高考數(shù)學(xué)選擇題專題

最新推薦高考數(shù)學(xué)選擇題巧解專題

前言

例題與題組

一、數(shù)形結(jié)合

畫(huà)出圖形或者圖象能夠使問(wèn)題提供的信息更直觀地呈現(xiàn)，從而大大降低思

維難度，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力策略，這種方法使用得非常之多。

【例題】、(07江蘇6)設(shè)函數(shù)/(幻定義在實(shí)數(shù)集上，它的圖象關(guān)于直線x=l

對(duì)稱，且當(dāng)時(shí)，/(幻=3,-1,則有()0

A、/(%/($Y/(|)B、穴|)Yf(|)Yfg)

C、/(|)/(|)/(|)D./(》Y/($Y/(g)

【解析】、當(dāng)X21時(shí)，/(x)=3'-l,/(X)的|,

圖象關(guān)于直線x=i對(duì)稱，則圖象如圖所示。

——h->x

這個(gè)圖象是個(gè)示意圖，事實(shí)上，就算畫(huà)出xz

/(x)=|x-1|的圖象代替它也可以。由圖知，

符合要求的選項(xiàng)是B,

【練習(xí)1】、若P(2,-1)為圓。-1)2+)?=25的弦AB的中點(diǎn)，則直線AB

的方程是()

A、x-y-3=0B、2x+y-3=0C、x+y-1=0D^2x-y-5=0

(提示：畫(huà)出圓和過(guò)點(diǎn)P的直線，再看四條直線的斜率，即可知選A)

x-y+2<0

【練習(xí)2】、(07遼寧)已知變量x、y滿足約束條件,則上的

X

x+y-7<0

取值范圍是()

A、1-,6B、^-oo,-|U[6,+oo）C^（-00,3]U[6,4-oo）D、[3,6]

（提示：把上看作可行域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)所在直線的斜率，不難求得答案，選

x

Ao）

【練習(xí)3】、曲線y=1+"-Y[-2,2]）

與直線y=Z（無(wú)一2）+4有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，

Z的取值范圍是（）

A、（哈B、（量）

C、得+8）口、

（提示：事實(shí)上不難看出，曲線方程y=I+H^（xe[-2,2]）的圖象為

x2+（）；-l）2=4（-2<x<2,l<y<3）,表示以（1,0）為圓心，2為半徑的上半圓,

如圖。直線y=Z（x-2）+4過(guò)定點(diǎn)（2,4）,那么斜率的范圍就清楚了，選D）]

【練習(xí)4】、函數(shù)），=|幻（1-幻在區(qū)間

A上是增函數(shù)，則區(qū)間A是（）

A、（―oo,o]B、0,—

（提示：作出該函數(shù)的圖象如右，知應(yīng)該選B）

【練習(xí)5】、曲線L|l=l與直線y=2x+初

有兩個(gè)交點(diǎn)，則加的取值范圍是（）

A、根>4或加yTB、-4y機(jī)Y4

C、3或my—3D、一3Y/%Y3

(提示：作出曲線的圖象如右，因?yàn)橹本€

y=2尤+根與其有兩個(gè)交點(diǎn)，則加上4或wyT,選A)

【練習(xí)6】、(06湖南理8)設(shè)函數(shù)/(%)=皆，集合M={X"(X)YO},

P={x"'(x)A。},若MqP,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A、(ro,l)B、(0,1)C、(1,-KO)D、

(提示：數(shù)形結(jié)合，先畫(huà)出/(幻的圖象。y(x)=T=i+―=i+工當(dāng)

X—1x—1X—1

OYI時(shí)，圖象如左；當(dāng)a>1時(shí)圖象如右。

由圖象知，當(dāng)a>1時(shí)函數(shù)f(x)在(L+oo)上遞增,/(X)AO,同時(shí)/(X)YO的

解集為(1,轉(zhuǎn))的真子集，選C)

【練習(xí)7】、(06湖南理10)若圓f+V—4》一4y-10=0上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)

到直線/:依+勿=0的距離為2夜，則直線/的傾斜角。的取值范圍是()

71式715717171

A、C、D、

12577'T嗚

(提示：數(shù)形結(jié)合，先畫(huà)出圓的圖形。圓方程化為

(x-2)2+(y—2)2=(30)2,由題意知，圓心到直線

的距離〃應(yīng)該滿足OWdW夜，在已知圓中畫(huà)一個(gè)半

徑為0的同心圓，則過(guò)原點(diǎn)的直線/:以+切=0與小圓有公共點(diǎn)，.?.選B。)

【練習(xí)8】、(07浙江文10)若非零向量a,b滿足|a-喈|鼠序()

A、|2b|>|a-2b|B、|2b|<|a-2b|-L__

IaI

C、|2a|>|2a-b|D、|2a|<|2a-b|

(提示：關(guān)鍵是要畫(huà)出向量a,b的關(guān)系圖，為此

先把條件進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換。|a-b|=|b|<^>|a-b|2=

|b\2<^>a2+b2-2a,b=b2<=>a,(a-2b)=0。

a±(a-2b),又a-(a-2b)=2b,所以|a|,|a-2b|,

12bl為邊長(zhǎng)構(gòu)成直角三角形，12bl為斜邊，如上圖，

A|2b|>|a-2b|,選A。

另外也可以這樣解：先構(gòu)造等腰△OAB,使0B二AB,

再構(gòu)造RZkOAC,如下圖，因?yàn)镺C>AC,所以選A。)

【練習(xí)9】、方程cosx=lgx的實(shí)根的個(gè)數(shù)是()

A、1B、2C、3D、4

(提示：在同一坐標(biāo)系中分別畫(huà)出函數(shù)COSX與Igx的圖象，如圖,

由兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3,知應(yīng)選C)

【練習(xí)10］、(06江蘇7)若A、B、C為三個(gè)集合，則一定有()

A、AcCB、C^AC、A^CD、A=<!>

(提示：若A=3=C#①，則AU8=A,5nC=8=A

成立，排除C、D選項(xiàng)，作出Venn圖，可知A成立)

【練習(xí)11h(07天津理7)在R上定義的函數(shù)/(x)是偶函數(shù)，且

/(%)=/(2-x)o若y(x)在區(qū)間［1,2］上是減函數(shù)，則/(x)()

A、在區(qū)間［-2,7］上是增函數(shù)，在區(qū)間［3,4］上是增函數(shù)

B、在區(qū)間［-2,7］上是增函數(shù)在區(qū)間［3,4］上是減函數(shù)

C、在區(qū)間［-2,-1］上是減函數(shù)，在區(qū)間［3,4］上是增函數(shù)

D、在區(qū)間［-2,-1］上是減函數(shù)，在區(qū)間［3,4］上是減函數(shù)

(提示：數(shù)形結(jié)合法，/(x)是抽象函數(shù)，因此畫(huà)出其簡(jiǎn)單圖象即可得出結(jié)

論，如下左圖知選B)

-2-1°|1234X

【練習(xí)12]、（07山東文11改編）方程V§廣2的解方的取值區(qū)間是（）

A、（0,1）B、（1,2）C、（2,3）D、（3,4）

（提示：數(shù)形結(jié)合，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=V,y=g廣2的圖象，則立

刻知選B,如上右圖）

二、特值代驗(yàn)

包括選取符合題意的特殊數(shù)值、特殊位置和特殊圖形，代入或者比照選項(xiàng)

來(lái)確定答案。這種方法叫做特值代驗(yàn)法，是一種使用頻率很高的方法。

【例題】、（93年全國(guó)高考）在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛4｝中，若為4=9,

貝Ilog?q+log3a2+---+log3a]0=（）

A、12B、10C、8D、2+log,5

【解析】、思路一（小題大做）：由條件有9=%%=。聞—聞、。引，從而

嗎=4°囪"2…9=（-）5=3'0,

所以原式=k>g3（qa2…60）=108331°=10,選Bo

思路二（小題小做）：由9=%4=%a亍a3etf.a2=i知原式

510

-log3（a5a6）=log33=3,選B。

思路三（小題巧做）：因?yàn)榇鸢肝ㄒ唬嗜∫粋€(gè)滿足條件的特殊數(shù)列

%=%>=3,q=l即可，選B。

【練習(xí)1】、（07江西文8）若OYXY^,則下列命題中正確的是（）

2

A、sinx^—xB、sinx>-—xC、sinx-<—xD、sinx^—x

冗冗717c

（提示：取x=X;驗(yàn)證即可，選B）

【練習(xí)2】、(06北京理7)設(shè)/(n)=2+24+27+2i°+…+23"2(〃GN),貝=

)

7???

A、-(8n-l)B、-(8n+,-l)C、-(8,,+3-l)D、-(nn+4-l)

7777

(提示：思路一：f(n)是以2為首項(xiàng)，8為公比的等比數(shù)列的前〃+4項(xiàng)

的和,

所以/(〃)=型鼠1=刎+4_1),選D。這屬于直接法。

思路2:令〃=0,則/(0)=2+24+27+21°=2口；(；，上,⑻-1),對(duì)照選項(xiàng),

只有D成立。)

【練習(xí)3】、(06全國(guó)1理9)設(shè)平面向量a1、a2>a3的和a1+a2+a3=0,如果

平面向量匕、b2.b3滿足|bi|=2|ai|,且ai順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30。以后與b同向，

其中i=1、2、3則()

A、-bi+b2+b3=0B、bi—bs+ba_0C、bi+b2-ba—0D、bi+b2+b3=0

(提示：因?yàn)閍i+a2+a3=0,所以a1、a2>a3構(gòu)成封閉三角形，不妨設(shè)其為正

三角形，則也實(shí)際上是將三角形順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30。后再將其各邊延長(zhǎng)2倍，仍為

封閉三角形，故選D。)

【練習(xí)4】、若/(x)=a*(a尸⑵Y0,則尸(x+1)的圖象是()

A、B、C、D、

（提示：抓住特殊點(diǎn)2,尸⑵YO,所以對(duì)數(shù)函數(shù)尸（無(wú)）是減函數(shù)，圖象往

左移動(dòng)一個(gè)單位得/T（X+1）,必過(guò)原點(diǎn)，選A）

【練習(xí)5】、若函數(shù)y=/（x+l）是偶函數(shù)，則y=/（2x）的對(duì)稱軸是（）

A、x=0B、x=\C、x=—D、x=2

2

（提示：因?yàn)槿艉瘮?shù)y=/（x+l）是偶函數(shù)，作一個(gè)特殊函數(shù)y=（x-4，則

y=/（2x）變?yōu)閥=（2尤-1尸，即知y=/（2x）的對(duì)稱軸是龍=g,選C）

【練習(xí)6】、已知數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式為an=2"T,其前n和為S,,那么

2n

&$+CnS2+-+CnS=（）

A、2n-3nB、3n-2nC、5n-2nD、3n-4n

（提示：愚蠢的解法是：先根據(jù)通項(xiàng)公式2尸2行求得和的公式S”，再代

入式子CS+（VS2+…+&，，再利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的逆用裂項(xiàng)求和得解，有些

書(shū)上就是這么做的！其實(shí)這既然是小題，就應(yīng)該按照小題的解思路來(lái)求做：令

"2,代入式子，再對(duì)照選項(xiàng)，選B）

【練習(xí)7】、（06遼寧理10）直線y=2Z與曲線9公f+y2=]822國(guó)（丘/?,心1）

的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）

A、1B、2C、3D、4

2

（提示：取左=1,原方程變?yōu)椋▏?guó)-1y+匕=1,這是兩個(gè)橢圓，與直線y=2有4

9

個(gè)公共點(diǎn)，選D）

【練習(xí)8】、如圖左，若D、E、F分別是

三棱錐S-ABC的側(cè)棱SA、SB、SC上的點(diǎn),/\^

且SD：DA=SE：EB=CF:FS=2：1,那芻

面DEF截三棱錐S-ABC所得的上下兩部分

的體積之比為（）

A、4：31B、6:23

C、4:23D、2：25

（提示：特殊化處理，不妨設(shè)三棱錐S-ABC是棱長(zhǎng)為3的正三棱錐，K是

FC的中點(diǎn)，KM乙匕分別表示上下兩部分的體積

則VS-DEF=Ss_DEF?h=（2y.2=8.V￡=_8-4_=J_選C）

，

V.ABCS,ABC3h3327"V,27-8+423’

【練習(xí)9】、AABC的外接圓的圓心為0,兩條邊上的高的交點(diǎn)為H,

OH=m（OA+OB+OC）,則機(jī)的取值是（）

A、-1B、1C、-2D、2

（提示：特殊化處理，不妨設(shè)△ABC為直角三角形，則圓心。在斜邊中點(diǎn)處，

此時(shí)有麗=礪+礪+花，m=\,選B。）

22

【練習(xí)10］、雙曲線方程為二-+-2_=1,則％的取值范圍是（）

\k\-25-k

A、k>5B、2Ykv5C、-2YATY2D、一2Y左Y2或左A5

（提示：在選項(xiàng)中選一些特殊值例如Z=6,0代入驗(yàn)證即可，選D）

三、篩選判斷

包括逐一驗(yàn)證法——將選項(xiàng)逐一代人條件中進(jìn)行驗(yàn)證，或者邏輯排除法，

即通過(guò)對(duì)四個(gè)選項(xiàng)之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系進(jìn)行排除與確定。

【例題】、設(shè)集合A和B都屬于正整數(shù)集，映射f:Af3把集合A中的元

素n映射到集合B中的元素，則在映射f下，像20的原像是（）

A、2B、3C、4D、5

【解析】、經(jīng)逐一驗(yàn)證，在2、3、4、5中，只有4符合方程2"+〃=20,選C。

【練習(xí)1】、（06安徽理6）將函數(shù)y=sins（口＞0）

的圖象按向量a=（-三,0）平移以后的圖象如圖所示，則

6

平移以后的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是（

rrjr

A、y=sin(x+—)B、y-sin(x——)

66

C、^=sin(2x+y)D、y=sin(2x-y)

（提示：若選A或B,則周期為2%,與圖象所示周期不符；若選D,則與“按

向量a=（-三,0）平移"不符，選C°此題屬于容易題）

6

【練習(xí)2】、（06重慶理9）如圖，單位圓中A8的

長(zhǎng)度為X,/（%）表示A3與弦AB所圍成的弓形的面你

2倍，則函數(shù)y=/（x）的圖象是（)

A、B、D、

（提示：解法1設(shè)NAQB=e,則x=e,

貝Is弓影二s扇矽一

當(dāng)XG(0,^)時(shí),

sinx>-0,則x-sinxYx,其圖象位于y=x下方；當(dāng)xc(%,2r時(shí)，sinxY(,

x-sinxAx,其圖象位于y=x上方。所以只有選D。這種方法屬于小題大作。

解法2結(jié)合直覺(jué)法逐一驗(yàn)證。顯然，面積/(x)不是弧長(zhǎng)x的一次函數(shù)，

排除A;當(dāng)x從很小的值逐漸增大時(shí)，/(x)的增長(zhǎng)不會(huì)太快，排除B;只要x〉7

則必然有面積/(x)A乃，排除C,選D。事實(shí)上，直覺(jué)好的學(xué)生完全可以直接選

D)

【練習(xí)3】、(06天津文8)若橢圓的中心點(diǎn)為E(-1,0),它的一個(gè)焦點(diǎn)為

F(-3,0),相應(yīng)于焦點(diǎn)的準(zhǔn)線方程是x=-工，則這個(gè)橢圓的方程是()

2

2

2(x-l)2/3+1)22)P?n2i

21321355

(提示：橢圓中心為(-1,0),排除A、C,橢圓相當(dāng)于向左平移了1個(gè)單

27

位長(zhǎng)度，故c=2,---1=--,A?2=5,選D)

c2

【練習(xí)4】、不等式的解集是()

X+1

A、(-l,O)U(L+8)B、(^),-l)U(OJ)

C、(-l,0)U(0,l)D、y,_i)U(L”)

(提示：如果直接解，差不多相當(dāng)于一道大題！取x=2,代入原不等式，

成立，排除B、C;取x=-2,排除D,選A)

【練習(xí)5】、(06江西理⑵某地一年內(nèi)的氣溫廣⑴八八

Q(t)(℃)與時(shí)間t(月份)之間的關(guān)系如右圖.口…)’

已知該年的平均氣溫為1。℃。令c(t)表示時(shí)間M

段［o,t］的平均氣溫，c(t)與t之間的函數(shù)關(guān)系

如下圖，則正確的應(yīng)該是()

A、B、C、

D、

（提示：由圖可以發(fā)現(xiàn)，t=6時(shí)，C（t）=0,排除C;t=12時(shí)，C（t）=10,

排除D；t>6時(shí)的某一段氣溫超過(guò)10°C,排除B,選A。）

【練習(xí)6】、集合〃=｛（2〃+l）%|〃wZ｝與集合N=｛（4左±1）萬(wàn)伙GZ｝之間的關(guān)系是

（）

A、MuNB、MnNC、M=ND、M*N

（提示：C、D是矛盾對(duì)立關(guān)系，必有一真，所以A、B均值.；2〃+1表示全

體奇數(shù)，4左±1也表示奇數(shù)，故M衛(wèi)N且B假，只有C真，選C。此法扣住了概

念之間矛盾對(duì)立的邏輯關(guān)系。

當(dāng)然，此題用現(xiàn)場(chǎng)操作法來(lái)解也是可以的，即令k=0,±1,±2,±3,然

后觀察兩個(gè)集合的關(guān)系就知道答案了。）

【練習(xí)7]、當(dāng)xe[T,O]時(shí)，a+[-X2恒成立,則a的一■個(gè)可能的

值是（）

A、5B、*C、--D、-5

33

（提示：若選項(xiàng)A正確，則B、C、D也正確；若選項(xiàng)B正確，則C、D也正

確；若選項(xiàng)C正確，則D也正確。選D)

【練習(xí)8】、(01廣東河南10)對(duì)于拋物線產(chǎn)=?上任意一點(diǎn)Q,點(diǎn)P(a,

0)都滿足|PQ34，則a的取值范圍是()

A、(-oo,0)B、(-oo,2]C、[0,2]D、(0,2)

(提示：用邏輯排除法。畫(huà)出草圖，知a<0符合條件，則排除C、D;

又取”=1,則P是焦點(diǎn)，記點(diǎn)Q到準(zhǔn)線的距離為d,則由拋物線定義知道，此

時(shí)aVdV|PQ|,即表明”=1符合條件，排除A,選B。另外，很多資料上解此題

是用的直接法，照錄如下，供“不放心”的讀者比較——

設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為序,先),由|P四匕，得邸+5”)2*，整理得

犬(犬+16-84)20,

?Z^>0,^+16-8?>0,即。42+置?恒成立，而2+■■的最小值是2,

88

?<2,選B)

【練習(xí)9】、(07全國(guó)卷I理12)函數(shù)/(x)=cos2x-cos2^的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間是

()

人停用B、晟)C、(聞D、1年

(提示：“標(biāo)準(zhǔn)”答案是用直接法通過(guò)求導(dǎo)數(shù)解不等式組，再結(jié)合圖象解得的，

選A。建議你用代入驗(yàn)證法進(jìn)行篩選：因?yàn)楹瘮?shù)是連續(xù)的，選項(xiàng)里面的各個(gè)端

點(diǎn)值其實(shí)是可以取到的，由/(-2)=/(三)，顯然直接排除D,在A、B、C中只

66

要計(jì)算兩個(gè)即可，因?yàn)锽中代入工會(huì)出現(xiàn)土，所以最好只算A、C、現(xiàn)在就驗(yàn)

612

算A,有了《)Y/(笄)，符合，選A)

四、等價(jià)轉(zhuǎn)化

解題的本質(zhì)就是轉(zhuǎn)化，能夠轉(zhuǎn)化下去就能夠解下去。至于怎樣轉(zhuǎn)化，要

通過(guò)必要的訓(xùn)練，達(dá)到見(jiàn)識(shí)足、技能熟的境界。在解有關(guān)排列組合的應(yīng)用問(wèn)題

中這一點(diǎn)顯得尤其重要。

【例題】、(05遼寧12)一給定函數(shù)y=/(x)的圖象在下列圖中，并且對(duì)任

意q￡(0,1),由關(guān)系式%+]=/(〃")得到的數(shù)列滿足a〃+1A〃eN*),則該函數(shù)的圖

象是()

A、B、C、D、

【解析】問(wèn)題等價(jià)于對(duì)函數(shù)y=/(x)圖象上任一點(diǎn)(x,y)都滿足yA巧只能選A。

【練習(xí)1】、設(shè)r=sina+cosa,且sin)+cos，y0,則，的取值范圍是()

A、[-V2,0)B、[-V2,V2]

C、(-1,0)U(1,V2]D、(-V3,0)U(V3,+oo)

(提示：因?yàn)閟in%+cos3a二(sina+cosa)(sin2a_sinacos(z+cos2a),

而sin%-sinacosa+cos2a>0恒成立，故siMa+cos3ay0otV0,選A。

另解：由sin，+cos，Y0知a非銳角，而我們知道只有a為銳角或者直角時(shí)

f=sintz+cosa<6,所以排除B、C、D,選A)

2

【練習(xí)2】、耳,工是橢圓工+),2=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上運(yùn)動(dòng)，則|可呼司的

4

最大值是（）

A、4B、5C、1D、2

（提示：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2cosa,sina）,由耳，鳥(niǎo)是橢圓的左、右焦點(diǎn)得

7*（-73,0）,瑪（6,0），則

22

|PFt-PF-,I=|a+4~（□龍=|4cos?-3+sina|

=|3cos2a-2|<2,選D。這里利用橢圓的參數(shù)方程把問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求

最值的問(wèn)題。特別提醒：下列“簡(jiǎn)捷”解法是掉進(jìn)了命題人的“陷阱”的——

冏廖4同I；質(zhì)1=標(biāo)=4）

【練習(xí)3】、若log,,2ylog%2y0,則（）。

A、OvaYbYlB、OYBYGYIC、a^b^\D、

（提示：利用換底公式等價(jià)轉(zhuǎn)化。

log02ylog〃2Y0Y0=Ig/jYlgaY。；.OYOYGYI,選B）

IgaTgb

【練習(xí)4】、dj（iR,e且dAc,a+h-c+d,a+d-<b+c,則（）

Ia?.匕?

A、d>b>ocB、

i——-------------------1

C、b>d>c?aD、b>d>a?c

（提示：此題條件較多，又以符號(hào)語(yǔ)言出現(xiàn)，

令人眼花繚亂。對(duì)策之一是“符號(hào)語(yǔ)言圖形化”，

如圖，用線段代表a/,c,d,立馬知道選C。當(dāng)然

這也屬于數(shù)形結(jié)合方法。對(duì)策之二是“抽象語(yǔ)言具體化”，分別用數(shù)字1,4,

2,3代表”,仇c,d,容易知道選Co也許你認(rèn)為對(duì)策一的轉(zhuǎn)化并不等價(jià)，是的,

但是作為選擇題，可以事先把條件“。也c,deE”收嚴(yán)一些變?yōu)?a,bcdeR+

【練習(xí)5］、已知°AO,若函數(shù)/（x）=sin絲sinG絲在「-工工,］上單調(diào)遞增，

22L43.

則①的取值范圍是（）

A、（0,|B、（0,|C、（0,2］D、［2,+oo）

（提示：化簡(jiǎn)得/（x）=gsins,,「sinx在-上遞增，

：—&cox4=-匕C,而/（X）在工工J上單調(diào)遞增

222。2<y43_

TCTC7CTC-3-?八?、/1c、

<=>,—z>----,—0<gW—,6yA0,??D）

L43j-L232刃」2

【練習(xí)6】、把10個(gè)相同的小球放入編號(hào)為1,2,3的三個(gè)不同盒子中，

使盒子里球的個(gè)數(shù)不小于它的編號(hào)數(shù)，則不同的放法種數(shù)是（）

A、C；B、clC、C；D、gc；

（提示：首先在編號(hào)為1,2,3的三個(gè)盒子中分別放入0,1,2個(gè)小球，

則余下的7個(gè)球只要用隔板法分成3堆即可，有c；種，選B；如果你認(rèn)為難以

想到在三個(gè)盒子中分別放入只0,1,2個(gè)小球，而更容易想到在三個(gè)盒子中分

別放入只1,2,3個(gè)小球，那也好辦：你將余下的4個(gè)球加上虛擬的（或日借

來(lái)的）3個(gè)小球，在排成一列的7球6空中插入2塊隔板，也與本問(wèn)題等價(jià)。）

【練習(xí)7】、方程為+%+七+/=12的正整數(shù)解的組數(shù)是（）

A、24B、72C、144D、165

（提示：?jiǎn)栴}等價(jià)于把12個(gè)相同的小球分成4堆，故在排成一列的12球

11空中插入3塊隔板即可，答案為C［=165,選D）

【練習(xí)8】、從1,2,3,…，10中每次取出3個(gè)互不相鄰的數(shù)，共有的取

法數(shù)是()

A、35B、56C、84D、120

(提示：逆向思維，問(wèn)題可以等價(jià)地看作是將取出的三個(gè)數(shù)再插入余下的

7個(gè)數(shù)的8個(gè)空中，那么問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求從8個(gè)空位中任意選3個(gè)的方法數(shù)，為

C；=56,選B)

【練習(xí)9】、(理科)已知lim—=3,則方=()

xfx-1

A、4B、-5C、-4D、5

(提示：逆向思維，分母(X-1)一定是存在于分子的一個(gè)因式，那么一

定有ax2+i?x+l=(x-l)(ar-l)=ax2-(l+a)x+l,.,.必然有b--(\.+d),且

lim"+"+l=lim(ax_l),ax1-1=3=>a=4,b=-5,選B)

*5x—1

【練習(xí)10］、異面直線〃所成的角為60。，/,\//i

過(guò)空間一點(diǎn)。的直線/與〃〃所成的角等于吵

則這樣的直線有()條a/―\

A、1B、2C、3D、4

(提示：把異面直線機(jī),〃平移到過(guò)點(diǎn)。的位置，記他們所確定的平面為a,則

問(wèn)題等價(jià)于過(guò)點(diǎn)0有多少條直線與人〃所成的角等于60。，如圖，恰有3條，選

C)

【練習(xí)11］、不等式/+bx+cx0的解集為{X|-1YXY2},那么不等式

+1)+伙x-l)+c>2ax的解集為()

A、{X|0YXY3}B、{X|XY0,"XA3}C、{X|-2YXY1}D、{X|XY-2,O「XM1}

(提示：才巴不等式a(f+l)+b(x—l)+ca2ax化為a(x-l)2+b(x-l)+c>■0,其結(jié)構(gòu)與

原不等式加+hx+c〉O相同，則只須令|-1YX-1Y2,得OYXY3,選A)

五、巧用定義

定義是知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，因此回歸定義是解決問(wèn)題的一種重要策略。

【例題】、某銷售公司完善管理機(jī)制以后，其銷售額每季度平均比上季度增

長(zhǎng)7%,那么經(jīng)過(guò)x季度增長(zhǎng)到原來(lái)的y倍，則函數(shù)y=/(x)的圖象大致是()

A、B、C、D、

【解析】、由題設(shè)知，y=(1+0.07)',V1+007小，，這是一個(gè)遞增的指數(shù)函

數(shù)，其中x〉0,所以選D。

【練習(xí)1】、已知對(duì)于任意都有/(x)+/(y)=2/(F)/(手)，且

/(0)*0,則/(x)是()

A、奇函數(shù)B、偶函數(shù)C、奇函數(shù)且偶函數(shù)D、非奇且非偶函數(shù)

(提示：令y=0,則由/(0)w0得/(0)=1;又令y=-x,代入條件式可得

f(—x)=f(x),因此/(x)是偶函數(shù),選B)

【練習(xí)2】、點(diǎn)M為圓P內(nèi)不同于圓心的定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作圓Q與圓P相切，

則圓心Q的軌跡是()

A、圓B、橢圓C、圓或線段D、線段

(提示：設(shè)。P的半徑為R,P、M為兩定點(diǎn)，那

么|QP|+|QM|=|QA|+|QP|=R=常數(shù)，/.由橢圓定義知圓

心Q的軌跡是橢圓，選B)

22

【練習(xí)3】、若橢圓亍+匕=1內(nèi)有一點(diǎn)P(1,-1),F為右焦點(diǎn)，橢圓上有

一點(diǎn)M,使|MP|+2|MF|最小，則點(diǎn)M為()

A、(―>/6^—1)B、(1,+^)C、(1,-^-)D、

(提示：在橢圓中，a=2,b=A/3,則c=l,e=￡=L,設(shè)點(diǎn)M到右準(zhǔn)線的距離

a2

為|MN|,則由橢圓的第二定義知，世婦=!二>|的7=2|用可，從而

|MN|2

\MP\+2\MF\^MP\+\MN\,這樣，過(guò)點(diǎn)P作右準(zhǔn)線的垂直射線與橢圓的交點(diǎn)即

為所求M點(diǎn)，知易Wig瘋-1),故選A)

【練習(xí)4】、設(shè)耳，居是雙曲線4-耳=13"0”〉0)的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲

h

線右支上任意一點(diǎn)，若空的最小值為8a,則該雙曲線的離心率e的取值范

圍是()

A、[2,3]B、(1,3]C、[3,+00)D、(1,2]

(提示：?jiǎn)?(21+|P『)2=g+|p凰+4。？8a,當(dāng)且僅當(dāng)優(yōu)=|P6即

國(guó)歸用網(wǎng)I11|^|1"

\PF\=2a,歸周=4。時(shí)取等于號(hào)，又歸耳|+歸閭2忻用，得6a22c,1Y”3,選

B)

【練習(xí)5】、已知P為拋物線尸=4》上任一動(dòng)點(diǎn)，記點(diǎn)P到)，軸的距離為d,

對(duì)于給定點(diǎn)A(4,5),|PA|+d的最小值是()

A、4B、取C、V17-1D、V34-1

(提示：d比P到準(zhǔn)線的距離(即|PF|)少

1,A|PA|+d=|PA|+|PF|-1,而A點(diǎn)在拋物線外，

I.|PA|+d的最小值為|AF|-1=南-1,選D)

【練習(xí)6】、函數(shù)y=/(x)的反函數(shù)廣'(x)=-~,則y=/(x)的圖象()。

x+3

A、關(guān)于點(diǎn)(2,3)對(duì)稱B、關(guān)于點(diǎn)(-2,-3)對(duì)稱

C、關(guān)于直線y=3對(duì)稱D、關(guān)于直線x=-2對(duì)稱

(提示：注意到_T(x)=U的圖象是雙曲線，其對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)是-3,

x+3

由反函數(shù)的定義，知)，=.f(x)圖象的對(duì)稱中心的縱坐標(biāo)是-3,只能選B)

【練習(xí)7】、已知函數(shù)y=/(x)是R上的增函數(shù)，那么q+。下0是

/(a)+/S)A/(—a)+/(-份的()條件。

A、充分不必要B、必要不充分C、充要D、不充分不必要

(提示：由條件以及函數(shù)單調(diào)性的定義，有

a+》"0o+(一4)+/(一份，而這個(gè)過(guò)程并不

gA—。o/(a)Af(-b)

可逆，因此選A)

【練習(xí)8】、點(diǎn)P是以耳,工為焦點(diǎn)的橢圓上的一點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)F?作/耳「后的外

角平分線的垂線，垂足為M,則點(diǎn)M的軌跡是(

A、圓B、橢圓C、雙曲線D、拋物

(提示：如圖，易知PQ=Pg,M是8Q的中點(diǎn)，

...0M是［Q的中位線，用0=36。=((月P+PQ)=；(6P+&P),由橢圓的定

義知，1尸+鳥(niǎo)尸二定值，，MO=定值(橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a),.?.選A)

【練習(xí)9】、在平面直角坐標(biāo)系中，若方程m(x2+y2+2y+1)=(x-2y+3)2

表示的是雙曲線，則m的取值范圍是()

A、(0,1)B、(1,+oo)C、(0,5)D、(5,+oo)

(提示：方程m(x2+y2+2y+1)=(x-2y+3)?可變形為加=*上彳>3匚,即

x+y+2y+l

得-L=，工戶=，這表示雙曲線上一點(diǎn)a,),)到定點(diǎn)(o,

yjm|x-2y+3|vm卜—2y+3]

-1)與定直線x-2y+3=0的距離之比為常數(shù)e=g,又由e>l,得到0Y/?Y5,

...選C。若用特值代驗(yàn)，右邊展開(kāi)式含有.項(xiàng)，你無(wú)法判斷)

六、直覺(jué)判斷

數(shù)學(xué)思維包括邏輯思維和直覺(jué)思維兩種形式，邏輯思維嚴(yán)格遵守概念和邏

輯規(guī)則，而直覺(jué)思維不受固定的邏輯規(guī)則約束，直接領(lǐng)悟事物本質(zhì)，大大節(jié)約

思考時(shí)間。邏輯思維在數(shù)學(xué)思維中始終占據(jù)著主導(dǎo)地位，而直覺(jué)思維又是思維

中最活躍、最積極、最具有創(chuàng)造性的成分。兩者具有辨證互補(bǔ)的關(guān)系。因此，

作為選拔人才的高考命題人，很自然要考慮對(duì)直覺(jué)思維的考查。

【例題]、已知sinx+cosx=L%YX?2%,貝Itanx的值為()

5

A、--B、/或-3C、--D、-

33443

【解析】、由題目中出現(xiàn)的數(shù)字3、4、5是勾股數(shù)以及x的范圍，直接意識(shí)

到sinx=-'|,cosx='1,從而得到tanx=-(,選C。

【練習(xí)1】、如圖，已知一個(gè)正三角形內(nèi)接于一個(gè)邊長(zhǎng)為4的公裝形中，

問(wèn)X取什么值時(shí)，內(nèi)接正三角形的面積最小()

X

A〃75

A、一D>—v>—D、—a

2342

（提示：顯然小三角形的邊長(zhǎng)等于大三角形的邊長(zhǎng)之半時(shí)面積最小，選

Ao）

【練習(xí)2］、（課本題改編）測(cè)量某個(gè)零件直徑的尺寸，得到10個(gè)數(shù)據(jù)：

對(duì)私知…而，如果用工作為該零件直徑的近似值，當(dāng)x取什么值時(shí)，

（x-彳）+（x—步3+（x-3>）T+（%Td阪小？（）

A、x，因?yàn)榈谝淮螠y(cè)量最可靠B、因?yàn)樽詈笠淮螠y(cè)量最可靠

C、因?yàn)檫@兩次測(cè)量最可靠D、內(nèi)+々+七+…+/

210

（提示：若直覺(jué)好，直接選D。若直覺(jué)欠好，可以用退化策略，取兩個(gè)數(shù)

嘗試便可以得到答案了。）

【練習(xí)3】、若（l-2x）7=羯+3+生/+…+%/，則|%|+|4|+|%1+…+1%1=（）

A、-1B、1C、0D、37

（提示：直覺(jué)法，系數(shù)取絕對(duì)值以后，其和會(huì)相當(dāng)大，選Do或者退化判

斷法將7次改為1次；還有一個(gè)絕妙的主意：干脆把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：已知

（l+2xj=a（）+Oyx+a,X+-■+qi,求4+4+4+—，這與原問(wèn)題完全等價(jià)，此

時(shí)令x=l得解。）

【練習(xí)4】、已知a、b是不相等的兩個(gè)正數(shù)，如果設(shè)〃=（a+1）S+3,

ab

4=（瘋+/=）2,r=（小+;）2,那么數(shù)值最大的一個(gè)是（）

yJab2a+h

A^pB>qC>rD、與a、b的值有關(guān)。

（提示：顯然p、q、r都趨向于正無(wú)窮大，無(wú)法比較大小，選D。要注意，

這里似乎是考核均值不等式，其實(shí)根本不具備條件——缺乏定值條件?。?/p>

【練習(xí)5】、（98高考）向高為H的水瓶中注水，注滿為止。如果注水量V

與水深h的函數(shù)關(guān)系如下列左圖，那么水瓶的形狀是（）o

0

ABCD

（提示：抓住特殊位置進(jìn)行直覺(jué)思維，可以取0H的中點(diǎn)，當(dāng)高H為一半時(shí),

其體積過(guò)半，只有B符合，選B）

【練習(xí)6】、（07江西理7文11）四位好朋友在一次聚會(huì)上，他們按照各自

不同的愛(ài)好選擇了形狀不同、內(nèi)空高度相等、杯口半徑相等的圓口酒杯，如圖,

盛滿酒好他們約定：先各自飲杯中酒的一半。設(shè)剩余酒的高度從左到右依次為

4,/質(zhì),為,則它們的大小關(guān)系正確的是（）

66

A、h2A%%B、%ah2AhiC、壇Ah2Ah4D^112Ah4>%

(提示：選A)

【練習(xí)71(01年高考)過(guò)點(diǎn)A(1,7)、B(T,1)且圓心在直線x+y—2=0

上的圓的方程是（）

A、（x-3）2+（y+l）2=4B、（x+3>+（y_l）2=4

C、（x-l）2+（y-l）2=4D、（x+l>+（y+l）2=4

（提示：顯然只有點(diǎn)（1,1）在直線x+y-2=0上，選C）

【練習(xí)8】、（97全國(guó)理科）函數(shù)y=sin（g-2x）+cos2x的最小正周期是（）

A、土B、乃C、2萬(wàn)D、4）

2

（提示：因?yàn)榭傆衋sincox+bcoscox-Asm{cox+（p）,所以函數(shù)》的周期只與切

有關(guān)，這里勿=2,所以選B）

x>0,

【練習(xí)9】、（97年高考）不等式組〈土金」石臼的解集是（）

3+x|2+x|

A、{X|0YXY2}B、{X|0YXY2.5}

C、{X|0YXY#}D、{X|0YXY3}

（提示：直接解肯定是錯(cuò)誤的策略；四個(gè)選項(xiàng)左端都是0,只有右端的值

不同，在這四個(gè)值中會(huì)是哪一個(gè)呢？它必定是方程土三=|±士|的根！，代入驗(yàn)

3+x3+x

證：2不是，3不是，2.5也不是，所以選C）

【練習(xí)10］、中，cosAcosBcosC的最大值是（）

A、-V3B,-C、1D.-

882

（提示：本題選自某一著名的數(shù)學(xué)期刊，作者提供了下列“標(biāo)準(zhǔn)”解法，

特抄錄如下供讀者比較:

設(shè)y=cosAcosBcosC,則2y=[cos(A+B)+cos(A-B)]cosC,

cos2C_cos(A-B)cosC+2y=0,構(gòu)造一1元二次方程x?-cos(A-B)x+2y=0,

則cosC是一元二次方程的根，由cosC是實(shí)數(shù)知：△=cos2(A-B)-8y20,

即8yWcos?(A-B)W1,Ay<-,故應(yīng)選B。

8

這就是“經(jīng)典”的小題大作！事實(shí)上，由于三個(gè)角A、B、C的地位完全平

等，直覺(jué)告訴我們：最大值必定在某一特殊角度取得，故只要令A(yù)=B=C=60°

即得答案B,這就是直覺(jué)法的威力，這也正是命題人的意圖所在。)

【練習(xí)11]、(07浙江文8)甲乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，比賽規(guī)則為“3

局2勝”，即以先贏2局者為勝，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，每局比賽中甲獲勝的概率為

0.6,則本次比賽中甲獲勝的概率為()

A、0.216B、0.36C、0.432D、0.648

(提示：先看“標(biāo)準(zhǔn)”解法——甲獲勝分兩種情況：①甲：乙二2：0,其概

率為0.6X0.6=0.36,②甲：乙=