福建省福州市倉山區(qū)里仁學(xué)校 2024-2025學(xué)年八年級上學(xué)期月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）

2024-2025學(xué)年福建省福州市倉山區(qū)里仁中學(xué)八年級（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）一、單選題（每小題4分，共40分）1．（4分）下列四個(gè)地鐵標(biāo)志中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（4分）要使四邊形木架（用四根木條釘成）不變形，至少要再釘上的木條的根數(shù)為（）A．一條 B．兩條 C．三條 D．四條3．（4分）在聯(lián)歡會(huì)上，有A、B、C三名選手站在一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)位置上，他們在玩“搶凳子”游戲，要求在他們中間放一個(gè)木凳，誰先搶到凳子誰獲勝，為使游戲公平，則凳子應(yīng)放的最適當(dāng)?shù)奈恢檬窃凇鰽BC的（）A．三邊垂直平分線的交點(diǎn) B．三條中線的交點(diǎn) C．三條角平分線的交點(diǎn) D．三條高所在直線的交點(diǎn)4．（4分）如圖，四邊形ABCD是軸對稱圖形，BD所在的直線是它的對稱軸，下列說法錯(cuò)誤的是（）A．AB＝BC B．∠ADB＝∠CDB C．AC垂直平分BD D．BD垂直平分AC5．（4分）一個(gè)正多邊形的每一個(gè)外角都等于45°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為（）A．4 B．6 C．8 D．106．（4分）在下列條件中不能判斷兩個(gè)直角三角形全等的是（）A．已知兩個(gè)銳角 B．已知一條直角邊和一個(gè)銳角 C．已知兩條直角邊 D．已知一條直角邊和斜邊7．（4分）現(xiàn)有長度分別為2cm，3cm，4cm，5cm的木棒，從中任取三根，能組成三角形的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．48．（4分）如圖，△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的高，點(diǎn)E是AC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PC+PE最小時(shí)，∠CPE的度數(shù)是（）A．30° B．45° C．60° D．90°9．（4分）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角的度數(shù)為20°，則頂角的度數(shù)是（）A．70° B．110° C．70°或110° D．20°或160°10．（4分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（0，2），B（a，0），C（m，n），其中m＞a，a＜1，n＞0，若△ABC是等腰直角三角形，且AB＝BC，則m的取值范圍是（）A．0＜m＜2 B．2＜m＜3 C．m＜3 D．m＞3二、填空題（每小題4分，共24分）11．（4分）若點(diǎn)P（1，a）與Q（b，2）關(guān)于x軸對稱，則代數(shù)式a+b的值為．12．（4分）如圖，AB＝AC，點(diǎn)D，E分別在AB與AC上，CD與BE相交于點(diǎn)F．只填一個(gè)條件使得△ABE≌△ACD，添加的條件是：．13．（4分）用一條長18cm的細(xì)繩恰好圍成一個(gè)等腰三角形，其中一邊長為4cm，則底邊長為cm．14．（4分）如圖，BD，CD分別是△ABC的一條內(nèi)角平分線與一條外角平分線，∠D＝20°，則∠A的度數(shù)為．15．（4分）如圖，已知△ABC的面積為10cm2，AD平分∠BAC且AD⊥BD于點(diǎn)D，則△ADC的面積為．16．（4分）如圖，△ABC為等邊三角形，F(xiàn)，E分別是AB，BC上的一動(dòng)點(diǎn)，且AF＝BE，連結(jié)CF，AE交于點(diǎn)H，連接BH．給出下列四個(gè)結(jié)論：①∠AHF＝60°；②若BH＝HC，則AE平分∠BAC；③S四邊形BEHF＞S△AHC；④若BH⊥CF，則CH＝2HA．其中正確的結(jié)論有（填寫所有正確結(jié)論的序號）．三、解答題17．如圖，AB＝DE，∠A＝∠D，∠1＝∠2，求證：∠B＝∠E．18．已知：如圖，B，D，E，C在同一直線上，AB＝AC，AD＝AE．求證：BD＝CE．19．證明：如果兩個(gè)三角形有兩條邊和其中一邊上的中線分別相等，那么這兩個(gè)三角形全等．20．如圖，在△ABC中，∠ACB＞90°，且AC＝BC．（1）在邊BC的延長線上求作點(diǎn)D，使∠CAD＝2∠B，并連接AD；（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）（2）在（1）的條件下，若∠BDA＝60°，求證：△ABD是直角三角形21．如圖，△ABC是等邊三角形，BD是中線，延長BC至點(diǎn)E，使CE＝CD．（1）求證：DB＝DE；（2）若F是BE的中點(diǎn)，連接DF，且CF＝2，求△ABC的周長．22．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（﹣3，0）、C（7，0），B為y軸正半軸上一點(diǎn)，D在第四象限．若BC⊥CD，CA平分∠BCD，∠ABC+∠ADC＝180°．（1）直接寫出B點(diǎn)坐標(biāo)（，）；（2）求證：AB＝AD；（3）求四邊形ABCD的面積．23．點(diǎn)P，Q分別是邊長為4cm的等邊△ABC的邊AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從頂點(diǎn)A，點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都是1cm/s，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）連接AQ，CP交于點(diǎn)M，則在P，Q運(yùn)動(dòng)的過程中，∠CMQ變化嗎？若變化，則說明理由；若不變，則求出它的度數(shù)；（2）連接PQ．①當(dāng)△BPQ為等邊三角形時(shí)，t＝秒；②當(dāng)△BPQ為直角三角形時(shí)，t＝秒．（直接寫出結(jié)果）24．【概念學(xué)習(xí)】規(guī)定①：如果一個(gè)三角形的三個(gè)角分別等于另一個(gè)三角形的三個(gè)角，那么稱這兩個(gè)三角形互為“形似三角形”．規(guī)定②：從三角形（不是等腰三角形）一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果分得的兩個(gè)小三角形中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)與原來三角形是“形似三角形”，我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的“等腰分割線”．【概念理解】（1）如圖1，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，CD平分∠ACB，則△CBD與△ABC（填“是”或“不是”）互為“形似三角形”．（2）如圖2，在△ABC中，CD平分∠ACB，∠A＝36°，∠B＝48°．求證：CD為△ABC的等腰分割線；【概念應(yīng)用】（3）在△ABC中，∠A＝45°，CD是△ABC的等腰分割線，直接寫出∠ACB的度數(shù)．25．△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D在CB延長線上．（1）如圖（1），∠ADE＝60°，且DA＝DE．求證：AB∥CE．（2）如圖（2），在CD上方作∠FDC＝60°，F(xiàn)D＝CD，連FC．求證：F、A、C三點(diǎn)共線．（3）如圖（3），作點(diǎn)B關(guān)于AD的對稱點(diǎn)N，BN交AD于H，NC交AD于P．求證：PC＝PA+2PH．

2024-2025學(xué)年福建省福州市倉山區(qū)里仁中學(xué)八年級（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）參考答案與試題解析一、單選題（每小題4分，共40分）1．（4分）下列四個(gè)地鐵標(biāo)志中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】直接利用軸對稱圖形的定義得出答案．【解答】解：A、不是軸對稱圖形，不合題意；B、是軸對稱圖形，符合題意；C、不是軸對稱圖形，不合題意；D、不是軸對稱圖形，不合題意．故選：B．【點(diǎn)評】此題主要考查了軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．2．（4分）要使四邊形木架（用四根木條釘成）不變形，至少要再釘上的木條的根數(shù)為（）A．一條 B．兩條 C．三條 D．四條【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性可得：沿對角線釘上1根木條即可．【解答】解：根據(jù)三角形的穩(wěn)定性可得，至少要再釘上1根木條，故選：A．【點(diǎn)評】此題主要考查了三角形具有穩(wěn)定性，當(dāng)三角形三邊的長度確定后，三角形的形狀和大小就能唯一確定下來，故三角形具有穩(wěn)定性，而四邊形不具有穩(wěn)定性．3．（4分）在聯(lián)歡會(huì)上，有A、B、C三名選手站在一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)位置上，他們在玩“搶凳子”游戲，要求在他們中間放一個(gè)木凳，誰先搶到凳子誰獲勝，為使游戲公平，則凳子應(yīng)放的最適當(dāng)?shù)奈恢檬窃凇鰽BC的（）A．三邊垂直平分線的交點(diǎn) B．三條中線的交點(diǎn) C．三條角平分線的交點(diǎn) D．三條高所在直線的交點(diǎn)【分析】根據(jù)題意得：當(dāng)木凳所在位置到A、B、C三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等時(shí)，游戲公平，再由線段垂直平分線的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：根據(jù)題意得：當(dāng)木凳所在位置到A、B、C三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等時(shí)，游戲公平，∵線段垂直平分線上的到線段兩端的距離相等，∴凳子應(yīng)放的最適當(dāng)?shù)奈恢檬窃凇鰽BC的三邊垂直平分線的交點(diǎn)．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了與三角形相關(guān)的線段以及線段的垂直平分線，掌握垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（4分）如圖，四邊形ABCD是軸對稱圖形，BD所在的直線是它的對稱軸，下列說法錯(cuò)誤的是（）A．AB＝BC B．∠ADB＝∠CDB C．AC垂直平分BD D．BD垂直平分AC【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)解答即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是軸對稱圖形，BD所在的直線是它的對稱軸，∴AB＝BC，∠ADB＝∠CDB，BD垂直平分AC，所以選項(xiàng)A、B、D不符合題意，選項(xiàng)C符合題意．故選：C．【點(diǎn)評】此題主要考查了軸對稱圖形以及軸對稱的性質(zhì)，掌握軸對稱的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．5．（4分）一個(gè)正多邊形的每一個(gè)外角都等于45°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為（）A．4 B．6 C．8 D．10【分析】根據(jù)多邊形的外角和是360度即可求得外角的個(gè)數(shù)，即多邊形的邊數(shù)．【解答】解：多邊形的邊數(shù)為：360÷45＝8．故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查了多邊形的外角和定理，理解多邊形外角和中外角的個(gè)數(shù)與正多邊形的邊數(shù)之間的關(guān)系，是解題關(guān)鍵．6．（4分）在下列條件中不能判斷兩個(gè)直角三角形全等的是（）A．已知兩個(gè)銳角 B．已知一條直角邊和一個(gè)銳角 C．已知兩條直角邊 D．已知一條直角邊和斜邊【分析】A、由兩直角三角形中兩銳角相等，得到兩直角三角形相似，沒有已知邊的相等，故不能判斷兩直角三角形全等，符合題意；B、根據(jù)已知的條件及一對直角相等，可利用AAS或ASA得到兩直角三角形全等；C、根據(jù)兩直角邊相等，及一對直角相等，利用SAS可得出兩直角三角形全等；D、由兩三角形為直角三角形，根據(jù)一條直角邊及斜邊對應(yīng)相等，利用HL可得出兩直角三角形全等．【解答】解：A、已知兩銳角相等，只能得到兩三角形相似，不能判斷兩直角三角形全等，本選項(xiàng)符合題意；B、由兩三角形為直角三角形，得到一對直角相等，再加上已知一條直角邊及一對銳角相等，可用AAS或ASA判斷出兩直角三角形全等，本選項(xiàng)不合題意；C、根據(jù)兩三角形為直角三角形，得到一對直角相等，再加上已知的兩直角邊相等，利用SAS可得出兩直角三角形全等，本選項(xiàng)不合題意；D、由兩三角形為直角三角形，根據(jù)已知的一條直角邊及斜邊相等，可利用HL判斷兩直角三角形全等，本選項(xiàng)不合題意，故選：A．【點(diǎn)評】此題考查了直角三角形證明全等的判定，證明直角三角形全等的方法有：AAS；ASA；SAS；SSS；HL共五種，值得注意的是五種判定方法中，任意一種都必須有對應(yīng)邊的相等．7．（4分）現(xiàn)有長度分別為2cm，3cm，4cm，5cm的木棒，從中任取三根，能組成三角形的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】首先每3個(gè)搭配出所有情況，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行排除．【解答】解：首先任取三根，有2，3，4；2，3，5；2，4，5；3，4，5再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得其中2+3＝5，排除2，3，5只有3個(gè)符合．故選：C．【點(diǎn)評】考查了三角形的三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊．8．（4分）如圖，△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的高，點(diǎn)E是AC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PC+PE最小時(shí)，∠CPE的度數(shù)是（）A．30° B．45° C．60° D．90°【分析】連接BE，則BE的長度即為PE與PC和的最小值．再利用等邊三角形的性質(zhì)可得∠PBC＝∠PCB＝30°，即可解決問題；【解答】解：如連接BE，與AD交于點(diǎn)P，此時(shí)PE+PC最小，∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，∴PC＝PB，∴PE+PC＝PB+PE＝BE，即BE就是PE+PC的最小值，∵△ABC是等邊三角形，∴∠BCE＝60°，∵BA＝BC，AE＝EC，∴BE⊥AC，∴∠BEC＝90°，∴∠EBC＝30°，∵PB＝PC，∴∠PCB＝∠PBC＝30°，∴∠CPE＝∠PBC+∠PCB＝60°，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查的是最短線路問題及等邊三角形的性質(zhì)，熟知兩點(diǎn)之間線段最短的知識是解答此題的關(guān)鍵．9．（4分）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角的度數(shù)為20°，則頂角的度數(shù)是（）A．70° B．110° C．70°或110° D．20°或160°【分析】本題要分情況討論．當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀鞘氢g角或者等腰三角形的頂角是銳角兩種情況．【解答】解：此題要分情況討論：當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀鞘氢g角時(shí)，腰上的高在外部．根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，即可求得頂角是90°+20°＝110°；當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀鞘卿J角時(shí)，腰上的高在其內(nèi)部，故頂角是90°﹣20°＝70°．故選：C．【點(diǎn)評】注意此類題的兩種情況．其中考查了直角三角形的兩個(gè)銳角互余；三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．10．（4分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（0，2），B（a，0），C（m，n），其中m＞a，a＜1，n＞0，若△ABC是等腰直角三角形，且AB＝BC，則m的取值范圍是（）A．0＜m＜2 B．2＜m＜3 C．m＜3 D．m＞3【分析】過點(diǎn)C作CD⊥x軸于D，由“AAS”可證△AOB≌△BDC，可得AO＝BD＝2，BO＝CD＝n＝a，即可求解．【解答】解：如圖，過點(diǎn)C作CD⊥x軸于D，∵點(diǎn)A（0，2），∴AO＝2，∵△ABC是等腰直角三角形，且AB＝BC，∴∠ABC＝90°＝∠AOB＝∠BDC，∴∠ABO+∠CBD＝90°＝∠ABO+∠BAO，∴∠BAO＝∠CBD，在△AOB和△BDC中，，∴△AOB≌△BDC（AAS），∴AO＝BD＝2，BO＝CD＝n＝a，∴0＜a＜1，∵OD＝OB+BD＝2+a＝m，∴2＜m＜3，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．二、填空題（每小題4分，共24分）11．（4分）若點(diǎn)P（1，a）與Q（b，2）關(guān)于x軸對稱，則代數(shù)式a+b的值為﹣1．【分析】根據(jù)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，求出a，b的值，進(jìn)而求出代數(shù)式的值即可．【解答】解：∵點(diǎn)P（1，a）與Q（b，2）關(guān)于x軸對稱，∴b＝1，a＝﹣2，∴a+b＝﹣2+1＝﹣1；故答案為：﹣1．【點(diǎn)評】本題考查坐標(biāo)與軸對稱，正確記憶相關(guān)知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．12．（4分）如圖，AB＝AC，點(diǎn)D，E分別在AB與AC上，CD與BE相交于點(diǎn)F．只填一個(gè)條件使得△ABE≌△ACD，添加的條件是：∠B＝∠C（答案不唯一）．【分析】根據(jù)題意，已經(jīng)有一組邊相等，一個(gè)公共角，結(jié)合圖形，根據(jù)兩個(gè)三角形全等的判定定理，添加一組角相等，構(gòu)成ASA，即可得到兩個(gè)三角形全等．根據(jù)其他的判定定理，也可添加其他的條件．【解答】解：∵∠B＝∠C，AB＝AC，∠A＝∠A，∴△ABE≌△ACD（ASA），故答案為：∠B＝∠C（答案不唯一）．【點(diǎn)評】本題主要考查的是全等三角形的判定定理，根據(jù)全等三角形的判定定理添加條件即可．13．（4分）用一條長18cm的細(xì)繩恰好圍成一個(gè)等腰三角形，其中一邊長為4cm，則底邊長為4cm．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求解．【解答】解：當(dāng)腰長為4cm時(shí)，另一條腰長為4cm，則等腰三角形的底邊長為18﹣4﹣4＝10（cm），不符合題意；當(dāng)?shù)走呴L為4cm時(shí)，則兩條腰長為，即等腰三角形的邊長分別為7cm，7cm，4cm，符合題意，故答案為：4．【點(diǎn)評】本題主要考查三角形三邊關(guān)系，等腰三角形的判定，掌握等腰三角形三邊的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．14．（4分）如圖，BD，CD分別是△ABC的一條內(nèi)角平分線與一條外角平分線，∠D＝20°，則∠A的度數(shù)為40°．【分析】由BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，利用角平分線的定義，可得出∠DBC＝∠ABC，∠DCE＝∠ACE，由∠ACE是△ABC的外角，∠DCE是△DBC的外角，利用三角形的外角性質(zhì)，可得出∠ACE＝∠A+∠ABC，∠DCE＝∠D+∠DBC，進(jìn)而可得出∠A＝2∠D，再代入∠D＝20°，即可求出∠A的度數(shù)．【解答】解：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，∴∠DBC＝∠ABC，∠DCE＝∠ACE．∵∠ACE是△ABC的外角，∠DCE是△DBC的外角，∴∠ACE＝∠A+∠ABC，∠DCE＝∠D+∠DBC，∴∠ACE＝∠D+∠DBC，∴（∠A+∠ABC）＝∠D+∠DBC，∴∠A+∠ABC＝∠D+∠DBC，∴∠A+∠DBC＝∠D+∠DBC，∴∠A＝2∠D＝2×20°＝40°．故答案為：40°．【點(diǎn)評】本題考查了三角形的外角性質(zhì)以及角平分線的定義，根據(jù)各角之間的關(guān)系，找出∠A＝2∠D是解題的關(guān)鍵．15．（4分）如圖，已知△ABC的面積為10cm2，AD平分∠BAC且AD⊥BD于點(diǎn)D，則△ADC的面積為5cm2．【分析】延長BD交AC于E，由“ASA”可證△ABD≌△AED，可得BD＝DE，由面積關(guān)系可求解．【解答】解：延長BD交AC于E，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，在△ABD和△AED中，，∴△ABD≌△AED（ASA），∴BD＝DE，∴S△ABD＝S△AED，S△BDC＝S△CDE，∴△ADC的面積＝×10＝5（cm2），故答案為：5cm2．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．16．（4分）如圖，△ABC為等邊三角形，F(xiàn)，E分別是AB，BC上的一動(dòng)點(diǎn)，且AF＝BE，連結(jié)CF，AE交于點(diǎn)H，連接BH．給出下列四個(gè)結(jié)論：①∠AHF＝60°；②若BH＝HC，則AE平分∠BAC；③S四邊形BEHF＞S△AHC；④若BH⊥CF，則CH＝2HA．其中正確的結(jié)論有①②④（填寫所有正確結(jié)論的序號）．【分析】證明△ABE≌△CAF，利用全等三角形的性質(zhì)可以判斷①③，利用垂直平分線的判定可以判斷②，利用等腰三角形和全等三角形可以判斷④．【解答】解：∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠ABC＝60°，又∵AF＝BE，∴△ABE≌△CAF（SAS），∴∠BAE＝∠ACF，∴∠FHA＝∠FCA+∠CAH＝∠BAE+∠CAH＝60°，故①正確；∵AB＝AC，BH＝HC，∴AH是BC的垂直平分線，∴AE平分∠BAC，故②正確；∵△ABE≌△CAF，∴S△ABE＝S△CAF，∴，即S四邊形BEHF＝S△AHC．故③不正確；如圖，在CH上截取CD＝AH，連接AD，∵AB＝AC，∠BAE＝∠ACF，∴△AHB≌△CDA（SAS），∴∠ADC＝∠AHB，又∵BH⊥CF，∴∠BHF＝90°，∵∠FHA＝60°，∴∠ADC＝∠AHB＝90°+60°＝150°，∠AHD＝180°﹣∠AHF＝180°﹣60°＝120°，∴∠ADH＝180°﹣∠ADC＝180°﹣150°＝30°，∴∠HAD＝180°﹣∠AHD﹣∠ADH＝180°﹣120°﹣30°＝30°，∴HA＝HD，∴HC＝2AH．故④正確；故答案為：①②④．【點(diǎn)評】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．三、解答題17．如圖，AB＝DE，∠A＝∠D，∠1＝∠2，求證：∠B＝∠E．【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)得出∠BCA＝∠ECD，利用AAS證明△BCA與△ECD全等，進(jìn)而證明即可．【解答】證明：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠ECA＝∠2+∠ECA，即∠BCA＝∠ECD，在△BCA與△ECD中，∴△BCA≌△ECD（AAS），∴∠B＝∠E【點(diǎn)評】此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．18．已知：如圖，B，D，E，C在同一直線上，AB＝AC，AD＝AE．求證：BD＝CE．【分析】此題可以用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)解決．【解答】證明：作AF⊥BC于F，∵AB＝AC（已知），∴BF＝CF（三線合一），又∵AD＝AE（已知），∴DF＝EF（三線合一），∴BF﹣DF＝CF﹣EF，即BD＝CE（等式的性質(zhì)）．【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)；做題中用到了等量減等量差相等得到答案．19．證明：如果兩個(gè)三角形有兩條邊和其中一邊上的中線分別相等，那么這兩個(gè)三角形全等．【分析】求出BM＝EN，根據(jù)SSS證△ABM≌△DEN，推出∠B＝∠E，根據(jù)SAS證△ABC≌△DEF即可．【解答】已知：△ABC和△DEF中，AB＝DE，BC＝EF，AM是△ABC的中線，DN是△DEF的中線，AM＝DN，求證：△ABC≌△DEF．證明：∵BC＝EF，AM是△ABC的中線，DN是△DEF的中線，∴BM＝EN，在△ABM和△DEN中，∵，∴△ABM≌△DEN（SSS），∴∠B＝∠E，在△ABC和△DEF中，∵，∴△ABC≌△DEF（SAS）．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的中線，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．20．如圖，在△ABC中，∠ACB＞90°，且AC＝BC．（1）在邊BC的延長線上求作點(diǎn)D，使∠CAD＝2∠B，并連接AD；（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）（2）在（1）的條件下，若∠BDA＝60°，求證：△ABD是直角三角形【分析】（1）作AC的垂直平分線，交BC的延長線于點(diǎn)D，點(diǎn)D即為所求；（2）先求得∠DAC＝∠DCA＝60°，再由等腰三角形的性質(zhì)可得，再證明即可．【解答】解：（1）如圖：∠CAD＝2∠B，并連接AD，點(diǎn)D即為所求；（2）證明：由作圖可得：DA＝DC，∠BDA＝60°，∴∠DAC＝∠DCA＝60°，∵CA＝CB，∴，∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝90°，∴△ABD是直角三角形．【點(diǎn)評】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確作出圖形．21．如圖，△ABC是等邊三角形，BD是中線，延長BC至點(diǎn)E，使CE＝CD．（1）求證：DB＝DE；（2）若F是BE的中點(diǎn)，連接DF，且CF＝2，求△ABC的周長．【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)得到．進(jìn)一步證明∠E＝∠CDE＝30°，∠DBC＝∠E，即可得到結(jié)論；（2）求出∠CDF＝30°，得到，則CD＝2CF＝4．即可得到AC＝2CD＝8，由△ABC是等邊三角形即可得答案．【解答】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°．又∵BD是中線，∴BD平分∠ABC，∴．∵CE＝CD，∴∠E＝∠CDE．又∵∠ACB＝∠E+∠CDE，∴∠E＝∠CDE＝30°，∴∠DBC＝∠E，∴DB＝DE．（2）解：由（1）可知DB＝DE，又∵F是BE的中點(diǎn)，∴DF⊥BE．∵∠ACB＝60°，∴∠CDF＝180°﹣90°﹣60°＝30°．又∵△CDF為直角三角形，∴，∴CD＝2CF＝4．∵BD是中線，∴AC＝2CD＝8．∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC＝8，∴△ABC的周長＝8+8+8＝24．【點(diǎn)評】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識，熟練掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（﹣3，0）、C（7，0），B為y軸正半軸上一點(diǎn)，D在第四象限．若BC⊥CD，CA平分∠BCD，∠ABC+∠ADC＝180°．（1）直接寫出B點(diǎn)坐標(biāo)（0，7）；（2）求證：AB＝AD；（3）求四邊形ABCD的面積．【分析】（1）證明△OBC是等腰直角三角形，可得結(jié)論；（2）過點(diǎn)A作AM⊥BC于點(diǎn)M，AN⊥CD，交CD的延長線于點(diǎn)N．證明△AMB≌△AND（AAS），可得結(jié)論；（3）證明四邊形AMCN是正方形，再證明四邊形ABCD的面積＝正方形AMCN的面積即可．【解答】（1）解：∵C（7，0），∴OC＝7，∵BC⊥CD，∴∠BCD＝90°，∵AC平分∠BCD，∴∠BCA＝∠ACD＝45°，∵∠COB＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∴OB＝OC＝7，∴B（0，7），故答案為：0，7；（2）證明：過點(diǎn)A作AM⊥BC于點(diǎn)M，AN⊥CD，交CD的延長線于點(diǎn)N．∵AC平分∠BCD，∴AM＝AN，∵∠ABM+∠ADC＝180°，∠ADN+∠ADC＝180°，∴∠ABM＝∠ADN，∵∠AMB＝∠N＝90°，∴△AMB≌△AND（AAS），∴AB＝AD；（3）解：∵A（﹣3，0），B（7，0），∴OA＝3，OC＝7，∴AC＝10，∵AM⊥CM，∠ACM＝45°，∴AM＝CM＝5，∵△AMB≌△AND，∴S△AMB＝S△AND，∴S四邊形ABCD＝S四邊形AMCN，∵∠AMC＝∠MCN＝∠N＝90°，∴四邊形AMCN是矩形，∵AM＝CM，∴四邊形AMCN是正方形，∴S四邊形ABCD＝S四邊形AMCN＝（5）2＝50．【點(diǎn)評】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．23．點(diǎn)P，Q分別是邊長為4cm的等邊△ABC的邊AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從頂點(diǎn)A，點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都是1cm/s，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）連接AQ，CP交于點(diǎn)M，則在P，Q運(yùn)動(dòng)的過程中，∠CMQ變化嗎？若變化，則說明理由；若不變，則求出它的度數(shù)；（2）連接PQ．①當(dāng)△BPQ為等邊三角形時(shí)，t＝2秒；②當(dāng)△BPQ為直角三角形時(shí)，t＝或秒．（直接寫出結(jié)果）【分析】（1）利用等邊三角形的性質(zhì)可證明△APC≌△BQA，則可求得∠BAQ＝∠ACP，再利用三角形外角的性質(zhì)可證得∠CMQ＝60°；（2）①可用t表示出BP和BQ，由△BPQ為等邊三角形得BP＝BQ，即可解答；②可用t分別表示出BP和BQ，分∠BPQ＝90°和∠BPQ＝90°兩種情況，分別利用直角三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于t的方程，則可求得t的值．【解答】解：（1）∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝AC，∠B＝∠PAC＝60°，∵點(diǎn)P從頂點(diǎn)A，點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都為1cm/s，∴AP＝BQ，在△APC和△BQA中，，∴△APC≌△BQA（SAS），∴∠BAQ＝∠ACP，∴∠CMQ＝∠CAQ+∠ACP＝∠BAQ+∠CAQ＝∠BAC＝60°，∴在P、Q運(yùn)動(dòng)的過程中，∠CMQ不變，∠CMQ＝60°；（2）①∵運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，則AP＝BQ＝t，∴PB＝4﹣t，∵△BPQ為等邊三角形，∴BP＝BQ，∴4﹣t＝t，∴t＝2，故答案為：2；②∵運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則AP＝BQ＝t，∴PB＝4﹣t，當(dāng)∠PQB＝90°時(shí)，∵∠B＝60°，∴PB＝2BQ，∴4﹣t＝2t，解得t＝，當(dāng)∠BPQ＝90°時(shí)，∵∠B＝60°，∴BQ＝2PB，∴t＝2（4﹣t），解得t＝，∴當(dāng)t為秒或秒時(shí)，△PBQ為直角三角形．故答案為：或．【點(diǎn)評】本題為三角形的綜合應(yīng)用，涉及等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)及方程思想等知識．在（1）中證得三角形全等是解題的關(guān)鍵，在（2）中根據(jù)△PBQ為直角三角形分類討論是解題的關(guān)鍵．24．【概念學(xué)習(xí)】規(guī)定①：如果一個(gè)三角形的三個(gè)角分別等于另一個(gè)三角形的三個(gè)角，那么稱這兩個(gè)三角形互為“形似三角形”．規(guī)定②：從三角形（不是等腰三角形）一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果分得的兩個(gè)小三角形中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)與原來三角形是“形似三角形”，我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的“等腰分割線”．【概念理解】（1）如圖1，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，CD平分∠ACB，則△CBD與△ABC是（填“是”或“不是”）互為“形似三角形”．（2）如圖2，在△ABC中，CD平分∠ACB，∠A＝36°，∠B＝48°．求證：CD為△ABC的等腰分割線；【概念應(yīng)用】（3）在△ABC中，∠A＝45°，CD是△ABC的等腰分割線，直接寫出∠ACB的度數(shù)．【分析】（1）推出∠BCD＝36°，∠ABC＝72°，∠BDC＝72°，從而得出結(jié)論；（2）可計(jì)算得出∠ACD＝∠A，∠BCD＝∠A＝36°，∠B＝∠B，∠BDC＝∠ACB，從而得出結(jié)論；（3）分為當(dāng)△ACD是等腰三角形和△BCD是等腰三角形，當(dāng)△ACD是等腰三角形時(shí)，再分為：AC＝AD，AD＝CD，AC＝CD三種情形討論，同樣當(dāng)△BCD是等腰三角形時(shí)，也分為三種情形討論，分別計(jì)算出∠ACB的度數(shù)即可．【解答】（1）解：∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝72°，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝36°，∵∠ABC＝72°，∴∠BDC＝72°，∴△CBD和△ABC互為“形似三角形”，故答案為：是；（2）證明：∵∠A＝36°，∠B＝48°，∴∠ACB＝180°﹣36°﹣48°＝96°，∵CD平分∠ACB，∴＝，∴∠BCD＝∠B，∴△BCD是等腰三角形，∠ACD＝∠A＝36°，∠B＝∠B＝48°，∠ADC＝∠ACB＝96°，∴CD為△ABC的等腰分割線；（3）解：（Ⅰ）當(dāng)△ACD是等腰三角形時(shí)，①如圖1，當(dāng)AD＝CD時(shí)，則∠ACD＝∠A＝45°，∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝90°，此時(shí)∠BCD＝∠A＝45°，∴∠ACB＝90°（不合題意舍去）；②如圖2，當(dāng)AC＝AD時(shí)，則＝67.5°，此時(shí)∠BCD＝∠A＝45°，∴∠ACB＝45°+67.5°＝112.5°；③當(dāng)AC＝CD時(shí)，這種情況不存在；（Ⅱ）當(dāng)△BCD是等腰三角形時(shí)，①如圖3，當(dāng)CD＝DB時(shí)，∠B＝∠BCD＝∠ACD，∴∠