 D．7.52．（2022秋?姜堰區(qū)月考）如圖，在等邊△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，點E在BC的延長線上，且∠E＝30°，則CE的長是（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm3．（2022秋?常州期中）如圖，△ABC是等邊三角形，P為BC上一點，在AC上取一點D，使AD＝AP，且∠APD＝70°，則∠PAB的度數(shù)是（）A．10° B．15° C．20° D．25°4．（2022秋?海門市期末）如圖，△ABC是等邊三角形，BD是中線，延長BC至E，使CE＝CD，DF⊥BE，垂足為點F．（1）求證：CE＝2CF；（2）若CF＝2，求△ABC的周長．5．（2022秋?啟東市期末）如圖，△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的中線，點E在AD上，且DE＝BC，則∠AFE＝（）A．100° B．105° C．110° D．115°6．（2022秋?大豐區(qū)期中）如圖，在等邊△ABC中，D為BC邊上的中點，以A為圓心，AD為半徑畫弧，與AC邊交點為E，則∠ADE的度數(shù)為（）A．60° B．105° C．75° D．15°7．（2022秋?如皋市期中）如圖，在△ABC中，BC的垂直平分線分別交BC，AB于點E，F(xiàn)，連接CF，若△AFC是等邊三角形，則∠B的度數(shù)是（）A．60° B．45° C．30° D．15°8．（2022秋?秦淮區(qū)校級月考）如圖，△ABC是等邊三角形，D，E分別是AC，BC上的點，若AE＝AD，∠CED＝25°，則∠BAE＝°．9．（2022秋?工業(yè)園區(qū)校級月考）閱讀材料：如圖，△ABC中，AB＝AC，P為底邊BC上任意一點，點P到兩腰的距離分別為r1，r2，腰上的高為h，連接AP，則S△ABP+S△ACP＝S△ABC，即：，∴r1+r2＝h（定值）．（1）類比與推理如果把“等腰三角形”改成“等邊三角形”，那么P的位置可以由“在底邊上任一點”放寬為“在三角形內任一點”，即：已知等邊△ABC內任意一點P到各邊的距離分別為r1，r2，r3，等邊△ABC的高為h，試證明r1+r2+r3＝h（定值）．（2）理解與應用△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，△ABC內部是否存在一點O，點O到各邊的距離相等？（填“存在”或“不存在”），若存在，請直接寫出這個距離r的值，r＝．若不存在，請說明理由．二．等邊三角形的判定（共6小題）10．（2022秋?吳江區(qū)校級月考）若一個三角形有兩條邊相等，且有一內角為60°，那么這個三角形一定為（）A．鈍角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．正三角形11．（2022秋?梁溪區(qū)期中）如圖所示，在等腰△ABC中，AB＝AC，AF為BC的中線，D為AF上的一點，且BD的垂直平分線過點C并交BD于E．求證：△BCD是等邊三角形．12．（2021秋?淮安期末）三角形的三邊長a，b，c滿足（a﹣b）4+（b﹣c）2+|c﹣a|＝0，那么這個三角形一定是（）A．直角三角形 B．等邊三角形 C．等腰非等邊三角形 D．鈍角三角形13．（2022秋?吳江區(qū)校級月考）在邊長為9的等邊三角形ABC中，點Q是BC上一點，點P是AB上一動點，以每秒1個單位的速度從點A向點B移動，設運動時間為t秒．（1）如圖1，若BQ＝6，PQ∥AC，求t的值；（2）如圖2，若點P從點A向點B運動，同時點Q以每秒2個單位的速度從點B經點C向點A運動，當t為何值時，△APQ為等邊三角形？14．（2022秋?常州期中）如圖，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC，AE⊥AB．（1）求∠C的度數(shù)；（2）求證：△ADE是等邊三角形．15．（2022秋?江都區(qū)校級月考）等邊△ABC中，點P在△ABC內，點Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，問△APQ是什么形狀的三角形？試說明你的結論．三．等邊三角形的判定與性質（共9小題）16．（2022秋?梁溪區(qū)期中）一艘輪船由海平面上A地出發(fā)向南偏西40°的方向行駛100海里到達B地，再由B地向北偏西20°的方向行駛100海里到達C地，則A，C兩地相距（）A．100海里 B．80海里 C．60海里 D．40海里17．（2022秋?玄武區(qū)期中）如圖，△ABC為等邊三角形，BD⊥AC交AC于點D，DE∥BC交AB于點E．（1）求證：△ADE是等邊三角形．（2）求證：AE＝AB．18．（2022秋?姑蘇區(qū)期中）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠A＝60°，點E為AD上一點，連接BD，CE交于點F，CE∥AB．（1）判斷△DEF的形狀，并說明理由；（2）若AD＝12，CE＝8，求CF的長．19．（2022秋?南通期末）已知等邊△ABC的邊長為5，點D為直線BC上一點，BD＝1，DE∥AB交直線AC于點E，則DE的長為．20．（2022秋?鼓樓區(qū)校級月考）如圖所示，在等邊△ABC中，AB＝9cm，點P從點C出發(fā)沿CB邊向點B以2cm/s的速度移動，點Q從點B出發(fā)沿BA邊向點A以5cm/s的速度移動．P，Q兩點同時出發(fā)，它們移動的時間為ts．（1）你能用含的式子表示BP和BQ的長度嗎？請你表示出來．（2）請問幾秒后，△PBQ第一次為等邊三角形？（3）若P，Q兩點分別從C，B兩點同時出發(fā)，并且按順時針方向沿△ABC三邊運動，請問經過幾秒后點P與點Q第一次在△ABC的哪條邊上相遇？21．（2022秋?泰州月考）如圖，已知點D、E在△ABC的邊BC上，AB＝AC，AD＝AE．（1）求證：BD＝CE；（2）若AD＝BD＝DE＝CE，求∠BAE的度數(shù)．22．（2022秋?沭陽縣期中）已知：如圖，點C為線段AB上一點，△ACM，△CBN都是等邊三角形，AN交MC于點E，BM交CN于點F．（1）求證：AN＝BM；（2）求證：△CEF為等邊三角形．23．（2022秋?啟東市校級月考）數(shù)學課上，張老師舉了下面的例題：例1：等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度數(shù)．（答案：35°）例2：等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度數(shù)．（答案：40°或70°或100°）張老師啟發(fā)同學們進行變式，小敏編的題目如下：變式題：等腰三角形ABC中，∠A＝80°，求∠B的度數(shù)．（1）請你解答上面的變式題．（2）請繼續(xù)探索，完成下面問題：等腰三角形ABC中，∠A＝60°，則∠B的度數(shù)為．（3）根據(jù)以上探索，我們發(fā)現(xiàn)，∠A的度數(shù)不同，得到的∠B度數(shù)的個數(shù)也可能不同．請你直接寫出當∠A滿足什么條件時，∠B能得到三個不同的度數(shù)．24．（2022秋?銅山區(qū)校級月考）已知：如圖，△DAC、△EBC均是等邊三角形，點A、C、B在同一條直線上，且AE、BD分別與CD、CE交于點M、N．求證：（1）AE＝DB；（2）△CMN為等邊三角形．一．選擇題（共5小題）1．（2022秋?梁溪區(qū)期中）下列命題不正確的是（）A．等腰三角形的底角不能是鈍角 B．等腰三角形不能是直角三角形 C．若一個三角形有三條對稱軸，那么它一定是等邊三角形 D．兩個全等的且有一個銳角為30°的直角三角形可以拼成一個等邊三角形2．（2022秋?鼓樓區(qū)校級月考）如圖，∠AOB＝60°，OA＝OB，動點C從點O出發(fā)，沿射線OB方向移動，以AC為邊在右側作等邊△ACD，連接BD，則BD所在直線與OA所在直線的位置關系是（）A．平行 B．相交 C．垂直 D．平行、相交或垂直3．（2022秋?射陽縣校級月考）如圖，將一等邊三角形的三條邊各8等分，按順時針方向（圖中箭頭方向）標注各等分點的序號0、1、2、3、4、5、6、7、8，將不同邊上的序號和為8的兩點依次連接起來，這樣就建立了“三角形”坐標系．在建立的“三角形”坐標系內，每一點的坐標用過這一點且平行（或重合）于原三角形三條邊的直線與三邊交點的序號來表示（水平方向開始、按順時針方向、取與三角形外箭頭方向一致的一側序號），如點A的坐標可表示為（1，2，5），點B的坐標可表示為（4，3，1），按此方法，若點C的坐標為（2，m，m﹣2），則m＝（）A．2 B．3 C．4 D．64．（2022秋?揚州期中）在下列結論中：（1）有一個外角是120°的等腰三角形是等邊三角形（2）有兩個外角相等的等腰三角形是等邊三角形（3）有一邊上的高也是這邊上的中線的等腰三角形是等邊三角形（4）三個外角都相等的三角形是等邊三角形其中正確的個數(shù)是（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個5．（2022秋?邗江區(qū)月考）如圖，直線m∥n，△ABC是等邊三角形，頂點B在直線n上，直線m交AB于點E，交AC于點F，若∠1＝140°，則∠2的度數(shù)是（）A．80° B．100° C．120° D．140°二．填空題（共13小題）6．（2022秋?江陰市期中）已知△ABC中，AB＝AC＝6，∠C＝60°，則BC＝．7．（2022秋?建鄴區(qū)校級月考）如圖，已知△ABC是等邊三角形，AD是中線，E在AC上，AE＝AD，則∠EDC＝．8．（2022秋?崇川區(qū)校級月考）如圖，已知△ABC中，∠A＝60°，D為AB上一點，且AC＝2AD+BD，∠B＝4∠ACD，則∠DCB的度數(shù)是．9．（2022秋?淮陰區(qū)期中）如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，D是BC上一點，BD＝2，DE⊥BC交AB于點E，則AE＝．10．（2022秋?漣水縣期中）等邊三角形的每一個內角均為度．11．（2022秋?靖江市校級月考）如圖，CD是等邊△ABC的中線，DE⊥AC，垂足為點E．若DE的長度為3cm，則點D到BC的距離為cm．12．（2022秋?鎮(zhèn)江期中）如圖，在一個池塘旁有一條筆直公路MN，池塘對面有一個建筑A，小明在公路一側點B處測得∠ABN＝60°，為了得到他與建筑物A之間的距離，小明沿公路MN繼續(xù)向東走到點C處，測得∠ACB＝60°，并測得他走了48米，則AB為米．13．（2022秋?亭湖區(qū)校級月考）如圖，△ABC是等邊三角形，延長BC到點D，使CD＝AC，連接AD．若AB＝1，則AD的長為．14．（2022秋?昆山市校級月考）已知如圖等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于點D，點P是BA延長線上一點，點O是線段AD上一點，OP＝OC，下面的結論：①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等邊三角形；④AB＝AO+AP．其中正確的序號是．15．（2022秋?新北區(qū)期中）如圖，在△ABC中，BC的垂直平分線分別交BC、AB于點E、F．若△AFC是等邊三角形，則∠B＝°．16．（2022秋?高新區(qū)校級月考）如圖，若BD為等邊△ABC的一條中線，延長BC至點E，使CE＝CD＝1，連接DE，則DE＝．17．（2022秋?泗陽縣期中）如圖，在等邊三角形ABC中，點D是邊BC的中點，則∠BAD＝．18．（2022秋?邗江區(qū)期中）如圖，△ABC是邊長為3的等邊三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°．以D為頂點作一個60°角，使其兩邊分別交AB于點M，交AC于點N，連接MN，則△AMN的周長為．三．解答題（共8小題）19．（2022秋?徐州期中）如圖，等邊△ABC中，BD是邊AC上的高，延長BC到點E，使CE＝CD，求證：BD＝DE．20．（2022秋?棲霞區(qū)校級月考）如圖，P是在△ABC內一點，若∠PBC＝∠PCB＝10°，△APC是等邊三角形．求∠ABP的度數(shù)．21．（2022秋?興化市校級月考）如圖，在等邊三角形ABC中，BD⊥AC于D，延長BC到E，使CE＝CD．判斷△BDE的形狀，并說明理由．22．（2022秋?興化市月考）已知：如圖，△ABC是等邊三角形，點E在BC的延長線上，給出下列信息：①點D是AC的中點；②CE＝CD；③DB＝DE．請在上述3條信息中選擇其中兩條作為條件，其余的一條信息作為結論組成一個命題．試判斷這個命題是否正確，并說明理由．你選擇的條件是、，結論是（只要填寫序號）．23．（2022秋?泰州月考）如圖，點D在等邊△ABC的外部，連接AD、CD，AD＝CD，過點D作DE∥AB交AC于點F，交BC于點E．（1）判斷△CEF的形狀，并說明理由；（2）連接BD，若BC＝10，CF＝4，求DE的長．24．（2022秋?啟東市校級月考）如圖，△ABC是等邊三角形，D、E、F分別是AB、BC、AC上一點，且∠DEF＝60°．（1）若∠1＝50°，求∠2；（2）連接DF，若DF∥BC，求證：∠1＝∠3．25．（2022秋?江陰市校級月考）如圖1，點P、Q分別是等邊△ABC邊AB、BC上的動點（端點除外），點P從頂點A、點Q從頂點B同時出發(fā)，且它們的運動速度相同，連接AQ、CP交于點M．（1）求證：△ABQ≌△CAP；（2）當點P、Q分別在AB、BC邊上運動時，∠QMC變化嗎？若變化，請說明理由；若不變，求出它的度數(shù)．（3）如圖2，若點P、Q在運動到終點后繼續(xù)在射線AB、BC上運動，直線AQ、CP交點為M，則∠QMC變化嗎？若變化，請說明理由；若不變，則求出它的度數(shù)．26．（2022秋?銅山區(qū)校級月考）已知：如圖，△DAC、△EBC均是等邊三角形，點A、C、B在同一條直線上，且AE、BD分別與CD、CE交于點M、N．求證：（1）AE＝DB；（2）△CMN為等邊三角形．一．選擇題（共5小題）1．如圖，△ABC是等邊三角形，DE∥BC，若AB＝12，BD＝7，則△ADE的周長為（）A．5 B．36 C．21 D．152．在等邊三角形ABC中，AD是高，∠B的平分線交AD于E，下面判斷中錯誤的是（）A．點E在AB的垂直平分線上 B．點E到AB、BC、AC的距離相等 C．點E是AD的中點 D．過點E且垂直于AB的直線必經過點C3．已知三個城鎮(zhèn)中心A、B、C恰好位于等邊三角形的三個頂點，在A、B、C之間鋪設光纜連接，實線為所鋪的路線，四種方案中光纜鋪設路線最短的是（）A． B． C． D．4．一邊上的中線等于這邊的一半，此三角形一定是（）A．等邊三角形 B．有一角為鈍角的等腰三角形 C．直角三角形 D．頂角是36°的等腰三角形5．已知如圖等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于點D，點P是BA延長線上一點，點O是線段AD上一點，OP＝OC，下面的結論：①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等邊三角形；④AB＝AO+AP．其中正確的是（）A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①②③④二．填空題（共3小題）6．如圖，兩塊完全一樣的含30°角的直角三角板，將它們重疊在一