1.11.2銳角三角函數(shù)（B卷能力拓展）-2021-2022學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)分層練習(xí)（基礎(chǔ)鞏固＋能力拓展北師大版）

1.1—1.2銳角三角函數(shù)學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________B卷（能力拓展）一、選擇題1．如圖：等腰中，是上一點(diǎn)，若，則（）．A． B．2 C．1 D．【答案】B【分析】過(guò)D作DH⊥AB于H，由tan∠DBA=，設(shè)DH=m，則BH=5m，AB=6m，根據(jù)三角形ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，AC=6，可得AB=6，從而可得6m=6，解得m，即可得到答案．【詳解】解：過(guò)D作DH⊥AB于H，如圖：Rt△BDH中，tan∠DBA=，∴=，設(shè)DH=m，則BH=5m，∵三角形ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，AC=6，∴∠A=45°，AB=AC=6，∴△AHD是等腰直角三角形，∴AH=m，AD=m，∴AB=AH+BH=6m，∴6m=6，解得m=，∴AD=m=2．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是設(shè)DH=m，用含m的代數(shù)式表示AB，從而列方程求解．2．（2021·安徽省安慶市九年級(jí)月考）如圖，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，設(shè)∠ADE＝α，且cosα＝，AB＝4，則AD的長(zhǎng)為（）A．4 B． C． D．【答案】C【分析】由已知條件可知：AB＝CD＝4，∠ADE＝∠ECD＝α．在Rt△DEC中，cos∠ECD＝cosα＝，由此可以求出CE．然后根據(jù)勾股定理求出DE，最后在Rt△AED中利用余弦函數(shù)的定義即可求出AD．【詳解】解：在矩形ABCD中，AB＝CD＝4，，∴，∵DE⊥AC，∴，∴，∴∠ADE＝∠ECD＝α．在Rt△DEC中，cos∠ECD＝cosα＝，即,∴CE＝．根據(jù)勾股定理得DE＝．在Rt△AED中，cosα＝，即，∴AD＝．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形、矩形的性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)，正確掌握各知識(shí)點(diǎn)及邏輯推理能力、運(yùn)算能力是解題的關(guān)鍵．3．（2021·陜西西安市九年級(jí)模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，AC為對(duì)角線，取AB中點(diǎn)E，DE與AC交于點(diǎn)F．則sin∠DFC＝（）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接BD與AC交于點(diǎn)O，利用勾股定理求得DE，OD，根據(jù)正方形的性質(zhì)證明△AFE∽△CFD，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得DF，進(jìn)而可求．【詳解】解：連接BD與AC交于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠EAD＝90°，AC⊥BD，OD＝，AB∥CD，AD＝AB＝CD＝6，∴∠DOF＝90°，∠EAF＝∠DCF，OD＝3，∵E為AB中點(diǎn)，∴AE＝AB＝＝3，由勾股定理得，DE＝，∵∠EAF＝∠DCF，∠AFE＝∠DFC，∴△AFE∽△CFD，∴，∴DF＝DE＝2，∴sin∠DFC＝，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，解題關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形和找出相似三角形進(jìn)行求解．二、填空題4．（2021·河南省淮濱縣九年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）如圖，在中，，是斜邊的中點(diǎn)，，垂足為，若，，則的值為_(kāi)_______．【答案】【分析】先求解再證明利用勾股定理求解再利用余弦的含義可得答案.【詳解】解：，是斜邊的中點(diǎn)，，，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，求解銳角的余弦，熟練的運(yùn)用勾股定理求值是解題的關(guān)鍵.5．（2021·湖南邵陽(yáng)市中考真題）如圖，在矩形中，，垂足為點(diǎn)．若，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】3【分析】在中，由正弦定義解得，再由勾股定理解得DE的長(zhǎng)，根據(jù)同角的余角相等，得到，最后根據(jù)正弦定義解得CD的長(zhǎng)即可解題．【詳解】解：在中，在矩形中，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、正弦、勾股定理等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．6．（2021·黑龍江南崗九年級(jí)模擬預(yù)測(cè)）在中，，，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】5或7【分析】分情況討論，當(dāng)為銳角三角形或鈍角三角形（為銳角或鈍角）時(shí)，過(guò)點(diǎn)作垂線，根據(jù)三角函數(shù)求解即可．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作垂線當(dāng)為銳角三角形時(shí)，如下圖設(shè)∵，∴，又∵，∴，解得∴又∵∴∴當(dāng)為鈍角三角形時(shí)，如下圖∵，∴，又∵，∴，解得∴又∵，∴∴故答案為：5或7【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理和三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)是解題的關(guān)鍵，易錯(cuò)點(diǎn)是三角形不唯一，需要進(jìn)行分類討論．三、解答題7．如圖所示，已知在中，D是AB的中點(diǎn)，，，求．【答案】【分析】（方法1）作交BC于點(diǎn)E，得，根據(jù)和勾股定理得出的長(zhǎng)度，根據(jù)中位線定理得出AC的長(zhǎng)度，再根據(jù)勾股定理得出AD的長(zhǎng)度，即可得；（方法2）作交AC于點(diǎn)F，得，根據(jù)和勾股定理得出CF的長(zhǎng)度，根據(jù)D是AB的中點(diǎn)得出AC的長(zhǎng)度，再根據(jù)勾股定理得出AD的長(zhǎng)度，即可得；（方法3）延長(zhǎng)CD至G點(diǎn)使CD=GD，得出四邊形AGBC為平行四邊形，根據(jù)和勾股定理得出的長(zhǎng)度，的長(zhǎng)度，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AD，CD的長(zhǎng)度,即可得．【詳解】解：方法1：如圖所示，作交BC于點(diǎn)E，得，∴，設(shè)，則，∴，由中位線定理得AC＝6x，在中，，∴；方法2：如圖所示，作交AC于點(diǎn)F，得，∴，設(shè)，則，中，根據(jù)勾股定理，，∵D是AB的中點(diǎn)，∴，在中，根據(jù)勾股定理，，∴；方法3：如圖所示，延長(zhǎng)CD至G點(diǎn)使CD=GD，∵D是AB的中點(diǎn)，∴AD=BD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，，設(shè)，，由得，在中，根據(jù)勾股定理，，∵CD=GD，∴DG=DC=2z，在中，根據(jù)勾股定理，，∴，，∴．8．（2021·福建泉州市九年級(jí)期末）如圖在等腰三角形ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D、E分別是AB、BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC于點(diǎn)F，BF與DE交于點(diǎn)G．（1）求證：DE⊥BF；（2）連結(jié)EF，若S△CEF＝S△BDG，求cos∠CEF的值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【分析】由條件，可得知DE是△ABC的中位線，根據(jù)中位線的性質(zhì)，得到，進(jìn)一步得到∠DGB＝∠AFB，結(jié)合BF⊥AC，即可得證；（2）先證明△BDG∽△BAF，得到，進(jìn)一步推理得到S△ABC＝S△ABF+S△BCF＝S△ABF+2S△CEF＝S△CEF；＝＝，在中求解即可．【詳解】（1）∵點(diǎn)D、E分別是AB、BC的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∴DE∥AC，∴∠DGB＝∠AFB．∵BF⊥AC，∴∠AFB＝∠BFC＝90°．∴∠DGB＝90°，∴DE⊥BF．（2）∵∠BFC＝90°，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴EF＝BE＝EC，∴∠EFC＝∠C．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C．∴∠CEF＝180°﹣2∠C＝∠BAC．∵，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴△BDG∽△BAF，∴∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴S△BFC＝2S△CEF，∵S△CEF＝，∴．∴S△ABC＝S△ABF+S△BCF＝S△ABF+2S△CEF＝S△CEF．∴＝＝．在中，．【點(diǎn)睛】本題考查中位線性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)知識(shí)點(diǎn)解題是關(guān)鍵．9．（2021·河北九年級(jí)月考）如圖，在中，，點(diǎn)D，E分別是邊上的點(diǎn)，且．（1）求證：；（2）若，當(dāng)時(shí)，求和．【答案】（1）證明見(jiàn)詳解；（2）cosC=，．【分析】（1）由題意可得∠ABC＝∠ACB，∠EDC＝∠BAD，可證△ABD∽△DCE；（2））由等腰三角形性質(zhì)可得BD=CD=BC=16，在Rt△ADC中，由余弦定義可求cosC=，由，∠DAC+∠C=90°，可得∠DAC+∠ADE=90°，可求∠AED=90°，在Rt△CDE中，利用余弦三角函數(shù)cosC=可求．【詳解】證明：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵∠ADC＝∠ABC+∠BAD，∴∠ADE+∠EDC＝∠ABC+∠BAD，且∠ADE＝∠B，∴∠EDC＝∠BAD且∠ABD＝∠DCE，∴．解：（2）∵AB=AC=20,，AD⊥BC，∴BD=CD=BC=16，在Rt△ADC中，cosC=，∵，∠DAC+∠C=90°，∴∠DAC+∠ADE=90°，∴∠AED=180°（∠DAC+∠ADE）=90°，在Rt△CDE中，cosC=∴．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)，與銳角三角函數(shù)定義是本題的關(guān)鍵．10．（2021·合肥市九年級(jí)模擬預(yù)測(cè)）如圖1，和都是等腰直角三角形，，，且點(diǎn)是上的點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接．（1）求證：；（2）若，求的長(zhǎng)；（3）如圖2，若，求的值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）．【分析】（1）先判斷出，再判斷出，進(jìn)而判斷出，即可得出結(jié)論；

（2）先利用等式的旋轉(zhuǎn)判斷出，再判斷出，進(jìn)而判斷出，進(jìn)而求出，即可得出結(jié)論；

（3）先判斷