專升本數(shù)學(xué)摘錄

函數(shù)·極限和連續(xù)極限（極限唯一性）輸入數(shù)列｛收斂｝，它的極限唯一（數(shù)列有界性）｛｝<=M保號，保不等式迫斂性：就是當(dāng)數(shù)列ab極限都是a，當(dāng)n>N時(shí)，有a<b<c則c收斂，極限為a四則運(yùn)算單調(diào)有界定理：數(shù)列單調(diào)有界必定有極限大頭原則無窮小量階的比較（只有無窮小量才能進(jìn)行階的比較，但非全部｛看極限存不存在｝）高階跟同階的比較（limx->0-f(x)/g(x)=0,就說明f(x)收斂于0的速度快于g(x);如果等于1，說明他們等價(jià)）當(dāng)x趨近于0的時(shí)候，等價(jià)式子：當(dāng)x趨近于0的時(shí)候sinx~tanx~arctanx~ln(1+x)~~x;1-cosx~;~注意：只有乘除且是無窮小量才可以進(jìn)行等價(jià)無窮量代換函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)若函數(shù)有定義且極限等于趨近點(diǎn)的函數(shù)值，則函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)兩類間斷，四種間斷點(diǎn)第一類可去間斷點(diǎn)（極限存在但相等）跳躍間斷點(diǎn)（極限存在但不相等第二類無窮間斷點(diǎn)（至少有一個(gè)極限為無窮）震蕩型間斷點(diǎn)（函數(shù)為震蕩型，極限不存在）注意，三角函數(shù)如sinx=0的話，情況有兩個(gè)，一個(gè)x=0，一個(gè)x=kpi（k=0，1，2，3，4。。。。）定義范圍！連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算：兩個(gè)連續(xù)函數(shù)加減乘除結(jié)果還是連續(xù)復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性例如,若想求該函數(shù)的極限，根據(jù)連續(xù)性來看，從外到里的看，首先求g(u)的極限就是把內(nèi)函數(shù)看成u趨近u0，那么u0等于內(nèi)函數(shù)的x->x0的極限，所以u趨近于f(x)趨近于x0，所以得出以下結(jié)論若f(x)在x0不連續(xù)或者無定義，仍舊可以用上面的連續(xù)性結(jié)論基本初等函數(shù)組合后成為初等函數(shù)（在定義域內(nèi)連續(xù)）反函數(shù)連續(xù)性----若函數(shù)f在區(qū)間i上單調(diào)且連續(xù)，則其反函數(shù)f1在fi上聯(lián)系也閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)三個(gè)定理最值定理介值定理這個(gè)定理的作用在于找出當(dāng)r介于ab之間時(shí)且fa不等于fb，當(dāng)函數(shù)在區(qū)間ab之間連續(xù)的時(shí)候，且r在fab之間，則必定有一個(gè)fx0=r[看是否有fa>r，這個(gè)看函數(shù)的極限]零點(diǎn)定理這個(gè)定理作用在于得在f在閉ab區(qū)間連續(xù)，且fa跟fb異號，則有fx0=0有時(shí)候借助第三方函數(shù)一元函數(shù)微分學(xué)導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義記作，得到函數(shù)在x0處可導(dǎo)，那么函數(shù)在x0處連續(xù)會導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算的證明反函數(shù)的求導(dǎo)方式：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)就是把一個(gè)大的函數(shù)看成整體求導(dǎo)乘上內(nèi)函數(shù)求導(dǎo)高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的定義跟導(dǎo)數(shù)的定義是一樣的，只不過是把函數(shù)換成導(dǎo)數(shù)而已；萊布尼茲公式：;,幾個(gè)常用的高階導(dǎo)數(shù);u=m=u!u<m=0,cosx同理隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的定義我們所接觸的函數(shù)，其因變量大多是由其自變量通過某個(gè)式子組成的，如這些稱為顯函數(shù)；但是現(xiàn)實(shí)中不一定是顯函數(shù)，如這種稱為隱函數(shù)，而把隱函數(shù)轉(zhuǎn)換成顯函數(shù)的過程為隱函數(shù)的顯化，如隱函數(shù)求導(dǎo)這類函數(shù)的求導(dǎo)呢不像一般的求導(dǎo)，這里的求導(dǎo)是把y看成是一個(gè)符合函數(shù)，類似求導(dǎo)這個(gè)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的結(jié)果為，那么相同的，求導(dǎo)的結(jié)果為這里y類似的看成是復(fù)合函數(shù)里的內(nèi)函數(shù)對數(shù)求導(dǎo)方法兩邊取對數(shù)，如取對數(shù)后，然后求導(dǎo)得經(jīng)過顯化得到，這就是取對數(shù)求導(dǎo)，適用于冪函數(shù)，冪指函數(shù)，指數(shù)函數(shù)參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)參數(shù)方程就是給你一個(gè)參數(shù)組就是方程組，叫你求高階導(dǎo)數(shù)，計(jì)算方式跟導(dǎo)數(shù)的定義一樣，這是二階導(dǎo)數(shù)；其實(shí)無論叫你求幾階，，例如就是把分子部分求導(dǎo)，除分母部分求導(dǎo)，這就得出了，二階同理，=原先的y就是一階求導(dǎo)后的式子，這個(gè)式子我們也可以用導(dǎo)數(shù)的定義去驗(yàn)證，總的就是前一階的式子作為后一階的參數(shù)y，然后按照參數(shù)方程求解分段函數(shù)求導(dǎo)求導(dǎo)的方法不變，分別求出不同區(qū)間函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，但是分段點(diǎn)左右一定要用導(dǎo)數(shù)的定義求，例如分段點(diǎn)為0，直接利用左右若相等，則其導(dǎo)數(shù)存在微分定義：導(dǎo)數(shù)和微分的等價(jià)關(guān)系：定理：f(x)在x0處可微fx在x0處可導(dǎo)，且d（fx）=A；總的來說函數(shù)在x0處可導(dǎo)，且fx0=A，則該函數(shù)可微，反之依然，總結(jié)一句話，函數(shù)求微分相當(dāng)于求導(dǎo)微分和增量的關(guān)系，通過比較階既可知道，微分中值定理費(fèi)馬定理1：若f在x0某一個(gè)領(lǐng)域內(nèi)有定義且可導(dǎo)2：且對任意x屬于U（x0）都有f(x)<f(x0);f(x)>f(x0)則f'(x0)=0;這個(gè)定理只不過給羅爾定理打個(gè)前戲而已羅爾定理要符合三個(gè)條件：1：f在ab閉區(qū)間內(nèi)連續(xù)2：在ab開區(qū)間可導(dǎo)，3：fa=ab，x0屬于ab閉區(qū)間則f'(x0)=0，要看清楚式子的特定，一般用來證明根的個(gè)數(shù)和存在性拉格朗日定理拉格朗日定理只不過是羅爾定理的一個(gè)特例，只需要符合羅爾定理中的前兩個(gè)則可以得到，該定理一般證明不等式，步驟一般就是將拉格朗日定理的式子寫出來，然后將式子放在區(qū)間內(nèi)，然后變換，看不等式是否可以組成這樣的形式幾種等價(jià)形式：推論一：函數(shù)fx在區(qū)間I上可導(dǎo)且f's==0，得到fx在I上的常值。步驟：1，對fx求導(dǎo)得f‘s，再證明f’s==0；2，由1得fx為一個(gè)常量函數(shù)，令fx=C3，某一點(diǎn)x=x0一般取x=0代入fx=C，求得常數(shù)C的值，推論二：函數(shù)fx和gx在區(qū)間I上可導(dǎo)且f's==g's，得到fx=gx+C洛必達(dá)法則有兩個(gè)類型：和定理一：1：fx和gx滿足當(dāng)x趨近a時(shí)，fx跟gx=02：在U(a)函數(shù)導(dǎo)數(shù)存在且gx不等于03：則注：當(dāng)一階導(dǎo)數(shù)仍舊滿足洛必達(dá)法則，可以繼續(xù)