第2章 一元二次方程實際應(yīng)用的其他?？碱愋?024-2025學(xué)年九年級上冊數(shù)學(xué)配套教學(xué)設(shè)計（北師大版）

第2章一元二次方程實際應(yīng)用的其他?？碱愋?024-2025學(xué)年九年級上冊數(shù)學(xué)配套教學(xué)設(shè)計（北師大版）科目授課時間節(jié)次--年—月—日（星期——）第—節(jié)指導(dǎo)教師授課班級、授課課時授課題目（包括教材及章節(jié)名稱）第2章一元二次方程實際應(yīng)用的其他?？碱愋?024-2025學(xué)年九年級上冊數(shù)學(xué)配套教學(xué)設(shè)計（北師大版）設(shè)計意圖本教學(xué)設(shè)計旨在幫助學(xué)生深入理解一元二次方程在實際問題中的應(yīng)用，通過典型例題的講解與練習(xí)，提高學(xué)生解決實際問題的能力。結(jié)合九年級學(xué)生的認(rèn)知水平，圍繞北師大版數(shù)學(xué)教材第二章內(nèi)容，設(shè)計具有針對性、實用性的教學(xué)活動，引導(dǎo)學(xué)生掌握一元二次方程在實際生活中的應(yīng)用方法，為學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升奠定堅實基礎(chǔ)。核心素養(yǎng)目標(biāo)分析本章節(jié)核心素養(yǎng)目標(biāo)在于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維、數(shù)學(xué)應(yīng)用與創(chuàng)新意識。通過解決一元二次方程在實際問題中的應(yīng)用，學(xué)生將提升抽象思維能力，學(xué)會建立數(shù)學(xué)模型來解決實際問題；同時，培養(yǎng)他們運用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行推理、論證的能力，增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，激發(fā)創(chuàng)新思維，為未來學(xué)習(xí)更高階的數(shù)學(xué)知識奠定堅實基礎(chǔ)。教學(xué)難點與重點1.教學(xué)重點

本節(jié)課的教學(xué)重點是掌握一元二次方程在實際問題中的應(yīng)用方法，具體包括以下幾點：

-確定實際問題中的一元二次方程模型。

-學(xué)會從實際問題中提取關(guān)鍵信息，建立方程。

-熟練掌握一元二次方程的求解方法。

舉例：例如，在解決“某商品原價為x元，經(jīng)過兩次降價后，價格變?yōu)樵瓉淼?.6倍，求原價”的問題時，學(xué)生需要能夠根據(jù)題意建立方程x(1-0.1a)(1-0.1b)=0.6x，并求解得到原價。

2.教學(xué)難點

本節(jié)課的教學(xué)難點主要在于以下方面：

-學(xué)生難以從復(fù)雜的生活情境中抽象出一元二次方程模型。

-學(xué)生在建立方程時，容易遺漏或錯誤理解題目中的關(guān)鍵信息。

-對于含有參數(shù)的一元二次方程，學(xué)生可能難以理解和應(yīng)用求根公式。

舉例：在處理“一個正方形的邊長增加了a，面積增加了63，求原正方形的邊長”的問題時，學(xué)生可能會忽略邊長增加后正方形的新邊長是原邊長加上a，從而導(dǎo)致方程建立錯誤，如錯誤地建立方程x^2+a^2=63，而正確的方程應(yīng)該是(x+a)^2-x^2=63。此外，學(xué)生可能不熟悉如何將方程ax^2+bx+c=0轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)形式，以便使用求根公式求解。教學(xué)方法與策略1.采用講授與討論相結(jié)合的方法，首先講解一元二次方程在實際問題中的應(yīng)用原理，然后引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行小組討論，分析具體案例，以加深理解。

2.設(shè)計實際案例分析活動，讓學(xué)生通過角色扮演的方式模擬實際問題情境，如經(jīng)營決策、物理測量等，促進(jìn)學(xué)生主動探索和解決一元二次方程問題。

3.利用多媒體教學(xué)資源，如PPT、動畫演示等，直觀展示一元二次方程的建模過程，以及求解步驟，幫助學(xué)生形象化理解抽象概念。同時，運用在線互動平臺，提供實時反饋和個性化指導(dǎo)。教學(xué)過程設(shè)計1.導(dǎo)入新課（5分鐘）

目標(biāo)：引起學(xué)生對一元二次方程實際應(yīng)用的興趣，激發(fā)其探索欲望。

過程：

開場提問：“你們在生活中遇到過需要解決二次方程的問題嗎？一元二次方程與現(xiàn)實有什么聯(lián)系？”

展示一些涉及一元二次方程的實際問題案例，如投資收益、物理運動等，讓學(xué)生初步感受一元二次方程在生活中的應(yīng)用。

簡短介紹一元二次方程在實際問題中的應(yīng)用價值，為接下來的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

2.一元二次方程基礎(chǔ)知識講解（10分鐘）

目標(biāo)：讓學(xué)生了解一元二次方程的基本概念、組成部分和原理。

過程：

講解一元二次方程的定義，包括其標(biāo)準(zhǔn)形式ax^2+bx+c=0。

詳細(xì)介紹一元二次方程的組成部分，如二次項、一次項和常數(shù)項。

3.一元二次方程案例分析（20分鐘）

目標(biāo)：通過具體案例，讓學(xué)生深入了解一元二次方程在實際問題中的應(yīng)用。

過程：

選擇幾個典型的一元二次方程應(yīng)用案例進(jìn)行分析，如拋物線運動、面積計算等。

詳細(xì)介紹每個案例的背景、解題思路和求解過程，讓學(xué)生全面了解一元二次方程在不同領(lǐng)域中的應(yīng)用。

引導(dǎo)學(xué)生思考這些案例對實際生活的影響，以及如何應(yīng)用一元二次方程解決實際問題。

小組討論：讓學(xué)生分組討論一元二次方程在各自學(xué)科中的應(yīng)用，并提出可能的創(chuàng)新性想法。

4.學(xué)生小組討論（10分鐘）

目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生的合作能力和解決問題的能力。

過程：

將學(xué)生分成若干小組，每組選擇一個與一元二次方程相關(guān)的實際問題進(jìn)行討論。

小組內(nèi)分析問題的背景，建立一元二次方程模型，并討論求解方法。

每組選出一名代表，準(zhǔn)備向全班展示討論成果。

5.課堂展示與點評（15分鐘）

目標(biāo)：鍛煉學(xué)生的表達(dá)能力，同時加深全班對一元二次方程實際應(yīng)用的認(rèn)識和理解。

過程：

各組代表依次上臺展示討論成果，包括問題背景、方程建模、求解過程及答案。

其他學(xué)生和教師對展示內(nèi)容進(jìn)行提問和點評，促進(jìn)互動交流。

教師總結(jié)各組的亮點和不足，并提出進(jìn)一步的建議和改進(jìn)方向。

6.課堂小結(jié)（5分鐘）

目標(biāo)：回顧本節(jié)課的主要內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)一元二次方程在實際應(yīng)用中的重要性。

過程：

簡要回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，包括一元二次方程的基本概念、案例分析等。

強(qiáng)調(diào)一元二次方程在現(xiàn)實生活和學(xué)習(xí)中的價值和作用，鼓勵學(xué)生進(jìn)一步探索和應(yīng)用。

布置課后作業(yè)：讓學(xué)生選擇一個實際問題，建立一元二次方程模型，并求解，撰寫解題報告。

7.課后作業(yè)（自主學(xué)習(xí)）

目標(biāo)：鞏固學(xué)生對一元二次方程實際應(yīng)用的理解，提高解題能力。

過程：

學(xué)生自主選擇一個與一元二次方程相關(guān)的實際問題。

獨立建立方程模型，并運用所學(xué)知識求解。

撰寫解題報告，包括問題分析、建模過程、求解步驟和答案驗證。教學(xué)資源拓展1.拓展資源

-一元二次方程的歷史背景：介紹一元二次方程在數(shù)學(xué)發(fā)展史上的地位，以及古代數(shù)學(xué)家如何解決一元二次方程問題。

-實際應(yīng)用案例：收集更多一元二次方程在實際生活中的應(yīng)用案例，如物理學(xué)中的拋物線運動、工程學(xué)中的優(yōu)化問題、經(jīng)濟(jì)學(xué)中的成本收益分析等。

-數(shù)學(xué)軟件應(yīng)用：介紹如何使用數(shù)學(xué)軟件（如MATLAB、GeoGebra等）解決一元二次方程問題，以及這些軟件在建模和求解過程中的優(yōu)勢。

-數(shù)學(xué)競賽題目：搜集一些包含一元二次方程的數(shù)學(xué)競賽題目，供學(xué)生挑戰(zhàn)和練習(xí)。

-相關(guān)數(shù)學(xué)定理和公式：補(bǔ)充一元二次方程相關(guān)的定理，如韋達(dá)定理，以及一元二次方程的根的判別式、求根公式等。

2.拓展建議

-鼓勵學(xué)生閱讀數(shù)學(xué)歷史書籍或文章，了解一元二次方程的起源和發(fā)展，以增強(qiáng)對數(shù)學(xué)文化的認(rèn)識。

-讓學(xué)生嘗試解決更多的實際應(yīng)用案例，通過實際操作加深對一元二次方程應(yīng)用的理解。

-引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行一元二次方程的建模和求解，培養(yǎng)他們的計算機(jī)操作能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。

-組織學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽或解題小組，通過解題競賽激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和競爭意識。

-建議學(xué)生復(fù)習(xí)和鞏固一元二次方程的基本定理和公式，確保在解決復(fù)雜問題時能夠靈活運用。

-提供一些具有挑戰(zhàn)性的練習(xí)題目，如涉及多個一元二次方程聯(lián)立的問題、含有參數(shù)的一元二次方程問題等，以提升學(xué)生的解題技巧和思維能力。

-鼓勵學(xué)生自主探索一元二次方程在各自興趣領(lǐng)域的應(yīng)用，如物理、工程、經(jīng)濟(jì)學(xué)等，以培養(yǎng)跨學(xué)科的綜合能力。

-定期組織學(xué)生進(jìn)行小組討論，分享各自在一元二次方程學(xué)習(xí)中的心得體會和解決實際問題的經(jīng)驗，促進(jìn)交流和合作學(xué)習(xí)。課后作業(yè)1.題目：一個正方形的花園，其周長增加了20米，面積增加了100平方米。求原來正方形花園的邊長。

解答：設(shè)原正方形花園的邊長為x米，則周長為4x米。增加后的周長為4x+20米，因此新的邊長為(x+5)米。根據(jù)面積增加的信息，我們可以建立方程(x+5)^2-x^2=100。解這個方程得到x=10。所以原正方形花園的邊長為10米。

2.題目：某商品原價為x元，經(jīng)過兩次降價，每次降價10%，求降價后的商品價格。

解答：設(shè)商品原價為x元，第一次降價后的價格為0.9x元，第二次降價后的價格為0.9*0.9x=0.81x元。因此，降價后的商品價格為0.81x元。

3.題目：一個球從地上拋出，其高度h（米）與時間t（秒）的關(guān)系為h=-4.9t^2+9.8t+1。求球從拋出到落地經(jīng)過的總時間。

解答：球的落地意味著高度h為0。我們可以建立方程-4.9t^2+9.8t+1=0。解這個一元二次方程得到t=0或t=2。因為t=0是球剛被拋出的時間，所以球落地的時間是2秒。

4.題目：一個二次函數(shù)的圖像開口向上，其頂點坐標(biāo)為(-1,4)，且經(jīng)過點(0,0)。求該二次函數(shù)的解析式。

解答：設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a(x+1)^2+4。因為函數(shù)圖像經(jīng)過點(0,0)，代入得到0=a(0+1)^2+4，解得a=-4。所以該二次函數(shù)的解析式為y=-4(x+1)^2+4。

5.題目：一個矩形的長比寬多3米，寬為x米，矩形的面積為(x+3)x。如果矩形的面積是27平方米，求矩形的寬和長。

解答：根據(jù)矩形的面積公式，我們可以建立方程x(x+3)=27。解這個方程得到x=3或x=-9。因為寬度不能為負(fù)數(shù)，所以矩形的寬為3米，長為3+3=6米。內(nèi)容邏輯關(guān)系①一元二次方程的實際應(yīng)用：本文重點在于讓學(xué)生理解一元二次方程在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用，關(guān)鍵詞包括“實際問題”、“建模”、“求解”、“應(yīng)用”，句子如“通過建立一元二次方程模型，我們可以解決實際問題”。

②一元二次方程的建模過程：本文重點在于闡述如何從實際問題中抽象出一元二次方程，關(guān)鍵詞包括“抽象”、“方程模型”、“變量”、“參數(shù)”，句子如“識別實際問題中的變量和參數(shù)，建立相應(yīng)的一元二次方程”。

③一元二次方程的求解方法：本文重點在于介紹一元二次方程的求解技巧，關(guān)鍵詞包括“求根公式”、“配方法”、“因式分解”、“判別式”，句子如“利用求根公式，我們可以快速求解一元二次方程”。作業(yè)布置與反饋作業(yè)布置：

1.練習(xí)題：根據(jù)教材第二章的內(nèi)容，布置以下練習(xí)題：

-編寫一道涉及商品折扣問題的一元二次方程題目，要求學(xué)生建立方程并求解。

-設(shè)計一道與物理運動相關(guān)的拋物線問題，讓學(xué)生利用一元二次方程求解運動物體的最大高度或水平距離。

-給出一個涉及矩形土地面積增加的問題，要求學(xué)生建立一元二次方程并求解原矩形的長和寬。

2.研究性學(xué)習(xí)：鼓勵學(xué)生在家中或社區(qū)中尋找一元二次方程的實際應(yīng)用案例，記錄下來并分析其解決過程。

3.小組討論：將學(xué)生分成小組，每組選擇一個與一元二次方程相關(guān)的實際應(yīng)用主題，進(jìn)行討論和研究，準(zhǔn)備在下一堂課上進(jìn)行分享。

作業(yè)反饋：

1.練習(xí)題反饋：

-對于練習(xí)題，教師應(yīng)及時批改學(xué)生的作業(yè)，針對每個學(xué)生的解答給出具體評分和反饋意見。

-指出學(xué)生在解題過程中可能出現(xiàn)的常見錯誤，如方程建立錯誤、計算失誤等，并提供正確的解題步驟。

-對于解題思路清晰、步驟正確的學(xué)生，給予表揚并鼓勵他們繼續(xù)努力。

2.研究性學(xué)習(xí)反饋：

-對于研究性學(xué)習(xí)，教師應(yīng)鼓勵學(xué)生的探索精神，對他們的發(fā)現(xiàn)和分析給予積極的評價。

-提供針對性的建議，幫助學(xué)生深化對一元二次方程應(yīng)用的理解，如如何更好地從實際情境中抽象出數(shù)學(xué)模型。

3.小組討論反饋：

-對于小組討論，教師應(yīng)認(rèn)真聽取每個小組的分享，給予肯定和鼓勵。

-提供建設(shè)性的意見，幫助學(xué)生在討論中深化對一元二次方程應(yīng)用的認(rèn)識，促進(jìn)他們的合作與交流。

-對于討論中出現(xiàn)的亮點和不足，教師應(yīng)在全班范圍內(nèi)進(jìn)行總結(jié)，促進(jìn)全班學(xué)生的共同進(jìn)步。教學(xué)反思與總結(jié)教學(xué)反思：

1.教學(xué)方法方面，本節(jié)課采用了講授與討論相結(jié)合的教學(xué)方法，以及多媒體教學(xué)資源，如PPT、動畫演示等，以直觀展示一元二次方程的建模過程和求解步驟。這些方法有效地提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和參與度，但也發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生在討論環(huán)節(jié)中表現(xiàn)較為被動，需要進(jìn)一步引導(dǎo)和鼓勵他們積極參與。

2.教學(xué)策略方面，本節(jié)課設(shè)計了實際案例分析活動，讓學(xué)生通過角色扮演的方式模擬實際問題情境，如經(jīng)營決策、物理測量等。這種策略有助于學(xué)生將理論知識與實際應(yīng)用相結(jié)合，但在實施過程中發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生對案例的分析和解決能力還有待提高，需要加強(qiáng)對他們的引導(dǎo)和指導(dǎo)。

3.教學(xué)管理方面，本節(jié)課的組織和安排較為有序，學(xué)生能夠按照教師的要求完成各項任務(wù)。但在課堂互動環(huán)節(jié)中，發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生存在注意力不集中、參與度不高等問題，需要進(jìn)一步關(guān)注和調(diào)整教學(xué)管理方法，提高學(xué)生的課堂參與度。

教學(xué)總結(jié)：

1.學(xué)生在知識方面，通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生對一元二次方程在實際問題中的應(yīng)用有了更深入的理解，能夠建立方程模型并求解實際問題。

2.在技能方面，學(xué)生通過實際案例分析活動，提高了分析問