山東專(zhuān)用2025屆高考數(shù)學(xué)二輪專(zhuān)題闖關(guān)導(dǎo)練二主觀題專(zhuān)練概率與統(tǒng)計(jì)7含解析

PAGE概率與統(tǒng)計(jì)(7)1．[2024·山東高考第一次大聯(lián)考]下面給出了依據(jù)我國(guó)2012年～2024年水果人均占有量y(單位：kg)和年份代碼x繪制的散點(diǎn)圖和線(xiàn)性回來(lái)方程的殘差圖(2012年～2024年的年份代碼x分別為1～7)(1)依據(jù)散點(diǎn)圖分析y與x之間的相關(guān)關(guān)系；(2)依據(jù)散點(diǎn)圖相應(yīng)數(shù)據(jù)計(jì)算得＝1074，＝4517，求y關(guān)于x的線(xiàn)性回來(lái)方程；(精確到0.01)(3)依據(jù)線(xiàn)性回來(lái)方程的殘差圖，分析線(xiàn)性回來(lái)方程的擬合效果．附：回來(lái)方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))x中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).2．自來(lái)水公司對(duì)某鎮(zhèn)居民用水狀況進(jìn)行調(diào)查，從該鎮(zhèn)居民中隨機(jī)抽取50戶(hù)作為樣本，得到他們10月份的用水量(單位：噸)，用水量分組區(qū)間為[5,15]，(15,25]，(25,35]，(35,45]，由此得到樣本的用水量頻率分布直方圖如圖(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)．(1)求a的值，并依據(jù)樣本數(shù)據(jù)，估計(jì)該鎮(zhèn)居民10月份用水量的眾數(shù)與平均值；(2)以樣本的頻率作為概率，從該鎮(zhèn)居民中隨機(jī)抽取3戶(hù)，其中10月份用水量在[5,15]內(nèi)的用戶(hù)數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．3．[2024·新高考Ⅰ卷]為加強(qiáng)環(huán)境愛(ài)護(hù)，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測(cè)部門(mén)對(duì)某市空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研，隨機(jī)抽查了100天空氣中的PM2.5和SO2濃度(單位：μg/m3)，得下表：SO2PM2.5[0,50](50,150](150,475][0,35]32184(35,75]6812(75,115]3710(1)估計(jì)事務(wù)“該市一天空氣中PM2.5濃度不超過(guò)75，且SO2濃度不超過(guò)150”(2)依據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表：SO2PM2.5[0,150](150,475][0,75](75,115](3)依據(jù)(2)中的列聯(lián)表，推斷是否有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關(guān)？附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.8284．[2024·山東煙臺(tái)、菏澤聯(lián)考]某飲料公司安排從A，B兩款新配方飲料中選擇一款進(jìn)行重點(diǎn)推介，現(xiàn)對(duì)這兩款飲料進(jìn)行市場(chǎng)調(diào)查，讓接受調(diào)查的受訪(fǎng)者同時(shí)飲用這兩款飲料，并分別對(duì)A，B兩款飲料進(jìn)行評(píng)分．現(xiàn)對(duì)接受調(diào)查的100萬(wàn)名受訪(fǎng)者的評(píng)分進(jìn)行整理，得到如下統(tǒng)計(jì)圖．從對(duì)以往調(diào)查數(shù)據(jù)分析可以得出如下結(jié)論：評(píng)分在[0,60)的受訪(fǎng)者中有20%會(huì)購(gòu)買(mǎi)，評(píng)分在[60,80)的受訪(fǎng)者中有60%會(huì)購(gòu)買(mǎi)，評(píng)分在[80,100]的受訪(fǎng)者中有90%會(huì)購(gòu)買(mǎi)．(1)在受訪(fǎng)的100萬(wàn)人中，求對(duì)A款飲料評(píng)分在60分以下的有多少萬(wàn)人？(2)用頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從受訪(fǎng)者中隨機(jī)抽取1人進(jìn)行調(diào)查，試估計(jì)該受訪(fǎng)者購(gòu)買(mǎi)A款飲料的可能性高于購(gòu)買(mǎi)B款飲料的可能性的概率．(3)假如你是決策者，新品推介你會(huì)主推哪一款飲料，并說(shuō)明你的理由．5．[2024·山東日照校際聯(lián)考]為評(píng)估設(shè)備M生產(chǎn)某種零件的性能，從設(shè)備M生產(chǎn)零件的流水線(xiàn)上隨機(jī)抽取100個(gè)零件作為樣本，測(cè)量其直徑后，整理得到下表：直徑/mm5758606162636465666768697072合計(jì)件數(shù)11356193318442121100經(jīng)計(jì)算，樣本的平均值u＝64，標(biāo)準(zhǔn)差σ＝2.2，以頻率作為概率的估計(jì)值．(1)為評(píng)估設(shè)備M的性能，從樣本中隨意抽取一個(gè)零件，記其直徑為X，并依據(jù)以下規(guī)則進(jìn)行評(píng)估(P表示相應(yīng)事務(wù)的概率)：①P(u－σ<X≤u＋σ)≥0.6827；②P(u－2σ<X≤u＋2σ)≥0.9545；③P(u－3σ<X≤u＋3σ)≥0.9973.若同時(shí)滿(mǎn)意上述三個(gè)不等式，則設(shè)備M的性能等級(jí)為甲；若滿(mǎn)意其中兩個(gè)不等式，則設(shè)備M的性能等級(jí)為乙；若僅滿(mǎn)意其中一個(gè)不等式，則設(shè)備M的性能等級(jí)為丙；若全部不滿(mǎn)意，則設(shè)備M的性能等級(jí)為?。囃茢嘣O(shè)備M的性能等級(jí)．(2)將直徑小于或等于u－2σ或直徑大于u＋2σ的零件認(rèn)為是次品．(ⅰ)從設(shè)備M的生產(chǎn)流水線(xiàn)上隨意抽取2個(gè)零件，計(jì)算其中次品個(gè)數(shù)Y的數(shù)學(xué)期望；(ⅱ)從樣本中隨意抽取2個(gè)零件，計(jì)算其中次品個(gè)數(shù)Z的數(shù)學(xué)期望E(Z)．6．[2024·山東淄博部分學(xué)校聯(lián)考]某企業(yè)新研發(fā)了一種產(chǎn)品，產(chǎn)品的成本由原料成本及非原料成本組成，每件產(chǎn)品的非原料成本y(單位：元)與生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量x(單位：千件)有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如下數(shù)據(jù)：x12345678y1126144.53530.5282524依據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制了如圖所示的散點(diǎn)圖，視察散點(diǎn)圖，兩個(gè)變量不具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)考慮用反比例函數(shù)模型y＝a＋eq\f(b,x)和指數(shù)函數(shù)模型y＝cedx分別對(duì)兩個(gè)變量的關(guān)系進(jìn)行擬合，已求得用指數(shù)函數(shù)模型擬合的回來(lái)方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝96.54e－0.2x，lny與x的相關(guān)系數(shù)r1＝－0.94.參考數(shù)據(jù)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中ui＝\f(1,xi)))：eq\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1))uiyieq\o(u,\s\up6(－))eq\o(u,\s\up6(－))2eq\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1))ueq\o\al(2,i)eq\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1))yieq\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1))yeq\o\al(2,i)e－2183.40.340.1151.5336022385.561.40.135(1)用反比例函數(shù)模型求y關(guān)于x的回來(lái)方程．(2)用相關(guān)系數(shù)推斷上述兩個(gè)模型哪一個(gè)擬合效果更好(精確到0.01)，并用其估計(jì)產(chǎn)量為10千件時(shí)每件產(chǎn)品的非原料成本．(3)該企業(yè)實(shí)行訂單生產(chǎn)模式(依據(jù)訂單數(shù)量進(jìn)行生產(chǎn)，即產(chǎn)品全部售出)．依據(jù)市場(chǎng)調(diào)研數(shù)據(jù)，若該產(chǎn)品單價(jià)定為100元，則簽訂9千件訂單的概率為0.8，簽訂10千件訂單的概率為0.2；若單價(jià)定為90元，則簽訂10千件訂單的概率為0.3，簽訂11千件訂單的概率為0.7.已知每件產(chǎn)品的原料成本為10元，依據(jù)(2)的結(jié)果，企業(yè)要想獲得更高利潤(rùn)，產(chǎn)品單價(jià)應(yīng)選擇100元還是90元，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回來(lái)直線(xiàn)＝eq\o(α,\s\up6(^))－eq\o(β,\s\up6(^))u的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為eq\o(β,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))uivi－n\o(u,\s\up6(－))\o(v,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))u\o\al(2,i)－n\o(u,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝－eq\o(β,\s\up6(^))eq\o(u,\s\up6(－)).相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))uivi－n\o(u,\s\up6(－))\o(v,\s\up6(－)),\r(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))u\o\al(2,i)－n\o(u,\s\up6(－))2\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))v\o\al(2,i)－n\o(v,\s\up6(－))2)).概率與統(tǒng)計(jì)(7)1．解析：(1)依據(jù)散點(diǎn)圖可知y與x正線(xiàn)性相關(guān)．(2)由所給數(shù)據(jù)計(jì)算得eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,7)(1＋2＋…＋7)＝4，eq\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝28，eq\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))＝eq\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))xiyi－eq\o(x,\s\up6(－))eq\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))yi＝4517－4×1074＝221，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))xi－\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(221,28)≈7.89，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1074,7)－7.89×4≈121.87，所求線(xiàn)性回來(lái)方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝7.89x＋121.87(3)由題中給出的殘差圖知?dú)v年數(shù)據(jù)的殘差均在－2到2之間，說(shuō)明線(xiàn)性回來(lái)方程的擬合效果較好．2．解析：(1)由題意得，(0.02＋0.032＋a＋0.018)×10＝1，解得a＝0.03.由頻率分布直方圖可知該鎮(zhèn)居民10月份用水量的眾數(shù)為20噸．50戶(hù)居民10月份用水量的平均值eq\o(x,\s\up6(－))＝0.2×10＋0.32×20＋0.3×30＋0.18×40＝24.6(噸)．故估計(jì)該鎮(zhèn)居民10月份用水量的平均值為24.6噸．(2)利用樣本估計(jì)總體，該鎮(zhèn)居民10月份用水量在[5,15]內(nèi)的概率為0.2，則X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,5)))，X＝0,1,2,3.P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))3＝eq\f(64,125)；P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2×eq\f(1,5)＝eq\f(48,125)；P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)×eq\f(4,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))2＝eq\f(12,125)；P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))3＝eq\f(1,125).∴X的分布列為X0123Peq\f(64,125)eq\f(48,125)eq\f(12,125)eq\f(1,125)∴E(X)＝0×eq\f(64,125)＋1×eq\f(48,125)＋2×eq\f(12,125)＋3×eq\f(1,125)＝eq\f(3,5).3．解析：(1)依據(jù)抽查數(shù)據(jù)，該市100天空氣中的PM2.5濃度不超過(guò)75，且SO2濃度不超過(guò)150的天數(shù)為32＋18＋6＋8＝64，因此，該市一天空氣中PM2.5濃度不超過(guò)75，且SO2濃度不超過(guò)150的概率的估計(jì)值為eq\f(64,100)＝0.64.(2)依據(jù)抽查數(shù)據(jù)，可得2×2列聯(lián)表：SO2PM2.5[0,150](150,475][0,75]6416(75,115]1010(3)依據(jù)(2)的列聯(lián)表得K2＝eq\f(100×64×10－16×102,80×20×74×26)≈7.484.由于7.484>6.635，故有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關(guān)．4．解析：(1)由A款飲料的評(píng)分餅狀圖，得對(duì)A款飲料評(píng)分在60分以下的頻率為0.05＋0.15＝0.2，∴對(duì)A款飲料評(píng)分在60分以下的有100×0.2＝20(萬(wàn)人)．(2)設(shè)受訪(fǎng)者購(gòu)買(mǎi)A款飲料的可能性高于購(gòu)買(mǎi)B款飲料的可能性為事務(wù)C.記購(gòu)買(mǎi)A款飲料的可能性是20%為事務(wù)A1；購(gòu)買(mǎi)A款飲料的可能性是60%為事務(wù)A2；購(gòu)買(mǎi)A款飲料的可能性是90%為事務(wù)A3；購(gòu)買(mǎi)B款飲料的可能性是20%為事務(wù)B1；購(gòu)買(mǎi)B款飲料的可能性是60%為事務(wù)B2；購(gòu)買(mǎi)B款飲料的可能性是90%為事務(wù)B3.則P(A1)＝0.05＋0.15＝0.2，P(A2)＝0.1＋0.2＝0.3，P(A3)＝0.15＋0.35＝0.5，P(B1)＝eq\f(5＋5,100)＝0.1，P(B2)＝eq\f(15＋20,100)＝0.35，P(B3)＝eq\f(15＋40,100)＝0.55.∵事務(wù)Ai與Bj相互獨(dú)立，其中i，j＝1,2,3，∴P(C)＝P(A2B1＋A3B1＋A3B2)＝P(A2)P(B1)＋P(A3)P(B1)＋P(A3)P(B2)＝0.3×0.1＋0.5×0.1＋0.5×0.35＝0.255，∴估計(jì)該受訪(fǎng)者購(gòu)買(mǎi)A款飲料的可能性高于購(gòu)買(mǎi)B款飲料的可能性的概率為0.255.(3)從受訪(fǎng)者對(duì)A，B兩款飲料購(gòu)買(mǎi)期望角度看，A款飲料“選擇傾向指數(shù)”X的分布列為X0.20.60.9P0.20.30.5B款飲料“選擇傾向指數(shù)”Y的分布列為Y0.20.60.9P0.10.350.55∴E(X)＝0.2×0.2＋0.6×0.3＋0.9×0.5＝0.67，E(Y)＝0.2×0.1＋0.6×0.35＋0.9×0.55＝0.725，則E(X)<E(Y)，故新品推介應(yīng)當(dāng)主推B款飲料．5．解析：(1)因?yàn)镻(u－σ<X≤u＋σ)＝P(61.8<X≤66.2)＝0.8≥0.6827，P(u－2σ<X≤u＋2σ)＝P(59.6<X≤68.4)＝0.94<0.9545，P(u－3σ<X≤u＋3σ)＝P(57.4<X≤70.6)＝0.98<0.9973，所以設(shè)備M的性能等級(jí)為丙．(2)易知樣本中次品共6個(gè)，可估計(jì)設(shè)備M生產(chǎn)零件的次品率為0.06.(ⅰ)由題意可知Y～B(2,0.06)，于是E(Y)＝2×0.06＝0.12.(ⅱ)Z的分布列為Z012Peq\f(C\o\al(2,94),C\o\al(2,100))eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(1,94),C\o\al(2,100))eq\f(C\o\al(2,6),C\o\al(2,100))故E(Z)＝0×eq\f(C\o\al(2,94),C\o\al(2,100))＋1×eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(1,94),C\o\al(2,100))＋2×eq\f(C\o\al(2,6),C\o\al(2,100))＝eq\f(3,25)＝0.12.6．解析：(1)令u＝eq\f(1,x)，則y＝a＋eq\f(b,x)可轉(zhuǎn)化為y＝a＋bu，因?yàn)閑q\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(360,8)＝45，所以eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1))uiyi－8\o(u,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1))u\o\al(2,i)－8\o(u,\s\up6(－))2)＝eq\f(183.4－8×0.34×45,1.53－8×0.115)＝eq\f(61,0.61)＝100，則eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(u,\s\up6(－))＝45－100×0.34＝11，所以eq\o(y,\s\up6(^))＝11＋100u，所以y關(guān)于x的回來(lái)方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝11＋eq\f(100,x)