2023-2024學(xué)年河北省行唐啟明中學(xué)高三第三次統(tǒng)考數(shù)學(xué)試題試卷

2022-2023學(xué)年河北省行唐啟明中學(xué)高三第三次統(tǒng)考數(shù)學(xué)試題試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．幻方最早起源于我國(guó)，由正整數(shù)1，2，3，……，這個(gè)數(shù)填入方格中，使得每行、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)的和相等，這個(gè)正方形數(shù)陣就叫階幻方．定義為階幻方對(duì)角線上所有數(shù)的和，如，則（）A．55 B．500 C．505 D．50502．已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的取值范圍為，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A． B． C． D．3．定義域?yàn)镽的偶函數(shù)滿足任意，有，且當(dāng)時(shí)，.若函數(shù)至少有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．4．設(shè)函數(shù)若關(guān)于的方程有四個(gè)實(shí)數(shù)解，其中，則的取值范圍是（）A． B． C． D．5．已知曲線且過(guò)定點(diǎn)，若且，則的最小值為（）.A． B．9 C．5 D．6．在中所對(duì)的邊分別是，若，則（）A．37 B．13 C． D．7．“”是“直線與互相平行”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．已知雙曲線C：=1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F，過(guò)原點(diǎn)O作斜率為的直線交C的右支于點(diǎn)A，若|OA|=|OF|，則雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．+19．已知x，y滿足不等式，且目標(biāo)函數(shù)z＝9x+6y最大值的變化范圍[20，22]，則t的取值范圍（）A．[2，4] B．[4，6] C．[5，8] D．[6，7]10．已知集合A＝{y|y}，B＝{x|y＝lg（x﹣2x2）}，則?R（A∩B）＝（）A．[0，） B．（﹣∞，0）∪[，+∞）C．（0，） D．（﹣∞，0]∪[，+∞）11．已知，若方程有唯一解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B．C． D．12．已知函數(shù)，的圖象與直線的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于，則的一條對(duì)稱軸是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知曲線，點(diǎn)，在曲線上，且以為直徑的圓的方程是．則_______．14．已知圓，直線與圓交于兩點(diǎn)，，若，則弦的長(zhǎng)度的最大值為_(kāi)______.15．在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，所有項(xiàng)的系數(shù)之和為1024，則展開(kāi)式常數(shù)項(xiàng)的值等于_______．16．若正三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為2,點(diǎn)為側(cè)棱上任意一點(diǎn),則四棱錐的體積為_(kāi)_________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（），是的導(dǎo)數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，令，為的導(dǎo)數(shù).證明：在區(qū)間存在唯一的極小值點(diǎn)；（2）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，求的取值范圍.18．（12分）在銳角中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知.（1）求的值；（2）當(dāng)，且時(shí)，求的面積.19．（12分）在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，且.（1）若，，求的值；（2）若，求的值.20．（12分）已知，點(diǎn)分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，直線交于另一點(diǎn)為等腰直角三角形，且.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，總使得為銳角，求直線斜率的取值范圍.21．（12分）2018年9月，臺(tái)風(fēng)“山竹”在我國(guó)多個(gè)省市登陸，造成直接經(jīng)濟(jì)損失達(dá)52億元.某青年志愿者組織調(diào)查了某地區(qū)的50個(gè)農(nóng)戶在該次臺(tái)風(fēng)中造成的直接經(jīng)濟(jì)損失，將收集的數(shù)據(jù)分成五組：，，，，（單位：元），得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）試根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)該地區(qū)每個(gè)農(nóng)戶的平均損失（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；（2）臺(tái)風(fēng)后該青年志愿者與當(dāng)?shù)卣蛏鐣?huì)發(fā)出倡議，為該地區(qū)的農(nóng)戶捐款幫扶，現(xiàn)從這50戶并且損失超過(guò)4000元的農(nóng)戶中隨機(jī)抽取2戶進(jìn)行重點(diǎn)幫扶，設(shè)抽出損失超過(guò)8000元的農(nóng)戶數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.22．（10分）電視傳媒公司為了解某地區(qū)觀眾對(duì)某體育節(jié)目的收視情況，隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查，其中女性有55名，下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時(shí)間的頻率分布直方圖：將日均收看該體育節(jié)目時(shí)間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”．(1)根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)？非體育迷體育迷合計(jì)男女1055合計(jì)(2)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率．現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中，采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取1名觀眾，抽取3次，記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為X.若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求X的分布列，期望E(X)和方差D(X)．附：.P(K2≥k)0.050.01k3.8416.635

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．C【解析】

因?yàn)榛梅降拿啃?、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)的和相等，可得，即得解.【詳解】因?yàn)榛梅降拿啃?、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)的和相等，所以階幻方對(duì)角線上數(shù)的和就等于每行（或每列）的數(shù)的和，又階幻方有行（或列），因此，，于是．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)陣問(wèn)題，考查了學(xué)生邏輯推理，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.2．C【解析】

求導(dǎo)分析函數(shù)在時(shí)的單調(diào)性、極值，可得時(shí)，滿足題意，再在時(shí)，求解的x的范圍，綜合可得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，，令，則；，則，∴函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.∴函數(shù)在處取得極大值為，∴時(shí)，的取值范圍為，∴又當(dāng)時(shí)，令，則，即，∴綜上所述，的取值范圍為.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)值域的方法，考查了分段函數(shù)的性質(zhì)，屬于難題.3．B【解析】

由題意可得的周期為，當(dāng)時(shí)，，令，則的圖像和的圖像至少有個(gè)交點(diǎn)，畫(huà)出圖像，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)，求得的取值范圍.【詳解】是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，滿足任意，，令，又，為周期為的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，當(dāng)，作出圖像，如下圖所示：函數(shù)至少有三個(gè)零點(diǎn)，則的圖像和的圖像至少有個(gè)交點(diǎn)，，若，的圖像和的圖像只有1個(gè)交點(diǎn)，不合題意，所以，的圖像和的圖像至少有個(gè)交點(diǎn)，則有，即，.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)周期性及其應(yīng)用，解題過(guò)程中用到了數(shù)形結(jié)合方法，這也是高考?？嫉臒狳c(diǎn)問(wèn)題，屬于中檔題.4．B【解析】

畫(huà)出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像知：，，，計(jì)算得到答案.【詳解】，畫(huà)出函數(shù)圖像，如圖所示：根據(jù)圖像知：，，故，且.故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力，畫(huà)出圖像是解題的關(guān)鍵.5．A【解析】

根據(jù)指數(shù)型函數(shù)所過(guò)的定點(diǎn)，確定，再根據(jù)條件，利用基本不等式求的最小值.【詳解】定點(diǎn)為,，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即時(shí)取得最小值.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)，以及基本不等式求最值，意在考查轉(zhuǎn)化與變形，基本計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題型.6．D【解析】

直接根據(jù)余弦定理求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題．7．A【解析】

利用兩條直線互相平行的條件進(jìn)行判定【詳解】當(dāng)時(shí)，直線方程為與，可得兩直線平行；若直線與互相平行，則，解得，，則“”是“直線與互相平行”的充分不必要條件，故選【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩直線平行的條件和性質(zhì)，充分條件，必要條件的定義和判斷方法，屬于基礎(chǔ)題．8．B【解析】

以為圓心，以為半徑的圓的方程為，聯(lián)立，可求出點(diǎn)，則，整理計(jì)算可得離心率.【詳解】解：以為圓心，以為半徑的圓的方程為，聯(lián)立，取第一象限的解得，即，則，整理得，則（舍去），，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的求解，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是中檔題.9．B【解析】

作出可行域，對(duì)t進(jìn)行分類(lèi)討論分析目標(biāo)函數(shù)的最大值，即可求解.【詳解】畫(huà)出不等式組所表示的可行域如圖△AOB當(dāng)t≤2時(shí)，可行域即為如圖中的△OAM，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)z＝9x+6y在A（2，0）取得最大值Z＝18不符合題意t＞2時(shí)可知目標(biāo)函數(shù)Z＝9x+6y在的交點(diǎn)（）處取得最大值，此時(shí)Z＝t+16由題意可得，20≤t+16≤22解可得4≤t≤6故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查線性規(guī)劃，根據(jù)可行域結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的最大值的取值范圍求參數(shù)的取值范圍，涉及分類(lèi)討論思想，關(guān)鍵在于熟練掌握截距型目標(biāo)函數(shù)的最大值最優(yōu)解的處理辦法.10．D【解析】

求函數(shù)的值域得集合，求定義域得集合，根據(jù)交集和補(bǔ)集的定義寫(xiě)出運(yùn)算結(jié)果.【詳解】集合A＝{y|y}＝{y|y≥0}＝[0，+∞）；B＝{x|y＝lg（x﹣2x2）}＝{x|x﹣2x2＞0}＝{x|0＜x}＝（0，），∴A∩B＝（0，），∴?R（A∩B）＝（﹣∞，0]∪[，+∞）.故選：D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)集合的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有函數(shù)的定義域，函數(shù)的值域，集合的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題目.11．B【解析】

求出的表達(dá)式，畫(huà)出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象以及二次方程實(shí)根的分布，求出的范圍即可．【詳解】解：令，則，則，故，如圖示：由，得，函數(shù)恒過(guò)，，由，，可得，，，若方程有唯一解，則或，即或；當(dāng)即圖象相切時(shí)，根據(jù)，，解得舍去），則的范圍是，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．12．D【解析】

由題，得，由的圖象與直線的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于，可得最小正周期，從而求得，得到函數(shù)的解析式，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，由此即可得到本題答案.【詳解】由題，得，因?yàn)榈膱D象與直線的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于，所以函數(shù)的最小正周期，則，所以，當(dāng)時(shí)，，所以是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查利用和差公式恒等變形，以及考查三角函數(shù)的周期性和對(duì)稱性.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

設(shè)所在直線方程為設(shè)?點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，都在上，代入曲線方程，兩式作差可得，從而可得直線的斜率，聯(lián)立直線與的方程，由，利用弦長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】因?yàn)槭菆A的直徑，必過(guò)圓心點(diǎn)，設(shè)所在直線方程為設(shè)?點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，都在上，故兩式相減，可得(因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn))，即聯(lián)立直線與的方程：又，即，即又因?yàn)?，則有即∴.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、弦長(zhǎng)公式，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，綜合性比較強(qiáng)，屬于中檔題.14．【解析】

設(shè)為的中點(diǎn)，根據(jù)弦長(zhǎng)公式，只需最小，在中，根據(jù)余弦定理將表示出來(lái)，由，得到，結(jié)合弦長(zhǎng)公式得到，求出點(diǎn)的軌跡方程，即可求解.【詳解】設(shè)為的中點(diǎn)，在中，，①在中，，②①②得，即，，.，得.所以，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系、相交弦長(zhǎng)的最值，解題的關(guān)鍵求出點(diǎn)的軌跡方程，考查計(jì)算求解能力，屬于中檔題.15．【解析】

利用展開(kāi)式所有項(xiàng)系數(shù)的和得n=5,再利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求得展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng).【詳解】因?yàn)榈亩?xiàng)展開(kāi)式中，所有項(xiàng)的系數(shù)之和為4n=1024,n=5,故的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T(mén)r+1=C·35-r,令,解得r=4,可得常數(shù)項(xiàng)為T(mén)5=C·3=15,故填15.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，屬于中檔題.16．【解析】

依題意得,再求點(diǎn)到平面的距離為點(diǎn)到直線的距離,用公式所以即可得出答案.【詳解】解:正三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為2,則,點(diǎn)到平面的距離為點(diǎn)到直線的距離所以,所以.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查椎體的體積公式,考查運(yùn)算能力,是基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】

（1）設(shè)，，注意到在上單增，再利用零點(diǎn)存在性定理即可解決；（2）函數(shù)在上單調(diào)遞減，則在恒成立，即在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)討論的最值即可.【詳解】（1）由已知，，所以，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，而，，且在上圖象連續(xù)不斷.所以在上有唯一零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故在區(qū)間上存在唯一的極小值點(diǎn)，即在區(qū)間上存在唯一的極小值點(diǎn)；（2）設(shè)，，，∴在單調(diào)遞增，，即，從而，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，∴在上恒成立，令，∵，∴，在上單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，，符合題意.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以一定存在，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，與題意不符，舍去.綜上，的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)、不等式恒成立問(wèn)題，在處理恒成立問(wèn)題時(shí)，通常是構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值來(lái)處理，本題是一道較難的題.18．（1）；（2）【解析】

（1）利用二倍角公式求解即可，注意隱含條件.（2）利用（1）中的結(jié)論，結(jié)合正弦定理和同角三角函數(shù)的關(guān)系易得的值，又由求出的值，最后由正弦定理求出的值，根據(jù)三角形的面積公式即可計(jì)算得出.【詳解】（1）由已知可得，所以，因?yàn)樵阡J角中，，所以（2）因?yàn)?，所以，因?yàn)槭卿J角三角形，所以，所以.由正弦定理可得：，所以，所以【點(diǎn)睛】此類(lèi)問(wèn)題是高考的?？碱}型，主要考查了正弦定理、三角函數(shù)以及三角恒等變換等知識(shí)，同時(shí)考查了學(xué)生的基本運(yùn)算能力和利用三角公式進(jìn)行恒等變換的技能，屬于中檔題.19．（1）；（2）.【解析】

（1）利用余弦定理得出關(guān)于的二次方程，結(jié)合，可求出的值；（2）利用兩角和的余弦公式以及誘導(dǎo)公式可求出的值，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出的值，然后利用二倍角的正切公式可求出的值.【詳解】（1）在中，由余弦定理得，，即，解得或（舍），所以；（2）由及得，，所以，又因?yàn)椋裕瑥亩?，所?【點(diǎn)睛】本題考查利用余弦定理解三角形，同時(shí)也考查了兩角和的余弦公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及二倍角公式求值，考查計(jì)算能力，屬于中等題.20．（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）由題意可知：由，求得點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)直線，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理，由，由為銳角，則，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式，即可求得直線斜率的取值范圍．【詳解】解：（Ⅰ）根據(jù)題意是等腰直角三角形，，設(shè)由得則代入橢圓方程得橢圓的方程為（Ⅱ）根據(jù)題意，直線的斜率存在，可設(shè)方程為設(shè)由得由直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)則即得又為銳角則即②由①②得或故直線斜率可取值范圍