專題05待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式重難點專練-2021-2022學(xué)年九年級數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練

專題05待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式重難點專練（解析版）學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、解答題1．二次函數(shù)的圖像經(jīng)過A(2，1)，B(1，2)求這個二次函數(shù)的解析式．【來源】上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)九年級上學(xué)期滬教版五四制第二十六章26.2特殊的二次函數(shù)圖像【答案】【分析】利用待定系數(shù)法將A（２，１）、B（?1，?2）分別代入y＝ax2＋c，求出a，c的值即可．【詳解】把A（2，1），B(1，2)分別代入y＝ax2＋c，得，解得，∴解析式為【點睛】此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，根據(jù)已知將A，B代入求出是解題關(guān)鍵．2．已知二次函數(shù)的圖像的頂點坐標為（3，2），這個圖像經(jīng)過平移能與的圖像重合，求這個二次函數(shù)的解析式．【來源】上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)九年級上學(xué)期滬教版五四制第二十六章26.3二次函數(shù)的圖像【答案】二次函數(shù)的解析式是【分析】根據(jù)經(jīng)過平移后能與拋物線y=6x2重合可知a=6，再由二次函數(shù)的頂點坐標為（3，2）即可得出結(jié)論．【詳解】解析：∵這個圖像經(jīng)過平移能與的圖像重合∴，∵頂點坐標為（3，2）∴這個二次函數(shù)的解析式是【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知圖形平移不變性的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．3．已知二次函數(shù)圖像經(jīng)過下列點，求二次函數(shù)的解析式：（1）（0，1），（1，1），（2，3）（2）（0，0），（2，0），（3，3）【來源】上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)九年級上學(xué)期滬教版五四制第二十六章26.3二次函數(shù)的圖像【答案】（1）；（2）【分析】（1）設(shè)二次函數(shù)解析式為y=ax2+bx+c，利用待定系數(shù)法求解即可．（2）設(shè)二次函數(shù)的解析式為，然后代入（3，3）用待定系數(shù)法即可求得．【詳解】解：(1)設(shè)把點（1，1），（2，3）代入解析式得，，解得，∴解析式為(2)設(shè)把點（3，3）代入解析式得，，解得，∴解析式為【點睛】本題主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式的方法，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．4．已知拋物線頂點為（2，3），且經(jīng)過（1，2）求二次函數(shù)解析式．【來源】上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)九年級上學(xué)期滬教版五四制第二十六章26.3二次函數(shù)的圖像【答案】二次函數(shù)解析式為【分析】因為拋物線的頂點坐標為（2，3），所以設(shè)此二次函數(shù)的解析式為y=a（x2）2+3，把點（1，2）代入解析式即可解答．【詳解】解：已知拋物線的頂點坐標為（2，3），設(shè)，把點（1，2）代入解析式，得：，解得，∴二次函數(shù)解析式為【點睛】本題考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法．若題目給出了二次函數(shù)的頂點坐標，則采用頂點式求解簡單．5．已知拋物線與軸交于點（3，0）、（5，0），與y軸交于（0，1），求拋物線的函數(shù)解析式．【來源】上海市蘭生復(fù)旦20182019學(xué)年九年級上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題【答案】．【分析】將拋物線解析式設(shè)為交點式，再將(0,1)代入函數(shù)解析式，求出未知參數(shù)a的值即可．【詳解】解：設(shè)拋物線解析式為，把(0,1)代入解析式得：，解得：，拋物線的函數(shù)解析式為：，即．【點睛】本題主要考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式的方法，本題關(guān)鍵在于根據(jù)已知的與x軸的交點坐標將函數(shù)解析式設(shè)為交點式求解．6．拋物線上部分點的橫坐標x，縱坐標y的對應(yīng)值如下表：x…012…y…04664…求這個二次函數(shù)的表達式，并利用配方法求出此拋物線的對稱軸、頂點坐標【來源】專題3.5二次函數(shù)備戰(zhàn)2021年中考數(shù)學(xué)精選考點專項突破題集（上海專用）【答案】y=x2+x+6，對稱軸方程為直線x=，頂點坐標為（，）．【分析】把點（0，6）代入求出c，把點（1，4）和（1，6）代入得出，求出a、b，再利用x=得出拋物線的對稱軸方程，代入二次函數(shù)的表達式，即可求出答案．【詳解】解：（1）由表得，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）過點（0，6），

∴c=6，

∵拋物線y=ax2+bx+6過點（1，4）和（1，6），

∴，

解得：，

∴二次函數(shù)的表達式為：y=x2+x+6；

∴拋物線的對稱軸方程為直線x=，

∵當x=時，y=，

∴拋物線的頂點坐標為（，）；【點睛】本題考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式的應(yīng)用，能求出二次函數(shù)的解析式是解此題的關(guān)鍵．7．已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點A(1，0)，與軸正半軸交于點，且的正切值為3．（1）求次拋物線的解析式，并寫出頂點坐標；（2）將次拋物線向左右平移后經(jīng)過原點，試確定拋物線平移的方向和平移的距離．【來源】上海市上海市民辦文綺中學(xué)20202021學(xué)年九年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【答案】（1），頂點坐標；（2）向左平移1個單位或向左平移3個單位【分析】（1）根據(jù)的正切值求出OB的長，得到點B的坐標，再用待定系數(shù)法求出解析式，再把一般式寫成頂點式得到頂點坐標；（2）求出拋物線與x軸的交點坐標，就可以得到如何左右平移經(jīng)過原點．【詳解】解：（1）∵，∴，即，把點B和點A的坐標代入解析式，得，解得，∴，∴頂點坐標是；（2）令，則，解得，，∴拋物線與x軸交于點和點，則向左平移1個單位或向左平移3個單位，圖象會經(jīng)過原點．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)解析式的求解方法和函數(shù)圖象平移的方法，還需要掌握銳角三角函數(shù)的知識．8．在平面直角坐標系中，已知，點（3，0）、（－2，5）、（0，－3）．求經(jīng)過點、、的拋物線的表達式．【來源】第三章函數(shù)與分析（3）（用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式）備戰(zhàn)2021年中考數(shù)學(xué)考點核心考點清單（上海專用）【答案】【分析】設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，再把三個已知點的坐標代入得到關(guān)于a、b、c的方程組，解方程組即可得到二次函數(shù)的解析式．【詳解】解：設(shè)經(jīng)過點、、的拋物線的表達式為．則，解得：．∴經(jīng)過點、、的拋物線的表達式為．【點睛】本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．9．如圖，已知對稱軸為直線的拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，其中點的坐標為．（1）求點的坐標及拋物線的表達式；（2）記拋物線的頂點為，對稱軸與線段的交點為，將線段繞點，按順時針方向旋轉(zhuǎn)，請判斷旋轉(zhuǎn)后點的對應(yīng)點是否還在拋物線上，并說明理由；（3）在軸上是否存在點，使與相似？若不存在，請說明理由；若存在請直接寫出點的坐標（不必書寫求解過程）．【來源】上海市崇明區(qū)20202021學(xué)年九年級第一學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)測試卷（一模）【答案】（1），；（2）在拋物線上，理由見解析；（3）存在；或或或【分析】（1）根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)，對應(yīng)點到對稱軸的距離相等，方向相反，可得點B的坐標，用待定系數(shù)法求得函數(shù)解析式．（2）求出直線BC的解析式，計算得出線段PQ的長度，過作平行于x軸，交拋物線對稱軸于點D，根據(jù)旋轉(zhuǎn)角度解直角三角形，得出的坐標，將的橫坐標代入拋物線的解析式，計算并判斷即可得出答案．（3）根據(jù)勾股定理可得出是直角三角形，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)分類討論，得出點M的坐標．【詳解】解：（1）∵A、B是關(guān)于直線軸對稱圖形的兩點，點的坐標為，∴點B的橫坐標為，∴點B的坐標為；將A、B兩點坐標值代入可列方程組：解得∴拋物線的表達式為：．（2）∵點P為拋物線頂點，直線為拋物線的對稱軸，∴點P的橫坐標為1，縱坐標為，∴點P的坐標為，直線BC的解析式為，將B、C的值代入可列方程：解得∵BC與對稱軸交于點Q，∴當，，∴點Q的坐標為，，∵是點P繞點Q順時針旋轉(zhuǎn)120°得到的，∴，過作平行于x軸，交拋物線對稱軸于點D，如圖：∵在中，，，∴，，∴點橫坐標為點D橫坐標加，即：，點縱坐標為點Q縱坐標減，即：，將的橫坐標值代入，，∴的坐標符合拋物線表達式，∴在拋物線上．（3）∵，，，，∴，∴是直角三角形，，，，∵M是x軸上一點，，若，則，∴，此時，點M坐標為或，若，則，∴，此時，點M坐標為或，∴綜上，點M存在，點坐標為或或或．【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、勾股定理及相似三角形的性質(zhì)，運用分類討論的思想是解決第（3）小題的關(guān)鍵．10．我們已經(jīng)知道二次函數(shù)的圖像是一條拋物線．研究二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，我們主要關(guān)注拋物線的對稱軸、拋物線的開口方向、拋物線的最高點（或最低點）的坐標、拋物線與坐標軸的交點坐標、拋物線的上升或下降情況（沿x軸的正方向看）．已知一個二次函數(shù)的大致圖像如圖所示．

（1）你可以獲得該二次函數(shù)的哪些信息？（寫出四條信息即可）（2）依據(jù)目前的信息，你可以求出這個二次函數(shù)的解析式嗎？如果可以，請求出這個二次函數(shù)的解析式；如果不可以，請補充一個條件，并求出這個二次函數(shù)的解析式．【來源】上海市嘉定區(qū)20202021學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（一模）【答案】（1）對稱軸為直線；頂點坐標為；開口向下；當時，y隨x增大而增大；（2）不可以；補充條件，【分析】（1）觀察函數(shù)圖像頂點，對稱軸，由對稱軸分開增減區(qū)間；（2）只有頂點，條件不足，不能求出解析式，可以給出除頂點外的一點坐標即可如添加“C（0，2）”設(shè)出頂點式，然后把C點坐標代入即可．【詳解】（1）對稱軸：直線，最高點/頂點，開口方向：向下，當時，y隨x增大而增大，當時，y隨x增大而減??；（2）不可以，加上“”，設(shè)，代入得，∴．【點睛】本題考查數(shù)形結(jié)合的問題，仔細觀察圖像，找出發(fā)現(xiàn)的信息，掌握求拋物線解析式需三個獨立的條件是解題關(guān)鍵．11．已知拋物線與軸交于點，它的頂點為，對稱軸是直線．（1）求此拋物線的表達式及點的坐標；（2）將上述拋物線向下平移個單位，所得新拋物線經(jīng)過原點，設(shè)新拋物線的頂點為，請判斷的形狀，并說明理由．【來源】專題19二次函數(shù)（二）（考點）備戰(zhàn)2021年中考數(shù)學(xué)考點微專題（上海專用）【答案】（1），；（2）△MON是等腰直角三角形．【分析】（1）根據(jù)對稱軸是直線，可求b，再代入點C，可求拋物線解析式，把，代入解析式，可求M點坐標；（2）由原拋物線與y軸交點可知，拋物線向下平移2個單位，可求新頂點坐標，再求出MO、ON、MN的長，可判斷三角形形狀．【詳解】解：（1）∵拋物線對稱軸是直線，∴，解得b=2，把代入得，，∴拋物線解析式為：；把代入得，，，點M的坐標為：．（2）拋物線與y軸交點為，向下平移個單位后經(jīng)過原點，∴m=2，新拋物線的頂點N的坐標為：，∴，，MN=2，∴，∴△MON是等腰直角三角形．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和函數(shù)的平移以及勾股定理逆定理，靈活運用已知條件，準確把握函數(shù)圖象平移特征，根據(jù)三邊長判斷三角形形狀是解題關(guān)鍵．12．在平面直角坐標系中，直線與直線相交于點，拋物線經(jīng)過點．（1）求點A的坐標；（2）若拋物線向上平移兩個單位后，經(jīng)過點，求拋物線的表達式；（3）若拋物線與關(guān)于軸對稱，且這兩條拋物線的頂點分別是點與點，當時，求拋物線的表達式．【來源】專題19二次函數(shù)（二）（考點）備戰(zhàn)2021年中考數(shù)學(xué)考點微專題（上海專用）【答案】（1）點的坐標為；（2）；（3）【分析】（1）聯(lián)立兩直線解析式，解二元一次方程組即可得出答案；（2）由拋物線經(jīng)過點A可得出b=4a，由平移的性質(zhì)可得出答案；（3）求出頂點P的坐標為（2，4a1），由軸對稱的性質(zhì)可得出P'的坐標，求出PP'的長，根據(jù)三角形的面積公式可得出方程，解方程可得出答案．【詳解】解：（1）∵直線與直線相交于點A，∴，解得：；∴點A的坐標為（4，1）．（2）∵拋物線y=ax2+bx1（a≠0）經(jīng)過點A（4，1），∴16a+4b1=1，即b=4a，∴y=ax24ax1，∴平移后的拋物線的表達式是y=ax24ax+1，∴2=a4a+1，解得：a=1，∴拋物線y=ax2+bx1的表達式是：y=x24x1．（3）如圖，∵y=ax24ax1=a（x2）24a1，∴P（2，4a1），∵拋物線y=a'x2+b'x+c（a'＜0）與y=ax24ax1關(guān)于x軸對稱，∴P'（2，4a+1），∵a'＜0，∴a＞0，∴P'P=8a+2，又∵OD=2，S△OPP'=×OD×PP'，∴×2×(8a+2)＝3，解得：a=，∴拋物線y=ax2+bx1的表達式是．【點睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)、二次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系以及求函數(shù)解析式，其中靈活應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì)成為解答本題的關(guān)鍵．13．在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點和點，與軸交于點，（1）求該拋物線的表達式及點的坐標；（2）將拋物線平移，使點落在點處，點落在點處，求的面積；（3）如果點在軸上，與相似，求點的坐標．【來源】上海市寶山區(qū)20202021學(xué)年九年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【答案】（1），；（2）；（3）【分析】（1）由待定系數(shù)法可求出解析式，由拋物線解式可求出點D的坐標；（2）求出E點坐標，畫出圖形，過作軸交于由三角形面積公式可得出答案；（3）由點的坐標得出∠ABC=∠OCD=45°，若△PCD與△ABC相似，分兩種情況：①當∠BAC=∠CDP時，△DCP∽△ABC；②當∠BAC=∠DPC時，△PCD∽△ABC，得出比例線段，則可求出答案．【詳解】解：（1）∵拋物線經(jīng)過點A（2，0），B（1，0）和D（3，n），∴，解得：，∴拋物線解析式為：；∴∴D（3，2）；（2）令則∵將拋物線平移，使點C落在點B處，點D落在點E處，，∴E（2，3），過作軸交于設(shè)為則則為∴（3）如圖，連接CD，AC，CB，過點D作DE⊥y軸于點E，∵A（2，0），B（1，0），C（1，0），D（3，2），∴OB=OC，DE=CE=3，AB=3，，∴∠ABC=∠OCD=45°，∵△PCD與△ABC相似，點P在y軸上，∴分兩種情況討論：①如圖，當∠BAC=∠CDP時，△DCP∽△ABC，∴，∴，∴PC=2，經(jīng)檢驗：符合題意，∴P（0，1），②如圖，當∠BAC=∠DPC時，△PCD∽△ABC，∴，∴，∴PC=9，經(jīng)檢驗：符合題意，∴P（0，8）．∴點P的坐標為（0，8）或（0，1）時，△PCD與△ABC相似．【點睛】本題二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的面積，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，靈活運用這些知識解決問題是解題的關(guān)鍵．14．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知B（0，2），C（1，﹣），點A在x軸正半軸上，且OA＝2OB，拋物線y＝ax2＋bx（a≠0）經(jīng)過點A、C．（1）求這條拋物線的表達式；（2）將拋物線先向右平移m個單位，再向上平移1個單位，此時點C恰好落在直線AB上的點C′處，求m的值；（3）設(shè)點B關(guān)于原拋物線對稱軸的對稱點為B′，聯(lián)結(jié)AC，如果點F在直線AB′上，∠ACF＝∠BAO，求點F的坐標．【來源】2021年上海市奉賢區(qū)九年級下學(xué)期數(shù)學(xué)二模試題【答案】（1）y＝x2﹣2x；（2）4；（3）F坐標為（4，）或（4，﹣1.5）．【分析】（1）求出A坐標，將A、C坐標代入y＝ax2＋bx即可得答案；（2）求出AB解析式，用m表示C′坐標代入即可得答案；（3）分F在A上方和下方兩種情況畫出圖形，構(gòu)造相似三角形利用對應(yīng)邊成比例可得答案．【詳解】解：（1）∵B（0，2），∴OB＝2，∵點A在x軸正半軸上，且OA＝2OB，∴A（4，0），∴將A（4，0），C（1，﹣）代入y＝ax2＋bx得：，解得，∴拋物線的表達式為y＝x2﹣2x；（2）設(shè)直線AB的解析式是y＝mx＋n，將A（4，0），B（0，2）代入得：，解得，∴直線AB的解析式是y＝﹣x＋2，∵拋物線y＝x2﹣2x向右平移m個單位，再向上平移1個單位，則其上的點C也向右平移m個單位，再向上平移1個單位，而C（1，﹣），∴C′（1＋m，﹣），∵C′（1＋m，﹣）在直線AB上，∴﹣＝﹣（1＋m）＋2，∴m＝4；（3）∵y＝x2﹣2x對稱軸為x＝2，B（0，2），點B關(guān)于原拋物線對稱軸的對稱點為B′，∴B′（4，2），∵A（4，0），∴直線AB′為x＝4，點F在直線AB′上，∠ACF＝∠BAO，分兩種情況：①F在A上方，如圖：過A作AG⊥CF于G，過G作GH//x軸交直線x＝4于H，過C作CM⊥x軸交直線GH于M，∵B（0，2），A（4，0），∴tan∠BAO＝，∵∠ACF＝∠BAO，AG⊥CF，∴tan∠ACF＝，即，而∠MCG＝90°﹣∠MGC＝∠AGH，∠M＝∠AHG，∴△MCG∽△HGA，∴，∴MC＝GH，MG＝2AH，設(shè)G（m，n），則MC＝n＋1.5，MG＝m﹣1，GH＝4﹣m．AH＝n，∴n＋1.5＝2（4﹣m），且m﹣1＝2n，解得m＝2.8，n＝0.9，∴G（2.8，0.9），又C，∴直線GC解析式為：y＝x﹣，令x＝4得y＝∴F（4，），②F在A下方，延長AC交y軸于D，過C作CF//x軸交直線x＝4于F，∵A（4，0），C（1，﹣1.5），∴直線AC解析式為y＝x﹣2，∴D（0，﹣2），∵B（0，2），∴B，D關(guān)于x軸對稱，∴∠BAO＝∠DAO，若∠ACF＝∠BAO，則∠ACF＝∠DAO，∴CF//x軸，∴F綜上所述，∠ACF＝∠DAO，F(xiàn)坐標為或或．【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合題，涉及待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的平移、相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．15．如圖，在直角坐標平面xOy內(nèi)，點A在x軸的正半軸上，點B在第一象限內(nèi)，且∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，OB＝4.，二次函數(shù)y＝﹣x2＋bx的圖象經(jīng)過點A，頂點為點C．（1）求這個二次函數(shù)的解析式，并寫出頂點C的坐標；（2）設(shè)這個二次函數(shù)圖象的對稱軸l與OB相交于點D，與x軸相交于點E，求的值；（3）設(shè)P是這個二次函數(shù)圖象的對稱軸l上一點，如果△POA的面積與△OCE的面積相等，求點P的坐標．【來源】2021年上海市寶山區(qū)中考數(shù)學(xué)三模試題【答案】（1）；（，3）；（2）；（3）（，）或（，）【分析】（1）由∠OAB=90°，在直角三角形OAB中求得點A，代入函數(shù)式解得．（2）直角三角形OAB中求得AB的長度，由拋物線的對稱軸可知DE∥AB，OE=AE．求得DE，進而求得CD，從而求得；（3）利用三角形OCE和三角形POA的面積相等即求得．【詳解】解：（1）∵∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，OB＝4，∴AB=2∴∴A（，0）．∵二次函數(shù)y＝﹣x2+bx的圖象經(jīng)過點A，∴．解得，．∴二次函數(shù)的解析式為．∴∴頂點C的坐標是（，3）．（2）∵DE是二次函數(shù)的圖象的對稱軸，∴DE∥AB，OE＝AE．∴．∵AB=2，OE＝OA=∴DE＝1．又∵C（，3），∴CE＝3．即得CD＝2．∴．（3）根據(jù)題意，可設(shè)P（，n）．∵，CE＝3，∴．∴．解得,．∴點P的坐標為（，）或（，）【點睛】本題考查二次函數(shù)的頂點坐標，對稱軸，面積公式，平行線分線段成比例，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．16．已知：在平面直角坐標系xOy中，拋物線經(jīng)過點A（5，0）、B（3，4），拋物線的對稱軸與x軸相交于點D．（1）求拋物線的表達式；（2）聯(lián)結(jié)OB、BD．求∠BDO的余切值；（3）如果點P在線段BO的延長線上，且∠PAO=∠BAO，求點P的坐標．【來源】專題09函數(shù)之解答題《備戰(zhàn)2020年中考真題分類匯編》（上海）【答案】（1）；（2）；（3）點P的坐標為（，）.【解析】【分析】（1）根據(jù)點A，B的坐標，利用待定系數(shù)法可求出拋物線的表達式；（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得出拋物線的對稱軸，進而可得出點D的坐標，過點B作BC⊥x軸，垂足為點C，由點B，D的坐標可得出CD，BC的長度，結(jié)合余切的定義可求出∠BDO的余切值；（3）設(shè)點P的坐標為（m，n），過點P作PQ⊥x軸，垂足為點Q，則PQ＝﹣n，OQ＝m，AQ＝5﹣m，在Rt△ABC中，可求出cot∠∠BAC＝2，結(jié)合∠PAO＝∠BAO可得出m﹣2n＝5①，由BC⊥x軸，PQ⊥x軸可得出BC∥PQ，進而可得出4m＝﹣3n②，聯(lián)立①②可得出點P的坐標．【詳解】解：（1）∵拋物線經(jīng)過點A（5，0）、B（3，4），∴解得∴所求拋物線的表達式為．（2）由，得拋物線的對稱軸為直線．∴點D（，0）．過點B作BC⊥x軸，垂足為點C．由A（5，0）、B（3，4），得BC=4，OC=3，．∴．（3）設(shè)點P（m，n）．過點P作PQ⊥x軸，垂足為點Q．則PQ=n，OQ=m，AQ=5–m．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴．∵∠PAO=∠BAO，∴．即得．①由BC⊥x軸，PQ⊥x軸，得∠BCO=∠PQA=90°．∴BC//PQ．∴，即得．∴4m=3n．②由①、②解得，．∴點P的坐標為（，）．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、余切的定義、相似三角形的性質(zhì)以及解方程組，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點的坐標，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)表達式；（2）通過構(gòu)造直角三角形，求出∠BDO的余切值；（3）利用角的余切值及相似三角形的性質(zhì)，找出關(guān)于m，n的二元一次方程組．17．在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0），B（3，0），與y軸交于點C（0，3），頂點為G．（1）求拋物線和直線AC的解析式；（2）如圖，設(shè)E（m，0）為x軸上一動點，若△CGE和△CGO的面積滿足S△CGE＝43S△CGO，求點E（3）如圖，設(shè)點P從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿x軸向右運動，運動時間為ts，點M為射線AC上一動點，過點M作MN∥x軸交拋物線對稱軸右側(cè)部分于點N．試探究點P在運動過程中，是否存在以P，M，N為頂點的三角形為等腰直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．【來源】【市級聯(lián)考】上海市2019屆九年級中考第三次診斷性檢測數(shù)學(xué)測試題【答案】（1）拋物線解析式為：y＝﹣x2+2x+3；直線AC解析式為：y＝3x+3；（2）點E坐標為（1，0）或（﹣7，0）；（3）存在以P，M，N為頂點的三角形為等腰直角三角形，t的值為10049或1316或【解析】【分析】（1）用待定系數(shù)法即能求出拋物線和直線AC解析式．（2）△CGE與△CGO雖然有公共底邊CG，但高不好求，故把△CGE構(gòu)造在比較好求的三角形內(nèi)計算．延長GC交x軸于點F，則△FGE與△FCE的差即為△CGE．（3）設(shè)M的坐標（e，3e+3），分別以M、N、P為直角頂點作分類討論，利用等腰直角三角形的特殊線段長度關(guān)系，用e表示相關(guān)線段并列方程求解，再根據(jù)e與AP的關(guān)系求t的值．【詳解】（1）∵拋物線y=ax2+bx+c過點A（1，0），B（3，0），C（0，3），a-b+c∴拋物線解析式為：y=x2+2x+3，設(shè)直線AC解析式為y=kx+3，∴k+3=0，得：k=3，∴直線AC解析式為：y=3x+3.（2）延長GC交x軸于點F，過G作GH⊥x軸于點H，∵y=x2+2x+3=（x1）2+4，∴G（1，4），GH=4，∴S△CGO=12OC?xG=12×3×1=∴S△CGE=43S△CGO=43×3①若點E在x軸正半軸上，設(shè)直線CG：y=k1x+3，∴k1+3=4

得：k1=1，∴直線CG解析式：y=x+3，∴F（3，0），∵E（m，0），∴EF=m（3）=m+3，∴S△CGE=S△FGES△FCE=12EF?GH12EF?OC=12EF?（GHOC）=12（m+3）?（43∴m+32=2，解得：∴E的坐標為（1，0）.②若點E在x軸負半軸上，則點E到直線CG的距離與點（1，0）到直線CG距離相等，即點E到F的距離等于點（1，0）到F的距離，∴EF=3m=1（3）=4，解得：m=7

即E（7，0），綜上所述，點E坐標為（1，0）或（7，0）.（3）存在以P，M，N為頂點的三角形為等腰直角三角形，設(shè)M（e，3e+3），則yN=yM=3e+3，①若∠MPN=90°，PM=PN，如圖2，過點M作MQ⊥x軸于點Q，過點N作NR⊥x軸于點R，∵MN∥x軸，∴MQ=NR=3e+3，∴Rt△MQP≌Rt△NRP（HL），∴PQ=PR，∠MPQ=∠NPR=45°，∴MQ=PQ=PR=NR=3e+3，∴xN=xM+3e+3+3e+3=7e+6，即N（7e+6，3e+3），∵N在拋物線上，∴（7e+6）2+2（7e+6）+3=3e+3，解得：e1=1（舍去），e2=?2449∵AP=t，OP=t1，OP+OQ=PQ，∴t1e=3e+3，∴t=4e+4=10049②若∠PMN=90°，PM=MN，如圖3，∴MN=PM=3e+3，∴xN=xM+3e+3=4e+3，即N（4e+3，3e+3），∴（4e+3）2+2（4e+3）+3=3e+3，解得：e1=1（舍去），e2=?316∴t=AP=e（1）=?316+1＝13③若∠PNM=90°，PN=MN，如圖4，∴MN=PN=3e+3，N（4e+3，3e+3），解得：e=?316∴t=AP=OA+OP=1+4e+3=134綜上所述，存在以P，M，N為頂點的三角形為等腰直角三角形，t的值為10049或1316或【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，坐標系中三角形面積計算，等腰直角三角形的性質(zhì)，解一元二次方程，考查了分類討論和方程思想．第（3）題根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)找到相關(guān)線段長的關(guān)系是解題關(guān)鍵，靈活運用因式分解法解一元二次方程能簡便運算．18．如圖，已知拋物線y＝ax2+4（a≠0）與x軸交于點A和點B（2，0），與y軸交于點C，點D是拋物線在第一象限的點．（1）當△ABD的面積為4時，①求點D的坐標；②聯(lián)結(jié)OD，點M是拋物線上的點，且∠MDO＝∠BOD，求點M的坐標；（2）直線BD、AD分別與y軸交于點E、F，那么OE+OF的值是否變化，請說明理由．【來源】2017年上海市徐匯區(qū)中考數(shù)學(xué)二模試題【答案】（1）①；②；（2）不變化，值為8，理由見解析【分析】（1）先將已知點B坐標代入解析式求出a，再根據(jù)△ABD的面積，求出D的縱坐標，將其代入拋物線求出D點坐標，根據(jù)∠MDO=∠BOD分兩種情況討論，并求出M坐標（2）設(shè)出點D的坐標，利用平行線分線段成比例定理表示出OE、OF求和即可得出結(jié)論【詳解】（1）∵拋物線y＝ax2+4（a≠0）與x軸交于點A和點B（2，0），∴A（﹣2，0），4a+4＝0，∴a＝﹣1，AB＝4，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+4，①設(shè)D（m，﹣m2+4），∵△ABD的面積為4，∴∴，∵點D在第一象限，∴，∴，②如圖1，點M在OD上方時，∵∠MDO＝∠BOD，∴DM∥AB，∴，當M在OD下方時，設(shè)DM交x軸于G，設(shè)G（n，0），∴OG＝n，∵，∴，∵∠MDO＝∠BOD，∴OG＝DG，∴，∴，∴，∵，∴直線DG的解析式為①，∵拋物線的解析式為y＝﹣x2+4②，聯(lián)立①②得，，此時交點剛好是D點，所以在OD下方不存在點M．（2）OE+OF的值不發(fā)生變化，理由：如圖2，過點D作DH⊥AB于H，∴OF∥DH，∴，設(shè)D（b，﹣b2+4），∴AH＝b+2，DH＝﹣b2+4，∵OA＝2，∴，∴，同理：OE＝2（2+b），∴OE+OF＝2（2﹣b）+2（2+b）＝8．【點睛】本題（1）的關(guān)鍵是求出拋物線解析式，難點是分情況求出點M的坐標，（2）的關(guān)鍵是做出輔助線19．如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣3經(jīng)過點A（2，﹣3），與x軸負半軸交于點B，與y軸交于點C，且OC＝3OB．（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線的對稱軸上有一點P，使PB+PC的值最小，求點P的坐標；（3）點M在拋物線上，點N在拋物線的對稱軸上，是否存在以點A，B，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．【來源】專題19二次函數(shù)（二）（考點專練）備戰(zhàn)2021年中考數(shù)學(xué)考點微專題（上海專用）【答案】（1）（2）點P的坐標；（3）M【分析】（1）待定系數(shù)法即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，可得M在對稱軸上，根據(jù)兩點之間線段最短，可得M點在線段AB上，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得答案；（3）設(shè)M（a，a22a3），N（1，n），①以AB為邊，則AB∥MN，AB=MN，如圖2，過M作ME⊥對稱軸于E，AF⊥x軸于F，于是得到△ABF≌△NME，證得NE=AF=3，ME=BF=3，得到M（4，5）或（2，5）；②以AB為對角線，BN=AM，BN∥AM，如圖3，則N在x軸上，M與C重合，于是得到結(jié)論．【詳解】（1）由得，把代入，得，，拋物線的解析式為；（2）連接AB與對稱軸直線x=1的交點即為P點的坐標（對稱取最值），設(shè)直線AB的解析式為,將A（2，3），B（1，0）代入，得y=x1，將x=1代入，得x=2，所以點P的坐標為（1，2）；（3）設(shè)M（）①以AB為邊，則AB∥MN，如圖2，過M作對稱軸y于E，AF軸于F，則或,或∥AM，如圖3，則N在x軸上，M與C重合，綜上所述，存在以點ABMN為頂點的四邊形是平行四邊形，或或【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．20．在平面直角坐標系xOy中（如圖），已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過點B（4，0）、D（5，3），設(shè)它與x軸的另一個交點為A（點A在點B的左側(cè)），且△ABD的面積是3．（1）求該拋物線的表達式；（2）求∠ADB的正切值；（3）若拋物線與y軸交于點C，直線CD交x軸于點E，點P在射線AD上，當△APE與△ABD相似時，求點P的坐標．【來源】2020年安徽省豪州渦陽縣九年級第二次調(diào)研模擬數(shù)學(xué)試題【答案】（1）y＝x2﹣6x+8；（2）；（3）P（11，9）或（4，2）．【分析】（1）先根據(jù)的面積求出點A的坐標，再利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先根據(jù)的坐標求出的值，再過點B作于E，可求出的值，從而可得的正切值；（3）根據(jù)的坐標分別求出直線的解析式，再分和兩種情況討論，分別根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出對應(yīng)角相等，然后利用平行線的性質(zhì)和解直角三角形求解即可.【詳解】（1）設(shè)，AB邊上的高為3則由的面積是3可得：解得設(shè)拋物線解析式為將代入得：，解得故該拋物線的表達式為；（2）如圖1，過點D作軸于點F則過點B作于E在等腰中，則故的正切值為；（3）如圖2，設(shè)直線AD解析式為將代入得，解得則直線AD解析式為同理，由可得直線BD解析式為由可得直線CD解析式為當時，，解得①若，則則可設(shè)PE所在直線解析式為將點代入得，解得則直線PE解析式為由，解得故此時點②若，則過點P作于點G由直線AD的解析式可設(shè)P的坐標為則，解得綜上，點P的坐標為或.【點睛】本題考查了利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式、解直角三角形、相似三角形的性質(zhì)等知識點，讀懂題意，根據(jù)已求出的函數(shù)解析式畫出圖象是解題關(guān)鍵，屬于中考壓軸題.21．在平面直角坐標系中，已知拋物線與軸交于點和點（點在點的左側(cè)），與軸交于點，對稱軸是直線．（1）求拋物線的表達式；（2）直線平行于軸，與拋物線交于、兩點（點在點的左側(cè)），且，點關(guān)于直線的對稱點為，求線段的長；（3）點是該拋物線上一點，且在第一象限內(nèi)，聯(lián)結(jié)、，交線段于點，當時，求點的坐標．【來源】重難點04二次函數(shù)綜合題2021年中考數(shù)學(xué)【熱點?重點?難點】專練（上海專用）【答案】（1）y=x2+2x+3；（2）；（3）（，）或（，)．【分析】（1）根據(jù)拋物線與軸交于點可得出c的值，然后由對稱軸是直線可得出b的值，從而可求出拋物線的解析式；

（2）令y=0得出關(guān)于x的一元二次方程，求出x，可得出點A、B的坐標，從而得到AB的長，再求出MN的長，根據(jù)拋物線的對稱性求出點M的橫坐標，再代入拋物線解析式求出點M的縱坐標，再根據(jù)點的對稱可求出OE的長；

（3）過點E作x軸的平行線EH，分別過點F，P作EH的垂線，垂足分別為G，Q，則FG∥PQ，先證明△EGF∽△EQP，可得，設(shè)點F的坐標為（a，a+3），則EG=a，F(xiàn)G=a+3=a+，可用含a的式子表示P點的坐標，根據(jù)P在拋物線的圖象上，可得關(guān)于a的方程，把a的值代入P點坐標，可得答案．【詳解】解：（1）將點C（0，3）代入得c=3，又拋物線的對稱軸為直線x=1，∴=1，解得b=2，∴拋物線的表達式為y=x2+2x+3；（2）如圖，令y=0，則x2+2x+3=0，解得x1=1，x2=3，

∴點A（1，0），B（3，0），∴AB=3（1）=4，

∵，∴MN=×4=3，

根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，點M的橫坐標為，代入二次函數(shù)表達式得，y=，∴點M的坐標為，又點C的坐標為（0，3），點C與點E關(guān)于直線MN對稱，∴CE=2×（3）=，∴OE=OCCE=；（3）如圖，過點E作x軸的平行線EH，分別過點F，P作EH的垂線，垂足分別為G，Q，則FG∥PQ，設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），則，解得，∴直線BC的解析式為y=x+3，設(shè)點F的坐標為（a，a+3），則EG=a，F(xiàn)G=a+3=a+．∵FG∥PQ，∴△EGF∽△EQP，∴．∵，∴FP:EF=1:2，∴EF:EP=2:3．∴，∴EQ=EG=a，PQ=FG=（a+）=a+，∴xP=a，yP=a++=a+，即點P的坐標為（a，a+），又點P在拋物線y=x2+2x+3上，∴a+=a2+3a+3，化簡得9a218a+5=0，解得a=或a=，符合題意，∴點P的坐標為（，）或（，)．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)以及解一元二次方程等知識，綜合運用相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線經(jīng)過點，對稱軸是直線，頂點為點，拋物線與軸交于點．（1）求拋物線的表達式和點的坐標；（2）將上述拋物線向下平移個單位，平移后的拋物線與軸正半軸交于點，求的面積；（3）如果點在原拋物線上，且在對稱軸的右側(cè)，聯(lián)結(jié)交線段于點，，求點的坐標．【來源】2020年上海市長寧區(qū)九年級下學(xué)數(shù)學(xué)二模試題【答案】（1）拋物線的表達式為，（2）（3）【分析】（1）由題意知二次函數(shù)對稱軸x=，點，對稱軸是直線，拋物線的表達式為，代入頂點公式即可求出；（2）根據(jù)題意分別找到B，C，D三點求三角形面積即可；（3）根據(jù)平行線分線段成比例，組圖利用平行線來求P點坐標．【詳解】（1）根據(jù)二次函數(shù)，對稱軸x=，系數(shù)a=1，b=m，c=n，又∵點，對稱軸是直線，代入得：x===1，2=4+2m+n，則m=2，n=2，∴函數(shù)解析式為；頂點坐標為，代入a=1，b=2，c=2得：頂點；（2）由平移知識知平移后解析式為：，則與x正半軸交點為y=0，帶入函數(shù)式求得x=3，即D（3，0），根據(jù)求得坐標作圖，作BM⊥x軸，則=+，∴=+，代入數(shù)值解得：=，即的面積為；（3）作OP平行于AB交拋物線于點P，由題意設(shè)P(x，)，∵，∴AB：OP=1：5，由點，，得：AB=，∴OP=5AB=5，OP=，∴=5，解得：x=4，或x=3，∵P在對稱軸右側(cè)，∴x>0，∴x=4，把x=4代入原函數(shù)表達式得：y=6；∴P點坐標為P(4，6)．【點睛】本題屬于二次函數(shù)類綜合題，知識面覆蓋較廣泛，難度較大，同時考查作圖及利用數(shù)形結(jié)合求解的能力．23．在平面直角坐標系xOy中，直線yx+4m（m＞0）與x軸、y軸分別交于點A、B，如圖所示，點C在線段AB的延長線上，且AB＝2BC．（1）用含字母m的代數(shù)式表示點C的坐標；（2）拋物線ybx+10經(jīng)過點A、C，求此拋物線的表達式；（3）在位于第四象限的拋物線上，是否存在這樣的點P：使S△PAB＝2S△OBC，如果存在，求出點P的坐標，如果不存在，試說明理由．【來源】專題09函數(shù)之解答題《備戰(zhàn)2020年中考真題分類匯編》（上海）【答案】（1）C（﹣3m，6m）；（2）yx+10；（3）P坐標為（，）．【分析】（1）如圖（見解析），過點C作軸交于點H，先由可求出OA和OB的長，再由相似三角形的判定定理得，最后利用相似三角形的性質(zhì)求解即可；（2）利用待定系數(shù)法求解即可；（3）如圖（見解析），設(shè)點P的坐標為，由點B和P的坐標求出直線BP的解析式，先根據(jù)點G在直線BP上可得其坐標，再結(jié)合面積等式可得一個s，t的等式，又由點P在拋物線上可得另一個s，t的等式，兩者聯(lián)立求解即可.【詳解】（1），令，則；令，則即點A、B的坐標分別為、，由題意可知，點C在第二象限如圖，過點C作軸交于點H，設(shè)點C的坐標為則，即解得故點C的坐標為；（2）將代入函數(shù)表達式得：解得：或（不符題意，舍去）故拋物線的表達式為：；（3）由題（2）知，，則點A、B的坐標為、如圖，連接AP、BP，過點A作軸交BP于點G設(shè)點P坐標為，則再設(shè)直線BP的表達式為將點B、P代入得，解得則直線BP的表達式為由此可得，點G的坐標為聯(lián)立①②解得：或（負值不符題意，舍去）故點P坐標為.【點睛】本題考查了一次函數(shù)的幾何應(yīng)用、相似三角形的判定定理與性質(zhì)、利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，較難的題（3），求出直線BP的解析式，從而用s，t表示的面積是解題關(guān)鍵.24．如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝x2+bx經(jīng)過點A（2，0）．直線y＝x﹣2與x軸交于點B，與y軸交于點C．（1）求這條拋物線的表達式和頂點的坐標；（2）將拋物線y＝x2+bx向右平移，使平移后的拋物線經(jīng)過點B，求平移后拋物線的表達式；（3）將拋物線y＝x2+bx向下平移，使平移后的拋物線交y軸于點D，交線段BC于點P、Q，（點P在點Q右側(cè)），平移后拋物線的頂點為M，如果DP∥x軸，求∠MCP的正弦值．【來源】2021年上海市浦東新區(qū)中考數(shù)學(xué)調(diào)研試卷（4月份）【答案】（1）y＝x2﹣2x，頂點C的坐標是（1，﹣1）；（2）y＝（x﹣3）2﹣1或y＝（x﹣5）2﹣1；（3）【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式，化成頂點式即可求得頂點坐標；（2）根據(jù)圖象上點的坐標特征求得B（4，0），然后分兩種情況討論求得即可；（3）設(shè)向下平移后的拋物線表達式是：y＝x2﹣2x+n，得點D（0，n），即可求得P（2，n），代入y＝x﹣2求得n＝﹣1，即可求得平移后的解析式為y＝x2﹣2x﹣1．求得頂點坐標，然后解直角三角形即可求得結(jié)論．【詳解】（1）由題意，拋物線y＝x2+bx經(jīng)過點A（2，0），得0＝4+2b，解得b＝﹣2，∴拋物線的表達式是y＝x2﹣2x．∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∴它的頂點C的坐標是（1，﹣1）．（2）∵直線與x軸交于點B，∴點B的坐標是（4，0）．①將拋物線y＝x2﹣2x向右平移2個單位，使得點A與點B重合，此時平移后的拋物線表達式是y＝（x﹣3）2﹣1．②將拋物線y＝x2﹣2x向右平移4個單位，使得點O與點B重合，此時平移后的拋物線表達式是y＝（x﹣5）2﹣1．（3）設(shè)向下平移后的拋物線表達式是：y＝x2﹣2x+n，得點D（0，n）．∵DP∥x軸，∴點D、P關(guān)于拋物線的對稱軸直線x＝1對稱，∴P（2，n）．∵點P在直線BC上，∴．∴平移后的拋物線表達式是：y＝x2﹣2x﹣1．∴新拋物線的頂點M的坐標是（1，﹣2）．∴MC∥OB，∴∠MCP＝∠OBC．在Rt△OBC中，，由題意得：OC＝2，，∴．即∠MCP的正弦值是．【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)的圖象與幾何變換，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式以及二次函數(shù)的性質(zhì)，三角函數(shù)的定義等，正確求得平移后的解析式是解題的關(guān)鍵．25．如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+4經(jīng)過點A（﹣3，0）和點B（3，2），與y軸相交于點C．（1）求這條拋物線的表達式；（2）點P是拋物線在第一象限內(nèi)一點，聯(lián)結(jié)AP，如果點C關(guān)于直線AP的對稱點D恰好落在x軸上，求直線AP的截距；（3）在（2）小題的條件下，如果點E是y軸正半軸上一點，點F是直線AP上一點．當△EAO與△EAF全等時，求點E的縱坐標．【來源】熱點06二次函數(shù)綜合題2021年《三步?jīng)_刺中考?數(shù)學(xué)》（上海專用）之第2步大題奪高分【答案】（1）；（2）；（3）或3﹣6【分析】（1）把和點代入拋物線的解析式，列方程組，可得結(jié)論；（2）如圖1，根據(jù)對稱的性質(zhì)得，可得，設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理得，列方程可得結(jié)論；（3）分兩種情況：先說明是直角三角形，所以也是直角三角形，根據(jù)，畫圖，由勾股定理列方程可解答．【詳解】解：（1）拋物線過點和點，，解得，；（2）如圖1，連接，，點關(guān)于直線的對稱點，，與軸交于點，與軸交于點，，，點，設(shè)直線與軸交于點，則，設(shè)，則，在中，，，，直線的截距為；（3）點是軸正半軸上一點，是直角三角形，且當與全等時，存在兩種情況：①如圖2，當，，，，，，，由（2）知：，，中，，，解得：或（舍，點的縱坐標是；②如圖3，當，，，，中，，，，中，由勾股定理得：，，解得：，點的縱坐標是；綜上，點的縱坐標是或．【點睛】本題是一道二次函數(shù)綜合題，解答本題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，對稱的性質(zhì)：對稱軸是對稱點連接的垂直平分線，三角形全等的性質(zhì)和判定，當三角形全等不確定邊的對應(yīng)關(guān)系時，先確定三角形的特殊性，如直角三角形或等腰三角形等條件，再進一步分情況討論．26．下表中給出了變量x與ax2，ax2+bx+c之間的部分對應(yīng)值(表格中的符號“…”表示該項數(shù)據(jù)已經(jīng)丟失)x101ax2……1ax2+bx+c72…（1）寫出這條拋物線的開口方向，頂點D的坐標；并說明它的變化情況；（2）拋物線的頂點為D，與y軸的交點為A，點M是拋物線對稱軸上的一點，直線AM交對稱軸右側(cè)的拋物線于點B，當△ADM與△BDM的面積比為2：3時，求點B的坐標：（3）在（2）的條件下，設(shè)線段BD交x軸于點C，試寫出∠BAD與∠DCO的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【來源】上海市新竹園中學(xué)20192020學(xué)年九上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題【答案】（1），開口向上，,變化情況見解析；（2）；（3），理由見解析【分析】（1）根據(jù)（1，1）在拋物線y=ax2上可求出a值，再由（1，7）、（0，2）在拋物線y=x2+bx+c上可求出b、c的值，即可得到答案；

（2）根據(jù)△ADM和△BDM同底可得出兩三角形的面積比等于高的比，結(jié)合點A的坐標即可求出點B的橫坐標，再利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征即可求出點B的坐標；

（3）利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出A、D的坐標，過點A作AN∥x軸，交BD于點N，則∠AND=∠DCO，根據(jù)點B、D的坐標利用待定系數(shù)法可求出直線BD的解析式，利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出點N的坐標，利用兩點間的距離公式可求出BA、BD、BN的長度，由三者間的關(guān)系結(jié)合∠ABD=∠NBA，可證出△ABD∽△NBA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出∠ANB=∠DAB，再由∠ANB+∠AND=180°可得出∠DAB+∠DCO=180°．【詳解】解：（1）當x=1時，y=ax2=1，

解得：a=1；

將（1，7）、（0，2）代入y=x2+bx+c，得：，解得：，∴拋物線的表達式為或，

∴該拋物線的開口向上，頂點D（2，2），變化情況：在對稱軸的左邊y隨x的增大而減小，再對稱軸的右邊y隨x的增大而增大；（2）∵△ADM和△BDM同底，且△ADM與△BDM的面積比為2：3，

∴點A到拋物線的距離與點B到拋物線的距離比為2：3．

∵拋物線的對稱軸為直線x=2，點A的橫坐標為0，

∴點B到拋物線對稱軸的距離為3，

∴點B的橫坐標為3+2=5，

∴點B的坐標為（5，7）．（3）∠BAD+∠DCO=180°，理由如下：

當x=0時，，

∴點A的坐標為（0，2），

∵，

∴點D的坐標為（2，2）．

過點A作AN∥x軸，交BD于點N，則∠AND=∠DCO，如圖所示．

設(shè)直線BD的表達式為y=mx+n（m≠0），

將B（5，7）、D（2，2）代入y=mx+n，得到：，解得：，∴直線BD的表達式為y=3x8．

當y=2時，有3x8=2，解得：，∵A（0，2），B（5，7），D（2，2），∴，∴，又∵∠ABD=∠NBA，

∴△ABD∽△NBA，

∴∠ANB=∠DAB．

∵∠ANB+∠AND=180°，

∴∠DAB+∠DCO=180°．【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次（一次）函數(shù)圖象上點的坐標特征、三角形的面積、相似三角形的判定與性質(zhì)、兩點間的距離公式以及平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點的坐標，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)表達式；（2）根據(jù)同底三角形的面積比等于高的比找出點B的橫坐標；（3）構(gòu)造相似三角形，找出∠BAD和∠DCO互補關(guān)系；27．已知拋物線經(jīng)過，兩點，拋物線的對稱軸與軸交于點，點與點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，聯(lián)結(jié)、．（1）求該拋物線的表達式以及對稱軸；（2）點在線段上，當時，求點的坐標；（3）點在對稱軸上，點在拋物線上，當以點、、、為頂點的四邊形是平行四邊形時，求這個平行四邊形的面積．【來源】上海市寶山區(qū)20202021學(xué)年九年級上學(xué)期期末（一模）數(shù)學(xué)試題【答案】（1），對稱軸為；（2）；（3）當為邊時，；當為對角線時，．【分析】（1）將，代入拋物線，求解即可；（2）過點作軸叫軸與點，過點作軸叫軸與點，根據(jù)點坐標是，對稱軸為，易得是等腰直角三角形，也是等腰直角三角形，求出，根據(jù)，點與點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，可證得，，則，有，可得，即可得，據(jù)此求解即可；（3）分兩種情況討論：當為對角線時，當為邊時，分別求出點坐標，然后求解即可．【詳解】解：（1）將，代入拋物線，得：，解之得：，∴該拋物線的表達式是，∵，∴對稱軸為；（2）如圖示：過點作軸叫軸與點，過點作軸叫軸與點，∵點坐標是，對稱軸為，∴，∴是等腰直角三角形，則也是等腰直角三角形，∴,∵,,∴,∵點與點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，則點坐標是，∴∴∴∴,∵,,∴，即有，∴,∵是等腰直角三角形，∴∴即點的坐標是；（3）∵①當是平行四邊形的邊長時，如圖2所示，則必定在軸的上方，并有，∵點在對稱軸上，∴點的橫坐標是6或2，又∵點在拋物線上，∴當時，，∴平行四邊形的面積；當時，，同理可得平行四邊形的面積；②當是平行四邊形的對角線時，如圖3所示，∵點在對稱軸上，并∴點也在對稱軸上，∴當時，，∴∴平行四邊形的面積．綜上所述，平行四邊形的面積為或．【點睛】本題考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)坐標軸上的點，三角形的相似的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．28．如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸正半軸交于點A（4，0），與y軸交于點B（0，2），點C在該拋物線上且在第一象限．（1）求該拋物線的表達式；（2）將該拋物線向下平移m個單位，使得點C落在線段AB上的點D處，當AD＝3BD時，求m的值；（3）聯(lián)結(jié)BC，當∠CBA＝2∠BAO時，求點C的坐標．【來源】專題18二次函數(shù)（一）（考點）備戰(zhàn)2021年中考數(shù)學(xué)考點微專題（上海專用）【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）；（3）C（2，3）【分析】（1）利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式即可；（2）如圖1，過點D作DG⊥x軸于G，利用平行證明△ADG∽△ABO，列比例式可以計算OG和DG的長，從而得D（1，），最后由平移的性質(zhì)可得m的值；（3）如圖2，作輔助線，構(gòu)建等腰△ABF，確定點F的坐標，計算BF的解析式，聯(lián)立拋物線和BF的解析式，方程組的一個解就是點C的坐標．【詳解】解：（1）把點A（4，0）和點B（0，2）代入拋物線y＝﹣x2+bx+c中得：，解得：，∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+x+2；（2）如圖1，過點D作DG⊥x軸于G，∴DG∥OB，∴△ADG∽△ABO，∴，∵AD＝3BD，∴AG＝3OG，∵A（4，0），B（0，2），∴OA＝4，OB＝2，∴OG＝1，DG＝，∵D（1，），由平移得：點C的橫坐標為1，當x＝1時，y＝﹣×1+×1+2＝3，∴m＝3﹣＝；（3）∵∠CBA＝2∠BAO，點C在該拋物線上且在第一象限，∴點C在AB的上方，如圖2，過A作AF⊥x軸于A，交BC的延長線于點F，過B作BE⊥AF于點E，∴BE∥OA，∴∠BAO＝∠ABE，∵∠CBA＝2∠BAO＝∠ABE+∠EBF，∴∠FBE＝∠ABE，∵∠BEF＝∠AEB＝90°，∴∠F＝∠BAF，∴AB＝BF，∴AE＝EF＝OB＝2，∴F（4，4），設(shè)BF的解析式為：y＝kx+n，則，解得：，∴BF的解析式為：y＝x+2，∴，解得或，∴C（2，3）．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，包括二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、二次函數(shù)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)；解題關(guān)鍵是會利用待定系數(shù)法求拋物線和一次函數(shù)的解析式；靈活應(yīng)用相似比表示線段之間的關(guān)系；理解坐標與圖形的性質(zhì)；會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決數(shù)學(xué)問題．29．在平面直角坐標系xOy中（如圖），已知拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點A（﹣2，0）、B（6，0），與y軸交于點C，點D是在第四象限內(nèi)拋物線上的一個動點，直線AD與直線BC交于點E．（1）求b、c的值和直線BC的表達式；（2）設(shè)∠CAD＝45°，求點E的坐標；（3）設(shè)點D的橫坐標為d，用含d的代數(shù)式表示△ACE與△DCE的面積比．【來源】2021年上海市普陀區(qū)中考數(shù)學(xué)二模試題【答案】（1），直線BC解析式為y＝x﹣6；（2）；（3）【分析】（1）利用待定系數(shù)法可求解析式；（2）通過證明△ACE∽△BCA，可得，即可求解；（3）過點D作DF∥AB交BC于點F，由相似三角形的性質(zhì)可得，即可求解．【詳解】解：（1）∵拋物線y＝+bx+c與x軸交于點A（﹣2，0）、B（6，0），∴，解得，∴拋物線解析式為y＝2x﹣6，當x＝0時，y＝﹣6，∴點C（0，﹣6），設(shè)直線BC解析式為y＝mx+n，則，解得：，∴直線BC解析式為y＝x﹣6；（2）如圖1，過點E作EH⊥OC于H，∵點C（0，﹣6），點B（6，0），點A（﹣2，0），∴OB＝OC＝6，OA＝2，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，BC＝6，AC＝=，∵∠ABC＝∠CAD＝45°，∠ACE＝∠ACB，∴△ACE∽△BCA，∴，∴，∴CE＝，∵EH⊥CO，∠ECH＝45°，∴EH＝HC＝，∴OH＝，∴點E（，﹣）；（3）∵點D的橫坐標為d，∴點D（d，﹣2d﹣6），（0＜d＜6），如圖2，過點D作DF∥AB交BC于點F，∴△ABE∽△DFE，∴，∵，∴．∵點F在直線BC上，∴點F（﹣2d，﹣2d﹣6），∴DF＝3d﹣，∴．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)的解析式，用函數(shù)的解析式表示點的坐標，三角形的相似，勾股定理，兩點間的距離公式，熟練掌握待定系數(shù)法，靈活運用三角形相似的判定定理是解題的關(guān)鍵．30．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸正半軸交于點，與軸交于點，點在該拋物線上且在第一象限．（1）求該拋物線的表達式；（2）將該拋物線向下平移個單位，使得點落在線段上的點處，當時，求的值；（3）聯(lián)結(jié)，當時，求點的坐標．【來源】專題19二次函數(shù)（二）（考點）備戰(zhàn)2021年中考數(shù)學(xué)考點微專題（上海專用）【答案】（1）；（2）；（3）【詳解】（1）把A、B兩點坐標代入解析式，解二元一次方程求出b、c即可；（2）根據(jù)，求出點D的坐標，把橫坐標代入解析式，求出C點縱坐標，求差即可；（3）延長CB交x軸于點F因為，所以，BA=BF可求F坐標（4，0），求出BC析式，再求它與拋物線交點即可．解：（1）把、代入得，解得：∴拋物線的解析式為；（2）拋物線向下平移時，C點所在直線交x軸于點E，由題意可得：DE⊥x∴DE∥OB，∴△ADE∽△ABO，∴，∵∴，，把x=3代入得，，∴m=；（3）∵點C在第一象限，連接CB并延長，交x軸于點F，，，∴∠BAO=∠BFO，∴BA=BF，∴F點于A點關(guān)于y軸對稱，∴F點的坐標為F（4，0），由B（0，2）易求BC解析式為：，與拋物線解析式聯(lián)立方程組，，解得或，，．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、二次函數(shù)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求拋物線和一次函數(shù)的解析式；靈活應(yīng)用相似比表示線段之間的關(guān)系；理解坐標與圖形的性質(zhì)；會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決數(shù)學(xué)問題．31．已知拋物線過點．（1）求拋物線的解析式；（2）點A在直線上且在第一象限內(nèi)，過A作軸于B，以為斜邊在其左側(cè)作等腰直角．①若A與Q重合，求C到拋物線對稱軸的距離；②若C落在拋物線上，求C的坐標．【來源】上海市2021年中考數(shù)學(xué)真題【答案】（1）；（2）①1；②點C的坐標是【分析】(1)將兩點分別代入，得,解方程組即可;（2）①根據(jù)AB=4,斜邊上的高為2,Q的橫坐標為1,計算點C的橫坐標為1,即到y(tǒng)軸的距離為1；②根據(jù)直線PQ的解析式，設(shè)點A（m，2m+6）,三角形ABC是等腰直角三角形，用含有m的代數(shù)式表示點C的坐標，代入拋物線解析式求解即可.【詳解】解：（1）將兩點分別代入，得解得．所以拋物線的解析式是．（2）①如圖2，拋物線的對稱軸是y軸，當點A與點重合時，，作于H．∵是等腰直角三角形，∴和也是等腰直角三角形，∴，∴點C到拋物線的對稱軸的距離等于1．②如圖3，設(shè)直線PQ的解析式為y=kx+b，由，得解得∴直線的解析式為，設(shè)，∴，所以．所以．將點代入，得．整理，得．因式分解，得．解得，或（與點P重合，舍去）．當時，．所以點C的坐標是．【點評】本題考查了拋物線解析式的確定，一次函數(shù)解析式的確定，等腰直角三角形的性質(zhì)，一元二次方程的解法，熟練掌握待定系數(shù)法，靈活用解析式表示點的坐標，熟練解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．32．已知△OAB在直角坐標系中的位置如圖，點A在第一象限，點B在x軸正半軸上，OA＝OB＝6，∠AOB＝30°．（1）求點A、B的坐標；（2）開口向上的拋物線經(jīng)過原點O和點B，設(shè)其頂點為E，當△OBE為等腰直角三角形時，求拋物線的解析式；（3）設(shè)半徑為2的⊙P與直線OA交于M、N兩點，已知，P（m，2）（m＞0），求m的值．【來源】2017年上海市長寧區(qū)金山區(qū)九年級下學(xué)期二模數(shù)學(xué)試題【答案】（1）A點坐標為，B點坐標為（6，0）；（2）；（3）m的值為或【分析】（1）根據(jù)30°角所對的直角邊是斜邊的一半，可得AC的長，再根據(jù)銳角三角函數(shù)，可得OC，根據(jù)