2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步習(xí)題課平行與垂直的綜合問題教學(xué)用書教案新人教A版必修第二冊

PAGE習(xí)題課平行與垂直的綜合問題關(guān)鍵實力·攻重難題型探究題型一平行和垂直關(guān)系的證明典例1如圖，在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD為平行四邊形，AC，BD相交于點O，點E為PC的中點，OP＝OC，PA⊥PD.求證：(1)直線PA∥平面BDE.(2)平面BDE⊥平面PCD.[證明](1)如圖，連接OE，因為O為平行四邊形ABCD對角線的交點，所以O(shè)為AC的中點.又E為PC的中點，所以O(shè)E∥PA.因為OE?平面BDE，PA?平面BDE，所以直線PA∥平面BDE.(2)因為OE∥PA，PA⊥PD，所以O(shè)E⊥PD.因為OP＝OC，E為PC的中點，所以O(shè)E⊥PC.又PD?平面PCD，PC?平面PCD，PC∩PD＝P，所以O(shè)E⊥平面PCD.因為OE?平面BDE，所以平面BDE⊥平面PCD.[歸納提升](1)在應(yīng)用線面平行的判定定理進(jìn)行平行轉(zhuǎn)化時，肯定留意定理成立的條件，通常應(yīng)嚴(yán)格依據(jù)定理成立的條件規(guī)范書寫步驟，如：把線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行時，必需說清經(jīng)過已知直線的平面和已知平面相交，這時才有直線與交線平行.(2)對于有關(guān)兩個平面垂直的證明，一般利用兩個平面垂直的判定定理：假如一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直，在應(yīng)用定理解決問題時，常常實行“線線垂直”?“線面垂直”?“面面垂直”的轉(zhuǎn)化思想進(jìn)行推理.【對點練習(xí)】?在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1求證：(1)AB∥平面A1B1C(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC[證明](1)在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AB∥A1B因為AB?平面A1B1CA1B1?平面A1B1C所以AB∥平面A1B1C(2)在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，四邊形ABB1A又因為AA1＝AB，所以四邊形ABB1A1因此AB1⊥A1B.因為AB1⊥B1C1，BC∥B1C所以AB1⊥BC.因為A1B∩BC＝B，A1B?平面A1BC，BC?平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC.因為AB1?平面ABB1A1所以平面ABB1A1⊥平面A1BC題型二立體幾何中的折疊問題典例2如圖1所示，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，AB∥CD，AD＝CD＝eq\f(1,2)AB＝2，E為AC的中點，將△ACD沿AC折起，使折起后的平面ACD與平面ABC垂直，得到如圖2所示的幾何體D－ABC.(1)求證：BC⊥平面ACD；(2)點F在棱CD上，且滿意AD∥平面BEF，求幾何體F－BCE的體積.[解析](1)證明：∵AC＝eq\r(AD2＋CD2)＝2eq\r(2)，∠BAC＝∠ACD＝45°，AB＝4，∴在△ABC中，BC2＝AC2＋AB2－2AC×AB×∴AB2＝AC2＋BC2＝16，∴AC⊥BC.∵平面ACD⊥平面ABC，平面ACD∩平面ABC＝AC，BC?平面ABC，∴BC⊥平面ACD.(2)∵AD∥平面BEF，AD?平面ACD，平面ACD∩平面BEF＝EF，∴AD∥EF，∵E為AC的中點，∴EF為△ACD的中位線.由(1)知，幾何體F－BCE的體積VF－BCE＝VB－CEF＝eq\f(1,3)×S△CEF×BC，∵S△CEF＝eq\f(1,4)S△ACD＝eq\f(1,4)×eq\f(1,2)×2×2＝eq\f(1,2)，∴VF－BCE＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2eq\r(2)＝eq\f(\r(2),3).[歸納提升]平面圖形翻折為空間圖形問題的解題關(guān)鍵是看翻折前后線面位置關(guān)系的改變，依據(jù)翻折的過程找到翻折前后線線位置關(guān)系中沒有改變的量和發(fā)生改變的量，這些不變的和改變的量反映了翻折后的空間圖形的結(jié)構(gòu)特征.解決此類問題的步驟為：【對點練習(xí)】?(2024·湖南師范高校附屬中學(xué)高二期中)如圖(1)，在等腰梯形ABCD中，E，F(xiàn)分別是CD，AB的中點，CD＝2，AB＝4，AD＝BC＝eq\r(2).沿EF將梯形AFED折起，使得∠AFB＝60°，如圖(2).(1)若G為FB的中點，求證：AG⊥平面BCEF.(2)求二面角C－AB－F的正切值.[解析](1)證明：因為AF＝BF，∠AFB＝60°，所以△AFB為等邊三角形.又G為FB的中點，所以AG⊥FB.在等腰梯形ABCD中，E，F(xiàn)分別是CD，AB的中點，所以EF⊥AB.于是EF⊥AF，EF⊥BF.又AF∩BF＝F，所以EF⊥平面ABF.因為AG?平面ABF，所以AG⊥EF.又AG⊥BF，EF∩BF＝F，所以AG⊥平面BCEF.(2)如圖，連接CG.因為在等腰梯形ABCD中，CD＝2，AB＝4，點E，F(xiàn)分別是CD，AB的中點，G為FB的中點，所以EC＝FG＝BG＝1，從而CG∥EF.因為EF⊥平面ABF，所以CG⊥平面ABF.如圖，過點G作GH⊥AB于H，連接CH.由三垂線定理可得CH⊥AB，所以∠CHG為二面角C－AB－F的平面角.在Rt△BHG中，BG＝1，∠GBH＝60°，所以GH＝eq\f(\r(3),2).在Rt△CGB中，CG⊥BG，BG＝1，BC＝eq\r(2)，所以CG＝1．因為CG⊥平面ABF，GH?平面ABF，所以CG⊥GH.在Rt△CGH中，可得tan∠CHG＝eq\f(CG,GH)＝eq\f(1,\f(\r(3),2))＝eq\f(2\r(3),3)，所以二面角C－AB－F的正切值為eq\f(2\r(3),3).題型三立體幾何中的探究性問題典例3如圖，矩形ABCD所在平面與半圓弧eq\o\ac(CD,\s\up10(︵))所在平面垂直，M是eq\o\ac(CD,\s\up10(︵))上異于C，D的點.(1)證明：平面AMD⊥平面BMC.(2)在線段AM上是否存在點P，使得MC∥平面PBD？說明理由.[解析](1)證明：由題設(shè)知，平面CMD⊥平面ABCD，交線為CD.因為BC⊥CD，BC?平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，又DM?平面CMD，所以BC⊥DM.因為M為eq\o\ac(CD,\s\up10(︵))上異于C，D的點，且DC為直徑，所以DM⊥CM.又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC.因為DM?平面AMD，所以平面AMD⊥平面BMC.(2)當(dāng)P為AM的中點時，MC∥平面PBD.理由如下：如圖，連接AC交BD于O.因為四邊形ABCD為矩形，所以O(shè)為AC的中點.連接OP，因為P為AM的中點，所以MC∥OP.又MC?平面PBD，OP?平面PBD，所以MC∥平面PBD.[歸納提升]探究性問題的一般解題方法先假設(shè)其存在，然后把這個假設(shè)作為已知條件，和題目的其他已知條件一起進(jìn)行推理論證和計算.在推理論證和計算無誤的前提下，假如得到了一個合理的結(jié)論，則說明存在；假如得到了一個不合理的結(jié)論，則說明不存在.【對點練習(xí)】?如圖，四棱錐P－ABCD的底面ABCD是圓內(nèi)接四邊形(記此圓為W)，且PA⊥平面ABCD.(1)當(dāng)BD是圓W的直徑時，PA＝BD＝2，AD＝CD＝eq\r(3)，求四棱錐P－ABCD的體積.(2)在(1)的條件下，推斷在棱PA上是否存在一點Q，使得BQ∥平面PCD？若存在，求出AQ的長；若不存在，請說明理由.[解析](1)因為BD是圓W的直徑，所以BA⊥AD，因為BD＝2，AD＝eq\r(3)，所以AB＝1．同理BC＝1，所以S四邊形ABCD＝AB·AD＝eq\r(3).因為PA⊥平面ABCD，PA＝2，所以四棱錐P－ABCD的體積V＝eq\f(1,3)S四邊形ABCD·PA＝eq\f(2\r(3),3).(2)存在，AQ＝eq\f(2,3).理由如下.延長