2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題7.5數(shù)列的綜合應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)講解含解析

專題7.5數(shù)列的綜合應(yīng)用【考綱解讀與核心素養(yǎng)】1.理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念，駕馭等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式及其應(yīng)用.2.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.3.會(huì)用數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系解決實(shí)際問題.4.本節(jié)涉及全部的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等.5.高考預(yù)料：（1）依據(jù)數(shù)列的遞推式或者通項(xiàng)公式確定基本量，選擇合適的方法求和，進(jìn)一步證明不等式（2）數(shù)列與函數(shù)、不等式相結(jié)合.6.備考重點(diǎn):（1）敏捷選用數(shù)列求和公式的形式，關(guān)注應(yīng)用公式的條件；（2）熟識(shí)分組求和法、裂項(xiàng)相消法及錯(cuò)位相減法；（3)數(shù)列求和與不等式證明、不等式恒成立相結(jié)合求解參數(shù)的范圍問題.【學(xué)問清單】學(xué)問點(diǎn)1．等差數(shù)列和等比數(shù)列比較等差數(shù)列等比數(shù)列定義＝常數(shù)＝常數(shù)通項(xiàng)公式判定方法(1)定義法；(2)中項(xiàng)公式法：?為等差數(shù)列；(3)通項(xiàng)公式法：(為常數(shù),)?為等差數(shù)列；(4)前n項(xiàng)和公式法：(為常數(shù),)?為等差數(shù)列；(5)為等比數(shù)列，且，那么數(shù)列(，且)為等差數(shù)列(1)定義法(2)中項(xiàng)公式法：()?為等比數(shù)列(3)通項(xiàng)公式法：(均是不為0的常數(shù)，)?為等比數(shù)列(4)為等差數(shù)列?(總有意義)為等比數(shù)列性質(zhì)(1)若，，，，且，則(2)(3)SKIPIF1<0，…仍成等差數(shù)列(1)若，，，，且，則(2)(3)等比數(shù)列依次每項(xiàng)和()，即SKIPIF1<0，…仍成等比數(shù)列前n項(xiàng)和時(shí)，；當(dāng)時(shí)，或.學(xué)問點(diǎn)2．?dāng)?shù)列求和1.等差數(shù)列的前和的求和公式：.2．等比數(shù)列前項(xiàng)和公式一般地，設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和是，當(dāng)時(shí)，或；當(dāng)時(shí)，（錯(cuò)位相減法）.3.數(shù)列前項(xiàng)和①重要公式：（1）（2）（3）（4）②等差數(shù)列中，；③等比數(shù)列中，.【典例剖析】高頻考點(diǎn)一等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題【典例1】（浙江省杭州市其次中學(xué)2025屆高三）已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，，成等差數(shù)列，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)公比為.由，，成等差數(shù)列，可得，所以，則，解(舍去)或.所以.故選A.【典例2】（2024·全國(guó)高考真題（文））已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，.（1）若，求的通項(xiàng)公式；（2）若，求.【答案】（1）；（2）5或.【解析】設(shè)等差數(shù)列公差為，等比數(shù)列公比為有，即.（1）∵，結(jié)合得，∴.（2）∵，解得或3，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí).【總結(jié)提升】等差數(shù)列、等比數(shù)列綜合問題的解題策略(1)分析已知條件和求解目標(biāo)，為最終解決問題設(shè)置中間問題，例如求和須要先求出通項(xiàng)、求通項(xiàng)須要先求出首項(xiàng)和公差(公比)等，確定解題的依次．(2)留意細(xì)微環(huán)節(jié)：在等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合問題中，假如等比數(shù)列的公比不能確定，則要看其是否有等于1的可能，在數(shù)列的通項(xiàng)問題中第一項(xiàng)和后面的項(xiàng)能否用同一個(gè)公式表示等，這些細(xì)微環(huán)節(jié)對(duì)解題的影響也是巨大的．【變式探究】1.（2024年9月浙江省嘉興市高三測(cè)試）已知是公差為的等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，若，，成等比數(shù)列，則_____，當(dāng)_______時(shí)，取得最大值．【答案】19.10.【解析】因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，又是公差為的等差數(shù)列，所以，即，解得，所以，因此，當(dāng)時(shí)，取得最大值．故答案為(1).19.(2).10.2.（2024·天津高考模擬（理））已知數(shù)列滿意（為實(shí)數(shù)，且），，，，且，，成等差數(shù)列．（Ⅰ）求的值和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（Ⅰ），;（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由已知，有，即所以．又因?yàn)?，故，由，得．?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以，的通項(xiàng)公式為．（Ⅱ）由（Ⅰ）得．設(shè)的前項(xiàng)和為，則，，上述兩式相減，得整理得，，，所以．所以，數(shù)列的前項(xiàng)和為，．【易錯(cuò)提示】1.利用裂項(xiàng)相消法解決數(shù)列求和問題，簡(jiǎn)單出現(xiàn)的錯(cuò)誤有兩個(gè)方面：(1)裂項(xiàng)過(guò)程中易忽視常數(shù)，如簡(jiǎn)單誤裂為，漏掉前面的系數(shù)；(2)裂項(xiàng)之后相消的過(guò)程中簡(jiǎn)單出現(xiàn)丟項(xiàng)或添項(xiàng)的問題，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤．2.應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)需留意：（1）給數(shù)列和Sn的等式兩邊所乘的常數(shù)應(yīng)不為零，否則需探討；（2）在轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的和后，求其和時(shí)需看準(zhǔn)項(xiàng)數(shù)，不肯定為n.高頻考點(diǎn)二數(shù)列與函數(shù)的綜合【典例3】（2025屆浙江省名校新高考探討聯(lián)盟(Z20聯(lián)盟)高三上學(xué)期第一次聯(lián)考）已知數(shù)列滿意：，．則下列說(shuō)法正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】考察函數(shù)，由可得在單調(diào)遞增，由可得在單調(diào)遞減且，可得，數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，如圖所示：且，，圖象可得，所以，故選B.【典例4】（2014·四川高考真題（理））設(shè)等差數(shù)列的公差為，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上（）.（1）若，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（2）若，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線在軸上的截距為，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【解析】.（1），所以.（2）將求導(dǎo)得，所以在處的切線為，令得，所以，.所以，其前項(xiàng)和①兩邊乘以2得：②②－①得：，所以.【總結(jié)提升】數(shù)列與函數(shù)的綜合問題主要有以下兩類：①知函數(shù)條件，解決數(shù)列問題，此類問題一般是利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象探討數(shù)列問題；②已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問題，解決此類問題一般要充分利用數(shù)列的范圍、公式、求和方法對(duì)式子化簡(jiǎn)變形．【變式探究】1.（2024·浙江高考模擬）已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1，前n項(xiàng)和為Sn，且an+1=Sn+n+1（n∈N+）（Ⅰ）求證數(shù)列{an+1}為等比數(shù)列；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為Tn，求證：．（Ⅲ）設(shè)函數(shù)，令，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式，并推斷其單調(diào)性．【答案】（1）見解析（2）見解析（3）見解析【解析】（Ⅰ）證明：an+1=Sn+n+1，可得當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣1+n，兩式相減可得，an+1﹣an=an+1，可得an+1+1=2（an+1），n≥2，由a1+1=2，a2+1=4，可得數(shù)列{an+1}為公比為2的等比數(shù)列；（Ⅱ）an+1=2?2n﹣1=2n，即有an=2n﹣1，當(dāng)n=1時(shí)，T1=1，當(dāng)n=2時(shí)，T2=1+，當(dāng)n=3時(shí)，T3=1++=明顯有；n＞3時(shí)，Tn=1++++…+＜1+++（++…+）=1+++＜1+++=1++＜1++=；（Ⅲ）設(shè)函數(shù)，令，f′n（x）=an+2an﹣1x+…+na1xn﹣1，則bn=f′n（1）=an+2an﹣1+…+na1=（2n﹣1）+2（2n﹣1﹣1）+3（2n﹣2﹣1）+…+n（21﹣1）=2n+2?2n﹣1+3?2n﹣2+…+n?21﹣．令A(yù)=2n+2?2n﹣1+3?2n﹣2+…+n?21，A=2n﹣1+2?2n﹣2+3?2n﹣3+…+n?20，兩式相減可得，A=2n+2n﹣1+2n﹣2+…+2﹣n=2n+1﹣n﹣2，即A=2n+2﹣2n﹣4，bn=2n+2﹣2n﹣4﹣=2n+2﹣n2﹣n﹣4，{bn}遞增，只需證明當(dāng)n為自然數(shù)時(shí)，bn+1﹣bn=2n+2﹣n﹣3＞0．當(dāng)n=1時(shí)，2n+2﹣n﹣3=4＞0，假設(shè)n=k時(shí)，2k+2﹣k﹣3＞0，則當(dāng)n=k+1時(shí)，2k+3﹣k﹣4=（2k+2﹣k﹣3）+（2k+2﹣1）＞0恒成立，綜上可得，當(dāng)n為一切自然數(shù)時(shí)，bn+1＞bn．即數(shù)列{bn}為遞增數(shù)列．2.（2024·上海高考真題）依據(jù)預(yù)料，某地第個(gè)月共享單車的投放量和損失量分別為和（單位：輛），其中，，第個(gè)月底的共享單車的保有量是前個(gè)月的累計(jì)投放量與累計(jì)損失量的差.（1）求該地區(qū)第4個(gè)月底的共享單車的保有量；（2）已知該地共享單車停放點(diǎn)第個(gè)月底的單車容納量（單位：輛）.設(shè)在某月底，共享單車保有量達(dá)到最大，問該保有量是否超出了此時(shí)停放點(diǎn)的單車容納量？【答案】（1）935；（2）見解析.【解析】（1）（2），即第42個(gè)月底，保有量達(dá)到最大，∴此時(shí)保有量超過(guò)了容納量.高頻考點(diǎn)三數(shù)列與不等式的綜合【典例5】（2024年9月浙江省超級(jí)全能生高三聯(lián)考）已知等比數(shù)列的公比，且為，的等比中項(xiàng)，為，的等差中項(xiàng).（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）詳見解析【解析】（Ⅰ）由題意得則解得.（Ⅱ）由題知，則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故，綜上所述，.【典例6】（2025屆浙江省臺(tái)州五校高三上學(xué)期聯(lián)考）已知函數(shù).（Ⅰ）求方程的實(shí)數(shù)解；（Ⅱ）假如數(shù)列滿意，（），是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)全部的都成立？證明你的結(jié)論．（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和為，證明：．【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）存在使得;（Ⅲ）見解析.【解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在使得．證法1：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以．因?yàn)椋杂傻们遥旅嬗脭?shù)學(xué)歸納法證明．因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)結(jié)論成立．假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論成立，即．由于為上的減函數(shù)，所以，從而，因此，即．綜上所述，對(duì)一切，都成立，即存在使得．證法2：，且是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.所以.易知，所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，即存在，使得.（Ⅲ）證明：由（2），我們有，從而.設(shè)，則由得.由于，因此n=1，2，3時(shí)，成立，左邊不等式均成立．當(dāng)n>3時(shí)，有，因此．從而．即．解法2:由（Ⅱ）可知，所以，所以所以所以當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，即.(其他解法酌情給分)【總結(jié)提升】1.數(shù)列型不等式的證明常用到“放縮法”，一是在求和中將通項(xiàng)“放縮”為“可求和數(shù)列”；二是求和后再“放縮”．放縮法常見的放縮技巧有：(1)eq\f(1,k2)＜eq\f(1,k2－1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k－1)－\f(1,k＋1))).(2)eq\f(1,k)－eq\f(1,k＋1)＜eq\f(1,k2)＜eq\f(1,k－1)－eq\f(1,k).(3)2(eq\r(n＋1)－eq\r(n))＜eq\f(1,\r(n))＜2(eq\r(n)－eq\r(n－1))．2.數(shù)列中不等式恒成立的問題數(shù)列中有關(guān)項(xiàng)或前n項(xiàng)和的恒成立問題，往往轉(zhuǎn)化為數(shù)列的最值問題；求項(xiàng)或前n項(xiàng)和的不等關(guān)系可以利用不等式的性質(zhì)或基本不等式求解．【變式探究】1.（2024·山東高三下學(xué)期開學(xué)）已知數(shù)列滿意．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】（1）解：，①當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，②由①-②，得，因?yàn)榉仙鲜剑裕?）證明：因?yàn)?，所以?．（2024·福建高考模擬（理））已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.（1）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證.【答案】（1）（2）見解析【解析】（1）因?yàn)棰?，所以?dāng)時(shí)，②，①-②得，，即，又因?yàn)?，即，所以，即?shù)列是以為首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，所以，，則.（2）由（1）得，所以，則，則，所以.因?yàn)?，所?又，當(dāng)時(shí)，取得最小值為，所以，即.高頻考點(diǎn)四數(shù)列與充要條件

【典例7】（2025屆浙江省寧波市鄞州中學(xué)高三下期初）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】設(shè)等比數(shù)列公比為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，所以“”是“”的充要條件.故選:C.【典例8】（2024·浙江高三）等差數(shù)列{an}的公差為d，a1≠0，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則“d＝0”是“Z”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】等差數(shù)列{an}的公差為d，a1≠0，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若d＝0，則{an}為常數(shù)列，故an=，即?“Z”，當(dāng)Z時(shí)，d不肯定為0，例如，數(shù)列1，3，5，7，9，11中，4，d＝2，故d＝0是Z的充分不必要條件．故選：A．【規(guī)律方法】充要關(guān)系的幾種推斷方法(1)定義法：若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的充分而不必要條件；若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的必要而不充分條件；若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的充要條件；若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的既不充分也不必要條件.(2)等價(jià)法：即利用與；與；與的等價(jià)關(guān)系，對(duì)于條件或結(jié)論是否定形式的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法．(3)集合關(guān)系法：從集合的觀點(diǎn)理解，即若滿意命題p的集合為M，滿意命題q的集合為N，則M是N的真子集等價(jià)于p是q的充分不必要條件，N是M的真子集等價(jià)于p是q的必要不充分條件，M＝N等價(jià)于p和q互為充要條件，M，N不存在相互包含關(guān)系等價(jià)于p既不是q的充分條件也不是q的必要條件【變式探究】1.（2025屆浙江寧波市高三上期末）已