2024-2025學年高中數(shù)學第2章統(tǒng)計2.1.3分層抽樣學案新人教A版必修3

PAGE2.1.3分層抽樣學習目標核心素養(yǎng)1.記住分層抽樣的特點和步驟(重點)2．會用分層抽樣從總體中抽取樣本．(重點、難點)3．給定實際抽樣問題會選擇合適的抽樣方法進行抽樣．(易錯易混點)1．通過分層抽樣的學習，培育數(shù)學運算素養(yǎng)．2．借助多種抽樣方法的選擇，提升邏輯推理素養(yǎng).1．分層抽樣一般地，在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后依據(jù)肯定的比例，從各層獨立地抽取肯定數(shù)量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣的方法是一種分層抽樣．當總體是由差異明顯的幾部分組成時，往往選用分層抽樣的方法．2．分層抽樣的實施步驟第一步，按某種特征將總體分成若干部分(層)．其次步，計算抽樣比．抽樣比＝eq\f(樣本容量,總體容量).第三步，各層抽取的個體數(shù)＝各層總的個體數(shù)×抽樣比．第四步，依各層抽取的個體數(shù)，按簡潔隨機抽樣從各層抽取樣本．第五步，綜合每層抽樣，組成樣本．思索：什么狀況下適用分層抽樣？[提示]當總體中個體之間差異較大時可運用分層抽樣．1．為了解某地區(qū)的中小學生的視力狀況，擬從該地區(qū)的中小學生中抽取部分學生進行調查，事先已了解到該地區(qū)小學、初中、中學三個學段學生的視力狀況有較大差異，且男女生視力狀況差異不大．在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是()A．簡潔隨機抽樣 B．按性別分層抽樣C．按學段分層抽樣 D．系統(tǒng)抽樣C[依據(jù)題意，了解到該地區(qū)小學、初中、中學三個學段學生的視力狀況有較大差異，且男女生視力狀況差異不大，故要了解該地區(qū)學生的視力狀況，應按學段分層抽樣．]2．為了保證分層抽樣時每個個體被等可能地抽取，必須要求()A．每層等可能抽取B．每層抽取的個體數(shù)相等C．按每層所含個體在總體中所占的比例抽樣D．只要抽取的樣本容量肯定，每層抽取的個體數(shù)沒有限制C[分層抽樣為等比例抽樣．]3．某校高三一班有學生54人，二班有學生42人，現(xiàn)在要用分層抽樣的方法從兩個班抽出16人參與軍訓表演，則一班和二班分別被抽取的人數(shù)是()A．8,8 B．10,6C．9,7 D．12,4C[抽樣比eq\f(16,54＋42)＝eq\f(1,6)，則一班被抽取人數(shù)為54×eq\f(1,6)＝9人，二班被抽取人數(shù)為42×eq\f(1,6)＝7人．]4．在抽樣過程中，每次抽取的個體不再放回總體的為不放回抽樣，那么分層抽樣、系統(tǒng)抽樣、簡潔隨機抽樣三種抽樣中，為不放回抽樣的有________個．三[三種抽樣方法均為不放回抽樣．]分層抽樣的概念【例1】下列問題中，最適合用分層抽樣方法抽樣的是()A．某電影院有32排座位，每排有40個座位，座位號是1～40.有一次報告會坐滿了聽眾，報告會結束以后為聽取看法，要留下32名聽眾進行座談B．從10臺冰箱中抽出3臺進行質量檢查C．某鄉(xiāng)農田有山地8000畝，丘陵12000畝，平地24000畝，凹地4000畝，現(xiàn)抽取農田480畝估計全鄉(xiāng)農田平均產量D．從50個零件中抽取5個做質量檢驗C[A的總體容量較大，宜采納系統(tǒng)抽樣方法；B的總體容量較小，用簡潔隨機抽樣法比較便利；C總體容量較大，且各類田地的產量差別很大，宜采納分層抽樣方法；D與B類似．]分層抽樣的特點1適用于總體由差異明顯的幾部分組成的狀況.2樣本能更充分地反映總體的狀況.3等可能抽樣，每個個體被抽到的可能性都相等.eq\o([跟進訓練])1．某校有在校中學生共1600人，其中高一學生520人，高二學生500人，高三學生580人．假如想通過抽查其中的80人來調查學生的消費狀況，考慮到學生的年級凹凸消費狀況有明顯差別，而同一年級內消費狀況差異較小，問：應采納怎樣的抽樣方法？高三學生中應抽查多少人？[解]因為不同年級的學生消費狀況有明顯差別，所以應采納分層抽樣．因為520∶500∶580＝26∶25∶29.所以將80分成26∶25∶29的三部分．設三部分各抽取的個體數(shù)分別為26x,25x,29x，由26x＋25x＋29x＝80得x＝1，所以高三學生中應抽查29人．分層抽樣的設計及應用[探究問題]1．怎樣確定分層抽樣中各層入樣的個體數(shù)？[提示]在實際操作時，應先計算出抽樣比＝eq\f(樣本容量,總體容量)，獲得各層入樣數(shù)的百分比，再按抽樣比確定每層須要抽取的個體數(shù)：抽樣比×該層個體數(shù)目＝eq\f(樣本容量,總體容量)×該層個體數(shù)目．2．計算各層所抽個體的個數(shù)時，假如算出的個數(shù)值不是整數(shù)怎么辦？[提示]可四舍五入取整，也可先將該層等可能地剔除多余個體．3．分層抽樣公允嗎？[提示]分層抽樣中，每個個體被抽到的可能性是相同的，與層數(shù)、分層無關．假如總體的個數(shù)為N，樣本容量為n，Ni為第i層的個體數(shù)，則第i層抽取的個體數(shù)ni＝n·eq\f(Ni,N)，每個個體被抽到的可能性是eq\f(ni,Ni)＝eq\f(1,Ni)·n·eq\f(Ni,N)＝eq\f(n,N).【例2】某政府機關有在編人員100人，其中副處級以上干部10人，一般干部70人，工人20人．上級機關為了了解政府機構改革的看法，要從中抽取一個容量為20的樣本，試確定用何種方法抽取，請詳細實施操作．思路點撥：eq\x(視察特征)→eq\x(確定抽樣方法)→eq\x(求出比例)→eq\x(確定各層樣本數(shù))→eq\x(從各層中抽樣)→eq\x(樣本)[解]∵機構改革關系到每個人的不同利益，故采納分層抽樣方法較妥．∵eq\f(100,20)＝5，∴eq\f(10,5)＝2，eq\f(70,5)＝14，eq\f(20,5)＝4.∴從副處級以上干部中抽取2人，從一般干部中抽取14人，從工人中抽取4人．因副處級以上干部與工人數(shù)都較少，他們分別按1～10編號和1～20編號，然后采納抽簽法分別抽取2人和4人；對一般干部70人進行00,01，…，69編號，然后用隨機數(shù)表法抽取14人．這樣便得到了一個容量為20的樣本．1．(變條件)某大型工廠有管理人員1200人，銷售人員2000人，車間工人6000人，若要了解改革看法，從全廠人員中抽取一個容量為46的樣本，試確定用何種方法抽取，請詳細實施操作．[解]改革關系到每個人的利益，采納分層抽樣較好．抽樣比：eq\f(46,1200＋2000＋6000)＝eq\f(1,200).∵1200×eq\f(1,200)＝6(人)，2000×eq\f(1,200)＝10(人)，6000×eq\f(1,200)＝30(人)．∴從管理人員中抽取6人，從銷售人員中抽取10人，從車間工人中抽取30人．因為各層中個體數(shù)目均較多，可以采納系統(tǒng)抽樣的方法獲得樣本．2．(變結論)在本例中的抽樣方法公允合理嗎？請說明理由．[解]從100人中抽取20人，總體中每一個個體的入樣可能性都是eq\f(20,100)＝eq\f(1,5)，即抽樣比，按此比例在各層中抽取個體；副處級以上干部抽取10×eq\f(1,5)＝2人，一般干部抽70×eq\f(1,5)＝14人，工人抽20×eq\f(1,5)＝4人，以保證每一層中每個個體的入樣可能性相同，均為eq\f(1,5)，故這種抽樣是公允合理的．分層抽樣的步驟抽樣方法的選擇【例3】①教化局督學組到校檢查工作，臨時需在每班各抽調兩人參與座談；②某班數(shù)學期中考試有14人在120分以上，35人在90～119分，7人不及格，現(xiàn)從中抽出8人研討進一步改進教與學；③某班春節(jié)聚會，要產生兩位“幸運者”．就這三件事，合適的抽樣方法分別為()A．分層抽樣，分層抽樣，簡潔隨機抽樣B．系統(tǒng)抽樣，系統(tǒng)抽樣，簡潔隨機抽樣C．分層抽樣，簡潔隨機抽樣，簡潔隨機抽樣D．系統(tǒng)抽樣，分層抽樣，簡潔隨機抽樣思路點撥：依據(jù)各抽樣方法的特征、適用范圍推斷．D[①每班各抽兩人需用系統(tǒng)抽樣．②由于學生分成了差異比較大的幾層，應用分層抽樣．③由于總體與樣本容量較小，應用簡潔隨機抽樣．故選D.]抽樣方法的選取1若總體由差異明顯的幾個層次組成，則選用分層抽樣；2若總體沒有差異明顯的層次，則考慮采納簡潔隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣.,當總體容量較小時宜用抽簽法；當總體容量較大，樣本容量較小時宜用隨機數(shù)表法；當總體容量較大，樣本容量也較大時宜用系統(tǒng)抽樣；eq\o([跟進訓練])2．為了解某地區(qū)的“微信健步走”活動狀況，擬從該地區(qū)的人群中抽取部分人員進行調查．事先已了解到該地區(qū)老、中、青三個年齡段人員的“微信健步走”活動狀況有較大差異，而男女“微信健步走”活動狀況差異不大．在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是()A．簡潔隨機抽樣 B．按性別分層抽樣C．按年齡分層抽樣 D．系統(tǒng)抽樣C[因為不同年齡段人員的“微信健步走”活動狀況有較大差異．而男女對此活動差異不大，所以按年齡段分層抽樣最合理．]1．對于分層抽樣中的比值問題，常利用以下關系式(1)eq\f(樣本容量n,總體容量N)＝eq\f(各層抽取的樣本數(shù),該層的容量)；(2)總體中各層容量之比＝對應層抽取的樣本數(shù)之比．2．選擇抽樣方法的規(guī)律(1)當總體容量較小，樣本容量也較小時，制簽簡潔，號簽簡潔攪勻，可采納抽簽法．(2)當總體容量較大，樣本容量較小時，可采納隨機數(shù)法．(3)當總體容量較大，樣本容量也較大時，可采納系統(tǒng)抽樣法．(4)當總體是由差異明顯的幾部分組成時，可采納分層抽樣法．1．推斷下列結論的正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)當總體由差異明顯的幾部分組成時，往往采納分層抽樣． ()(2)由于分層抽樣是在各層中按比例抽取，故每個個體被抽到的可能性不一樣． ()(3)分層抽樣中不含系統(tǒng)抽樣和簡潔隨機抽樣． ()[答案](1)√(2)×(3)×2．自2024年12月以來，湖北武漢爆發(fā)新冠肺炎后，全國人民急需大量口罩．我市某口罩廠甲、乙、丙三個車間生產了同一種口罩，數(shù)量分別為2400件，1600件，1200件．為了解它們的口罩質量是否存在顯著差異，用分層抽樣方法抽取了一個容量為n的樣本進行調查，其中從乙車間的產品中抽取了40件，則n＝()A．90B．100C．120D．130D[甲、乙、丙三個車間生產的產品件數(shù)分別是2400，1600，1200，∴甲、乙、丙三個車間生產的產品數(shù)量的比依次為6∶4∶3，故乙車間生產產品所占的比例eq\f(4,13)，∴樣本中乙車間生產產品有40件，占總產品的eq\f(4,13)，∴樣本容量n＝40÷eq\f(4,13)＝130.]3．某城區(qū)有農夫、工人、學問分子家庭共計2000家，其中農夫家庭1800戶，工人家庭100戶．現(xiàn)要從中抽取容量為40的樣本，調查家庭收入狀況，則在整個抽樣過程中，可以用到的抽樣方法有()①簡潔隨機抽樣；②系統(tǒng)抽樣；③分層抽樣A．②③ B．①③C．③ D．①②③D[由三種抽樣方法的特點知，應先采納分層抽樣對農夫家庭需用系統(tǒng)抽樣得到樣本，對工人家庭需用簡潔隨機抽樣．]4．一個地區(qū)共有5個鄉(xiāng)鎮(zhèn)，人口3萬人，其人口比例為3∶2∶5∶2∶3