專題19二元一次方程組的特殊解法

專題19二元一次方程組的特殊解法【例題講解】閱讀下列材料：小明同學(xué)在學(xué)習(xí)二元一次方程組時(shí)遇到了這樣一個(gè)問題：解方程組，小明發(fā)現(xiàn)如果用代入消元法或加減消元法求解，運(yùn)算量比較大，容易出錯(cuò)．如果把方程組中的看成一個(gè)整體，把看成一個(gè)整體，通過換元，可以解決問題．以下是他的解題過程：令，．原方程組化為，解得，把代入，，得，解得．∴原方程組的解為．請(qǐng)你參考小明同學(xué)的做法解方程組：(1)(2)【詳解】（1）令，，方程組變形為，解得，所以，解得∴原方程組的解為．（2）令原方程組化為解得，把代入得,解得·【綜合解答】1．若關(guān)于x，y的二元一次方程組的解是，則關(guān)于m，n的二元一次方程組的解是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，利用換元法，結(jié)合題意求出，從而得出，再解關(guān)于m、n的二元一次方程組即可．【詳解】解：設(shè)，則，由題意得：，即，解得．故答案為：A【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的解和解二元一次方程組，能得出關(guān)于m、n的方程組是解此題的關(guān)鍵．2．若關(guān)于，的方程組，解為．則關(guān)于，的方程組的解是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】已知方程組和x和y的解，將x和y代入可得到a1、b1、c1和a2、b2、c2兩個(gè)等式的關(guān)系，再將此關(guān)系列為方程組反解出x和y即可．【詳解】解：關(guān)于，的方程組，解為，關(guān)于，的方程組中，解得：，即第二個(gè)方程組的解是，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了方程組的運(yùn)算，明白通過已知條件解出第一個(gè)方程組的關(guān)系，再通過第一個(gè)方程組的關(guān)系解出答案是本題的關(guān)鍵．3．若方程組的解是，則方程組的解是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將變形為，再設(shè)3x+1=x’，2y=y’，列出方程組，再得其解即可．【詳解】解：將變形為,設(shè)3x+1=x’，2y=y’，則原方程變形為：，因?yàn)榉匠探M的解是，所以，解得：，所以方程組的解是，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的解，熟練掌握二元一次方程組的解與二元一次方程組的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．4．已知關(guān)于，的二元一次方程組的解是，則關(guān)于，的二元一次方程組的解為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二元一次方程組的解的定義解決此題．【詳解】解：由題意得，，．∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查二元一次方程組的解，熟練掌握二元一次方程組的解的定義解決此題．5．已知關(guān)于x，y的二元一次方程組的解為，則關(guān)于m，n的方程組的解是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】觀察兩個(gè)方程組，根據(jù)已知方程組的解可得，由此即可得．【詳解】解：由題意得：，解得，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的特殊解法，正確發(fā)現(xiàn)兩個(gè)方程組之間的聯(lián)系是解題關(guān)鍵．6．若方程組的解是，則方程組的解為_________．【答案】.【分析】原方程組的解為，所以可以得到，而此方程可以化為,進(jìn)一步可以得到，所以可以得到方程組的解為；【詳解】方程組的解是把代入原方程組可得：即給上式方程組種的每個(gè)方程同乘3可得：方程組的解為；故答案是：；【點(diǎn)睛】本題主要考查利用換元法求解二元一次方程組，熟練的利用二元一次方程組的解進(jìn)行換元變化是求解本題的關(guān)鍵.7．若關(guān)于x、y的二元一次方程組的解是，則關(guān)于x、y的二元一次方程組的解是__．【答案】【分析】令x+y=a，xy=b，根據(jù)已知，比較后得出a，b的值，從而得出結(jié)論．【詳解】解：令x+y=a，xy=b，則關(guān)于x、y的二元一次方程組變?yōu)椋海叨淮畏匠探M的解是，∴，∴，解得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查二元一次方程組的解法，關(guān)鍵是熟練掌握二元一次方程組的解法即代入消元法和加減消元法，本題要注意整體思想的運(yùn)用．8．已知關(guān)于和的方程組的解是，則另一關(guān)于、的方程組的解是______．【答案】【分析】由題意可得，即可求方程組的解．【詳解】解：∵方程組的解是，∴，解得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查解二元一次方程組，熟練掌握二元一次方程組的解法，用整體思想解題是關(guān)鍵．9．方程組的解是，請(qǐng)你寫出方程組的解______．【答案】【分析】仿照已知方程組的解確定出所求方程組的解即可．【詳解】解：方程組變形為，∵方程組的解為，∴，解得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程都成立的未知數(shù)的值．10．若方程組的解是，則方程組的解是_____．【答案】【分析】把第二個(gè)方程組的兩個(gè)方程的兩邊都乘以5，通過換元替代的方法來解決．【詳解】解：將方程組的兩個(gè)方程都乘以5得：，∵方程組的解是，∴，解得：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題是考查了解二元一次方程組，考查了同學(xué)們的邏輯推理能力，需要通過類比來解決，有一定的難度．11．關(guān)于x，y的方程組的解為，則①__________．②關(guān)于x，y的方程組的解為__________．【答案】

【分析】將已知解代入方程組中可得，將兩式相加可得的值，將可得，與對(duì)比可得，解出即可．【詳解】解：∵關(guān)于x，y的方程組的解為，∴，∴，∴，∵，∴，解得，故答案為：；．【點(diǎn)睛】本題考查了解二元一次方程組，熟練掌握加減消元法是解答本題的關(guān)鍵．12．三個(gè)同學(xué)對(duì)問題“若方程組，的解是求方程組的解”提出各自的想法．甲說：“這個(gè)題目好像條件不夠，不能求解”；乙說：“它們的系數(shù)有一定的規(guī)律，可以試試”；丙說：“能不能把第二個(gè)方程組的兩個(gè)方程通過換元替換的方法來解決”．參考他們的討論，你認(rèn)為這個(gè)題目的解應(yīng)該是________________．【答案】【分析】所求方程組變形后，根據(jù)已知方程組的解求出解即可．【詳解】解：設(shè)m=x?1，n=y?2，∵方程組，的解是，∴的解是，∴，∴，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的解，利用了換元的思想，弄清方程組解的意義是解本題的關(guān)鍵．13．三個(gè)同學(xué)對(duì)問題“若方程組的解是，求方程組的解．“提出各自的想法，甲說：“這個(gè)題目好象條件不夠，不能求解”；乙說：“它們的系數(shù)有一定的規(guī)律，可以試試”；丙說：“能不能把第二個(gè)方程組的兩個(gè)方程的兩邊都除以7．通過換元替代的方法來解決”．參考他們的討論，你認(rèn)為這個(gè)題目的解應(yīng)該是________．【答案】【分析】把第二個(gè)方程組的兩個(gè)方程的兩邊都除以7，通過換元替代的方法來解決．【詳解】解：每個(gè)方程兩邊同時(shí)除以7得，，∵方程組和方程組的形式一樣，∴，解得．故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組的特殊解法，同時(shí)也考查了同學(xué)們的邏輯推理能力，需要通過類比來解決問題，有一定的難度．14．若關(guān)于x、y的方程組其中a、b、m為常數(shù)）的解為，則方程組的解為______．【答案】【分析】由原方程組的解及兩方程組的特點(diǎn)知，、分別相當(dāng)于原方程組中的x、y，據(jù)此列出方程組，解之可得．【詳解】解：變形為，由題意知：由題意知，①+②，得：2x=6，x=3，①②，得：2y=10，y=5，故方程組的解為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是得出兩方程組的特點(diǎn)并據(jù)此得出關(guān)于x、y的方程組．15．已知關(guān)于x，y的方程組和是同解方程，則關(guān)于a，b的方程組的解是____________【答案】【分析】解得出，再結(jié)合題干可得出即可求出a、b的值．【詳解】解：∵，∴，∴方程組的解為：，∵方程組，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的解以及解二元一次方程組，掌握整體代入思想是解題的關(guān)鍵．16．閱讀材料：善于思考的李同學(xué)在解方程組時(shí)，采用了一種“整體換元”的解法．解：把，成一個(gè)整體，設(shè)，，原方程組可化為解得：．∴，∴原方程組的解為．(1)若方程組的解是，則方程組的解是__________．(2)仿照李同學(xué)的方法，用“整體換元”法解方程組．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意所給材料可得出，再解出這個(gè)方程組即可．（2）根據(jù)題意所給材料可令，則原方程組可化為，解出m，n，代入，再解出關(guān)于x，y的方程組即可．解得：，∴，解這個(gè)二元一次方程組即可．【詳解】（1）∵方程組的解是，∴，解得：；（2）對(duì)于，令，則原方程組可化為，解得：，∴，解得：．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的特殊解法—“整體換元法”．讀懂題干，理解題意，掌握“整體換元法”的步驟是解題關(guān)鍵．17．（1）解方程組．（2）直接寫出方程組的解是______．【答案】（1）；（2）【分析】（1）方程組利用加減消元法求出解即可；（2）仿照（1）中方程組的解確定出所求即可．【詳解】解：（1），①②×2得：，解得：，把代入②得：，解得：，則方程組的解為；（2）根據(jù)（1）中方程組的解得：，解得：．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．18．甲、乙、丙在探討問題“已知，滿足，且求的值．”的解題思路時(shí)，甲同學(xué)說：“可以先解關(guān)于，的方程組再求的值．”乙、丙同學(xué)聽了甲同學(xué)的說法后，都認(rèn)為自己的解題思路比甲同學(xué)的簡單，乙、丙同學(xué)的解題思路如下．乙同學(xué)：先將方程組中的兩個(gè)方程相加，再求的值；丙同學(xué)：先解方程組，再求的值．你最欣賞乙、丙哪位同學(xué)的解題思路？先根據(jù)你最欣賞的思路解答此題，再簡要說明你選擇這種思路的理由．【答案】我最欣賞乙同學(xué)的解法，，理由見解析【分析】我最欣賞乙同學(xué)的解法，根據(jù)乙的思路求出的值，分析簡便的原因．【詳解】解：我最欣賞乙同學(xué)的解法，，得：，整理得：，代入得：，解得：，這樣解題采用了整體代入的思想，利用簡化運(yùn)算．【點(diǎn)睛】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，能觀察方程特點(diǎn)并運(yùn)用整體代入的方法是解題的關(guān)鍵．消元的方法有：代入消元法與加減消元法．19．?dāng)?shù)學(xué)方法：解方程組：，若設(shè)，，則原方程組可化為，解方程組得，所以，解方程組得，我們把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)字母去替代它，這種解方程組的方法叫做換元法．(1)直接填空：已知關(guān)于x，y的二元一次方程組，的解為，那么關(guān)于m、n的二元一次方程組的解為：．(2)知識(shí)遷移：請(qǐng)用這種方法解方程組．(3)拓展應(yīng)用：已知關(guān)于x，y的二元一次方程組的解為，求關(guān)于x，y的方程組的解．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）設(shè)，，即可得，解方程組即可求解；（2）設(shè)，，則原方程組可化為，解方程組即可求解；（3）設(shè)，，則原方程組可化為，，根據(jù)的解為，可得，即有，則問題得解．【詳解】（1）設(shè)，，則原方程組可化為，∵的解為，∴，解得，故答案為：；（2）設(shè)，，則原方程組可化為，解得，即有，解得，即：方程組的解為；（3）設(shè)，，則原方程組可化為，化簡，得，∵關(guān)于x，y的二元一次方程組的解為，∴，即有，解得：，故方程組的解為：．【點(diǎn)睛】本題考查了用換元法解二元一次方程組的知識(shí)，緊密結(jié)合題目給出的示例，合理換元是解答本題的關(guān)鍵．20．閱讀探索：知識(shí)累計(jì)：解方程組解：設(shè)，，原方程組可變?yōu)榻夥匠探M得：，即，解得．所以此種解方程組的方法叫換元法．(1)拓展提高：運(yùn)用上述方法解下列方程組：(2)能力運(yùn)用：已知關(guān)于，的方程組的解為，求出關(guān)于，的方程組的解．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)換元法設(shè)，，進(jìn)行求解計(jì)算即可；（2）根據(jù)換元法設(shè)進(jìn)行求解計(jì)算即可．【詳解】（1）解：設(shè)，，原方程組可變?yōu)椋航獾茫杭唇獾茫海?）解：設(shè)可得解得：．【點(diǎn)睛】本題考查解二元一次方程組，熟練掌握運(yùn)算法則是解決問題的關(guān)鍵．21．已知方程組，求的值．小明湊出“”，雖然問題獲得解決，但他覺得湊數(shù)字很辛苦！他問數(shù)學(xué)老師丁老師有沒有不用湊數(shù)字的方法，丁老師提示道：假設(shè)，對(duì)照方程兩邊各項(xiàng)的系數(shù)可列出方程組它的解就是你湊的數(shù)！(1)根據(jù)丁老師的提示，已知方程組，求的值．(2)已知，且，當(dāng)為時(shí)，為定值，此定值是．（直接寫出結(jié)果）【答案】(1)7(2)2，8【分析】（1）仿照樣例進(jìn)行解答便可；（2）仿照樣例進(jìn)行解答．【詳解】（1）解：假設(shè)2x+5y+8z＝m?（x+2y+3z）+n?（4x+3y+2z），對(duì)照方程兩邊各項(xiàng)的系數(shù)可列出方程組解得，∴，∴．（2）設(shè)8a+3b﹣2c＝m（2a﹣b+kc）+n（a+3b+2c），，∴，∴8a+3b﹣2＝3×4+2×（﹣2）＝8．故答案為：﹣2；8．【點(diǎn)睛】本題主要考查了方程組的解法，求代數(shù)式的值，關(guān)鍵讀懂樣例的解題方法．22．知識(shí)積累：解方程組．解：設(shè)a﹣1＝x，b＋2＝y(tǒng)．原方程組可變?yōu)椋膺@個(gè)方程組得，即，所以，這種解方程組的方法叫換元法．(1)拓展提高：運(yùn)用上述方法解下列方程組：．(2)能力運(yùn)用：已知關(guān)于x，y的方程組的解為，請(qǐng)直接寫出關(guān)于m、n的方程組的解是．【答案】(1)(2)【分析】（1）仿照原題提供的思路，利用換元法進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）仿照（1）的思路，利用換元法進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】（1）解：設(shè)1＝x，2＝y(tǒng)，∴原方程組可變?yōu)椋?，解這個(gè)方程組得：，，所以：；（2）解：設(shè)，可得：，解得：．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了解二元一次方程組，二元一次方程組的解，理解并掌握例題的換元法是解題的關(guān)鍵．23．【材料閱讀】換元法是數(shù)學(xué)中很重要，且應(yīng)用廣泛的解題方法，我們通常把未知量稱為“元”．所謂換元法，就是在解題時(shí)，把某個(gè)式子看成整體，用一個(gè)新的變量去代替它，從而使得復(fù)雜問題簡單化．換元法的實(shí)質(zhì)是問題轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元．【方法引領(lǐng)】用換元法解方程組：．分析：由于方程組中含有式子