高考數(shù)學(xué)(北師大版理)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)規(guī)范訓(xùn)練平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用

逑㈣四莖！?暨—…升”范訓(xùn)練日?；?

【A級】基礎(chǔ)訓(xùn)練

1.(X?高考重慶卷)設(shè)x￡R,向量a=(x,1),b=(1,-2),且aJ_b,則|a+b|=()

A.乖B.yjlO

C.2y[550.10

解析：Va±b,/.x—2=0,/.x=2.|a+b|=-\/a2+b2+2a?b=-\/a2+b2=-\y4+1+1+4

=#5.故選B.

答案：B

2.(x-天門模擬)已知非零向量a,b,c滿足a+b+c=0.向量a,b的夾角為60°,且

|b|=|a|,則向量a與c的夾角為()

A.60°B.30°

C.x0°D.150°

解析：由a+b+c=0得c=-a—b,

/.|c|2=|a+b|2=|a|2+|b|2+2|a||b|cos60°=3|a|2,

Ic|=#|a|,

又a?c=a?(—a-b)=—|a|2-a,b

=—|a|2—|a||b|cos60°=--|a|2.

設(shè)a與c的夾角為0,

3||2

|a|

m0a-c-2亞

C0S==

則WM|a|.^laF"2，

VO°WeW180°,e=150°.

答案：D

3.(x?高考湖北卷)已知點(diǎn)A(—1,1),B(l,2),C(-2,-1),D(3,4),則向量磕在而方

向上的投影為()

嫗

A矩

A,2B.之

「_3^2n一嶇

2

解析：首先求出靠，麗的坐標(biāo)，然后根據(jù)投影的定義進(jìn)行計(jì)算.

由己知得誦=(2,1),而=(5,5),因此范在而方向上的投影為"二@=3=羋.

|CD]5娘2

答案：A

4.(x?高考全國新課標(biāo)卷)已知兩個(gè)單位向量a,b的夾角為60°,c=ta+(l-t)b,若

b?c=0,貝!|t=________.

解析：直接利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算求解.

|a|=|b|=1,(a,b>=60°.

Vc=ta+(1—t)b,

/.b?c=ta?b+(1—t)b"=tX1X1X；+(1—t)X1

t,t

=-+l-t=l--

Vb?c=0,/.1—2=0,At=2.

答案：2

5.已知向量a,b滿足(a+2b)?(a—b)=—6,且|a|=l,|b|=2,貝ija與b的夾角為

解析:V(a+2b)?(a-b)=-6,.\a2+a-b-2b2=-6,；.l+a?b—2X4=-6,Aa?b

b

a?

=1.cos<a,b)X2

1a||b|

答案：y

(—*?—?、1

AB!AC?BC=0,且空■Be--

6.（x?x質(zhì)檢）已知非零向量AB,AC和BC滿足BeI2

jABi|ACb|AC|

則AABC為_______三角形.

(—?—?、

AB.AC一

解析：*?*+?BC=0,AcosB=cosC.

llABl|AC|J

/.△ABC為等腰三角形.

1

?Be--

AcI2.,.cos〈AC?BC〉=5

AclIBCI

???(AC?BC)=ZACB=60°,.二△ABC為等邊三角形.

答案：等邊

7.己知|a|=4,|b|=3,(2a—3b)?(2a+b)=61.

(1)求a與b的夾角0；

(2)求|a+b|和|a—b|.

解：(1)(2a-3b)?(2a+b)=61,解得a?b=-6?

a?b—61「2n

???cos°=TT=疝=-5,又OW0W"，.??仁亍

(2)|a+b|2=a2+2a?b+b2=13,|a+b|=亞.

)a-bP=a2-2a-b+b2=37.A|a-b二病.

8.已知aABC的角A、B、C所對的邊分別是a、b、c,設(shè)向量m=(a,b),n=(sinB,

sinA),p=(b—2,a—2).

(1)若m〃n,求證：AABC為等腰三角形；

JI

(2)若m_Lp邊長c=2,角C=w，求aABC的面積.

?J

解:(1)證明：/.asinA=bsinB,

ab

=b--,其中R是三角形ABC外接圓半徑，

NKZK

???a=b..'.△ABC為等腰三角形.

(2)由題意可知m?p=0,即a(b—2)+b(a—2)=0.

.\a+b=ab.

由余弦定理可知，4=a2+b2—ab=(a+b)2—3ab,

即(ab)J—3ab—4=0,；.ab=4(舍去ab=-1),

.,.S=^absinC=；X4Xsin/=/.

【B級】能力提升

1.(x?廈門質(zhì)檢)已知點(diǎn)0,N,P在aABC所在的平面內(nèi)，且廊|=，而=|比NA+NB

+NC=O,PA-PB=PB?PC=PC-PA,則點(diǎn)0,N,P依次是△A8(：的()

A.重心、外心、垂心B.重心、外心、內(nèi)心

C.外心、重心、垂心D.外心、重心、內(nèi)心

解析：因?yàn)閨布；=1而1=1充I,所以點(diǎn)0到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，所以0為三角

形ABC的外心；由也+而+病=0,得點(diǎn)+福=一病=而，由中線的性質(zhì)可知點(diǎn)N在三角形

AB邊的中線上，同理可得點(diǎn)N在其他邊的中線上，所以點(diǎn)N為三角形ABC的重心；由

PA-PB=PB-PC=PC?PA,得亦?PB-PB-PC=PB-CA=O,則點(diǎn)P在AC邊的垂線上，同

理可得點(diǎn)P在其他邊的垂線上，所以點(diǎn)P為三角形ABC的垂心.

答案：C

2.（x?高考江西卷）在直角三角形ABC中，點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段CD的中

A.2B.4

C.5D.10

解析：解法一：以C為原點(diǎn)，CA,CB所在直線為x,y軸建立直角坐標(biāo)系.設(shè)A(a,0),

B(O,b),則D(|,,，Pg,3.從而網(wǎng)2+附2=(32+,)+(替2+腦2)=1|d+1)2)

=10|PC|2,故選D.

解法二：因?yàn)轲抟辉?派，且正+麗=2而，兩式平方相加得2港2+2而2=血?+4麗2=4麗2

+4PC2=20PC2,故選D.

解法三：由平行四邊形性質(zhì)得2(曲葉河2)=市+(2而尸=4而葉4而=20證2,故選D.

答案：D

a?B

3.(x?高考x卷)對任意兩個(gè)非零的平面向量a和8,定義。.8=^.若兩個(gè)非零

的平面向量a,b滿足a與b的夾角。了，萬｝且a?b和b?a都在集合，-n￡Z

中，則a?b=()

53

A，2B,2

C.1D.

2

a*b|a||b?A_lai

解析:一丁=cos°-|b|C°Sb?a=q—rcos。因?yàn)閨a|>0,

b^F|a|

n_,,|aI八nlb：八m

b>0,0<cos0<干",且a?b、b?a￡n所以可os0=5,誨cos0=5,

2

其中m,n@N+,兩式相乘，得、^=cos2。，因?yàn)?Kcos。〈半，所以0<cos2og,得到

0<m?n<2,故m=n=l,即a?b=g.

答案：D

4.(x?高考x卷)如圖在矩形ABCD中，AB=小，BC=2,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD

上，若疝?第=/，則靠?前的值是—

解析：解法一：以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)F(x,2),

AF=(x,2),AB=(m,0),

.?.前?前=必=的；.F(1,2),.?.靠?前=近

解法二：AB-AF=|AB||AE|COSZBAF=V2>

而|cos/BAF=l,即I市|=1,|承|=4一1,

AE?語=(AB+BE)?(BC+CF)=慈?BC+AB?CF+BE-BC+BE-CF=AB-CF+BE-BC

=^2X(^2-1)X(-l)+lX2Xl=^/2.

答案：小

5.(x?江西省七校聯(lián)考)己知a=(3,2),b=(2,—1),若向量Aa+b與a+、b的夾角

為銳角，則實(shí)數(shù)X的取值范圍是.

解析：依題意，(、a+b),(a+*b)=Aa"+Atf+(入"+1)a?b>0,即4入-+18入+4>

0,由此解得X>.-9；洞或x〈-9;遮注意到當(dāng)、a+b與a+Ab同向共線時(shí)，X

=1,(Aa+b)?(a+、b)>0.因此，所求的實(shí)數(shù)X的取值范圍是入>二^區(qū)或X<

-9—

,且X^l.

-9一

,且入會1

6.(x?高考x卷)已知向量而與祕的夾角為x0°,且|忘|=3,|武|=2.若心=入范+

AC,且點(diǎn)，流，則實(shí)數(shù)X的值為.

解析：把血轉(zhuǎn)化為病一血，再通過靠?前=0求解.

VAP±BC,AAP?BC=0.

又扉=入矗+前:，BC=AC-AB,

A(XAB+AC)(AC-AB)=0,

即(入-1)AC?AB-XAB2+AC2=0,

A(X-1)|AC|l^lcosx00-9A+4=0.

/.(X-l)X3X2xf-|j-9X+4=0.解得X=卷

7

答案：T?

，33x

7.（創(chuàng)新題）已知向量@=cos/x,sin-xI,b=lcos-,

2

-sin1,nJI

c=(1,—1),其中x￡一5，y.

⑴求證:(a+b)±(a—b)；

(2)設(shè)函數(shù)f(x)=(|a+c|2-3)(Ib+c12—3),求f(x)的最大值和最小值.

/3x3x\

解：(1)證明：a+b=lcos^x+cos-，sinp-sin-l,

3x3x\

cos-x-cosg,sin-x+sin-I,

&oS^x)—(cos|^2+(si3sin|V=0.

(a+b)?(a-b)=|sm-x

A(a+b),L(a—b).

(33、

(2)Va+c=lcos-x+l,sin--1I,

(xx)

b+c=lcos^+l，—sin~~1I.

|a+c|2—3=fcos|x+l^+fsin|3x-1V—3

2

33

=2cos_x_2sin_x.

b+c|2—3=fcos-+1J2+-sin^—1J—3

Xx

=2cos-+2sin-

f(x)=(|a+c「一3)(|b+c「一3)

=(2cos^x-2sin?x)(2cos/+2sin/

^/cosfx.co|cos|x.s嗚,3-sin|x?sin||=4(cos2x-sinx)

S+-sm-x?cos-

=4(1—2sin2x—sinx)=4(—2sin2x-sinx+1),

，y最大值=4（-2又親+"+1）=|,

當(dāng)sinx=

???當(dāng)sinx=l時(shí)，y域小值=4(—2義1—1+1)=—8.

課時(shí)規(guī)范訓(xùn)練磁課時(shí)鞏固智能提升I、規(guī)范訓(xùn)練日?；疘

【A級】基礎(chǔ)訓(xùn)練

1.（x?高考x卷）如圖，在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)A表示復(fù)數(shù)z,則圖中表示z的共舸復(fù)數(shù)的點(diǎn)是

)

4??D

面~~

0*Cx

A.AB.B

C.CD.D

解析：根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何表示可求得.

設(shè)2=@+出(@,beR),且a<0,b>0,則z的共飄復(fù)數(shù)為a—bi,其中aVO,—b<0,

故應(yīng)為B點(diǎn).

答案：B

2.若（2+/i）?z=—/i,則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)的（）

A.x象限B.x象限

C.x象限D(zhuǎn).第四象限

-^31-3-2^31322/3

解析：由zi可知，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)的x象

2+731777

限.

答案：C

3.（X?高考X卷）設(shè)4,Z2是復(fù)數(shù)，則下列命題中的假命題是（）

A.若IZi—Z21=0,則z1=z2

B.若Zi=Z2,貝Z1=Z2

C.若|zi|=|z2］，則Z1?Z1=Z2?Z2

D.若|zi|=|z2］，則Z?=Z2

解析：結(jié)合復(fù)數(shù)的模、共枕復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)的運(yùn)算等判斷求解.

A,|zi—Z2I=O=z［一Z2=0=zi=Z2=zi=z2,真命題;

B,Z1=Z2=>z1=Z2=Z2,真命題；

22

C,IZiI=IZ2I=>|Z11=?IZ2I=>Z1?Z1=Z2?Z2,真命題；

D,當(dāng)|zi|=|z21時(shí)，可取Zi=l,Z2=i,顯然z：=LZ2=—L即假命題.

答案：D

4.(x?高考x卷)已知a,b￡R,i是虛數(shù)單位.若(a+i)?(1+i)=bi,則a+bi=

解析：由復(fù)數(shù)相等的定義求得a,b的值，即得復(fù)數(shù).

由（a+i）（1+i）=bi可得（a—1）+（a+1）i=bi,因此a—1=0,a+l=b,解得a=l,b

=2,故a+bi=l+2i.

答案：l+2i

5.（x?高考x卷）已知復(fù)數(shù)z=（3+i￥（i為虛數(shù)單位），則|z|=.

解析：z=（3+i）"=9+6i—l=8+6i,|z|=^/82+62=10.

答案：10

11-7i

6.（x?高考x卷）設(shè)a,b￡R,a+bi=T=一（i為虛數(shù)單位），則a+b的值為________.

1—Z1

]]-7i—+

解析：因?yàn)閍+bi=f=5=5+3i,

所以a=5,b=3,.\a+b=8.

答案：8

1-i1+i

T"

1一也1

(4)

-1++—3+i

1—3i.

i-i

+——3+4i+3—3i

2+i=2+i

i12

-+

2+55-5-

1

⑶-

+

，±i+二l±i=T

-22

⑷小+___~____小+2

—i______—~\/3—

~y/3+i~4

1魚

44

8.實(shí)數(shù)m取什么值時(shí),復(fù)數(shù)z=(m2+5m+6)+(m2—2m—15)i

(D與復(fù)數(shù)2—xi相等；

(2)與復(fù)數(shù)x+16i互為共視復(fù)數(shù)；

(3)對應(yīng)的點(diǎn)在x軸上方；

(4)對應(yīng)的點(diǎn)在直線x+y+5=0上.

解：(1)根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件得

m'+5m+6=2,

m2—2m—15=-12.

解之得m=-1.

(2)根據(jù)互為共軌復(fù)數(shù)的定義得

Jm2+5m+6=12,

[m2—2m-15=-16.

解之得m=l.

(3)根據(jù)復(fù)數(shù)z對應(yīng)點(diǎn)在x軸上方可得

m2—2m-15>0,

解之得n)<—3或m>5.

(4)復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)(m2+5m+6,m2—2m—15)在直線x+y+5=0上,即(m'+5m+6)+(m2—

2m—15)+5=0,

融俎-3-^41-3+yri

解得：m=---丁一或m=---1一.

【B級】能力提升

1.(x?包頭模擬)下面命題：

(1)0比一i大；

(2)兩個(gè)復(fù)數(shù)互為共輾復(fù)數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)其和為實(shí)數(shù)時(shí)成立；

(3)x+yi=l+i的充要條件為x=y=l；

(4)如果讓實(shí)數(shù)a與ai對應(yīng)，那么實(shí)數(shù)集與純虛數(shù)集一一對應(yīng).

其中正確命題的個(gè)數(shù)是()

A.0B.1

C.2D.3

解析：(1)中實(shí)數(shù)與虛數(shù)不能比較大?。?/p>

(2)兩個(gè)復(fù)數(shù)互為共軌復(fù)數(shù)時(shí)其和為實(shí)數(shù)，但兩個(gè)復(fù)數(shù)的和為實(shí)數(shù)時(shí)這兩個(gè)復(fù)數(shù)不一定是共

舸復(fù)數(shù)；

(3)x+yi=l+i的充要條件為x=y=l是錯(cuò)誤的，因?yàn)閤,y未必是實(shí)數(shù)；

(4)當(dāng)a=0時(shí)，沒有純虛數(shù)和它對應(yīng).

答案：A

2.(x?銀川模擬)已知xGR,i為虛數(shù)單位，若(1—2i)(x+i)=4—3i,則x的值等于

()

A.—6B.—2

C.2D.6

x+2=4,

解析：依題意(l—2i)(x+i)=x+2+(l-2x)i=4—3i,貝IJ八.解得x=2,

1-2x=-3,

故選C.

答案：C

3.虛數(shù)(x—2)+yi,其中x、y均為實(shí)數(shù)，當(dāng)此虛數(shù)的模為1時(shí);?的取值范圍是()

A.[4,B,[￡，o]u（o,叼

C.[一4,隹D.[一返0）U（0,y[3]

U

0|

解析：7+y-1,設(shè)卜=工

[yWO,x

則k為過圓（X—2/+/=1上點(diǎn)及原點(diǎn)的直線的斜率，如圖,設(shè)圓(x—2r+/=1的圓心過

M,過原點(diǎn)作圓M的切線0A,則sinZAOM=1.

..ZAOM—「???kWtan「—\.

663

又???yX0,???kW0.由對稱性可知選B.

答案：B

4.l+i+i2+i3+-+i20l5=

1I-I-2016I-2I008

解析：原式="：：——j：—0.

1—11—1

答案：0

5.(x?長治模擬)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)1+i與T+3i分別對應(yīng)向量6X和而，其中0為坐標(biāo)

原點(diǎn)，貝！JIM|=.

解析：由題意知A(l,1),B(—1,3),

故|AB|=yj—1—3—^=2y[2.

答案：2:

6.(X?九江模擬)設(shè)a是復(fù)數(shù)，Z2=ZLiTi(其中表示Zi的共鈍復(fù)數(shù))，已知處的實(shí)

部是一1,則Z2的虛部為.

解析：設(shè)zi=x+yi(x,yGR),則Z2=x+yi—i(x—yi)

=(x—y)+(y—x)i,

故有x—y=-1,Ay—x=l.

答案：1

7.(創(chuàng)新題)設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)Z和3滿足Z3+2iz—2i3+1=0.

(1)若Z和3滿足3—z=2i,求Z和3的值；

(2)求證：如果|z|=/,那么|3-4i|的值是一個(gè)常數(shù)，并求這個(gè)常數(shù).

解：⑴：七一z=2i,/.z=~-2i.

代入za+2iz—2i3+1=0>

得(3—2i)(3+2i)—2i3+1=0,ww—4iw+2i3+5=0.

設(shè)3=x+yi(x,y￡R),則上式可變?yōu)?/p>

(x+yi)(x—yi)-4i(x+yi)+2i(x—yi)+5=0.

x2+y2+6y+5—2xi=0.

Jx2+y2+6y+5=0,Jx=0,Jx=0,

??12x=0,**[y=—1,或iy=_5.

.,.3=-i,z=—i或3=—5i,z=3i.

(2)證明：由z3+2iz—2i3+1=0,得

z(3+2i)=2i3—1,；?|z||s+2i|=|2iQ—11.①

設(shè)3=x+yi(x,y￡R),則|3+2i|=|x+(y+2)i|=

-\/x2++5=-\/x2+y2+4y+4.

|2iw-l|=|-(2y+l)+2xi|

=7+2+4x2=^/4x2+4y2+4y+1.

又|z1=木,

，①可化為3(x?+y2+4y+4)=4x2+4y2+4y+l.

.,.x2+y2-8y=x.

a—4i|—|x+(y-4)i|—yjx2+~y—a=A/X2+Y2—8y+16=3^/3.

3—4i|的值是常數(shù)，且等于34.

④課時(shí)I鞏固I智能I提升

課時(shí)規(guī)范訓(xùn)練卜規(guī)范訓(xùn)練田麗

KESHI

【A級】基礎(chǔ)訓(xùn)練

1.（x?高考大綱全國卷）已知數(shù)列｛為｝的前n項(xiàng)和為權(quán)，ai=l,Sn=2an+1則s,=（）

解析：當(dāng)n=l時(shí)，ai=l,

當(dāng)n22時(shí)，3n=Sn—Sn-i=2dn+i—2a”,

o,.Q

解得3a=2an+i,

na”2

答案：B

2.數(shù)列｛a“｝的前n項(xiàng)積為產(chǎn)，那么當(dāng)n22時(shí)，｛a“｝的通項(xiàng)公式為（）

A.a?=2n1B.au=n

+I2n2

C.a=2D.a=2

nnn—

解析：設(shè)數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)積為T.，則當(dāng)n22時(shí)，a.=^=--~

ln-I-

答案：D

3.(x?西安模擬)已知S?是數(shù)列｛a?｝的前n項(xiàng)和，S?+S?+i=a?+i(nGN+),則此數(shù)列是

()

A.遞增數(shù)列B.遞減數(shù)列

C.常數(shù)列D.擺動數(shù)列

-=

解析：Sn+Sn+j=a”+i,；?當(dāng)n22時(shí)，Sn-iHSnan>

兩式相減得a”+a“+i=a"+i—a,i>a?—0(n^2).

當(dāng)n=l時(shí)，ai+(ai+a2)—a>,；.ai=O,

.*.a?=O(nGN+),故選C.

答案：C

4.(創(chuàng)新題)數(shù)學(xué)拓展課上，老師定義了一種運(yùn)算“鏟，對于nCN*,滿足以下運(yùn)算性質(zhì)：

(1).2*2=1,(2).(2n+2)*2=3(2n*2),則2n*2用含n的代數(shù)式表示為：

解析：根據(jù)：①2X2=1；②(2n+2)※2=3(2nX2),判斷數(shù)列｛(2nX2)｝是等比數(shù)列，

即可求得其通項(xiàng)公式.：2X2=1,(2n+2)X2=3(2nX2),

[2(n+1)X2]+(2nX2)=3

；.｛(2nX2)｝是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，

.,.第n項(xiàng)是：3n-l.

答案：3n-l

5.已知數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和S“=2”—3,則數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式為.

解析：當(dāng)n=l時(shí)，ai=Si=2'一3=—1,

nn_1n-l

當(dāng)n22時(shí)，a?=S?-S?-1=2-2=2,

答案：a“=2nt

1n,n為奇數(shù)時(shí)

6.我們可以利用數(shù)列｛aj的遞推公式a0=｛n“，田”,(n6N+)求出這個(gè)數(shù)列各項(xiàng)

a-,n為偶數(shù)時(shí)

的值，使得這個(gè)數(shù)列中的每一項(xiàng)都是奇數(shù)，則加+眥=；研究發(fā)現(xiàn)，該數(shù)列中的

奇數(shù)都會重復(fù)出現(xiàn)，那么第8個(gè)5是該數(shù)列的第項(xiàng).

解析：a2[+a25=ax+25=%+25=@3+25=3+25=28；

5=45=aio=@2。=a*=380=ai6。=3320=a6w.

答案：28640

7.(x?漢中調(diào)研)已知數(shù)列｛aj中，a?=l+^r--------------(n￡N+,aeR,且a#0).

a+一

(1)若a=—7,求數(shù)列｛aj中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的值；

(2)若對任意的n￡N+,都有anW%成立，求a的取值范圍.

解析：(l)???an=l+F--------------(n￡N+,aeR,且aWO),a=-7,

a十一

.…1

?為一1十2n一夕

結(jié)合函數(shù)f(x=1+-^的單調(diào)性.

2x—9

可知I>ai>d2>a3>ai；

a5>a6>a7><**>an>l(nGN+).

，數(shù)列｛aj中的最大項(xiàng)為a5=2,最小項(xiàng)為a4=0.

1

-

2

1+

=X一

2)an2-a

a+n2

:對任意的neN+,都有anWa,成立,

]_

2

并結(jié)合函數(shù)f(x)=l+---的單調(diào)性,

2~a

x2"

2—4

.'.5<-^<6,A-10<a<-8.

2

8-已知數(shù)列｛列的前n項(xiàng)和味=4+1,數(shù)列瓜｝滿足b尸彳,且前n項(xiàng)和為T”設(shè)a

=丁2?+1—Tn.

(1)求數(shù)列｛bn｝的通項(xiàng)公式;

⑵判斷數(shù)列｛Cn｝的增減性.

解：(l)ai=2,an=Sn—Sn-i=2n—1(n>2),

a

n

bn=<

2

5=

(2)Cu=bn+1+bm+2+…+b2n+1

='+J…

n+1n+22n+l

._1,1___1_

???金+lc?=2n+2+2n+3-i?+T<0，

即a+<Cn,是遞減數(shù)歹U.

【B級】能力提升

1.(x?x省高三檢測)已知函數(shù)f(x)是定義在(0,+8)上的單調(diào)函數(shù)，且對任意的正數(shù)

X,y都有f(x?y)=f(x)+f(y),若數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足f(Sn+2)—f(a。=

f(3)(n￡N+),則備為()

A.2'1-1B.n

3

C.2n-lD.(-)n-1

解析：由題意知f(Sn+2)=f(an)+f(3)(n￡N+),

?,.Sn+2=33n,Sn-l+2=3Sn-l(n22),

兩式相減得,2an=3an-i(n-2),

又n=l時(shí)，Si+2=3ai=ai+2,

?**a1=1,

?,?數(shù)列｛③｝是首項(xiàng)為1,公比為楙的等比數(shù)列，

；&=(|尸.

答案：D

2.對于數(shù)列⑸｝,“a+〉國|夕=1,2?“)”是“瓜｝為遞增數(shù)列”的()

A.必要不充分條件

B.充分不必要條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

解析:由an+i>|a“|可得a”+i>a”.｛aj是遞增數(shù)列.

“a.+0|an]"是“｛aj為遞增數(shù)列”的充分條件.

當(dāng)數(shù)列｛a“｝為遞增數(shù)列時(shí)，不一定有an+D|a,,|,如：一3,—2,—1,0,1,….

??.'*“+?口』”不是“離｝為遞增數(shù)列”的必要條件.

答案：B

3.(x?黃岡模擬)數(shù)列｛aj滿足下列條件：a,-l,且對于任意的正整數(shù)n(n22,nGN+),

恒有2a“=2nai,則a.的值為()

A.1B.2"

C.2100D.2"則

解析：由2ali=2"ae可得衛(wèi)=2"-'(n22),

3n—1

9821,9M

.?.aiw)^X^x-X-X^Xal-2"X2X-X2X2Xl=2^—2I

答案：D

4.函數(shù)y=x2(x〉0)的圖像在點(diǎn)(仇，4)處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為ak+i,其中k《N

+.若a1=16,則a1+a3+a5的值是

解析：函數(shù)y=x2(x>0)在點(diǎn)⑸，a：)處(a1=16)即點(diǎn)(16,256)處的切線方程為y—256=32(x

—16).令y=0,得@2=8；同理函數(shù)y=x?(x>0)在點(diǎn)(a2,最)處(a=8)即點(diǎn)(8,64)處的切

線方程為y—64=16(x—8).令y=0,得a3=4,依次同理求得四=2,as=l.所以ai+a.3

+@5=21.

答案:21

5.在數(shù)列｛aj中，石ai=w，(n22,n￡N+),則a20x=______.

Lan-i

解析：Vai=",an=~--------(n22,n￡N+),

21-an-i

1

??0,2=2fQ3=-1f84=5.

???｛an｝是以3為周期的數(shù)列.

._____1

??ax-a?7ix3+i—Hi-2?

答案：B

6.(x,大連模擬)已知數(shù)列｛aj滿足ai=33,a?+i—a0=2n,則包的最小值為.

n

解析：Van+i~an=2n,an-i=2(n—1),

-

an=(anan-i)+(an-i-an-2)+…+(a2-aj+a]

=(2n-2)+(2n—4)+…+2+33=n2—n+33(nN2),

a33

又ai=33適合上式，/.a=n2—n+33,.*.—i=n+——1.

nnn

令f(x)=x+—■—1(x>0),則f'(x)=1----

xx

令f'(x)=0得x=，而....當(dāng)OVx<相時(shí)，f(x)<0,

當(dāng)x>4時(shí)，f'(x)>0,

即f(x)在區(qū)間(0,9)上遞減；在區(qū)間(、回，+8)上遞增.

又5<小<6,

且f⑸=5+《-—1=T，f(6)=6+——1=—,

55b2

Jf⑸>f(6),，當(dāng)n=6時(shí)，鼻有最小值各

21

答案：y

7.(創(chuàng)新題)已知二次函數(shù)f(x)=x2—ax+a(a>0,x￡R),有且只有一個(gè)零點(diǎn),數(shù)列｛編的

前n項(xiàng)和Sn=f(n)(neN+).

(1)求數(shù)列EJ的通項(xiàng)公式；

4

⑵設(shè)c=l一一(n￡N+),定義所有滿足c-<0的正整數(shù)m的個(gè)數(shù)，稱為這個(gè)數(shù)列｛cj

na?

的變號數(shù)，求數(shù)列｛cj的變號數(shù).

解：(1)依題意，△=a2-4a=0,???a=0或a=4.

又由a>0得a=4,

22

f(x)=x~4x+4./.Sn=n—4n+4.

當(dāng)n=l時(shí)，ai=Si=l—4+4=1；

當(dāng)n22時(shí),an=Sn—Sn-i=2n—5.

Jl=，

.??an=1

〔2n—

-3=,

(2)由題設(shè)Cn=<4

1-2n-5

42n—9

由1~~7=7~~^可知，當(dāng)n25時(shí)，恒有a?.

2n-52n—5

又Ci=-3,C2=5,C3=-3,c,i=-T,

即Cl?C2<0,C2?C3<0,Ci?C5<0,

?,?數(shù)列｛c“｝的變號數(shù)為3.

課時(shí)規(guī)范訓(xùn)練…隊(duì)……升I▼規(guī)范訓(xùn)練日廊E]

【A級】基礎(chǔ)訓(xùn)練

1.(x?高考x卷)設(shè)Sn為等差數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和,S8=4a3,a7=—2,則&=()

A.-6B.-4

C.-2D.2

解析：借助等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及通項(xiàng)公式的性質(zhì)，計(jì)算數(shù)列的公差，進(jìn)而得到沏的

值.

_i_a

由等差數(shù)列性質(zhì)及前n項(xiàng)和公式，得S8=一廣二=

4(a3+a€)=4a3,所以及=().

又加=—2,所以公差d=-2,所以a9=a?+2d=-6.

答案：A

2.(x-x鄭州三模)已知遞減的等差數(shù)列｛aj滿足a?=at則數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和S0取最大

值時(shí)n=()

A.3B.4

C.4或5D.5或6

解析：由已知得af—溫=0,即(ai+aj?(at—a9)=0,

又?；ai>a9,.*.ai+a9=0,

又fa】+a9=2as,??a5=0,

???數(shù)列前4項(xiàng)為正值，從第6項(xiàng)起為負(fù)值，

???S4=S5且為最大.選C.

答案：C

3.等差數(shù)列｛①｝的前n項(xiàng)和為若a2+a?+a9=15,則工的值為()

55

A.-B.50

C.55D.x0

解析：由等差數(shù)列性質(zhì)得a2+a?+a9=3a6=15,，a6=5,S、=xa6=55.故選C.

答案：C

4.(x?高考x卷)在等差數(shù)列｛a｝中，已知a?+須=10,則3a5+a?=.

解析：可以利用通項(xiàng)公式，把a(bǔ)3+a&3a5+a都用and表示出來，進(jìn)行整體代換；也可以

利用an=am+(n—m)d把a(bǔ)3+a&3a5+a7都用久，d表示出來,進(jìn)行整體代換.

方法一：a3+a8=2ai+9d=10,3a5+a7=4ai+18d

=2(2a,+9d)=2X10=20.

方法二：a3+as=2a3+5d=10,3as+a7=4a3+10d

=2(2a3+5d)=2X10=20.

答案：20

5.(創(chuàng)新題)在數(shù)列｛a.｝中，若點(diǎn)(n,a“)在經(jīng)過點(diǎn)⑸3)的定直線1上，則數(shù)列⑶｝的前9

項(xiàng)和Sg=.

解析：:,點(diǎn)(n,a)在定直線1上，

???數(shù)列⑸｝為等差數(shù)列.

an=ai+(n—l)d.

將(5,3)代入，得3=ai+4d=as.

9,,、

S9=-(ai+a9)=9as=3X9=27.

答案：27

6.已知數(shù)列｛a"｝中，ai=-1,a?+i,a?=a?+i—a?,則數(shù)列的通項(xiàng)公式為.

解析：由須+1?an=a?+i—a°,得^----匚=1,即」-----1<又,=—1,則數(shù)列］!［是以

dnHn+lSn-f-1SLnS|［AiJ

-1為首項(xiàng)和公差的等差數(shù)列，于是，?=-1+(n—1)X(―1)=-n,?,.an=一上

ann

答案：a=--

nn

7.(x-高考x卷)在公差為d的等差數(shù)列｛aj中，已知ai=10,且五2az+2,5a3成等比數(shù)

列.

(1)求d,an；

⑵若d<0,求|ai|+3|+|①|(zhì)+…+|an|.

22

解：(1)由題意得，a.-5a3=(2a2+2),由a1=10,｛&J為公差為d的等差數(shù)列得，d-3d

-4=0,

解得d=—1或d=4.

所以a=-n+x(n￡N+)或a“=4n+6(n￡N+).

⑵設(shè)數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和為Sn.

因?yàn)閐<0,由(1)得d=—1,—n+x,

所以當(dāng)nWx時(shí)，+由|+|a3H----I-|an|=Sn

12.21

=-2n+Tn；

i21

當(dāng)n2x時(shí)，Iai|+|a21+Ia3H----F|an|=-Sn+2sx=去一萬n+x0.

綜上所述,Iai|+|a21+IasI+???+Ian|

8.(創(chuàng)新題)已知｛a“｝是正數(shù)組成的數(shù)列，&=1,且點(diǎn)a0+J(neN+)在函數(shù)y=x?+l

的圖像上.

(1)求數(shù)列｛a“｝的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列｛b?｝滿足bi=l,bn+i=b?+2an,求證：b??b?+2<b^+i.

解：(1)由已知得a?+i=an+1,

即a?+i—a“=l,又ai=l,

所以數(shù)列｛aj是以1為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列.

故殳=1+(n—1)Xl=n.

⑵證明:法一：由⑴知:a?=n,

從而bn+l—bn=2".

b?=(b?—bn-i)+(b?-i-b?-2)H----b(b^—bi)+bi

i—a"

=2n-l+2n-2+-+2+l=—^r=2n-l.

1-Z

n+2n+12

因?yàn)閎?-b?+2-bS+i=(2"-l)(2-l)-(2-l)

2n+2+22n+2n+,n

=(2-2"-2"+1)-(2-2?2+l)=-2<0,所以b??b?+2<b^+l.

法二：因?yàn)閎=l,

bn*bn+2-'bn+l=(bn+l—2")(bn+1+2"+')—bn+l

n+1nnn+I

=2?b?+1-2?b?+1-2?2

nn+1

=2(bn+-2)

=2n(b?+2''-2"+")

=2"(b,-2")

=-=2"(b!-2)=-2°<0,

所以bn?b?+.2<bn+l.