第九章多元函數(shù)微分學(xué)(方向?qū)?shù)在前)總結(jié)

推廣第九章一元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)注意:善于類比,區(qū)別異同多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用第九章第一節(jié)一、區(qū)域二、多元函數(shù)的概念三、多元函數(shù)的極限四、多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的基本概念一、區(qū)域1.鄰域點(diǎn)集稱為點(diǎn)P0的鄰域.例如,在平面上,(圓鄰域)在空間中,(球鄰域)說明：若不需要強(qiáng)調(diào)鄰域半徑

,也可寫成點(diǎn)P0

的去心鄰域記為在討論實(shí)際問題中也常使用方鄰域,平面上的方鄰域?yàn)?。因?yàn)榉洁徲蚺c圓鄰域可以互相包含.2.

區(qū)域(1)

內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)設(shè)有點(diǎn)集

E

及一點(diǎn)

P:

若存在點(diǎn)P

的某鄰域U(P)

E,

若存在點(diǎn)P的某鄰域U(P)∩E=,

若對點(diǎn)

P

的任一鄰域U(P)既含

E中的內(nèi)點(diǎn)也含E則稱P為E

的內(nèi)點(diǎn)；則稱P為E

的外點(diǎn);則稱P為E

的邊界點(diǎn).的外點(diǎn),顯然,E

的內(nèi)點(diǎn)必屬于E,

E

的外點(diǎn)必不屬于E,E的邊界點(diǎn)可能屬于E,也可能不屬于E.(2)

聚點(diǎn)若對任意給定的

,點(diǎn)P

的去心鄰域內(nèi)總有E

中的點(diǎn),則稱P

是E

的聚點(diǎn).聚點(diǎn)可以屬于E,也可以不屬于E(因?yàn)榫埸c(diǎn)可以為所有聚點(diǎn)所成的點(diǎn)集成為E

的導(dǎo)集

.E

的邊界點(diǎn))D(3)開區(qū)域及閉區(qū)域

若點(diǎn)集E

的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱E

為開集；

若點(diǎn)集E

E

,則稱E

為閉集；

若集D

中任意兩點(diǎn)都可用一完全屬于D的折線相連,

開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域.則稱D

是連通的;

連通的開集稱為開區(qū)域

,簡稱區(qū)域;。。

E

的邊界點(diǎn)的全體稱為E

的邊界,記作

E;例如，在平面上開區(qū)域閉區(qū)域

整個(gè)平面

點(diǎn)集是開集，是最大的開域,也是最大的閉域；但非區(qū)域.o

對區(qū)域D,若存在正數(shù)

K,使一切點(diǎn)P

D與某定點(diǎn)A的距離AP

K,則稱

D

為有界域

,

界域

.否則稱為無3.n

維空間n元有序數(shù)組的全體稱為n

維空間,n維空間中的每一個(gè)元素稱為空間中的稱為該點(diǎn)的第k

個(gè)坐標(biāo).記作即一個(gè)點(diǎn),當(dāng)所有坐標(biāo)稱該元素為中的零元,記作O.的距離記作中點(diǎn)

a

的

鄰域?yàn)橐?guī)定為與零元O

的距離為二、多元函數(shù)的概念引例:

圓柱體的體積

定量理想氣體的壓強(qiáng)

三角形面積的海倫公式定義1.

設(shè)非空點(diǎn)集點(diǎn)集D

稱為函數(shù)的定義域;數(shù)集稱為函數(shù)的值域

.特別地,當(dāng)n=2時(shí),有二元函數(shù)當(dāng)n=3時(shí),有三元函數(shù)映射稱為定義在

D

上的n

元函數(shù),記作例如,

二元函數(shù)定義域?yàn)閳A域說明:

二元函數(shù)

z=f(x,y),(x,y)

D圖形為中心在原點(diǎn)的上半球面.的圖形一般為空間曲面.三元函數(shù)定義域?yàn)閳D形為空間中的超曲面.單位閉球三、多元函數(shù)的極限定義2.

設(shè)n

元函數(shù)點(diǎn),則稱A

為函數(shù)(也稱為n

重極限)當(dāng)n=2時(shí),記二元函數(shù)的極限可寫作：P0是D的聚若存在常數(shù)A,對一記作都有對任意正數(shù)

,總存在正數(shù),切例1.

設(shè)求證：證:故總有要證例2.

設(shè)求證：證：故總有要證

若當(dāng)點(diǎn)趨于不同值或有的極限不存在，解:

設(shè)P(x,y)沿直線y=kx

趨于點(diǎn)(0,0),在點(diǎn)(0,0)的極限.則可以斷定函數(shù)極限則有k

值不同極限不同!在(0,0)點(diǎn)極限不存在.以不同方式趨于不存在.例3.

討論函數(shù)函數(shù)例4.

求解:因而此函數(shù)定義域不包括x,y

軸則故僅知其中一個(gè)存在,推不出其它二者存在.

二重極限不同.如果它們都存在,則三者相等.例如,顯然與累次極限但由例3知它在(0,0)點(diǎn)二重極限不存在.四、多元函數(shù)的連續(xù)性定義3

.

設(shè)n元函數(shù)定義在D

上,如果函數(shù)在D

上各點(diǎn)處都連續(xù),則稱此函數(shù)在

D

上如果存在否則稱為不連續(xù),此時(shí)稱為間斷點(diǎn)

.則稱n

元函數(shù)連續(xù).連續(xù),例如,

函數(shù)在點(diǎn)(0,0)極限不存在,又如,

函數(shù)上間斷.故(0,0)為其間斷點(diǎn).在圓周結(jié)論:一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).例求解這里在區(qū)域和區(qū)域內(nèi)都有定義，同時(shí)為及的邊界點(diǎn).但無論在內(nèi)還是在內(nèi)考慮，下列運(yùn)算都是正確的：定理：若f(P)在有界閉域D

上連續(xù),則*(4)f(P)必在D上一致連續(xù).在

D

上可取得最大值M及最小值m;(3)對任意(有界性定理)(最值定理)(介值定理)(一致連續(xù)性定理)閉域上多元連續(xù)函數(shù)有與一元函數(shù)類似的如下性質(zhì):(證明略)解:原式例5.求例6.

求函數(shù)的連續(xù)域.解:例6.證明在全平面連續(xù).證:為初等函數(shù),故連續(xù).又故函數(shù)在全平面連續(xù).由夾逼準(zhǔn)則得第二節(jié)一、偏導(dǎo)數(shù)概念及其計(jì)算二、高階偏導(dǎo)數(shù)

偏導(dǎo)數(shù)第九章定義1.在點(diǎn)存在,的偏導(dǎo)數(shù)，記為的某鄰域內(nèi)則稱此極限為函數(shù)極限設(shè)函數(shù)同樣可定義對y

的偏導(dǎo)數(shù)解：例1：用定義求下面函數(shù)在原點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù).若函數(shù)z=f(x,y)在域D

內(nèi)每一點(diǎn)

(x,y)處對x則該偏導(dǎo)數(shù)稱為偏導(dǎo)函數(shù),也簡稱為偏導(dǎo)數(shù)

,記為或

y

偏導(dǎo)數(shù)存在,例如,三元函數(shù)u=f(x,y,z)在點(diǎn)(x,y,z)處對x的偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上的函數(shù).偏導(dǎo)數(shù)定義為注意：偏導(dǎo)數(shù)與某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.例1.

求解法1:解法2對嗎？在點(diǎn)(1,2)處的偏導(dǎo)數(shù).注意:在一定條件下例求函數(shù)在某點(diǎn)各偏導(dǎo)數(shù)都存在,顯然例如,注意：但在該點(diǎn)不一定連續(xù).在上節(jié)已證f(x,y)在點(diǎn)(0,0)并不連續(xù)!例2.

設(shè)證:例3.

求的偏導(dǎo)數(shù).解:求證偏導(dǎo)數(shù)記號是一個(gè)例4.

已知理想氣體的狀態(tài)方程求證:證:說明:(R為常數(shù)),不能看作分子與分母的商!此例表明,整體記號,二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義:是曲線在點(diǎn)M0處的切線對x

軸的斜率.在點(diǎn)M0處的切線斜率.是曲線對y軸的二、高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)z=f(x,y)在域D

內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)若這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù)，則稱它們是z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)

.按求導(dǎo)順序不同,有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù):類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù).例如，z=f(x,y)關(guān)于x的三階偏導(dǎo)數(shù)為z=f(x,y)關(guān)于x的n–1階偏導(dǎo)數(shù),再關(guān)于y

的一階偏導(dǎo)數(shù)為例5.

求函數(shù)解

:注意:此處但這一結(jié)論并不總成立.的二階偏導(dǎo)數(shù)及例如,二者不等則定理.例如,對三元函數(shù)u=f(x,y,z),說明:本定理對n

元函數(shù)的高階混合導(dǎo)數(shù)也成立.函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的,故求初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)可以選擇方便的求導(dǎo)順序.因?yàn)槌醯群瘮?shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù),當(dāng)三階混合偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(x,y,z)連續(xù)時(shí),有而初等(證明略)例6.

證明函數(shù)滿足拉普拉斯證：利用對稱性,有方程備用題

設(shè)方程確定u

是x,y

的函數(shù),連續(xù),且求解:證:令則則定理證明.令同樣在點(diǎn)連續(xù),得第九章*二、全微分在數(shù)值計(jì)算中的應(yīng)用應(yīng)用第三節(jié)一元函數(shù)y=f(x)的微分近似計(jì)算估計(jì)誤差本節(jié)內(nèi)容:一、全微分的定義全微分一、全微分的定義

定義:

如果函數(shù)z=f(x,y)在定義域D

的內(nèi)點(diǎn)(x,y)可表示成其中A,B不依賴于

x,

y,僅與x,y有關(guān)，稱為函數(shù)在點(diǎn)(x,y)的全微分,記作若函數(shù)在域D

內(nèi)各點(diǎn)都可微,則稱函數(shù)

f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微，處全增量則稱此函數(shù)在D

內(nèi)可微.(2)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)下面兩個(gè)定理給出了可微與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系:(1)函數(shù)可微函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微由微分定義:得函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)可微即定理1(必要條件)若函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微,則該函數(shù)在該點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)同樣可證證:

由全增量公式必存在,且有得到對x

的偏增量因此有

反例:函數(shù)易知但因此,函數(shù)在點(diǎn)(0,0)不可微.注意:

定理1的逆定理不成立.偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)不一定可微!即:定理2(充分條件)證：若函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)則函數(shù)在該點(diǎn)可微分.所以函數(shù)在點(diǎn)可微.注意到,故有推廣:

類似可討論三元及三元以上函數(shù)的可微性問題.例如,三元函數(shù)習(xí)慣上把自變量的增量用微分表示,記作故有下述疊加原理稱為偏微分.的全微分為于是例1.計(jì)算函數(shù)在點(diǎn)(2,1)處的全微分.解:例2.計(jì)算函數(shù)的全微分.解:

思考與練習(xí)函數(shù)在可微的充分條件是()的某鄰域內(nèi)存在;時(shí)是無窮小量;時(shí)是無窮小量.1.選擇題2.設(shè)解:利用輪換對稱性,可得注意:x,y,z

具有輪換對稱性

在點(diǎn)(0,0)可微.在點(diǎn)(0,0)連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在,續(xù),證:1)因故函數(shù)在點(diǎn)(0,0)連續(xù);

但偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(0,0)不連

3.

證明函數(shù)所以同理極限不存在,在點(diǎn)(0,0)不連續(xù);同理,在點(diǎn)(0,0)也不連續(xù).2)3)4)下面證明可微:說明:

此題表明,偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)只是可微的充分條件.令則內(nèi)容小結(jié)1.微分定義:2.重要關(guān)系:函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)第四節(jié)、方向?qū)?shù)與梯度實(shí)例：一塊長方形的金屬板，四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐標(biāo)原點(diǎn)處有一個(gè)火焰，它使金屬板受熱．假定板上任意一點(diǎn)處的溫度與該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離成反比．在(3,2)處有一個(gè)螞蟻，問這只螞蟻應(yīng)沿什么方向爬行才能最快到達(dá)較涼快的地點(diǎn)？問題的實(shí)質(zhì)：應(yīng)沿由熱變冷變化最驟烈的方向（即梯度方向）爬行．一、問題的提出討論函數(shù)在一點(diǎn)P沿某一方向的變化率問題．二、方向?qū)?shù)的定義（如圖）當(dāng)沿著趨于時(shí)，是否存在？記為證明由于函數(shù)可微，則增量可表示為兩邊同除以得到故有方向?qū)?shù)解解由方向?qū)?shù)的計(jì)算公式知故推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義指向B(3,－2,2)方向的方向?qū)?shù)是

.在點(diǎn)A(1,0,1)處沿點(diǎn)A例3.函數(shù)提示:則二、梯度的概念、意義與計(jì)算結(jié)論在幾何上表示一個(gè)曲面曲面被平面所截得所得曲線在xoy面上投影如圖等高線梯度為等高線上的法向量等高線的畫法播放例如,梯度與等高線的關(guān)系：類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個(gè)向量，其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模為方向?qū)?shù)的最大值.梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)解由梯度計(jì)算公式得故梯度的基本運(yùn)算公式思考題思考題解答1、方向?qū)?shù)的概念2、梯度的概念3、方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系（注意方向?qū)?shù)與一般所說偏導(dǎo)數(shù)的區(qū)別）（注意梯度是一個(gè)向量）小結(jié)4、關(guān)系方向?qū)?shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在?

可微第五節(jié)一元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則本節(jié)內(nèi)容:一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分微分法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則第九章一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t定理.

若函數(shù)處偏導(dǎo)連續(xù),在點(diǎn)t可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)證:設(shè)t

取增量△t,則相應(yīng)中間變量且有鏈?zhǔn)椒▌t有增量△u,△v,(全導(dǎo)數(shù)公式)(△t＜0時(shí),根式前加“–”號)若定理中說明:例如:易知:但復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)減弱為偏導(dǎo)數(shù)存在,則定理結(jié)論不一定成立.推廣:1)中間變量多于兩個(gè)的情形.例如,設(shè)下面所涉及的函數(shù)都可微.2)中間變量是多元函數(shù)的情形.例如,又如,當(dāng)它們都具有可微條件時(shí),有注意:這里表示固定y

對x

求導(dǎo),表示固定v

對x

求導(dǎo)口訣:分段用乘,分叉用加,單路全導(dǎo),叉路偏導(dǎo)與不同,例1.設(shè)解:例2.解:例3.設(shè)

求全導(dǎo)數(shù)解:注意：多元抽象復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)在偏微分方程變形與驗(yàn)證解的問題中經(jīng)常遇到,下列例題有助于掌握這方面問題的求導(dǎo)技巧與常用導(dǎo)數(shù)符號.為簡便起見,引入記號例4.設(shè)

f

具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求解:令則二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分設(shè)函數(shù)的全微分為可見無論

u,v是自變量還是中間變量,

則復(fù)合函數(shù)都可微,其全微分表達(dá)形式都一樣,這性質(zhì)叫做全微分形式不變性.例1.例５.利用全微分形式不變性再解例1.解:所以例６已知求解:由兩邊對

x

求導(dǎo),得例７求在點(diǎn)處可微,且設(shè)函數(shù)解:由題設(shè)練習(xí)題１練習(xí)題２第九章第六節(jié)一、一個(gè)方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)二、方程組所確定的隱函數(shù)組及其導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的求導(dǎo)方法本節(jié)討論:1)方程在什么條件下才能確定隱函數(shù).例如,

方程當(dāng)C<0時(shí),能確定隱函數(shù);當(dāng)C>0時(shí),不能確定隱函數(shù);2)在方程能確定隱函數(shù)時(shí),研究其連續(xù)性、可微性及求導(dǎo)方法問題.一、一個(gè)方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)定理1.

設(shè)函數(shù)則方程單值連續(xù)函數(shù)y=f(x),并有連續(xù)(隱函數(shù)求導(dǎo)公式)定理證明從略，僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下：①具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù);的某鄰域內(nèi)可唯一確定一個(gè)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)滿足②③滿足條件導(dǎo)數(shù)兩邊對x求導(dǎo)在的某鄰域內(nèi)則若F(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)也都連續(xù),二階導(dǎo)數(shù):則還有例1.驗(yàn)證方程在點(diǎn)(0,0)某鄰域可確定一個(gè)單值可導(dǎo)隱函數(shù)解:

令連續(xù),由定理1可知,①導(dǎo)的隱函數(shù)則②③在x=0

的某鄰域內(nèi)方程存在單值可且并求兩邊對x求導(dǎo)兩邊再對x求導(dǎo)令x=0,注意此時(shí)導(dǎo)數(shù)的另一求法—利用隱函數(shù)求導(dǎo)定理2.若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則方程在點(diǎn)并有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)定一個(gè)單值連續(xù)函數(shù)z=f(x,y),定理證明從略,僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下:滿足①在點(diǎn)滿足:②③某一鄰域內(nèi)可唯一確兩邊對x求偏導(dǎo)同樣可得則例2.設(shè)解法1利用隱函數(shù)求導(dǎo)再對x

求導(dǎo)解法2

利用公式設(shè)則兩邊對x求偏導(dǎo)例3.設(shè)F(x,y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),解法1利用偏導(dǎo)數(shù)公式.確定的隱函數(shù),則已知方程故對方程兩邊求微分:解法2微分法.二、方程組所確定的隱函數(shù)組及其導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)存在定理還可以推廣到方程組的情形.由F、G

的偏導(dǎo)數(shù)組成的行列式稱為F、G的雅可比(Jacobi)行列式.以兩個(gè)方程確定兩個(gè)隱函數(shù)的情況為例,即定理3.的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏設(shè)函數(shù)則方程組③的單值連續(xù)函數(shù)且有偏導(dǎo)數(shù)公式:①在點(diǎn)②的某一鄰域內(nèi)可唯一確定一組滿足條件滿足:導(dǎo)數(shù)；定理證明略.僅推導(dǎo)偏導(dǎo)數(shù)公式下：有隱函數(shù)組則兩邊對x求導(dǎo)得設(shè)方程組在點(diǎn)P

的某鄰域內(nèi)故得系數(shù)行列式同樣可得例4.

設(shè)解:方程組兩邊對x求導(dǎo)，并移項(xiàng)得求練習(xí):

求答案:由題設(shè)故有例5.設(shè)函數(shù)在點(diǎn)(u,v)的某一1)證明函數(shù)組(x,y)的某一鄰域內(nèi)2)求解:1)令對x,y的偏導(dǎo)數(shù).在與點(diǎn)(u,v)對應(yīng)的點(diǎn)鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),且唯一確定一組單值、連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的反函數(shù)①式兩邊對x求導(dǎo),得則有由定理3

可知結(jié)論1)成立.2)求反函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).①②從方程組②解得同理,①式兩邊對y求導(dǎo),可得例5的應(yīng)用:計(jì)算極坐標(biāo)變換的反變換的導(dǎo)數(shù).同樣有所以由于備用題分別由下列兩式確定:又函數(shù)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),1.

設(shè)解:兩個(gè)隱函數(shù)方程兩邊對x

求導(dǎo),得解得因此2.設(shè)是由方程和所確定的函數(shù),求解法1

分別在各方程兩端對x

求導(dǎo),得解法2

微分法.對各方程兩邊分別求微分:化簡得消去可得第七節(jié)一、空間曲線的切線與法平面二、曲面的切平面與法線

多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用第九章設(shè)空間曲線的方程(1)式中的三個(gè)函數(shù)均可導(dǎo).一、空間曲線的切線與法平面考察割線趨近于極限位置——切線的過程上式分母同除以割線的方程為曲線在M處的切線方程切向量：切線的方向向量稱為曲線的切向量.法平面：過M點(diǎn)且與切線垂直的平面.解切線方程法平面方程2.空間曲線方程為法平面方程為3.空間曲線方程為切線方程為法平面方程為所求切線方程為法平面方程為設(shè)曲面方程為曲線在M處的切向量在曲面上任取一條通過點(diǎn)M的曲線二、曲面的切平面與法線令則切平面方程為法線方程為曲面在M處的法向量即垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量.特殊地：空間曲面方程形為曲面在M處的切平面方程為曲面在M處的法線方程為令切平面上點(diǎn)的豎坐標(biāo)的增量因?yàn)榍嬖贛處的切平面方程為其中解切平面方程為法線方程為解令切平面方程法線方程解設(shè)為曲面上的切點(diǎn),切平面方程為依題意，切平面方程平行于已知平面，得因?yàn)槭乔嫔系那悬c(diǎn)，所求切點(diǎn)為滿足方程切平面方程(1)切平面方程(2)思考題思考題解答設(shè)切點(diǎn)依題意知切向量為切點(diǎn)滿足曲面和平面方程備用題.

求曲線在點(diǎn)M(1,–2,1)處的切線方程與法平面方程.切線方程解法1

令則即切向量法平面方程即解法2.

方程組兩邊對x求導(dǎo),得曲線在點(diǎn)M(1,–2,1)處有:切向量解得切線方程即法平面方程即點(diǎn)M(1,–2,1)處的切向量備用題.確定正數(shù)

使曲面在點(diǎn)解:二曲面在

M

點(diǎn)的法向量分別為二曲面在點(diǎn)M

相切,故又點(diǎn)M在球面上,于是有相切.與球面,因此有證明曲面上任一點(diǎn)處的切平面都通過原點(diǎn).提示:

在曲面上任意取一點(diǎn)則通過此備用題.設(shè)

f(u)

可微,證明原點(diǎn)坐標(biāo)滿足上述方程.點(diǎn)的切平面為

1.

證明曲面與定直線平行,證:

曲面上任一點(diǎn)的法向量取定直線的方向向量為則(定向量)故結(jié)論成立.的所有切平面恒備用題2.求曲線在點(diǎn)(1,1,1)

的切線解:點(diǎn)(1,1,1)處兩曲面的法向量為因此切線的方向向量為由此得切線:法平面:即與法平面.第九章第八節(jié)一、多元函數(shù)的極值二、最值應(yīng)用問題三、條件極值多元函數(shù)的極值及其求法一、多元函數(shù)的極值

定義:

若函數(shù)則稱函數(shù)在該點(diǎn)取得極大值(極小值).例如:在點(diǎn)(0,0)有極小值;在點(diǎn)(0,0)有極大值;在點(diǎn)(0,0)無極值.極大值和極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).的某鄰域內(nèi)有說明:

使偏導(dǎo)數(shù)都為0的點(diǎn)稱為駐點(diǎn)

.例如,定理1(必要條件)函數(shù)偏導(dǎo)數(shù),證:據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結(jié)論成立.取得極值,取得極值取得極值但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).有駐點(diǎn)(0,0),但在該點(diǎn)不取極值.且在該點(diǎn)取得極值,則有存在故時(shí),具有極值定理2

(充分條件)的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且令則:1)當(dāng)A<0時(shí)取極大值;A>0時(shí)取極小值.2)當(dāng)3)當(dāng)時(shí),沒有極值.時(shí),不能確定,需另行討論.若函數(shù)例1.求函數(shù)解:

第一步求駐點(diǎn).得駐點(diǎn):(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判別.在點(diǎn)(1,0)處為極小值;解方程組的極值.求二階偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(3,0)處不是極值;在點(diǎn)(3,2)處為極大值.在點(diǎn)(1,2)處不是極值;例2.討論函數(shù)及是否取得極值.解:

顯然(0,0)是它們的駐點(diǎn),在(0,0)點(diǎn)鄰域內(nèi)的取值,因此z(0,0)不是極值.因此為極小值.正負(fù)0在點(diǎn)(0,0)并且在(0,0)都有可能為二、最值應(yīng)用問題函數(shù)f

在閉域上連續(xù)函數(shù)f

在閉域上可達(dá)到最值最值可疑點(diǎn)駐點(diǎn)邊界上的最值點(diǎn)特別,當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在,且只有一個(gè)極值點(diǎn)P時(shí),為極小值為最小值(大)(大)依據(jù)例3.解:設(shè)水箱長,寬分別為x,ym

,則高為則水箱所用材料的面積為令得駐點(diǎn)某廠要用鐵板做一個(gè)體積為2根據(jù)實(shí)際問題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在,的有蓋長方體水問當(dāng)長、寬、高各取怎樣的尺寸時(shí),才能使用料最省?因此可斷定此唯一駐點(diǎn)就是最小值點(diǎn).即當(dāng)長、寬均為高為時(shí),水箱所用材料最省.例4.有一寬為24cm的長方形鐵板,把它折起來做成解:

設(shè)折起來的邊長為xcm,則斷面面積x24一個(gè)斷面為等腰梯形的水槽,傾角為

,積最大.為問怎樣折法才能使斷面面令解得:由題意知,最大值在定義域D內(nèi)達(dá)到,而在域D內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn),故此點(diǎn)即為所求.三、條件極值極值問題無條件極值:條件極值:條件極值的求法:方法1代入法.求一元函數(shù)的無條件極值問題對自變量只有定義域限制對自變量除定義域限制外,還有其它條件限制例如,轉(zhuǎn)化方法2拉格朗日乘數(shù)法.如方法1所述,則問題等價(jià)于一元函數(shù)可確定隱函數(shù)的極值問題,極值點(diǎn)必滿足設(shè)記例如,故故有引入輔助函數(shù)輔助函數(shù)F

稱為拉格朗日(Lagrange)函數(shù).利用拉格極值點(diǎn)必滿足則極值點(diǎn)滿足: